Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm khí quyển

các nút biên là yh.

M C L C

M U 1

CH NG 1: CÁC KI N TH C C B N C A L C SAI PHÂN 3

1.1 L I VÀ CỄC B C L I: 3

1.2 X P X SAI PHÂN CÁC TOÁN T VI PHỂN N GI N 6

1.4 THI T L P M T BÀI TOÁN SAI PHÂN 14

1.5 V S H I T VÀ CHÍNH XÁC C A CỄC L C SAI PHÂN 17

1.6 PH NG PHỄP X P X CỄC I U KI N BIểN VÀ I U KI N BAN U 19

1.7 CÁC VÍ D V L C SAI PHÂN N NH VÀ KHÔNG N NH 21

1.8 V KHÁI NI M TệNH ÚNG N C A BÀI TOÁN SAI PHÂN 23

CH NG 2: PH NG PHỄP SAI PHỂN GI I BÀI TOỄN Ọ NHI M KHệ QUY N 25

2.1 MÔ HÌNH TOÁN H C C A QUÁ TRÌNH LAN TRUY N KHÍ TH I (V T CH T) TRONG MỌI TR NG KHệ (N C) 25

2.2 GI I THI U BÀI TOÁN 25

2.3 GI I THI U HÀM DELTA DIRACT 27

2.4 PH NG PHỄP SAI PHỂN GI I BÀI TOÁN Ô NHI M KHÍ QUY N 27

2.4.1 XỂY D NG L C SAI PHỂN 28

2.4.2 NGHIÊN C U L C SAI PHÂN (3.2.12)-(3.2.15) 30

2.4.3 M T VÀI K T QU B TR 30

2.4.4 TÍNH GI I C 33

2.4.5 TÍNH N NH 34

2.4.6 PH NG PHỄP GI I CHO H (3.2.12)-(3.2.15) 34

CH NG 3: K T QU TÍNH TOÁN TH NGHI M 37

K T LU N 41

TÀI LI U THAM KH O 42

PH L C 43

DANH M C CÁC HÌNH V

Hình 1: Form chính c a ch ng trình 38

Hình 2: Form d li u c a ch ng trình 38

Hình 3: Form nghi m c a ch ng trình 39

Hình 4: Form v đ th c a hàm m t đ  theo tr c x 39

Hình 5: Form v đ th c a hàm m t đ  theo tr c z 40

M U

Nhi u bài toán th c ti n d n đ n vi c nghiên c u nh ng bài toán biên c a

ph ng trình v t lý toán, gi i các bƠi toán đó đ n đáp s b ng s là m t yêu c u

quan tr ng c a th c ti n

Trong m t s ít tr ng h p, th t đ n gi n vi c đó có th lƠm đ c nh

vào nghi m t ng minh c a bƠi toán d i d ng các công th c s c p, các tích

phân ho c các chu i hƠm Còn trong đ i đa s tr ng h p khác, đ c bi t là các bài

toán có h s bi n thiên, các bài toán phi tuy n, các bài toán trên mi n b t k thì nghi m t ng minh c a bài toán không có, ho c n u có nh ng r t ph c t p Trong

nh ng tr ng h p đó vi c tính nghi m ph i d a vƠo các ph ng pháp g n đúng

Th gi i đang ph i đ i m t v i vi c môi tr ng đang b ô nhi m ngày

càng nghiêm tr ng Trên th gi i đư x y ra r t nhi u tr n m a axit, khí h u nóng lên lƠm cho b ng tan d n đ n m c n c bi n dơng lên đe d a các vùng đ ng

b ng ven bi n, hi n t ng n c m n xâm nh p sơu vƠo đ t li nầ

V i vi c công nghi p hóa và hi n đ i hóa v i t c đ ngày càng nhanh, các

nhà máy m c lên không ch là nh ng khu công nghi p xa dơn c mƠ còn đ c

xây d ng nh ng vùng đông dơn Khói đ c t các nhà máy th i ra gây h i cho

ng i dân s ng xung quanh

Lu n v n này t p trung vào gi i quy t bài hoán ô nhi m khí quy n do nhà

máy th i ra b ng ắph ng pháp sai phơn” nh m m c đích có th d đoán tr c

đ c nh h ng và m t đ c a các ch t gây ô nhi m đ h n ch tác h i c a nó

Lu n v n g m ph n m đ u vƠ ba ch ng, sau cùng lƠ tƠi li u d n và

ph n ph l c Ch ng m t trình bày các ki n th c c b n c a l c đ sai phân

nh m ph c v cho ch ng hai Ch ng hai lƠ ph n chính c a khóa lu n, trong

đó trình bƠy bài toán ô nhi m khí quy n do các nhà máy th i ra t ng khói và

xây d ng thu t toán đ gi i nó Ch ng ba đ a ra k t qu tính toán th nghi m

c a m t bài toán th c ti n nh m minh h a cho thu t toán đư xơy d ng ch ng

hai Ph n ph l c lƠ toƠn v n ch ng trình đ c l p trình trên ngôn ng C++

2

Em xin chân thành c m n TS Nguy n Công i u ậ Vi n Công ngh

Thông tin đư t n tình h ng d n em trong th i gian em làm khóa lu n, đ ng th i

em xin c m n các th y cô giáo trong khoa Toán và các b n cùng l p đư nhi t tình giúp đ em làm khóa lu n này

Do th i gian và ki n th c c a b n thân em còn h n ch nên ch c ch n

lu n v n còn nh ng thi u sót, r t mong đ c s đóng góp Ủ ki n c a các th y cô

và các b n

CH NG 1

Trong ch ng nƠy s trình bày các ki n th c c s c n thi t đ c s d ng trong

ch ng hai đ nghiên c u l c đ sai phân n c a bài toán ô nhi m khí quy n

1.1 L I VÀ CỄC B C L I:

vi t đ c l c đ sai phân tìm nghi m s x p x cho m t bài toán v t lý

c a m t ph ng trình vi phơn đư cho c n th c hi n hai b c:

Thay mi n bi n thiên liên t c c a bi n s b i mi n bi n thiên r i r c c a nó, toán t vi phân b i m t toán t sai phơn nƠo đó, xác đ nh các bi u th c sai phân

đ i v i đi u ki n biên vƠ đi u ki n ban đ u

Sau đó s nh n đ c m t h các ph ng trình đ i s d n đ n vi c xác

đ nh nghi m c a bài toán đ i v i m t ph ng trình vi phơn đư cho đ c đ a v

tìm nghi m c a m t h ph ng trình đ i s nh n đ c Khi gi i m t s bài toán nƠo đó, ta không th xác l p l i các giá tr c a nghi m sai phân khi bi n s bi n

đ i liên t c trong m t mi n nƠo đó c a không gian Euclid Vì v y ta c n ch n

trong mi n này m t t p h p h u h n các đi m nƠo đó vƠ ch tìm nghi m t i các

đi m này T p h p nh ng đi m này g i lƠ l i HƠm đ c xác đ nh t i các nút

l i đ c g i lƠ hƠm l i

Nh v y mi n bi n thiên liên t c c a đ i s đ c thay b i l i, t c là

mi n bi n thiên r i r c c a đ i s VƠ nh v y, chúng ta x p x không gian

nghi m c a các ph ng trình vi phơn b i không gian các hƠm l i

Các tính ch t c a nghi m sai phơn vƠ đ c bi t là x p x c a nó đ i v i

nghi m chính xác ph thu c vào vi c ch n l i

Ta xét m t vài ví d v l i

Trên đo n [0,1], thay cho hƠm c a bi n s liên t c y(x) đ c xét hƠm c a

bi n s r i r c y xh i , giá tr c a hƠm nƠy đ c tính t các nút l i Còn b n thơn hƠm ph thu c b c l i h nh ph thu c vƠo m t tham s

Ví d 2: L i đ u trên m t ph ng Xét t p các hƠm hai bi n u(x,t) đ n

Ví d 3: L i trong mi n hai chi u

Gi s trên m t ph ng x = (x 1, x2 ), cho mi n G d ng tùy Ủ v i biên  G

i h i h 1 1 , 2 2, , i i 1 2    0, 1, 2,

L i nƠy đ u theo m i h ng riêng bi t (Oxì,Ox2) Ta ch c n chú ý các nút thu c mi n G    G G Các nút n m trong mi n G đ c g i lƠ các nút trong, l p thƠnh l i  h Nh ng đi m giao c a các đ ng 1

1i 1 h , 1 1

x  i i và

2

2i 2 h , 2 2 0, 1, 2,

các nút biên là yh Ta th y có nh ng nút biên mƠ kho ng cách đ n các nút trong

g n nh t nh h n h hay h2 Nh v y, l i trên m t ph ng đ u theo các h ng x x 1 , 1

nh ng l i  h    h  h đ i v i mi n G không đ u lơn c n biên

x  x x  Thay cho hàm u(x) c a bi n liên t c x  Gta s xét hàm

l i y x ( )i , ngh a lƠ hƠm c a các nút l i x i   HƠm l i y x ( )i có th vi t d i

d ng vecto N u đánh s l i nút theo m t th t nƠo đó: x x 1 , 2 , , xN thì giá tr c a

hƠm l i t i các nút này có th xem nh các thƠnh ph n c a m t vecto c t:

N u mi n G h u h n, thì chi u N c a vecto y c ng h u h n N u G vô h n, thì

l i có vô s nút l i, và s chi u c a vecto y c ng vô h n

6

Khi xét t p h p các l i   h ta có t p h p  H h c a các không gian các

hƠm l i ph thu c vào tham s h Trong không gian tuy n tính H h đ a vƠo

chu n ||.|| lƠ t ng t l i c a || || 0chu n trong không gian xu t phát H0

Gi s u(x) là nghi m c a bài toán liên t c đang xét u  H 0, yh là nghi m

c a bài toán sai phân ( x p x ), yh Hh

i u chính y u trong gi i g n đúng lƠ đánh giá đ x p x c a y h so v i u

Gi s || ||0 là chu n trong H0, đ ng nhiên đòi h i || ||h x p x || ||0 theo ngh a

sau:

0 0

lim || h ||h || ||

h u u

V i m i vecto u trong H0

1.2 X P X SAI PHÂN CÁC TOÁN T VI PHỂN N GI N

Gi s cho m t toán t vi phân L tác đ ng lên m t hàm v=v(x) Khi

nghiên c u s x p x sai phân m t toán t L th ng ng i ta ch xét m t cách

đ a ph ng t c là t i m t lân c n nƠo đó c a đi m X c đ nh b t k c a không

gian và n u v(x) liên t c thì xem vh (x) = v(x) T ng quát:

0 0

Sau đó c n ch n khuôn l i, t c là ch rõ t p các nút lân c n v i các nút x

mà t i đó các giá tr c a hƠm l i v(x) và các h s khác c a toán t L có th

đ c dùng đ x p x toán t L

Thay các đ o hàm c a v vƠ các đ i l ng khác c a toán t b i các bi u

th c sai phân L vh h, thay cho toán t Lv ó lƠ m t t h p tuy n tính các giá tr

c a hƠm l i v ktrên khuôn l i:

Trong đó A xh( , )  lƠ h s , h lƠ b c l i, Uh( ) x lƠ khuôn l i t i nút x Vi c thay g n đùng toán t vi phơn Lv b i bi u th c sai phơn L h h v nh v y đ c

g i lƠ s x p x toán t vi phơn b i toán t sai phơn

Ta xét vƠi ví d x p x sai phơn c a m t vƠi toán t sai phơn đ n gi n

Ví d 1: Lv dv

dx



C đ nh m t đi m nƠo đó c a tr c Ox và l y các đi m x-h và x+h v i h>0

Khai tri n v(x) công th c Taylor t i x ta có:

2

3

"( ) 0( ) 2!

L v đ c g i là hàm sai phân ph i và L vh đ c g i là hàm sai phân trái, hay

còn g i lƠ đ o hàm sai phân ti n vƠ lùi t ng ng

Các bi u th c sai phân L vh và L vh đ c xác đ nh t i các ô nút hai đi m

( x,x+ h ) và ( x,x-h) Ngoài ra vi c tính x p x sai phân c a đ o hàm dv

Nh v y có th x p x vô s các bi u th c sai phân x p x toán t Lv=v Khi

thay toán t vi phân Lv b i toán t sai phân L vh ta đư ph m m t sai s nƠo đó

i l ng  ( x )  L v xh ( )  Lv x ( ) đ c g i là sai s x p x toán t Lv t i đi m x

Theo công th c kh i tri n Taylor ta có th vi t:

2

'( ) "( ) 0( ) 2

'( ) 0( ) 2

n d v

dx

miêu t x p x sai phơn đ o hàm b c hai ta c ng xét m t đi m nút x c

đ nh b t k c a l i và l y thêm hai đi m lân c n x-h và x+h Ta xu t phát t

2 2

( , ) '( ) v x t

Trong tr ng h p nƠy, đ vi t toán t sai phân L v h  v tt  v xx c n ph i s

d ng giá tr c a hƠm l i t i ba th i đi m t- , t, t+ Ta th y khuôn l i ít nh t

2 2

( , )

(0 )

tt

v x t v

Do đó, toán t sai phân (1.2.7) có sai s x p x là 2 2

0( h   ) Toán t sai phân

(1.2.9) c ng có sai s x p x b c này khi  1   2   ( là m t s b t k )

1.3 SAI S X P X TRểN L I

Chúng ta đư xem xét cách tính x p x sai phân t i m t đi m và nói v b c

c a phép tính x p x sai phơn đó Vi c đánh giá b c x p x nƠy th ng đòi h i trên toƠn l i  h

Gi s h lƠ l i trong mi n G thu c không gian Euclid p chi u:

G i H0 lƠ không gian các hƠm tr n u(x), Hh là không gian tuy n tính các hàm

l i, ||.||0 là chu n trong H0, ||.||h là chu n trong Hh

Ví d , n u p= 1 và Hh=L2 thì chu n là

1/2 1 2 1

N j j

u h u

| | lim || 0 h ||h || ||

h P u h

trong đó |h| là chu n c a vector h

Xét m t toán t L nƠo đó trong H0 và toán t Lh chuy n hƠm l i v h  H h

thƠnh hƠm l i L v h h  H hđ c cho trên  h (t c là Lh tác đ ng t H h  H h)

Ng i ta g i hƠm l i  h sau đơy lƠ sai s c a phép x p x toán t L b i toán t

| | ( )

p i i



Chú ý r ng vi c ch n chu n thích h p đ đánh giá sai s x p x liên quan

đ n c u trúc c a toán t sai phân

Trong tr ng h p hai bi n, ch ng h n u(x,t) là nghi m c a ph ng trình

không d ng (truy n nhi t, truy n sóng v.vầ), thì toán t sai phân Lh x p x toán t vi phân L đ c xác đ nh trên các hƠm l i vh(x,t) cho trên l i:

14

( , ) h h ( )h ( , ), ( , )

h x t L v  Lv  x t x t w

Theo đ nh ngh a, toán t sai phân L h x p x toán t L v i b c m> 0 theo x

và b c n>0 theo t , n u trong l p các hƠm đ tr n v(x,t) ta có đánh giá

1.4 THI T L P M T BÀI TOÁN SAI PHÂN

thi t l p m t bài toán sai phân t ng ng v i m t bài toán v t lý ậ

toán, ch ng h n bƠi toán đ i v i môt ph ng trình vi phơn thì ngoƠi vi c x p x

ph ng trình vi phơn c n ph i vi t các d ki n c a bƠi toán d i d ng sai phân

T p h p các ph ng trình sai phơn đó (x p x ph ng trình vi phân xu t

phát và các d ki n) đ c g i là m t l c đ sai phân Các d ki n đơy lƠ đi u

ki n biên, đi u ki n ban đ u và v ph i ph ng trình

Ví d 1: BƠi toán Cauchy đ i v i các ph ng trình vi phơn thông th ng:

u  f x x  u  u (1.4.1) Chúng ta ch n m t l i sai phơn đ n gi n nh t

chéo (có th gi i đ c h này b ng ph ng pháp truy đu i)

Ví d 3: Bài toán biên th nh t đ i v i ph ng trình truy n nhi t

( , )

j

i i j

y  y x t

lƠ hƠm cho trên l i w h  w h  w

Xét tr ng h p khuôn l i 4 đi m đ n gi n nh t ta có bài toán sai phân

x đó đư x p x nghi m chính xác c a bài toán v i đ chính xác nh th nào Vì

v y c n xét v n đ h i t vƠ đ chính xác c a các l c đ sai phân

Gi s trong mi n G v i biên  c n tìm nghi m c a ph ng trình vi phơn

phân tuy n tính nƠo đó

Gi thi t r ng nghi m c a bài toán (1.5.1)-(1.5.2) t n t i và duy nh t Ph

mi n G   b ng l i w h Mi n bi n thiên c a đ i s liên t c x đ c thay b i

m t t p h p r i r c các đi m nút l i x i  w h  w h   h

B c l i h là m t tham s nƠo đó đ c tr ng cho s trù m t c a các nút l i

Ta đ t t ng ng bài toán vi phân (1.5.1)-(1.5.2) v i bài toán sai phân sau

18

M c đích c b n c a m i ph ng pháp g n đúng lƠ nh n đ c nghi m

c a bài toán xu t phát v i đ chính xác   0 cho tr c nƠo đó sau m t s h u

h n các phép tính th y rõ đ sai khác gi a nghi m chính xác u c a bài toán

(1.5.1)-(1.5.2) và nghi m x p x c a bài toán (1.5.3) v i đ chính xác   0 đư

cho trong quan h v i vi c b c l i h ( )  ta c n so sánh yh và uh Vi c so sánh

nƠy th ng đ c ti n hành trong không gian Hh c a các hƠm l i

Gi s uh là giá tr c a nghi m chính xác u(x) trên l i  h v i uh Hh Ta xét sai s c a l c đ sai phân (1.5.3)

h h h

z  y  u

có đi u ki n đ i v i zh ta thay zh  yh uh vƠo các đ ng th c (1.5.3) và

nh n đ c m t bƠi toán sai phơn đ i v i zh cùng d ng v i bài toán (1.5.3)

ph ng trình vƠ sai s x p x đi u ki n biên c a bƠi toán sai phơn đ i v i bài toán vi phơn t ng ng Ng i ta g i  h là sai s x p x đ i v i đi u ki n biên

h h h

l y  

đánh giá sai s c a l c đ zh và sai s x p x vƠ ng i ta đ a vƠo các

chu n t ng ng trên các hƠm l i: || || (1 ), || || (2 )

h h và || ||(3 )

h Chúng ta s nói r ng nghi m c a bài toán sai phân (1.5.3) h i t t i nghi m c a bài toán vi phân (1.5.1)-(1.5.2) (l c đ (1.5.3) h i t ) n u:

(1 ) (1 )

h h h

z  y  u  khi | | h  0hay

(1 )

|| || (| |)

h h

trong đó

(| |) 0

p h  khi | | h  0

Ta nói l c đ sai phân (1.5.3) h i t v i t c đ 0(| | ) n

h hay có đ chính

xác c p n (có đ chính xác 0(| | ) h n ) n u v i m i h đ bé | | h  h 0, ta có b t đ ng

th c sau

(1 ) (1 )

trong đó M là m t h ng s d ng không ph thu c vào h và n>0

Ta nói r ng l c đ sai phơn (1.5.3) có đ x p x b c n n u

c a đ x p x là v n đ đ c tr ng cho s ph thu c c a nghi m bài toán sai phân

vào v ph i N u zh ph thu c liên t c (vƠ h n n a đ u theo h) vào h và vh

(l c đ n đ nh), thì b c c a đ chính xác trùng v i b c c a đ x p x

1.6 PH NG PHỄP X P X CÁC I U KI N BIểN VÀ I U KI N

Trên đơy ta đư th y đ chính xác c a l c đ sai phân ph thu c vào b c

x p x đ i v i nghi m bài toán xu t phát, không ch vƠo ph ng trình mƠ còn

vào d ki n c a bƠi toán đư cho Xét các ví d sau

Ví d : Bài toán biên đ i v i ph ng trình truy n sóng

, 0 x

u x t





Rõ ràng khi tính g n đúng bƠi toán (1.6.1) ta đ c bi t chú ý t i cách vi t

d ng sai phơn đi u ki n ban đ u đ i v i đ o hàm u

d i d ng:

2 2

0 2

d u Lu

i u ki n u x t ,  u 0 x vƠ các đi u ki n biên trong tr ng h p nƠy đ c

x p x chính xác Ta có th l y m t trong các l c đ sai phơn đư xét trong m c

1.2 làm ví d v phép x p x sai phân c a ph ng trình vi phơn

1.7 CÁC VÍ D V L C SAI PHÂN N NH VÀ KHÔNG N NH

Vi c s d ng các l c đ sai phân cho phép ti n hành gi i các bài toán

đ i v i ph ng trình vi phơn b ng cách đ a v gi i h ph ng trình đ i s tuy n

tính Các v ph i c a ph ng trình, các đi u ki n biên vƠ đi u ki n ban đ u mà

sau này ta g i chung là d ki n vào ậ đ c cho v i sai s xác đ nh

Các l c đ mà trong quá trình tính toán lƠm t ng các sai s ban đ u có

tính không n đ nh và không th áp d ng vào th c t Tr c khi đ a ra khái

ni m v tính n đ nh c a l c đ sai phân theo d ki n vào chúng ta hãy xét

y  s y

Chúng ta xét đi m c đ nh x và ch n m t dưy các b c l i h sao cho x luôn

luôn lƠ đi m nút x  i h 0 Khi làm nh b c l i h  0, s i0 phù h p v i đi m x

chúng ta đư ch n, s t ng lên vô h n

Ta tính giá tr c a y t i đi m này

trong đó   1 là tham s b ng s Vì đơy lƠ l c đ ba đi m (ph ng trình sai

phân có hai b c), thì bên c nh y0 ta cho ti p y1 V i m i  l c đ (1.7.3) có

S thay đ i nh các d ki n ban đ u khi h  0d n đ n vi c t ng không b

ch n nghi m c a bài toán t i m t đi m x c đ nh b t k V y, l c đ (1.7.3)

không n đ nh Các thí d ch ng t r ng khái ni m n đ nh c a bài toán sai phân

theo d ki n đư cho trùng v i khái ni m ph thu c liên t c c a nghi m bài toán

sai phân vào các d ki n đư cho khi b c l i h  0 Trong m c ti p theo, đi u nƠy đ c trình bày chi ti t h n

1.8 V KHÁI NI M TệNH ÚNG N C A BÀI TOÁN SAI PHÂN

Gi s yh là nghi m c a bài toán sai phân, h lƠ d ki n cùa bƠi toán nƠy Chúng đ u ph thu c vƠo tham s h (đ dƠi b c l i) Thay đ i h chúng ta có

m t dưy nghi m { } yh vƠ các d ki n { h} V y, ta có m t h bƠi toán sai phơn

ph thu c h Khái ni m s đúng đ n c a m t bƠi toán sai phơn đ c xác đ nh

t ng ng nh các bƠi toán c a v t lỦ-toán

Ta nói r ng, bƠi toán sai phơn lƠ đ c ch nh, n u v i m i h đ bé, h  h0thì:

Nghi m y h c a bƠi toán sai phơn t n t i vƠ duy nh t v i m i d ki n  h thu c

m t t p h p xác đ nh đang xét

Nghi m y h ph thu c liên t c vƠo  h vƠ s ph thu c nƠy lƠ đ u đ i v i h C

th đi u ki n th hai bi u th r ng t n t i m t h ng s M > 0 không ph thu c h sao cho v i h đ bé | h |< h0, ta có b t đ ng th c sau:

24

h h h h h h

y  y      (1.8.1)

trong đó, hlƠ nghi m c a bƠi toán t ng ng v i d ki n  h còn ||.||(1h) và

||.||(2h)lƠ các chu n trong t p các hƠm l i xác đ nh trên l i  h

Tính ch t ph thu c liên t c c a nghi m bƠi toán sai phơn vƠo các d ki n bi u

th b i b t đ ng th c (1.8.1) đ c g i lƠ s n đ nh c a l c đ sai phơn theo các d ki n đư cho hay nói đ n gi n h n lƠ s n đ nh

Gi s cho bƠi toán liên t c

Trong đó, uhlƠ giá tr c a nghi m u c a bƠi toán (1.8.2) trên l i  h i v i sai s

c a l c đ zh = yh - uh ta có bài toán sau:

CH NG 2

GI I BÀI TOỄN Ô NHI M KHệ QUY N

2.1 MÔ HÌNH TOÁN H C C A QUÁ TRÌNH LAN TRUY N KHÍ TH I (V T CH T) TRONG MỌI TR NG KHệ (N C)

Quá trình lan truy n v t ch t trong môi tr ng khí (ho c n c) đ c

mô tà b i ph ng trình khu ch tán-t i [4 - 5]:

2 2 g

ph ng th ng đ ng,  g - v n t c r i, - hê s bi n đ i ch t và f - công

su t ngu n

2.2 GI I THI U BÀI TOÁN

Chúng ta s xem xét bài toán ô nhi m khí quy n phát sinh t các

ng khói c a nhà máy Gi s r ng:

i) Ngu n phát khói lƠ không thay đ i v i công su t không đ i Q và

t p trung t i đi m (0,0, H), v i H lƠ đ cao cùa ng khói

ii) Quá trình phân tán ch t gây ô nhi m là quá trình d ng, h ng

gió trùng v i chi u d ng c a tr c ox và v n t c gió V u , 0, 0

v i u  u z  u0  0, u0= const iii) H s khu ch tán theo ph ng ngang có d ng   K u 0 v i

0 = >0

L u Ủ r ng đi u ki n (iii) đ c đ a ra b i các nhà v t lý(xem

[2], [6]) Dùng  đ bi u di n s t p trung c a ch t gây ô nhi m

V i vi c th a nh n các gi thi t trên, chúng ta có bài toán sau:

26

2 2 g

   lƠ h s bi n đ i ch t c a ch t gơy nhi m,  x là hàm delta Dirac

và   const  0 lƠ h s ph n x vƠ h p th c a b m t

Trong m t s tr ng h p (ví d nh u  const trong [1],   0 trong [2])

chúng ta có th tìm đ c nghi m gi i tích c a bài toán (2.2.5)-(2.2.8)

Trong lu n v n này, chúng tôi đ xu t ph ng pháp sai phơn gi i bƠi toán nƠy Chúng ta s xét trong n a không gian z  0 V i s tr giúp c a

lỦ thuy t h vô h n các ph ng trình đ i s tuy n tính chúng ta có th

ch ng minh đ c tính n đ nh vƠ tính gi i đ c c a l c đ sai phơn x p

x bƠi toán trên vƠ xơy d ng m t thu t toán gi i h ph ng trình sai phân

vô đ nh

2.3 GI I THI U HÀM DELTA DIRACT

Hàm delta bi u di n m t khái ni m đư đ c lỦ t ng hoá ó lƠ s

t p trung v t ch t t i 1 đi m (không có kich th c) Trong các sách c

h c và v t lý, ch ng h n [2] ng i ta hi u nôm na hàm delta nh sau:

x x

Cách hi u nôm na này có th giúp ta x lý gi i thích m t cách hình

th c m t s bài toán có ch a hàm delta Nh ng v i cách hi u này ta

không th đi xa h n đ c trong các v n đ toán h c c a bƠi toán nh t n

t i duy nh t nghiêm, đ tr n c a nghi m, sai s c a nghi m g n đúng,

gi i quy t v n đ trên ng i ta bu c ph i m r ng khái ni m hƠm vƠ

đ a vƠo nghiên c u hƠm suy r ng Trong lỦ thuy t hƠm suy r ng, hƠm

delta lƠ m t phi m hƠm tuy n tính liên t c trên không gian các hƠm c

2.4 PH NG PHỄP SAI PHỂN GI I BÀI TOÁN Ô NHI M KHÍ QUY N

Do bài toán ô nhi m khí quy n d ng khá ph c t p,không có nghi m

gi i tích,nên đ gi i bài toán này chúng ta s d ng ph ng pháp s đ tìm

nghi m g n đúng, c th chúng ta s s d ng ph ng pháp sai phơn

có th xem xét bài toán m t cách tri t đ , m t l c đ sai phân

n đư đ c xây d ng và ch ng minh trên quan đi m c a h vô h n các

ph ng trình sai phơn tìm đ c nghi m c a h vô h n này chúng ta s

s d ng ắph ng pháp c t c t”- ph ng pháp cho phép quy t đ nh đ

chính xác c a nghi m x p x Hi u qu c a ph ng pháp đư đ c minh

ho trên m t s ví d

  , t c lƠ đi m xu t phát đ t t i đi m l i (0, z )k xây d ng l c

đ sai phân cho bài toán (2.2.5) - (2.2.8) chúng ta s s d ng k thu t Samarski

và các ký hi u trong [8] Vì m c đích nƠy chúng ta vi t l iph ng trình (2.2.5)

Nh chúng ta đư th y trong [8], sai x x p x (1.3.5) b ng (3.2.2) là  2 

Q u h i k y

30

V i

0 0 1

i u ki n (3.2.9) đ c xem nh lƠ đi u ki n biên, k t h p v i (3.2.7)

T bài toán (2.2.5)-(2.2.8) chúng ta đư xơy d ng đ c l c đ sai phân sau

thuy t c a l c đ sai phơn đ u c a bài toán h u h n nghiên c u bài toán

này, chúng ta c n m t vài k t qu c a h vô h n ph ng trình đ i s

Thì h (3.3.1) có nghi m không âm và b ch n:

Nghi m này có th tìm đ c b ng ph ng pháp x p x liên ti p v i x p x

đ u tiên   0

zi  0, (i  0,1, ), nghi m nƠy đ c g i là nghi m chính c a h (3.3.1)

Bây gi chúng ta s ch ng minh các k t qu sau

B đ 2.3.2:

Gi s các đi u ki n (3.3.2), (3.3.3) đ c th a mãn N u i  0 và 0

u tiên chúng ta ch ng minh dãy  zi không t ng Gi s ng c l i, z i

h i t v m t giá tr gi i h n M  0 Vì i  0 khi i  nên t n t i m t s C  0

i i

x y ra tr ng h p còn l i  zi không t ng c ng không gi m, t c lƠ nó dao đ ng trong tr ng h p này chúng ta có th ch n n  N sao cho:

i i i

V i các gi thi t c a b đ (2.3.2) h (3.3.1) có m t nghi m d ng duy

nh t h i t v không và nghi m này là nghi m chính c a h (3.3.1)

K t qu này là h qu tr c ti p c a b đ (2.3.1),(2.3.2) và tính duy nh t

c a nghi m h i t t i không c a h vô h n đ u (xem[3])

Bây gi chúng ta s nghiên c u tính gi i đ c và s n đ nh c a l c đ sai

phân (3.2.12)-(3.2.13)

A p C

i i

B q C

i i i i i i x

u y r

2.4.6 PH NG PHỄP GI I CHO H (3.2.12)-(3.2.15)

Nh đư đ c p đ n tr c đơy, h (3.3.7), (3.3.8) chính là quy ( i  0) và

th a mưn đi u ki n r i    i, nghi m c a nó có th đ c tìm b ng ph ng pháp

c t c t (xem [3])

Trong ph n này chúng tôi s đ a ra bi u di n nghi m c a h (3.3.7), (3.3.8)

D i d ng công th c truy đu i:

i i

q p

i i

r p p

i i

r p p

1 1

1 1 1

0, 1

K t qu nh n đ c t đ nh lý trên cung c p cho chúng ta m t tiêu chu n

cho vi c ch n s nhi u c a h c t c t trong ph ng pháp c t c t

Nh n xét 2.3.4.3:

N u m t trong các đi u ki n (3.3.10), (3.3.11) là th a mãn thì s t n t i

m t s Nvà 0    1 xu t hi n trong đ nh lý (2.3.4)