Phương pháp sai phân và ứng dụng nó vào giải quyết bài toán ô nhiễm khí quyển do nhà máy thải ra

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ....................3 1.1 LƯỚI VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI: ............................................................................3 1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN ............................ 6 1.4 THIẾT LẬP MỘT BÀI TOÁN SAI PHÂN ....................................................... 14 1.5 VỀ SỰ HỘI TỤ VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN........17 1.6. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU ........................................................................................................................... 19 1.7 CÁC VÍ DỤ VỀ LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH ........21 1.8 VỀ KHÁI NIỆM TÍNH ĐÚNG ĐẮN CỦA BÀI TOÁN SAI PHÂN ................23 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN ......................................................................................................................... 25 2.1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN KHÍ THẢI (VẬT CHẤT) TRONG MÔI TRƯỜNG KHÍ (NƯỚC)....................................................... 25 2.2 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN ....................................................................................25 2.3 GIỚI THIỆU HÀM DELTA DIRACT ................................................................ 27 2.4 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN ...........27 2.4.1 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ....................................................... 28 2.4.2 NGHIÊN CỨU LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN (3.2.12)(3.2.15) ............................ 30 2.4.3 MỘT VÀI KẾT QUẢ BỔ TRỢ ....................................................................30 2.4.4 TÍNH GIẢI ĐƯỢC ........................................................................................ 33 2.4.5 TÍNH ỔN ĐỊNH ............................................................................................ 34 2.4.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỆ (3.2.12)(3.2.15) ......................................34 CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN THỬ NGHIỆM ..............................................37 KẾT LUẬN ...................................................................................................................41 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 42 PHỤ LỤC ...................................................................................................................... 43

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN 3

1.1 LƯỚI VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI: 3

1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN 6

1.4 THIẾT LẬP MỘT BÀI TOÁN SAI PHÂN 14

1.5 VỀ SỰ HỘI TỤ VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN 17

1.6 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU 19

1.7 CÁC VÍ DỤ VỀ LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH 21

1.8 VỀ KHÁI NIỆM TÍNH ĐÚNG ĐẮN CỦA BÀI TOÁN SAI PHÂN 23

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN 25

2.1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN KHÍ THẢI (VẬT CHẤT) TRONG MÔI TRƯỜNG KHÍ (NƯỚC) 25

2.2 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 25

2.3 GIỚI THIỆU HÀM DELTA DIRACT 27

2.4 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN 27

2.4.1 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN 28

2.4.2 NGHIÊN CỨU LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN (3.2.12)-(3.2.15) 30

2.4.3 MỘT VÀI KẾT QUẢ BỔ TRỢ 30

2.4.4 TÍNH GIẢI ĐƯỢC 33

2.4.5 TÍNH ỔN ĐỊNH 34

2.4.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỆ (3.2.12)-(3.2.15) 34

CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN THỬ NGHIỆM 37

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

PHỤ LỤC 43

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan : Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Công

Điều Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Học viên

Lưu Xuân Trường

Thang Long University Libraty

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1: Form chính của chương trình .38

Hình 2: Form dữ liệu của chương trình .38

Hình 3: Form nghiệm của chương trình .39

Hình 4: Form vẽ đồ thị của hàm mật độ theo trục x .39

Hình 5: Form vẽ đồ thị của hàm mật độ theo trục z .40

MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán thực tiễn dẫn đến việc nghiên cứu những bài toán biên của phương trình vật lý toán, giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn

Trong một số ít trường hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm được nhờ vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc nếu có nhưng rất phức tạp Trong những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp gần đúng

Thế giới đang phải đối mặt với việc môi trường đang bị ô nhiễm ngày càng nghiêm trọng Trên thế giới đã xảy ra rất nhiều trận mưa axit, khí hậu nóng lên làm cho băng tan dẫn đến mực nước biển dâng lên đe dọa các vùng đồng bằng ven biển, hiện tượng nước mặn xâm nhập sâu vào đất liền…

Với việc công nghiệp hóa và hiện đại hóa với tốc độ ngày càng nhanh, các nhà máy mọc lên không chỉ là ở những khu công nghiệp xa dân cư mà còn được xây dựng ở những vùng đông dân Khói độc từ các nhà máy thải ra gây hại cho người dân sống xung quanh

Luận văn này tập trung vào giải quyết bài hoán ô nhiễm khí quyển do nhà máy thải ra bằng “phương pháp sai phân” nhằm mục đích có thể dự đoán trước được ảnh hưởng và mật độ của các chất gây ô nhiễm để hạn chế tác hại của nó

Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương, sau cùng là tài liệu dẫn và phần phụ lục Chương một trình bày các kiến thức cơ bản của lược đồ sai phân nhằm phục vụ cho chương hai Chương hai là phần chính của khóa luận, trong

đó trình bày bài toán ô nhiễm khí quyển do các nhà máy thải ra từ ống khói và xây dựng thuật toán để giải nó Chương ba đưa ra kết quả tính toán thử nghiệm của một bài toán thực tiễn nhằm minh họa cho thuật toán đã xây dựng ở chương hai Phần phụ lục là toàn văn chương trình được lập trình trên ngôn ngữ C++

1

Thang Long University Libraty

Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Công Điều – Viện Công nghệThông tin đã tận tình hướng dẫn em trong thời gian em làm khóa luận, đồng thời

em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và các bạn cùng lớp đã nhiệttình giúp đỡ em làm khóa luận này

Do thời gian và kiến thức của bản thân em còn hạn chế nên chắc chắnluận văn còn những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô

và các bạn

2

CHƯƠNG 1CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

Trong chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trongchương hai để nghiên cứu lược đồ sai phân ẩn của bài toán ô nhiễm khí quyển

1.1 LƯỚI VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI:

Để viết được lược đồ sai phân tìm nghiệm số xấp xỉ cho một bài toán vật lýcủa một phương trình vi phân đã cho cần thực hiện hai bước:

Thay miền biến thiên liên tục của biến số bởi miền biến thiên rời rạc của nó,toán tử vi phân bởi một toán tử sai phân nào đó, xác định các biểu thức sai phânđối với điều kiện biên và điều kiện ban đầu

Sau đó sẽ nhận được một hệ các phương trình đại số dẫn đến việc xácđịnh nghiệm của bài toán đối với một phương trình vi phân đã cho được đưa vềtìm nghiệm của một hệ phương trình đại số nhận được Khi giải một số bài toánnào đó, ta không thể xác lập lại các giá trị của nghiệm sai phân khi biến số biếnđổi liên tục trong một miền nào đó của không gian Euclid Vì vậy ta cần chọntrong miền này một tập hợp hữu hạn các điểm nào đó và chỉ tìm nghiệm tại cácđiểm này Tập hợp những điểm này gọi là lưới Hàm được xác định tại các nútlưới được gọi là hàm lưới

Như vậy miền biến thiên liên tục của đối số được thay bởi lưới, tức làmiền biến thiên rời rạc của đối số Và như vậy, chúng ta xấp xỉ không giannghiệm của các phương trình vi phân bởi không gian các hàm lưới

Các tính chất của nghiệm sai phân và đặc biệt là xấp xỉ của nó đối vớinghiệm chính xác phụ thuộc vào việc chọn lưới

Ta xét một vài ví dụ về lưới

3

Thang Long University Libraty

Ví dụ 1: Lưới đều trên một đoạn thẳng.

Chia đoạn đơn vị

Ví dụ 2: Lưới đều trên mặt phẳng Xét tập các hàm hai biến u(x,t) Để đơngiản xét miền xác định là hình chữ nhật:



Chia các đoạn [0,1] và [0,T] lần lượt thành N1,N2 phần bằng nhau Giả sử

h 11 ,

Ví dụ 3: Lưới trong miền hai chiều

Giả sử trên mặt phẳng x = (x1,x2), cho miền G dạng tùy ý với biên  G

 i 1 h 1 , i 2 h 2  , i 1 , i 2  0, 1,  2,

gần nhất nhỏ hơn h hay h2 Như vậy, lưới trên mặt phẳng đều theo các hướng x 1 , x 1

nhưng lưới h h  h đối với miền G không đều ở lân cận biên

Như vậy miền G của biến x được thay bởi lưới h , tức là một tập hữu hạn các

điểm x i  ( x i 1 , x 1 i 2 ) G  2 Thay cho hàm u(x) của biến liên tục x  G ta sẽ xét hàm

lưới y ( x i ) , nghĩa là hàm của các nút lưới x i  Hàm lưới y ( x i ) có thể viết dưới

dạng vecto Nếu đánh số lại nút theo một thứ tự nào đó: x 1 , x 2 , , x N thì giá trị của

hàm lưới tại các nút này có thể xem như các thành phần của một vecto cột:

y T  ( y 1 , y 2 , , y N )

Nếu miền G hữu hạn, thì chiều N của vecto y cũng hữu hạn Nếu G vô hạn, thì

lưới có vô số nút lưới, và số chiều của vecto y cũng vô hạn

Người ta thường xét tập hợp các lưới h phụ thuộc vào bước lưới h như một

tham số Vì vậy, các hàm lưới y h ( x) cũng phụ thuộc vào tham số h (hoặc vào số

nút lưới đều )

Nếu lưới h không đều thì phải xem h như một vecto h (h  1 , h 2 , , h N ) với các

phần tử h 1 , h 2 , , h N Cũng tương tự như vậy, với trường hợp miền G nhiều chiều:

x = (x,,x2, ,xp), khi đó h (h  1 , h 2 , , h p ) , nếu lưới h đều theo mỗi hướng

x i (i 1, , p) 

Hàm u(x) của biến số liên tục x G  là các phần tử của một không gianhàm H 0 nào đó Tập các hàm lưới yh(x) lập thành một không gian H h Như vậy,

khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, người ta đã thay không gian H 0 bởi

không gian H h của các hàm lưới yh(x)

5

Thang Long University Libraty

Khi xét tập hợp các lưới h  ta có tập hợp H h của các không gian cáchàm lưới phụ thuộc vào tham số h Trong không gian tuyến tính H h đưa vào

chuẩn ||.|| là tương tự lưới của || || 0 chuẩn trong không gian xuất phát H 0

Giả sử u(x) là nghiệm của bài toán liên tục đang xét u  H 0 , y h là nghiệm

của bài toán sai phân ( xấp xỉ ), y h  H h

Điều chính yếu trong giải gần đúng là đánh giá độ xấp xỉ của y h so với u

Giả sử || || 0 là chuẩn trong H 0 , đương nhiên đòi hỏi || || h xấp xỉ || || theo nghĩa0

sau:

lim || u h || h  || u || 0

h 0 

Với mọi vecto u trong H 0

1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN

Giả sử cho một toán tử vi phân L tác động lên một hàm v=v(x) Khi

nghiên cứu sự xấp xỉ sai phân một toán tử L thường người ta chỉ xét một cách

địa phương tức là tại một lân cận nào đó của điểm X cố định bất kỳ của không

gian và nếu v(x) liên tục thì xem vh (x) = v(x) Tổng quát:

v h  P h v H , v H   0 , P h : H 0  H h

Sau đó cần chọn khuôn lưới, tức là chỉ rõ tập các nút lân cận với các nút x

mà tại đó các giá trị của hàm lưới v(x) và các hệ số khác của toán tử L có thể

được dùng để xấp xỉ toán tử L

Thay các đạo hàm của v và các đại lượng khác của toán tử bởi các biểu

thức sai phân L h v h , thay cho toán tử Lv Đó là một tổ hợp tuyến tính các giá trị

của hàm lưới v k trên khuôn lưới:

Trong đó A h ( x, ) là hệ số, h là bước lưới, U h ( x) là khuôn lưới tại nút x Việcthay gần đùng toán tử vi phân Lv bởi biểu thức sai phân Lh v h như vậy đượcgọi là sự xấp xỉ toán tử vi phân bởi toán tử sai phân.

Ta xét vài ví dụ xấp xỉ sai phân của một vài toán tử sai phân đơn giản

h 2

v( x h) v( x) hv '( x)    v "( x)  0(h 3 ) 2!

(1.2.3)

(1.2.4)

L  h v v ( x h) v ( x ) v 

x h

L  h v được gọi là hàm sai phân phải và L  h v được gọi là hàm sai phân trái, hay

còn gọi là đạo hàm sai phân tiến và lùi tương ứng

Các biểu thức sai phân L  h v và L  h v được xác định tại các ô nút hai điểm( x,x+h ) và ( x,x-h) Ngoài ra việc tính xấp xỉ sai phân của đạo hàm

lấy tổ hợp tuyến tính của các biểu thức ( 1.2.3 ) và ( 1.2.4 ) như sau:

Khi   0,5 ta có đạo hàm sai phân trung tâm.

v 0 x  1v ( x h) v ( x h) (v x  v x )  22h

(1.2.5)Như vậy có thể xấp xỉ vô số các biểu thức sai phân xấp xỉ toán tử Lv=v Khi

thay toán tử vi phân Lv bởi toán tử sai phân L h v ta đã phạm một sai số nào đó

Đại lượng ( x) L  h v( x)  Lv( x) được gọi là sai số xấp xỉ toán tử Lv tại điểm x.Theo công thức khải triển Taylor ta có thể viết:

v x 

v x 

v ( x h) v ( x )h  

v '( x) v "( x) 0(h    2 ) h2

v ( x ) v ( x h)h  

v '( x) v "( x) 0(h    2 ) h2

v 0 

x

v ( x h) v ( x h)   

v '( x) 0(h   2 ) 2h

Để miêu tả xấp xỉ sai phân đạo hàm bậc hai ta cũng xét một điểm nút x cố

định bất kỳ của lưới và lấy thêm hai điểm lân cận x-h và x+h Ta xuất phát từ

định nghĩa, đạo hàm bậc hai là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất rồi dùng các biểu

thức gần đúng của đạo hàm bậc nhất ở trên, ta có:

d 2 v d dv

Lv  2  ( ) L  h v (v  x ) x dxdx dx

h 2 h 3 h 4 (4) h 5 (5)

v( x h) v( x) hv '( x) v "( x) v '''( x) v ( x) v ( x) 0(h         6 ) 2!3!4!5!

1 2 h 4 (4) h 2 (4)6 v xx  2 [h v "( x) v ( x) 0(h )] v "( x) v ( x) 0(h      4 ) h1212

Trước tiên ta xét xấp xỉ đơn giản nhất trên khuôn 4 điểm:

Ký hiệu:

L (0) v v  t  v xxh

Trong cấu trúc của L (0) v chúng ta đã lấy v xx ở thời điểm t lớp dưới Tương tự, tah

có thể lấy v xx ở thời điểm t+ , tức lớp sau như sau:

9

Thang Long University Libraty

v( x, t )   2 v( x, t ) v( x, t ) 

v t  0(2 )  0() t2 t   2  t

Mà:

x  2  x 2 2 x  2  t  3 v ( x, t )

H '(t )  Vậy suy ra:

 x 2  t  2 v( x, t  / 2)  3 v( x, t  / 2)

v( x, t  )  2 v( x, t  )

ˆL v v  t  v xx  0(h 2  ) Lv( x, t  )  0(h 2  )

t x   2

(1) h

ˆVới   0,5 ta có L (0,5) v v  t  (0,5v xx

 0,5v xx ) h

v( x, t  / 2)  2 v( x, t  / 2) 0(h

Trong khuôn lưới 9 điểm có thể viết họ 2 tham số của các toán tử sai phân như

Do đó, toán tử sai phân (1.2.7) có sai số xấp xỉ là 0(h 2  2 ) Toán tử sai phân

(1.2.9) cũng có sai số xấp xỉ bậc này khi 1 2 ( là một số bất kỳ)

1.3 SAI SỐ XẤP XỈ TRÊN LƯỚI

Chúng ta đã xem xét cách tính xấp xỉ sai phân tại một điểm và nói về bậccủa phép tính xấp xỉ sai phân đó Việc đánh giá bậc xấp xỉ này thường đòi hỏi ở

trên toàn lưới h

Giả sử h là lưới trong miền G thuộc không gian Euclid p chiều:

G R  p , x ( x  1 , x 2 , , x p )

Gọi H0 là không gian các hàm trơn u(x), Hh là không gian tuyến tính các hàm

lưới, ||.||0 là chuẩn trong H0, ||.||h là chuẩn trong Hh

Ví dụ, nếu p=1 và Hh=L2 thì chuẩn là

|| u || h  ( u h) ;

j 1 

2 j

1/2

h (h  1 , h 2 , , h p )

trong đó,  được lấy theo mọi nút x của lưới h Giả thiết rằng:

P h : H 0  H h

a, Tồn tại một toán tử tuyến tính

sao cho mỗi hàm u( x) H  h tương ứng với một hàm lưới u h ( x), x h , tức là

u h  P h u H  h

b, Các chuẩn ||.||h và ||.||0 tương thích, tức là:

12

|h| 0 lim || P  h u || h  || h || 0

trong đó |h| là chuẩn của vector h

Xét một toán tử L nào đó trong H0 và toán tử Lh chuyển hàm lưới v h  H h

thành hàm lưới L h v h  H h được cho trên h (tức là Lh tác động từ H h  H h )

Người ta gọi hàm lưới h sau đây là sai số của phép xấp xỉ toán tử L bởi toán tử

Chú ý rằng việc chọn chuẩn thích hợp để đánh giá sai số xấp xỉ liên quanđến cấu trúc của toán tử sai phân

Trong trường hợp hai biến, chẳng hạn u(x,t) là nghiệm của phương trìnhkhông dừng (truyền nhiệt, truyền sóng v.v…), thì toán tử sai phân L h xấp xỉ

toán tử vi phân L được xác định trên các hàm lưới vh(x,t) cho trên lưới:

w h   w h  w  ( x, t ) : x w  h , t 

trong đó h là hàm lưới trong miền G R  p , w là lưới trên đoạn [0,t0] Giả sử

v(x,t) được xem như là một hàm của đối số x H  0 Khi đó:

h  ( x, t ) L  h  v h   ( Lv) h  ( x, t ),( x, t ) 

Theo định nghĩa, toán tử sai phân L h xấp xỉ toán tử L với bậc m>0 theo x

và bậc n>0 theo t , nếu trong lớp các hàm đủ trơn v(x,t) ta có đánh giá

Toán tử L h  v được viết ở tất cả các nút bên trong của lưới

1.4 THIẾT LẬP MỘT BÀI TOÁN SAI PHÂN

Để thiết lập một bài toán sai phân tương ứng với một bài toán vật lý –toán, chẳng hạn bài toán đối với môt phương trình vi phân thì ngoài việc xấp xỉphương trình vi phân cần phải viết các dữ kiện của bài toán dưới dạng sai phân

Tập hợp các phương trình sai phân đó (xấp xỉ phương trình vi phân xuấtphát và các dữ kiện) được gọi là một lược đồ sai phân Các dữ kiện ở đây là điềukiện biên, điều kiện ban đầu và vế phải phương trình

Ví dụ 1: Bài toán Cauchy đối với các phương trình vi phân thông thường:

14

u ' f ( x), x 0, u (0) u    0 (1.4.1)Chúng ta chọn một lưới sai phân đơn giản nhất

Trong công thức này có thể cho vế phải i bằng các phương pháp khác nhau

Kết quả chúng ta thu được một hệ các phương trình đại số với ma trận ba đường

chéo (có thể giải được hệ này bằng phương pháp truy đuổi)

Bài toán biên thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt

15

Ví dụ 3:

Thang Long University Libraty

u   2 u

Lu  2  f ( x, t ), 0 x 1, 0 t t     0   t x

là hàm cho trên lưới w h   w h  w 

Xét trường hợp khuôn lưới 4 điểm đơn giản nhất ta có bài toán sai phân

y t  y xx  hoặc ở dạng chỉ số của các hàm lưới

Bài toán sai phân trên là điển hình của lược đồ tường minh Lời giải ở lớp thời

gian trên y ij 1 được xác định thông qua lời giải của lớp thời gian trước đó theo

công thức tường minh:

đại số:

16

y j 1  y j 1xx  F j , F j  y j  j

Với ma trận ba đường chéo, ta có thể giải hệ này bằng phương pháp truy đuổi

1.5 VỀ SỰ HỘI TỤ VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

Khi giải một bài toán vật lý nào đó bằng phương pháp gần đúng (xấp xỉ),thì mục đích cuối cùng là cần xem nghiệm được xác định bởi phương pháp xấp

xỉ đó đã xấp xỉ nghiệm chính xác của bài toán với độ chính xác như thế nào Vì

vậy cần xét vấn đề hội tụ và độ chính xác của các lược đồ sai phân

Giả sử trong miền G với biên cần tìm nghiệm của phương trình vi phântuyến tính

thỏa mãn các điều kiện phụ (điều kiện biên, điều kiện ban đầu)

lu   ( x), x   (1.5.2)trong đó, f ( x),  ( x) là những hàm cho trước (dữ kiện của bài toán), l là toán tử viphân tuyến tính nào đó

Giả thiết rằng nghiệm của bài toán (1.5.1)-(1.5.2) tồn tại và duy nhất Phủmiền G  bằng lưới w h Miền biến thiên của đối số liên tục x được thay bởi

một tập hợp rời rạc các điểm nút lưới x i  w h  w h  h

Bước lưới h là một tham số nào đó đặc trưng cho sự trù mật của các nút lưới

Ta đặt tương ứng bài toán vi phân (1.5.1)-(1.5.2) với bài toán sai phân sau

L h y h h , x w  h

trong đó h và h là những hàm lưới đã biết Các toán tử Lh và lh tác động lên

các hàm lưới cho tại các nút lưới x w  h Khi thay đổi h có nghĩa là ta chọn một

lưới w h khác, dẫn đến nhận một tập nghiệm  y h  phụ thuộc vào tham số h Nhưvậy, cần xét một họ các lược đồ dạng (1.5.3) tương ứng với các giá trị khác nhau

của tham số h

17

Thang Long University Libraty

Mục đích cơ bản của mọi phương pháp gần đúng là nhận được nghiệmcủa bài toán xuất phát với độ chính xác  0 cho trước nào đó sau một số hữu

hạn các phép tính Để thấy rõ độ sai khác giữa nghiệm chính xác u của bài toán

(1.5.1)-(1.5.2) và nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.5.3) với độ chính xác  0 đã

cho trong quan hệ với việc bước lưới h(  ) ta cần so sánh yh và uh Việc so sánh

này thường được tiến hành trong không gian Hh của các hàm lưới

Giả sử uh là giá trị của nghiệm chính xác u(x) trên lưới h với u h  H h Taxét sai số của lược đồ sai phân (1.5.3)

Các vế phải h và vh của bài toán (1.5.4) được gọi lần lượt là sai số xấp xỉ

phương trình và sai số xấp xỉ điều kiện biên của bài toán sai phân đối với bài

toán vi phân tương ứng Người ta gọi h là sai số xấp xỉ đối với điều kiện biên

trong đó M là một hằng số dương không phụ thuộc vào h và n>0

Ta nói rằng lược đồ sai phân (1.5.3) có độ xấp xỉ bậc n nếu

Vậy cấp của độ chính xác của lược đồ phụ thuộc vào cấp của độ xấp xỉ đối với

nghiệm như thế nào?

Độ chính sác z h  y h  u h là nghiệm của bài toán (1.5.4) với vế phải

h h  L h u h Vì vậy, vấn đề về mối liên hệ giữa cấp của độ chính xác với cấp

của độ xấp xỉ là vấn đề đặc trưng cho sự phụ thuộc của nghiệm bài toán sai phân

vào vế phải Nếu z h phụ thuộc liên tục (và hơn nữa đều theo h ) vào h và v h

(lược đồ ổn định), thì bậc của độ chính xác trùng với bậc của độ xấp xỉ

1.6 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN

BAN ĐẦU

Trên đây ta đã thấy độ chính xác của lược đồ sai phân phụ thuộc vào bậcxấp xỉ đối với nghiệm bài toán xuất phát, không chỉ vào phương trình mà còn

vào dữ kiện của bài toán đã cho Xét các ví dụ sau

Ví dụ: Bài toán biên đối với phương trình truyền sóng

19

Thang Long University Libraty

 2 u  2 u  f  x, t  ,



Rõ ràng khi tính gần đúng bài toán (1.6.1) ta đặc biệt chú ý tới cách viết ở

dạng sai phân điều kiện ban đầu đối với đạo hàm  Giả sử cho một lưới đềuu

t



h theo x và y với bước lưới h và (xem ở phần 1) Nếu chúng ta sử dụng cách

tính xấp xỉ đơn giản nhất u t  x,0  u 0  x  , thì sai số sẽ là bậc O  Ta đặt u t  x,0dưới dạng:

Bởi vậy, điều kiện ban đầu viết dưới dạng sai phân

Với bậc 2 theo 

20

Điều kiện u  x, t   u 0  x  và các điều kiện biên trong trường hợp này đượcxấp xỉ chính xác Ta có thể lấy một trong các lược đồ sai phân đã xét trong mục

1.2 làm ví dụ về phép xấp xỉ sai phân của phương trình vi phân

1.7 CÁC VÍ DỤ VỀ LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH

Việc sử dụng các lược đồ sai phân cho phép tiến hành giải các bài toánđối với phương trình vi phân bằng cách đưa về giải hệ phương trình đại số tuyến

tính Các vế phải của phương trình, các điều kiện biên và điều kiện ban đầu mà

sau này ta gọi chung là dữ kiện vào – được cho với sai số xác định

Các lược đồ mà trong quá trình tính toán làm tăng các sai số ban đầu cótính không ổn định và không thể áp dụng vào thực tế Trước khi đưa ra khái

niệm về tính ổn định của lược đồ sai phân theo dữ kiện vào chúng ta hãy xét

khái niệm của nó bằng trực giác, ta chỉ ra một ví dụ

Chúng ta xét điểm cố định x và chọn một dãy các bước lưới h sao cho x luôn

luôn là điểm nút x i  0 h Khi làm nhở bước lưới h 0  , số i 0 phù hợp với điểm x

chúng ta đã chọn, sẽ tăng lên vô hạn

Ta tính giá trị của y tại điểm này

y i 0  s i 0 y 0  e i 0 lns y 0

21

Thang Long University Libraty

Và theo khai triển:

Đẳng thức cuối biểu thị nghiệm của bài toán sai phân (1.7.2) liên tục phụ thuộc

vào các dữ kiện ban đầu Trong các trường hợp như vậy ta sẽ nói rằng lược đồ

sai phân ổn định theo các dữ kiện ban đầu

Ví đụ 2 Lược đồ không ổn định

Đối với bài toán (1.7.1) ta đã khảo sát lược đồ

yi  yi 1y y

 1   i 1 i   y i  0, y 0  u 0 , y 1  u 0 , i 1, 2,  hh

(1.7.3)trong đó  1 là tham số bằng số Vì đây là lược đồ ba điểm (phương trình sai

phân có hai bậc), thì bên cạnh y 0 ta cho tiếp y 1 Với mọi lược đồ (1.7.3) có

bậc xấp xỉ thấp nhất là một Nếu đặt u 0 1  h  u 0 thì u 0  u 0 (h) O   h 2  vì

'

u 0  u 0 (h) 1   h  u 0  u 0 (h)  u 0  hu 0   u (h) 

O  h 2 

Ta sẽ tìm các nghiệm riêng của phương trình sai phân (1.7.3) ở dạng y i  s i

Khi thay y i  s i vào (1.7.3) ta được phương trình bậc hai đối với s

1.8 VỀ KHÁI NIỆM TÍNH ĐÚNG ĐẮN CỦA BÀI TOÁN SAI PHÂN

Giả sử y h là nghiệm của bài toán sai phân, h là dữ kiện cùa bài toán này.Chúng đều phụ thuộc vào tham số h (độ dài bước lưới) Thay đổi h chúng ta cómột dãy nghiệm {y h } và các dữ kiện {h } Vậy, ta có một họ bài toán sai phânphụ thuộc h Khái niệm sự đúng đắn của một bài toán sai phân được xác định

tương ứng như các bài toán của vật lý-toán

Ta nói rằng, bài toán sai phân là đặc chỉnh, nếu với mọi h đủ bé, h h  0 thì:

Nghiệm y h của bài toán sai phân tồn tại và duy nhất với mọi dữ kiện h thuộc

một tập hợp xác định đang xét

Nghiệm y h phụ thuộc liên tục vào h và sự phụ thuộc này là đều đối với h Cụ

thể điều kiện thứ hai biểu thị rằng tồn tại một hằng số M > 0 không phụ thuộc hsao cho với h đủ bé | h |< h0, ta có bất đẳng thức sau:

23

Thang Long University Libraty

y h  y h

1h   h  h

trong đó, ỹh là nghiệm của bài toán tương ứng với dữ kiện h còn ||.||(1h) và

||.||(2h) là các chuẩn trong tập các hàm lưới xác định trên lưới h

Tính chất phụ thuộc liên tục của nghiệm bài toán sai phân vào các dữ kiện biểu

thị bởi bất đẳng thức (1.8.1) được gọi là sự ổn định của lược đồ sai phân theo

các dữ kiện đã cho hay nói đơn giản hơn là sự ổn định

Giả sử cho bài toán liên tục

Trên lưới h h  h ta xấp xỉ bài toán này bởi bài toán sai phân sau:

L h u h h với x h l h u h h với x h (1.8.3)Trong đó, uh là giá trị của nghiệm u của bài toán (1.8.2) trên lưới h Đối với sai sốcủa lược đồ zh = yh - uh ta có bài toán sau:

L h z h h với x h , l h z h h với x h (1.8.4)Trong đó, h và v h là các sai số xấp xỉ của phương trình và điều kiện bổ trợ Có

Từ đó suy ra tằng nếu lược đồ sai phân ổn định và xấp xỉ bài toán xuất

phát thì nó hội tụ ta nói rằng từ xấp xỉ và ổn định suy ra hội tụ Hơn nữa, cấp của

độ chính xác (tốc độ hội tụ) của lược đồ được xác định bởi bậc xấp xỉ của nó

Vậy việc đánh giá (1.8.5) có ý nghĩa quan trọng, chúng được gọi là các

đánh giá tiên nghiệm

24

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN

2.1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN KHÍ THẢI(VẬT CHẤT) TRONG MÔI TRƯỜNG KHÍ (NƯỚC)

Quá trình lan truyền vật chất trong môi trường khí (hoặc nước) được

mô tà bởi phương trình khuếch tán-tải [4 - 5]:

2.2 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN

Chúng ta sẽ xem xét bài toán ô nhiễm khí quyển phát sinh từ cácống khói của nhà máy Giả sử rằng:

i) Nguồn phát khói là không thay đổi với công suất không đổi Q và

tập trung tại điểm (0,0, H), với H là độ cao cùa ống khói

ii) Quá trình phân tán chất gây ô nhiễm là quá trình dừng, hướng

gió trùng với chiều dương của trục ox và vận tốc gió V  u, 0, 0 

với u u   z   u 0  0, u 0 =const .iii) Hệ số khuếch tán theo phương ngang có dạng  K0 u với

K 0 =const >0 .Lưu ý rằng điều kiện (iii) được đưa ra bởi các nhà vật lý(xem[2], [6]) Dùng để biểu diễn sự tập trung của chất gây ô nhiễm.Với việc thừa nhận các giả thiết trên, chúng ta có bài toán sau:

25

Thang Long University Libraty

 2   

u g2     Q x   y   z H          x z y z z

(2.2.1)

(2.2.2)(2.2.3)

Bài toán (2.2.1)-(2.2.4) có nhiều nhất 1 nghiệm trong lớp H 1 ( D  ) và

có thể quy về thành bài toán hai chiều sau:

u         g       0, x 0 

x z z z

(2.2.6)(2.2.7)

Trong một số trường hợp (ví dụ như u const  trong [1],  0 trong [2])

chúng ta có thể tìm được nghiệm giải tích của bài toán (2.2.5)-(2.2.8)

Trong luận văn này, chúng tôi đề xuất phương pháp sai phân giải bàitoán này Chúng ta sẽ xét trong nửa không gian z 0  Với sự trợ giúp của

lý thuyết hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính chúng ta có thể

chứng minh được tính ổn định và tính giải được của lược đồ sai phân xấp

xỉ bài toán trên và xây dựng một thuật toán giải hệ phươ ng trình sai phân

vô định

26

2.3 GIỚI THIỆU HÀM DELTA DIRACT

Hàm delta biểu diễn một khái niệm đã được lý tưởng hoá Đó là sựtập trung vật chất tại 1 điểm (không có kich thước) Trong các sách cơ

học và vật lý, chẳng hạn [2] người ta hiểu nôm na hàm delta như sau:

không thể đi xa hơn được trong các vấn đề toán học của bài toán như tồn

tại duy nhất nghiêm, độ trơn của nghiệm, sai số của nghiệm gần đúng,

Để giải quyết vấn đề trên người ta buộc phải mở rộng khái niệm hàm và

đưa vào nghiên cứu hàm suy rộng Trong lý thuyết hàm suy rộng, hàm

delta là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm cơ

bản D  R n  được xác định theo công thức:

   D  R n 

,  

2.4 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN

Do bài toán ô nhiễm khí quyến dừng khá phức tạp,không có nghiệmgiải tích,nên để giải bài toán này chúng ta sử dụng phương pháp số để tìm

nghiệm gần đúng, cụ thể chúng ta sẽ sử dụng phương pháp sai phân

Để có thể xem xét bài toán một cách triệt để, một lược đổ sai phân

ẩn đã được xây dựng và chứng minh trên quan điểm của hệ vô hạn các

phương trình sai phân Để tìm được nghiệm của hệ vô hạn này chúng ta sẽ

sử dụng “phương pháp cắt cụt”- phương pháp cho phép quyết định độ

chính xác của nghiệm xấp xỉ Hiệu quả của phương pháp đã được minh

hoạ trên một số ví dụ

27

Thang Long University Libraty

2.4.1 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

đổ sai phân cho bài toán (2.2.5) - (2.2.8) chúng ta sẽ sử dụng kỹ thuật Samarski

và các ký hiệu trong [8] Vì mục đích này chúng ta viết lạiphương trình (2.2.5) ở

ˆuy x   y (3.2.3)Với

ˆy i  y ij 1

28

Như chúng ta đã thấy trong [8], sai xố xấp xỉ (1.3.5) bằng (3.2.2) là  h z2  h x Điều kiện ban đầu (2.2.6) được xấp xỉ bằng điều kiện

z



Việc còn lại là xấp xỉ điều kiện (2.2.8) Để thực hiện điều này chúng ta đưa vào

những điểm lưới giả  z  1 , x  , với z 1   h z và thay

tâm

Điều kiện (2.2.8) được xấp xỉ bằng:

ˆ ˆy 1  y 1

ˆ   y 0 2h z

(3.2.6)

Cuối cùng, hệ phương trình sai phân được ở trên, chúng ta giả thiếtphương trình (3.2.5) còn đúng với biên z z  0  0 Nó còn đưa đến thực tế là

phương trình sai phân (3.2.3) cũng đúng với i 0  Cụ thể chúng ta có:

y ij 1  y ij y ij1  y ij 1 y 1j 1  y ij1  y ij1  y ij 1 1 111 u i   i  a i 1  a i   y ij 1 ,  

 1  A 0 , B0

C 0  2  h z A 0

 1  F 0 ,

C 0  2  h z A 0

(3.2.10)

(3.2.11)Hiển nhiên 0 1  1

Điều kiện (3.2.9) được xem như là điều kiện biên, kết hợp với (3.2.7)

Từ bài toán (2.2.5)-(2.2.8) chúng ta đã xây dựng được lược đồ sai phân sau

A i y i j 1 1  C i y i j 1  B i y ij1   F i , 1

y 0j 1 1 y 1j 1  1j

i 0,1, 2,  (3.2.12)

(3.2.13)(3.2.14)(3.2.15)

y ij 1  0 i , j 0,1, 2,   

y i0 , i 0,1,  được cho bởi (3.2.4)Sai số xấp xỉ của phương trình sai phân và các điều kiện biên trên nghiệm đủ

trơn là O(h 2  h x ) z

2.4.2 NGHIÊN CỨU LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN (3.2.12)-(3.2.15)

Như chúng ta thấy, với mỗi j 0,1, 2,  cố định thì hệ (3.2.12)-(3.2.13) là

một hệ vô hạn các phương trình đại số Do đó, chúng ta không thể sử dụng lý

thuyết của lược đồ sai phân đều của bài toán hữu hạn Để nghiên cứu bài toán

này, chúng ta cần một vài kết quả của hệ vô hạn phương trình đại số

Thì hệ (3.3.1) có nghiệm không âm và bị chặn:

Đầu tiên chúng ta chứng minh dãy z i không tăng Giả sử ngược lại, z i

hội tụ về một giá trị giới hạn M 0  Vì i  0 khi i  nên tồn tại một số C 0 

Nó mâu thuẫn với điều kiện z i  M / 2 với M 0  và nhỏ tùy ý

Vậy, dãy z i không tăng

31

Thang Long University Libraty

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh dãy z i thực sự hội tụ về 0

Giả sử ngược lại, z i  0 Vì

chúng ta đã thấy trong phần đầu của phần chứng minh bổ đề Vì vậy chỉ có thể

xảy ra trường hợp còn lại z i không tăng cũng không giảm, tức là nó dao động.trong trường hợp này chúng ta có thể chọn n N  sao cho:

Với các giả thiết của bổ đề (2.3.2) hệ (3.3.1) có một nghiệm dương duy

nhất hội tụ về không và nghiệm này là nghiệm chính của hệ (3.3.1)

Kết quả này là hệ quả trực tiếp của bổ đề (2.3.1),(2.3.2) và tính duy nhất

của nghiệm hội tụ tới không của hệ vô hạn đều (xem[3])

Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu tính giải được và sự ổn định của lược đồ sai

phân (3.2.12)-(3.2.13)

32

2.4.4 TÍNH GIẢI ĐƯỢC

Viết lại các phương trình (3.2.12),(3.2.13) dưới dạng

ˆˆˆy i  p i y i 1  q i y i 1  r i ,(i 0,1, )  (3.3.7)Với

i  a i  a i 1   b i a i 1 h z  u i  h x

i 0,1, 

u i y ij ,r i  i  a i  a i 1   b i a i 1 h z  u i  h x

a i

u i 

2.4.5 TÍNH ỔN ĐỊNH

Định lý 2.3.2

Với những giả thiết của định lý (2.3.1) thì lược đồ sai phân (3.2.10)-(3.2.15)

Ổn định tuyệt đối và có ước lượng

2.4.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỆ (3.2.12)-(3.2.15)

Như đã đề cập đến trước đây, hệ (3.3.7), (3.3.8) chính là quy ( i  0) và

thỏa mãn điều kiện r i    i , nghiệm của nó có thể được tìm bằng phương pháp

cắt cụt (xem [3])

Trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra biểu diễn nghiệm của hệ (3.3.7), (3.3.8)

Dưới dạng công thức truy đuổi:

Với các hệ số được tính như sau

 i 1  q i ,

1 p  i  i

 i 1 ri  pi  i ,

1 p  i  i

i 0,1, 2,  (3.4.3)Tương tự với trường hợp của hệ hữu hạn [9] chúng ta có mối kiên hệ 0 p  i  1 ,

34

 i   i 1 z i 1 i 0, N 

 z

Áp dụng lý thuyết của hệ vô hạn phương trình [3] cho nghiệm của hệ (3.4.9)chúng ta có đánh giá