Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm khí quyển

1.1 LƯỚI VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI: Để viết được lược đồ sai phân tìm nghiệm số xấp xỉ cho một bài toán vật lý của một phương trình vi phân đã cho cần thực hiện hai bước: Thay miền biến thiên li

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN 3

1.1 LƯỚI VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI: 3

1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN 6

1.4 THIẾT LẬP MỘT BÀI TOÁN SAI PHÂN 14

1.5 VỀ SỰ HỘI TỤ VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN 17

1.6 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU 19

1.7 CÁC VÍ DỤ VỀ LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH 21

1.8 VỀ KHÁI NIỆM TÍNH ĐÚNG ĐẮN CỦA BÀI TOÁN SAI PHÂN 23

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN 25

2.1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN KHÍ THẢI (VẬT CHẤT) TRONG MÔI TRƯỜNG KHÍ (NƯỚC) 25

2.2 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 25

2.3 GIỚI THIỆU HÀM DELTA DIRACT 27

2.4 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN 27

2.4.1 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN 28

2.4.2 NGHIÊN CỨU LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN (3.2.12)-(3.2.15) 30

2.4.3 MỘT VÀI KẾT QUẢ BỔ TRỢ 30

2.4.4 TÍNH GIẢI ĐƯỢC 33

2.4.5 TÍNH ỔN ĐỊNH 34

2.4.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỆ (3.2.12)-(3.2.15) 34

CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN THỬ NGHIỆM 37

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

PHỤ LỤC 43

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan : Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Công Điều Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Học viên

Lưu Xuân Trường

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1: Form chính của chương trình 38

Hình 2: Form dữ liệu của chương trình 38

Hình 3: Form nghiệm của chương trình 39

Hình 4: Form vẽ đồ thị của hàm mật độ  theo trục x 39

Hình 5: Form vẽ đồ thị của hàm mật độ  theo trục z 40

MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán thực tiễn dẫn đến việc nghiên cứu những bài toán biên của phương trình vật lý toán, giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn

Trong một số ít trường hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm được nhờ vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc nếu có nhưng rất phức tạp Trong những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp gần đúng

Thế giới đang phải đối mặt với việc môi trường đang bị ô nhiễm ngày càng nghiêm trọng Trên thế giới đã xảy ra rất nhiều trận mưa axit, khí hậu nóng lên làm cho băng tan dẫn đến mực nước biển dâng lên đe dọa các vùng đồng bằng ven biển, hiện tượng nước mặn xâm nhập sâu vào đất liền…

Với việc công nghiệp hóa và hiện đại hóa với tốc độ ngày càng nhanh, các nhà máy mọc lên không chỉ là ở những khu công nghiệp xa dân cư mà còn được xây dựng ở những vùng đông dân Khói độc từ các nhà máy thải ra gây hại cho người dân sống xung quanh

Luận văn này tập trung vào giải quyết bài hoán ô nhiễm khí quyển do nhà máy thải ra bằng “phương pháp sai phân” nhằm mục đích có thể dự đoán trước được ảnh hưởng và mật độ của các chất gây ô nhiễm để hạn chế tác hại của nó

Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương, sau cùng là tài liệu dẫn và phần phụ lục Chương một trình bày các kiến thức cơ bản của lược đồ sai phân nhằm phục vụ cho chương hai Chương hai là phần chính của khóa luận, trong

đó trình bày bài toán ô nhiễm khí quyển do các nhà máy thải ra từ ống khói và xây dựng thuật toán để giải nó Chương ba đưa ra kết quả tính toán thử nghiệm của một bài toán thực tiễn nhằm minh họa cho thuật toán đã xây dựng ở chương hai Phần phụ lục là toàn văn chương trình được lập trình trên ngôn ngữ C++

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

Trong chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong chương hai để nghiên cứu lược đồ sai phân ẩn của bài toán ô nhiễm khí quyển

1.1 LƯỚI VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI:

Để viết được lược đồ sai phân tìm nghiệm số xấp xỉ cho một bài toán vật lý của một phương trình vi phân đã cho cần thực hiện hai bước:

Thay miền biến thiên liên tục của biến số bởi miền biến thiên rời rạc của nó, toán tử vi phân bởi một toán tử sai phân nào đó, xác định các biểu thức sai phân đối với điều kiện biên và điều kiện ban đầu

Sau đó sẽ nhận được một hệ các phương trình đại số dẫn đến việc xác định nghiệm của bài toán đối với một phương trình vi phân đã cho được đưa về tìm nghiệm của một hệ phương trình đại số nhận được Khi giải một số bài toán nào đó, ta không thể xác lập lại các giá trị của nghiệm sai phân khi biến số biến đổi liên tục trong một miền nào đó của không gian Euclid Vì vậy ta cần chọn trong miền này một tập hợp hữu hạn các điểm nào đó và chỉ tìm nghiệm tại các điểm này Tập hợp những điểm này gọi là lưới Hàm được xác định tại các nút lưới được gọi là hàm lưới

Như vậy miền biến thiên liên tục của đối số được thay bởi lưới, tức là miền biến thiên rời rạc của đối số Và như vậy, chúng ta xấp xỉ không gian nghiệm của các phương trình vi phân bởi không gian các hàm lưới

Các tính chất của nghiệm sai phân và đặc biệt là xấp xỉ của nó đối với nghiệm chính xác phụ thuộc vào việc chọn lưới

Ta xét một vài ví dụ về lưới

4

Ví dụ 1: Lưới đều trên một đoạn thẳng

Chia đoạn đơn vị [0,1] ra N phần bằng nhau, khoảng các giữa các nút lân cận bằng 1

1i 1 h , 1 1 1, 2,

được gọi là các nút lưới, tập tất cả các nút lưới: h x i ih: i 1, , N 1    lập

Trên đoạn [0,1], thay cho hàm của biến số liên tục y(x) được xét hàm của

biến số rời rạc y h x i , giá trị của hàm này được tính từ các nút lưới Còn bản

thân hàm phụ thuộc bước lưới h như phụ thuộc vào một tham số

Ví dụ 2: Lưới đều trên mặt phẳng Xét tập các hàm hai biến u(x,t) Để đơn

Ví dụ 3: Lưới trong miền hai chiều

Giả sử trên mặt phẳng x = (x 1, x2 ), cho miền G dạng tùy ý với biên G

i h i h1 1 , 2 2, ,i i1 2    0, 1, 2,

Lưới này đều theo mỗi hướng riêng biệt (Ox ì ,Ox 2 ) Ta chỉ cần chú ý các nút

thuộc miền G  G G Các nút nằm trong miền G được gọi là các nút trong, lập thành lưới h Những điểm giao của các đường 1

1i 1 h , 1 1

x i i và

2

2i 2 h , 2 2 0, 1, 2,

các nút biên là yh Ta thấy có những nút biên mà khoảng cách đến các nút trong

gần nhất nhỏ hơn h hay h2 Như vậy, lưới trên mặt phẳng đều theo các hướng x x1 , 1

nhưng lưới h   h h đối với miền G không đều ở lân cận biên

Như vậy miền G của biến x được thay bởi lưới h, tức là một tập hữu hạn các điểm 1 2

( i , i ) G

i

x  x x  Thay cho hàm u(x) của biến liên tục x Gta sẽ xét hàm

lưới y x( )i , nghĩa là hàm của các nút lưới x i  Hàm lưới y x( )i có thể viết dưới dạng vecto Nếu đánh số lại nút theo một thứ tự nào đó: x x1, 2, ,x N thì giá trị của hàm lưới tại các nút này có thể xem như các thành phần của một vecto cột:

Người ta thường xét tập hợp các lưới  h phụ thuộc vào bước lưới h như một

tham số Vì vậy, các hàm lưới y x h( ) cũng phụ thuộc vào tham số h (hoặc vào số

Hàm u(x) của biến số liên tục xG là các phần tử của một không gian

hàm H0 nào đó Tập các hàm lưới yh(x) lập thành một không gian H h Như vậy, khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, người ta đã thay không gian H0 bởi không gian H h của các hàm lưới yh(x)

6

Khi xét tập hợp các lưới  h ta có tập hợp  H h của các không gian các

hàm lưới phụ thuộc vào tham số h Trong không gian tuyến tính H h đưa vào chuẩn ||.|| là tương tự lưới của || ||0chuẩn trong không gian xuất phát H0

Giả sử u(x) là nghiệm của bài toán liên tục đang xét uH0, y h là nghiệm của bài toán sai phân ( xấp xỉ ), y hH h

Điều chính yếu trong giải gần đúng là đánh giá độ xấp xỉ của y h so với u

Giả sử || ||0 là chuẩn trong H0, đương nhiên đòi hỏi || ||h xấp xỉ || ||0 theo nghĩa sau:

0 0

lim || h ||h || ||

Với mọi vecto u trong H0

1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN

Giả sử cho một toán tử vi phân L tác động lên một hàm v=v(x) Khi nghiên cứu sự xấp xỉ sai phân một toán tử L thường người ta chỉ xét một cách

địa phương tức là tại một lân cận nào đó của điểm X cố định bất kỳ của không

gian và nếu v(x) liên tục thì xem vh (x) = v(x) Tổng quát:

v P vH vH P H H

Sau đó cần chọn khuôn lưới, tức là chỉ rõ tập các nút lân cận với các nút x

mà tại đó các giá trị của hàm lưới v(x) và các hệ số khác của toán tử L có thể được dùng để xấp xỉ toán tử L

Thay các đạo hàm của v và các đại lượng khác của toán tử bởi các biểu

thức sai phân L v h h , thay cho toán tử Lv Đó là một tổ hợp tuyến tính các giá trị

của hàm lưới v ktrên khuôn lưới:

( ) ( ) ( , ) ( )

Trong đó A x h( , )  là hệ số, h là bước lưới, U h( )x là khuôn lưới tại nút x Việc thay gần đùng toán tử vi phân Lv bởi biểu thức sai phân L h h v như vậy được gọi là sự xấp xỉ toán tử vi phân bởi toán tử sai phân

Ta xét vài ví dụ xấp xỉ sai phân của một vài toán tử sai phân đơn giản

v x h v x hv x   (1.2.2)

Để có khái niệm này ta đã giả thiết rằng v(x) là hàm đủ trơn trong một lân

cận nào đó của điểm x: (x h x h 0,  0) với h< h0, h0 là một số cố định Từ (1.2.1), (1.2.2) ta có:

Các biểu thức sai phân L vh và L vh được xác định tại các ô nút hai điểm

( x,x+h ) và ( x,x-h) Ngoài ra việc tính xấp xỉ sai phân của đạo hàm dv

dx có thể lấy tổ hợp tuyến tính của các biểu thức ( 1.2.3 ) và ( 1.2.4 ) như sau:

( )

(1 )

L v  v    v

Đại lượng  (x) L v x h ( ) Lv x( ) được gọi là sai số xấp xỉ toán tử Lv tại điểm x

Theo công thức khải triển Taylor ta có thể viết:

2

'( ) "( ) 0( ) 2

'( ) 0( ) 2

v h v x v x h v x v x h h

Cho (x,t) là một điểm cố định trên mặt phẳng (x,t), h>0,  >0 là hai bước

lưới theo các trục Ox, Ot tương ứng Đặt:

Trong cấu trúc của (0)

Lh v chúng ta đã lấy v xx ở thời điểm t lớp dưới Tương tự, ta

có thể lấy v xx ở thời điểm t+ , tức lớp sau như sau:

Lh v v t [ v xx   (1  )v xx]

Họ này với   0,   1 được xác định trên khuôn lưới 6 điểm:

(x-h,t), (x,t), (x+h,t), (x-h,t+ ), (x,t+ ), (x+h,t+ ) Bây giờ ta tính sai số của các xấp xỉ trên Theo khai triển Taylor ta có:

2

2 2

t x

Trong trường hợp này, để viết toán tử sai phân L v h v ttv xx cần phải sử

dụng giá trị của hàm lưới tại ba thời điểm t- , t, t+ Ta thấy khuôn lưới ít nhất

2

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )

2 2

( , )

(0 )

tt

v x t v

Do đó, toán tử sai phân (1.2.7) có sai số xấp xỉ là 2 2

0(h   ) Toán tử sai phân (1.2.9) cũng có sai số xấp xỉ bậc này khi 1 2   ( là một số bất kỳ)

1.3 SAI SỐ XẤP XỈ TRÊN LƯỚI

Chúng ta đã xem xét cách tính xấp xỉ sai phân tại một điểm và nói về bậc của phép tính xấp xỉ sai phân đó Việc đánh giá bậc xấp xỉ này thường đòi hỏi ở trên toàn lưới h

Giả sử h là lưới trong miền G thuộc không gian Euclid p chiều:

1

|| ||h ( )

N j j

u h u

trong đó,  được lấy theo mọi nút x của lưới h Giả thiết rằng:

a, Tồn tại một toán tử tuyến tính

0 :

| | lim || 0 h ||h || ||

trong đó |h| là chuẩn của vector h

Xét một toán tử L nào đó trong H 0 và toán tử L h chuyển hàm lưới v hH h

thành hàm lưới L v h hH hđược cho trên h (tức là L h tác động từ H h H h) Người ta gọi hàm lưới h sau đây là sai số của phép xấp xỉ toán tử L bởi toán tử

Trong trường hợp hai biến, chẳng hạn u(x,t) là nghiệm của phương trình

không dừng (truyền nhiệt, truyền sóng v.v…), thì toán tử sai phân Lh xấp xỉ

toán tử vi phân L được xác định trên các hàm lưới v h (x,t) cho trên lưới:

( , ) : , 

w w w  x t xw tw trong đó h là hàm lưới trong miền GR w p,  là lưới trên đoạn [0,t 0] Giả sử

v(x,t) được xem như là một hàm của đối số xH0 Khi đó:

14

( , ) h h ( )h ( , ), ( , )

h x t L v  Lv  x t x t w

Theo định nghĩa, toán tử sai phân L h xấp xỉ toán tử L với bậc m>0 theo x

và bậc n>0 theo t , nếu trong lớp các hàm đủ trơn v(x,t) ta có đánh giá

1.4 THIẾT LẬP MỘT BÀI TOÁN SAI PHÂN

Để thiết lập một bài toán sai phân tương ứng với một bài toán vật lý – toán, chẳng hạn bài toán đối với môt phương trình vi phân thì ngoài việc xấp xỉ phương trình vi phân cần phải viết các dữ kiện của bài toán dưới dạng sai phân

Tập hợp các phương trình sai phân đó (xấp xỉ phương trình vi phân xuất phát và các dữ kiện) được gọi là một lược đồ sai phân Các dữ kiện ở đây là điều kiện biên, điều kiện ban đầu và vế phải phương trình

Ví dụ 1: Bài toán Cauchy đối với các phương trình vi phân thông thường:

0 ' ( ), 0, (0)

u  f x x u u (1.4.1) Chúng ta chọn một lưới sai phân đơn giản nhất

là hàm cho trên lưới w h w hw

Xét trường hợp khuôn lưới 4 điểm đơn giản nhất ta có bài toán sai phân

y t u x tw x w

Để xác định được nghiệm ˆ j 1

y y  tại lớp thời gian j+1 ta có các phương trình

đại số:

Với ma trận ba đường chéo, ta có thể giải hệ này bằng phương pháp truy đuổi

1.5 VỀ SỰ HỘI TỤ VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

Khi giải một bài toán vật lý nào đó bằng phương pháp gần đúng (xấp xỉ), thì mục đích cuối cùng là cần xem nghiệm được xác định bởi phương pháp xấp

xỉ đó đã xấp xỉ nghiệm chính xác của bài toán với độ chính xác như thế nào Vì vậy cần xét vấn đề hội tụ và độ chính xác của các lược đồ sai phân

Giả sử trong miền G với biên  cần tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

Lu f x x G R (1.5.1) thỏa mãn các điều kiện phụ (điều kiện biên, điều kiện ban đầu)

( ),

lu  x x (1.5.2) trong đó, f x( ), ( )  x là những hàm cho trước (dữ kiện của bài toán), l là toán tử vi

phân tuyến tính nào đó

Giả thiết rằng nghiệm của bài toán (1.5.1)-(1.5.2) tồn tại và duy nhất Phủ miền G  bằng lưới w h Miền biến thiên của đối số liên tục x được thay bởi

một tập hợp rời rạc các điểm nút lưới x iw h w h  h

Bước lưới h là một tham số nào đó đặc trưng cho sự trù mật của các nút lưới

Ta đặt tương ứng bài toán vi phân (1.5.1)-(1.5.2) với bài toán sai phân sau

lưới w h khác, dẫn đến nhận một tập nghiệm  y h phụ thuộc vào tham số h Như

vậy, cần xét một họ các lược đồ dạng (1.5.3) tương ứng với các giá trị khác nhau

của tham số h

18

Mục đích cơ bản của mọi phương pháp gần đúng là nhận được nghiệm của bài toán xuất phát với độ chính xác   0 cho trước nào đó sau một số hữu

hạn các phép tính Để thấy rõ độ sai khác giữa nghiệm chính xác u của bài toán

(1.5.1)-(1.5.2) và nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.5.3) với độ chính xác   0 đã cho trong quan hệ với việc bước lưới h( )  ta cần so sánh y h và u h Việc so sánh

này thường được tiến hành trong không gian H h của các hàm lưới

Giả sử u h là giá trị của nghiệm chính xác u(x) trên lưới h với u hH h Ta xét sai số của lược đồ sai phân (1.5.3)

z y u

Để có điều kiện đối với z h ta thay z h  y hu h vào các đẳng thức (1.5.3) và

nhận được một bài toán sai phân đối với z h cùng dạng với bài toán (1.5.3)

L z   x  l z v x  (1.5.4) trong đó

trong đó

(| |) 0

p h  khi | |h  0

Ta nói lược đồ sai phân (1.5.3) hội tụ với tốc độ 0(| | )n

trong đó M là một hằng số dương không phụ thuộc vào h và n>0

Ta nói rằng lược đồ sai phân (1.5.3) có độ xấp xỉ bậc n nếu

Ký hiệu các giá trị của f(x) và Lu(x) trên lưới h lần lượt là f h và (Lu) h và

chú ý rằng (f-Lu) h = 0 ta có thể viết sai số xấp xỉ h dưới dạng:

(lược đồ ổn định), thì bậc của độ chính xác trùng với bậc của độ xấp xỉ

1.6 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

Trên đây ta đã thấy độ chính xác của lược đồ sai phân phụ thuộc vào bậc xấp xỉ đối với nghiệm bài toán xuất phát, không chỉ vào phương trình mà còn vào dữ kiện của bài toán đã cho Xét các ví dụ sau

Ví dụ: Bài toán biên đối với phương trình truyền sóng

u t u t u(1, )t u t2( ) (1.6.1)

 , 0 0 

u x u x 2   

0 2

Rõ ràng khi tính gần đúng bài toán (1.6.1) ta đặc biệt chú ý tới cách viết ở

dạng sai phân điều kiện ban đầu đối với đạo hàm u

d u Lu

u x

u x t







Với bậc 2 theo 

Điều kiện u x t , u0 x và các điều kiện biên trong trường hợp này được xấp xỉ chính xác Ta có thể lấy một trong các lược đồ sai phân đã xét trong mục 1.2 làm ví dụ về phép xấp xỉ sai phân của phương trình vi phân

1.7 CÁC VÍ DỤ VỀ LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH

Việc sử dụng các lược đồ sai phân cho phép tiến hành giải các bài toán đối với phương trình vi phân bằng cách đưa về giải hệ phương trình đại số tuyến tính Các vế phải của phương trình, các điều kiện biên và điều kiện ban đầu mà sau này ta gọi chung là dữ kiện vào – được cho với sai số xác định

Các lược đồ mà trong quá trình tính toán làm tăng các sai số ban đầu có tính không ổn định và không thể áp dụng vào thực tế Trước khi đưa ra khái niệm về tính ổn định của lược đồ sai phân theo dữ kiện vào chúng ta hãy xét khái niệm của nó bằng trực giác, ta chỉ ra một ví dụ

Ví dụ 1 Lược đồ ổn định:

 

'

0 , 0, 0 , 0

chúng ta đã chọn, sẽ tăng lên vô hạn

Ta tính giá trị của y tại điểm này

phân có hai bậc), thì bên cạnh y0 ta cho tiếp y1 Với mọi  lược đồ (1.7.3) có bậc xấp xỉ thấp nhất là một Nếu đặt u0  1 h u 0 thì  2

u u h O h vì    '  2

i

y s vào (1.7.3) ta được phương trình bậc hai đối với s

2 (   1)s  2    1 h s   0

Phương trình này có hai nghiệm khác nhau

1.8 VỀ KHÁI NIỆM TÍNH ĐÚNG ĐẮN CỦA BÀI TOÁN SAI PHÂN

Giả sử y h là nghiệm của bài toán sai phân, h là dữ kiện cùa bài toán này Chúng đều phụ thuộc vào tham số h (độ dài bước lưới) Thay đổi h chúng ta có một dãy nghiệm { }y h và các dữ kiện { h} Vậy, ta có một họ bài toán sai phân phụ thuộc h Khái niệm sự đúng đắn của một bài toán sai phân được xác định tương ứng như các bài toán của vật lý-toán

Ta nói rằng, bài toán sai phân là đặc chỉnh, nếu với mọi h đủ bé, h h0thì:

Nghiệm y h của bài toán sai phân tồn tại và duy nhất với mọi dữ kiện h thuộc một tập hợp xác định đang xét

Nghiệm y h phụ thuộc liên tục vào h và sự phụ thuộc này là đều đối với h Cụ thể điều kiện thứ hai biểu thị rằng tồn tại một hằng số M > 0 không phụ thuộc h sao cho với h đủ bé | h |< h0, ta có bất đẳng thức sau:

24

y y      (1.8.1) trong đó, ỹh là nghiệm của bài toán tương ứng với dữ kiện h còn ||.||(1h) và

||.||(2h) là các chuẩn trong tập các hàm lưới xác định trên lưới h

Tính chất phụ thuộc liên tục của nghiệm bài toán sai phân vào các dữ kiện biểu thị bởi bất đẳng thức (1.8.1) được gọi là sự ổn định của lược đồ sai phân theo các dữ kiện đã cho hay nói đơn giản hơn là sự ổn định

Giả sử cho bài toán liên tục

Lu f x xG lu  x x (1.8.2) Trên lưới h   h h ta xấp xỉ bài toán này bởi bài toán sai phân sau:

h h h

L u   với x h l u h h  h với x h (1.8.3) Trong đó, uh là giá trị của nghiệm u của bài toán (1.8.2) trên lưới h Đối với sai số của lược đồ zh = yh - uh ta có bài toán sau:

h h h

L z   với x h, l z h h  h với x h (1.8.4) Trong đó, h và v h là các sai số xấp xỉ của phương trình và điều kiện bổ trợ Có thể viết (1.8.3) một cách hình thức sau

h h h

L z   Nếu toán tử L h tuyến tính và lược đồ sai phân đúng đắn, thì theo (1.8.1) ta

độ chính xác (tốc độ hội tụ) của lược đồ được xác định bởi bậc xấp xỉ của nó

Vậy việc đánh giá (1.8.5) có ý nghĩa quan trọng, chúng được gọi là các đánh giá tiên nghiệm

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN

2.1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN KHÍ THẢI (VẬT CHẤT) TRONG MÔI TRƯỜNG KHÍ (NƯỚC)

Quá trình lan truyền vật chất trong môi trường khí (hoặc nước) được

mô tà bởi phương trình khuếch tán-tải [4 - 5]:

2.2 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN

Chúng ta sẽ xem xét bài toán ô nhiễm khí quyển phát sinh từ các ống khói của nhà máy Giả sử rằng:

i) Nguồn phát khói là không thay đổi với công suất không đổi Q và

tập trung tại điểm (0,0, H), với H là độ cao cùa ống khói

ii) Quá trình phân tán chất gây ô nhiễm là quá trình dừng, hướng

gió trùng với chiều dương của trục ox và vận tốc gió V u, 0, 0

với uu z u0  0,u0=const iii) Hệ số khuếch tán theo phương ngang có dạng  K u0 với

0 = >0

K const Lưu ý rằng điều kiện (iii) được đưa ra bởi các nhà vật lý(xem [2], [6]) Dùng  để biểu diễn sự tập trung của chất gây ô nhiễm Với việc thừa nhận các giả thiết trên, chúng ta có bài toán sau:

2.3 GIỚI THIỆU HÀM DELTA DIRACT

Hàm delta biểu diễn một khái niệm đã được lý tưởng hoá Đó là sự tập trung vật chất tại 1 điểm (không có kich thước) Trong các sách cơ học và vật lý, chẳng hạn [2] người ta hiểu nôm na hàm delta như sau:

x x

Để giải quyết vấn đề trên người ta buộc phải mở rộng khái niệm hàm và đưa vào nghiên cứu hàm suy rộng Trong lý thuyết hàm suy rộng, hàm delta là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm cơ bản D R n được xác định theo công thức:

  ,   0  n

D R



 

2.4 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN

Do bài toán ô nhiễm khí quyến dừng khá phức tạp,không có nghiệm giải tích,nên để giải bài toán này chúng ta sử dụng phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng, cụ thể chúng ta sẽ sử dụng phương pháp sai phân

Để có thể xem xét bài toán một cách triệt để, một lược đổ sai phân

ẩn đã được xây dựng và chứng minh trên quan điểm của hệ vô hạn các phương trình sai phân Để tìm được nghiệm của hệ vô hạn này chúng ta sẽ

sử dụng “phương pháp cắt cụt”- phương pháp cho phép quyết định độ chính xác của nghiệm xấp xỉ Hiệu quả của phương pháp đã được minh hoạ trên một số ví dụ

  , tức là điểm xuất phát đạt tại điểm lưới (0, z )k Để xây dựng lược

đổ sai phân cho bài toán (2.2.5) - (2.2.8) chúng ta sẽ sử dụng kỹ thuật Samarski

và các ký hiệu trong [8] Vì mục đích này chúng ta viết lạiphương trình (2.2.5) ở dạng

1

ˆ j

i i

y  y 

Như chúng ta đã thấy trong [8], sai xố xấp xỉ (1.3.5) bằng (3.2.2) là  2 

Từ bài toán (2.2.5)-(2.2.8) chúng ta đã xây dựng được lược đồ sai phân sau

j i

0 , 0,1,

i

y i được cho bởi (3.2.4) (3.2.15) Sai số xấp xỉ của phương trình sai phân và các điều kiện biên trên nghiệm đủ trơn là 2

(hz h )x

O 

2.4.2 NGHIÊN CỨU LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN (3.2.12)-(3.2.15)

Như chúng ta thấy, với mỗi j 0,1, 2, cố định thì hệ (3.2.12)-(3.2.13) là một hệ vô hạn các phương trình đại số Do đó, chúng ta không thể sử dụng lý thuyết của lược đồ sai phân đều của bài toán hữu hạn Để nghiên cứu bài toán này, chúng ta cần một vài kết quả của hệ vô hạn phương trình đại số

Thì hệ (3.3.1) có nghiệm không âm và bị chặn:

Đầu tiên chúng ta chứng minh dãy  z i không tăng Giả sử ngược lại, z i

hội tụ về một giá trị giới hạn M  0 Vì i  0 khi i nên tồn tại một số C 0

Nó mâu thuẫn với điều kiện z i M   / 2 với M  0 và  nhỏ tùy ý

Vậy, dãy  z i không tăng

32

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh dãy  z i thực sự hội tụ về 0

Giả sử ngược lại, z i  0 Vì i 0

i i i

p  q0   , r0  1,

,

i i i

A p C

i i

B q C

i

F u y r

u y r

34

2.4.5 TÍNH ỔN ĐỊNH

Định lý 2.3.2

Với những giả thiết của định lý (2.3.1) thì lược đồ sai phân (3.2.10)-(3.2.15)

Ổn định tuyệt đối và có ước lượng

j

y   y (3.3.12) với

0

sup

i i

2.4.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỆ (3.2.12)-(3.2.15)

Như đã đề cập đến trước đây, hệ (3.3.7), (3.3.8) chính là quy ( i  0) và thỏa mãn điều kiện r i   i, nghiệm của nó có thể được tìm bằng phương pháp cắt cụt (xem [3])

Trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra biểu diễn nghiệm của hệ (3.3.7), (3.3.8) Dưới dạng công thức truy đuổi:

i i

q p

i i

q p

Giả sử   0 là độ chính xác cho trước Nếu tồn tại số N 0 và 0    1 sao cho với mọi i N 1 chúng ta nhận được 0   i  , 0  i    1 thì có đánh giá