Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm khí quyển

MỞ ĐẦUNhiều bài toán thực tiễn dẫn đến việc nghiên cứu những bài toán biên củaphương trình vật lý toán, giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầuquan trọng của thực tiễn.. T

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN 3

1.1 LƯỚI VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI: 3

1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN 6

1.4 THIẾT LẬP MỘT BÀI TOÁN SAI PHÂN 14

1.5 VỀ SỰ HỘI TỤ VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN 17

1.6 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU 19

1.7 CÁC VÍ DỤ VỀ LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH 21

1.8 VỀ KHÁI NIỆM TÍNH ĐÚNG ĐẮN CỦA BÀI TOÁN SAI PHÂN 23

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN 25

2.1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN KHÍ THẢI (VẬT CHẤT) TRONG MÔI TRƯỜNG KHÍ (NƯỚC) 25

2.2 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 25

2.3 GIỚI THIỆU HÀM DELTA DIRACT 27

2.4 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN 27

2.4.1 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN 28

2.4.2 NGHIÊN CỨU LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN (3.2.12)-(3.2.15) 30

2.4.3 MỘT VÀI KẾT QUẢ BỔ TRỢ 30

2.4.4 TÍNH GIẢI ĐƯỢC 33

2.4.5 TÍNH ỔN ĐỊNH 34

2.4.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỆ (3.2.12)-(3.2.15) 34

CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN THỬ NGHIỆM 37

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

PHỤ LỤC 43

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan : Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cánhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn CôngĐiều Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Học viên

Lưu Xuân Trường

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1: Form chính của chương trình 38

Hình 2: Form dữ liệu của chương trình 38

Hình 3: Form nghiệm của chương trình 39

Hình 4: Form vẽ đồ thị của hàm mật độ ϕ theo trục x 39

Hình 5: Form vẽ đồ thị của hàm mật độ ϕ theo trục z 40

MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán thực tiễn dẫn đến việc nghiên cứu những bài toán biên củaphương trình vật lý toán, giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầuquan trọng của thực tiễn

Trong một số ít trường hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm được nhờvào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tíchphân hoặc các chuỗi hàm Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là các bàitoán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thìnghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc nếu có nhưng rất phức tạp Trongnhững trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp gần đúng

Thế giới đang phải đối mặt với việc môi trường đang bị ô nhiễm ngàycàng nghiêm trọng Trên thế giới đã xảy ra rất nhiều trận mưa axit, khí hậu nónglên làm cho băng tan dẫn đến mực nước biển dâng lên đe dọa các vùng đồngbằng ven biển, hiện tượng nước mặn xâm nhập sâu vào đất liền…

Với việc công nghiệp hóa và hiện đại hóa với tốc độ ngày càng nhanh, cácnhà máy mọc lên không chỉ là ở những khu công nghiệp xa dân cư mà còn đượcxây dựng ở những vùng đông dân Khói độc từ các nhà máy thải ra gây hại chongười dân sống xung quanh

Luận văn này tập trung vào giải quyết bài hoán ô nhiễm khí quyển do nhàmáy thải ra bằng “phương pháp sai phân” nhằm mục đích có thể dự đoán trướcđược ảnh hưởng và mật độ của các chất gây ô nhiễm để hạn chế tác hại của nó

Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương, sau cùng là tài liệu dẫn vàphần phụ lục Chương một trình bày các kiến thức cơ bản của lược đồ sai phânnhằm phục vụ cho chương hai Chương hai là phần chính của khóa luận, trong

đó trình bày bài toán ô nhiễm khí quyển do các nhà máy thải ra từ ống khói vàxây dựng thuật toán để giải nó Chương ba đưa ra kết quả tính toán thử nghiệmcủa một bài toán thực tiễn nhằm minh họa cho thuật toán đã xây dựng ở chươnghai Phần phụ lục là toàn văn chương trình được lập trình trên ngôn ngữ C++

12

Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Công Điều – Viện Công nghệThông tin đã tận tình hướng dẫn em trong thời gian em làm khóa luận, đồng thời

em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và các bạn cùng lớp đã nhiệttình giúp đỡ em làm khóa luận này

Do thời gian và kiến thức của bản thân em còn hạn chế nên chắc chắnluận văn còn những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô

và các bạn

CHƯƠNG 1CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

Trong chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong chương hai để nghiên cứu lược đồ sai phân ẩn của bài toán ô nhiễm khí quyển

1.1 LƯỚI VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI:

Để viết được lược đồ sai phân tìm nghiệm số xấp xỉ cho một bài toán vật lýcủa một phương trình vi phân đã cho cần thực hiện hai bước:

Thay miền biến thiên liên tục của biến số bởi miền biến thiên rời rạc của nó,toán tử vi phân bởi một toán tử sai phân nào đó, xác định các biểu thức sai phânđối với điều kiện biên và điều kiện ban đầu

Sau đó sẽ nhận được một hệ các phương trình đại số dẫn đến việc xácđịnh nghiệm của bài toán đối với một phương trình vi phân đã cho được đưa vềtìm nghiệm của một hệ phương trình đại số nhận được Khi giải một số bài toánnào đó, ta không thể xác lập lại các giá trị của nghiệm sai phân khi biến số biếnđổi liên tục trong một miền nào đó của không gian Euclid Vì vậy ta cần chọntrong miền này một tập hợp hữu hạn các điểm nào đó và chỉ tìm nghiệm tại cácđiểm này Tập hợp những điểm này gọi là lưới Hàm được xác định tại các nútlưới được gọi là hàm lưới

Như vậy miền biến thiên liên tục của đối số được thay bởi lưới, tức làmiền biến thiên rời rạc của đối số Và như vậy, chúng ta xấp xỉ không giannghiệm của các phương trình vi phân bởi không gian các hàm lưới

Các tính chất của nghiệm sai phân và đặc biệt là xấp xỉ của nó đối vớinghiệm chính xác phụ thuộc vào việc chọn lưới

Ta xét một vài ví dụ về lưới

3

Ví dụ 1: Lưới đều trên một đoạn thẳng.

,i

= ± 1, ± 2, được gọi là bước lưới, các điểm chia Xi=ih (i = 0,1, ,N)

được gọi là các nút lưới, tập tất cả các nút lưới:

thân hàm phụ thuộc bước lưới h như phụ thuộc vào một tham số.

Ví dụ 2: Lưới đều trên mặt phẳng Xét tập các hàm hai biến u(x,t) Để đơn

Ví dụ 3: Lưới trong miền hai chiều

x i1

Thang Long University Libraty

(i1h1,i2h2 ),i1,i2 = 0, ± 1, ± 2,

thành lưới

ωh

2 = i2 .h2 ,i2 = 0, ± 1, ± 2, với biên

γh

đối với miền G không đều ở lân cận biên

điểm

phụ thuộc vào bước lưới h như một

tham số Vì vậy, các hàm lưới

nút lưới đều )

đều theo mỗi hướng

khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, người ta đã thay không gian H

0 bởi

5

của các không gian các

hàm lưới phụ thuộc vào tham số h Trong không gian tuyến tính

phát

H h

H0 .đưa vào

h ∋ H h

Giả sửsau:

h→

Với mọi vecto u trong

H0

1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN

Giả sử cho một toán tử vi phân L tác động lên một hàm v=v(x) Khi nghiên cứu sự xấp xỉ sai phân một toán tử L thường người ta chỉ xét một cách

địa phương tức là tại một lân cận nào đó của điểm X cố định bất kỳ của không

v h = P h v ⊂ H , v ∈ H0 , P h : H0 → H h

Sau đó cần chọn khuôn lưới, tức là chỉ rõ tập các nút lân cận với các nút x

mà tại đó các giá trị của hàm lưới v(x) và các hệ số khác của toán tử L có thể được dùng để xấp xỉ toán tử L

Thay các đạo hàm của v và các đại lượng khác của toán tử bởi các biểu

thức sai phâncủa hàm lưới

L h v h , thay cho toán tử Lv Đó là một tổ hợp tuyến tính các giá trị

Trong đó A h (x,ζ ) là hệ số, h là bước lưới, U h (x) là khuôn lưới tại nút x Việc

thay gần đùng toán

tử vi phân

Lv bởi biểu

thức sai phân gọi là

sự xấp xỉ toán tử vi phân bởi toán tử sai phân

Ta xét vài ví

dụ xấp xỉ saiphân của một vài toán

tử sai phân đơn giản

Ví

dụ 1:

Lv =dv

dx

Cố định một điểm nào đó của

trục Ox và lấy các điểm x-h và x+h với h>0.

+

h

=

v x

!

h2

v v

đã giảthiết rằng

v(x)

là hàm

đủ trơn trong một lâncậ

Từ (1.2.1),

L

h

v

được gọi là hàm sai phân trái, hay

còn gọi là đạo hàm sai phân tiến và lùi tương ứng

Các

biểu thức sai

được xác định tại các

lấy tổ hợp tuyến tính của các biểu thức ( 1.2.3 ) và ( 1.2.4 ) như sau:

L(σ ) v =

σ v +

(1 − σ ) v

h x x

7

−

+

Khi σ = 0, 5 ta có đạo hàm sai phân trung tâm.

Lv(x) được gọi là sai số xấp xỉ toán tử Lv tại điểm x.

Theo công thức khải triển Taylor ta có thể viết:

Ta nói rằng toán tử sai phân

Mặt khác lại có:

>0 là hai bước lưới theo các trục Ox, Ot tương ứng Đặt:

( 0 )

h

τ

chúng ta đã lấy

Tương tự, có thể viết biểu thức của toán tử:

Lhτ v = v tt −

vˆ xx

(1.2.8)

11

Trong khuôn lưới 9 điểm có thể viết họ 2 tham số của các toán tử sai phân như sau:

Do đó, toán tử sai phân (1.2.7) có sai số xấp xỉ là

1.3 SAI SỐ XẤP XỈ TRÊN LƯỚI

G ⊂ R p , x = (x , x , , x )

Gọi H0 là không gian các hàm trơn u(x), Hh là không gian tuyến tính các hàm

a, Tồn tại một toán tử tuyến tính

P h : H0 → H h

1 2

p

sao cho mỗi hàm u(x) ∈ H h tương ứng với một hàm lưới u h (x), x ∈ ωh , tức là

u h = P h u ∈ H h

lim || P h u || h =|| h ||

trong đó |h| là chuẩn của vector h.

Trong trường hợp hai biến, chẳng hạn u(x,t) là nghiệm của phương trình

Do đó:

13

ψhτ(x,t) = L hτv hτ − (Lv) hτ(x,t),(x,t) ∋ wτ

và bậc n>0 theo t , nếu trong lớp các hàm đủ trơn v(x,t) ta có đánh giá

= max || y(t) || ;|| y(t) || =

t∈wτ τ || y(t) || ; y(t) || = [ τ || y(t) ||2 ] 1/ 2

1.4 THIẾT LẬP MỘT BÀI TOÁN SAI PHÂN

Để thiết lập một bài toán sai phân tương ứng với một bài toán vật lý –toán, chẳng hạn bài toán đối với môt phương trình vi phân thì ngoài việc xấp xỉphương trình vi phân cần phải viết các dữ kiện của bài toán dưới dạng sai phân

Tập hợp các phương trình sai phân đó (xấp xỉ phương trình vi phân xuấtphát và các dữ kiện) được gọi là một lược đồ sai phân Các dữ kiện ở đây là điềukiện biên, điều kiện ban đầu và vế phải phương trình

m

m

Ví dụ 1: Bài toán Cauchy đối với các phương trình vi phân thông thường:

y0 = u0

Tron

g côn

g thứ

c nà

y c

ó th

ể ch

o v

ế phải

ϕi

V

í dụ:

bằng cácphương pháp khác nhau

ϕi = f (x i ), ϕi

= 0,5[

(x i ) + f (x i+1 )]

Thỏa mãn điều kiện

Kết quả chúng ta thu được một hệ các

phương trình đại số với ma trận ba đường chéo (có thể giải được hệ này bằng phương pháp truy đuổi)

phương trình truyền nhiệt

15

∂u ∂ 2

u

Lu = −

∂t ∂x2 = f (x, t), 0 < x < 1, 0 < t < t0u(0, t) = µ 1 (t),u(1,t) = µ 2 (t)

Xét trường hợp khuôn lưới 4 điểm đơn giản nhất ta có bài toán sai phân

công thức tường minh:

y j+1 − y j+1 = F j , F j = y j + ϕ j

Với ma trận ba đường chéo, ta có thể giải hệ này bằng phương pháp truy đuổi

1.5 VỀ SỰ HỘI TỤ VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

Khi giải một bài toán vật lý nào đó bằng phương pháp gần đúng (xấp xỉ),thì mục đích cuối cùng là cần xem nghiệm được xác định bởi phương pháp xấp

xỉ đó đã xấp xỉ nghiệm chính xác của bài toán với độ chính xác như thế nào Vìvậy cần xét vấn đề hội tụ và độ chính xác của các lược đồ sai phân

là những hàm cho trước (dữ kiện của bài toán), l là toán tử vi

phân tuyến tính nào đó

Giả thiết rằng nghiệm của bài toán (1.5.1)-(1.5.2) tồn tại và duy nhất Phủ

i ∈ w h = w h + γh

Bước lưới h là một tham số nào đó đặc trưng cho sự trù mật của các nút lưới.

Ta đặt tương ứng bài toán vi phân (1.5.1)-(1.5.2) với bài toán sai phân sau

L h y h = ϕh , x ∈ w h

phụ thuộc vào tham số h Như

vậy, cần xét một họ các lược đồ dạng (1.5.3) tương ứng với các giá trị khác nhau

của tham số h.

xx

17

Mục đích cơ bản của mọi phương pháp gần đúng là nhận được nghiệm

hạn các phép tính Để thấy rõ độ sai khác giữa nghiệm chính xác u của bài toán

)

ta cần so sánh yh và uh Việc so sánh này thường được tiến hành trong không gian Hh của các hàm lưới.

xét sai số của lược đồ sai phân (1.5.3)

phương trình và sai số xấp xỉ điều kiện biên của bài toán sai phân đối với bài

l h y h = χh

Để đánh giá sai số của lược đồ zh và sai số xấp xỉ và người ta đưa vào các

Chúng ta sẽ nói rằng nghiệm của bài toán sai phân (1.5.3) hội tụ tới

nghiệm của bài toán vi phân (1.5.1)-(1.5.2) (lược đồ (1.5.3) hội tụ) nếu:

p(| h |) → 0 khi | h |→ 0

Ta nói lược đồ sai phân (1.5.3) hội tụ với tốc độ 0(| h | n ) hay có độ chính

thức sau

| h |≤ h0 , ta có bất đẳng

|| z h ||(1 ) =|| y h − u h || ≤ M | h |

h

trong đó M là một hằng số dương không phụ thuộc vào h và n>0.

Ta nói rằng lược đồ sai phân (1.5.3) có độ xấp xỉ bậc n nếu

( 2 h )

n ( 3 h )

của độ xấp xỉ là vấn đề đặc trưng cho sự phụ thuộc của nghiệm bài toán sai phân

(lược đồ ổn định), thì bậc của độ chính xác trùng với bậc của độ xấp xỉ

1.6 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

Trên đây ta đã thấy độ chính xác của lược đồ sai phân phụ thuộc vào bậcxấp xỉ đối với nghiệm bài toán xuất phát, không chỉ vào phương trình mà cònvào dữ kiện của bài toán đã cho Xét các ví dụ sau

Ví dụ: Bài toán biên đối với phương trình truyền sóng

19

∂ 2 (x,0)

(1.6.1)

u ( x,0) = u0 ( x) ∂2t = u0 ( x)

Rõ ràng khi tính gần đúng bài toán (1.6.1) ta đặc biệt chú ý tới cách viết ở

0 ) τ∂

Bởi vậy, điều kiện ban đầu viết dưới dạng sai phân

Điều kiện u ( x, t ) = u0

( x)

và các điều kiện biên trong trường hợp này được

xấp xỉ chính xác Ta có thể lấy một trong các lược đồ sai phân đã xét trong mục

1.2 làm ví dụ về phép xấp xỉ sai phân của phương trình vi phân

1.7 CÁC VÍ DỤ VỀ LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH

Việc sử dụng các lược đồ sai phâncho phép tiến hành giải các bài toán đốivới phương trình vi phân bằng cách đưa

về giải hệ phương trình đại số tuyếntính Các vế phải của phương trình, cácđiều kiện biên và điều kiện ban đầu màsau này ta gọi chung là dữ kiện vào –được cho với sai số xác định

Các lược đồ mà trong quá trìnhtính toán làm tăng các sai số ban đầu cótính không ổn định và không thể ápdụng vào thực tế Trước khi đưa ra kháiniệm về tính ổn định của lược đồ saiphân theo dữ kiện vào chúng ta hãy xétkhái niệm của nó bằng trực giác, ta chỉ

u ( x) = u0e

Bài toán sai phân xấp

xỉ bài toán (1.7.1) trên

lưới đều

ωh ={x ih,i =

0,1, }

0

− α

x

x =

i0h

Kh

i là

m nh

ở bư

ớc lưới

h

→

0

,số

i

0

ph

ù hợ

p vớ

i điể

m

x

i

y i = s y0 = e y0

(1.7.3)

0 ta cho tiếp y1 Với mọi σ lược đồ (1.7.3) có

mà không

bị chặn

do hàm

h

→∞

với

số mũ

n

>

0

hữu hạn bấtkỳ

Sựtha

đổi nhỏ các dữ kiện ban đầu khi h → 0 dẫn đến việc tăng không bị

đồ (1.7.3) không ổn định Các thí dụ chứng tỏ rằng khái niệm ổnđịnh của bài toán sai phân theo dữ kiện đã cho trùng với khái niệmphụ thuộc liên tục của nghiệm bài toán

sai phân vào các dữ kiện đã cho khi

bước lưới này được trình bày chi tiết

là dữ kiện cùa bài toán này

Chúng đều phụ thuộc vào tham số h (độ dài bước lưới) Thay đổi hchúng ta có

toán sai phân

phụ thuộc h Khái niệm sự đúng đắn của một bài toán sai phân

được xác định tương ứng như các bài toán của vật lý-toán

Ta nói rằng, bài toán sai phân là đặc chỉnh, nếu với

và sự phụ thuộc này là đều đối với h Cụ

thể điều kiện thứ hai biểu thị rằng tồn tại một hằng số M > 0 không

23