Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm không khí

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TINVÀ TRUYỀN THÔNG VƯƠNG TOÀN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Khoa họ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

VÀ TRUYỀN THÔNG

VƯƠNG TOÀN DŨNG

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM

KHÔNG KHÍ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60.48.01.01

Thái Nguyên - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

- Các thầy cô trong Khoa CNTT cùng toàn thể các cán bộ , nhân viên trường

ĐH Công Nghệ Thông Tin và Truyền Thông - Đại Học Thái Nguyên, trungtâm học liệu của Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gianhọc tập, nghiên cứu khoa học, tạo thuận lợi các thủ tục hành chính, tài liệucần thiết để tôi hoàn thành luận văn

- Ban Giám hiệu trường THCS Cộng Hòa, các thầy cô giáo trong tổ Khoahọc Tự nhiên và anh em bè bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ, độngviên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Hà Nội, ngày 11 tháng 11 năm 2015

Học viên

Vương Toàn Dũng

trường hợp riêng 12

2 Phương pháp số giải bài toán lan truyền khí thải 142.1 Giới thiệu một số phương pháp giải bài toán ô nhiễm 142.2 Giới thiệu sơ lược về phương pháp sai phân giải phương trình

đạo hàm riêng 162.3 Phương pháp sai phân giải bài toán khuếch tán - truyền tải 272.3.1 Xây dựng lược đồ sai phân 272.3.2 Giải hệ phương trình sai phân 31

3 Xây dựng chương trình tính nồng độ khí thải trong không

3.1 Thiết kế chương trình 353.2 Kết quả thử nghiệm 393.3 Đánh giá kết quả 47

Danh sách hình vẽ

2.1 Nghiệm số xấp xỉ trên lưới 17

2.2 Nghiệm chính xác (x) = −(x + sin πx), µ0 = 0, µ1 = π 6 . 18

2.3 Nghiệm số với h = 0.1 21

2.4 Nghiệm số với h = 0.01 21

2.5 Nghiệm số với h = 0.001 22

2.6 Sai số với h = 0.1 22

2.7 Sai số với h = 0.01 23

2.8 Sai số với h = 0.001 23

3.1 Giao diện chính của chương trình 37

3.2 Nhập các dữ liệu của bài toán 37

3.3 Nhập hoàn chỉnh các dữ liệu 38

3.4 Thực hiện tính nồng độ của chất gây ô nhiễm 38

3.5 Các tùy chọn để lấy dữ liệu đầu ra 39

3.6 Đường bình độ khi vận tốc gió u = 4× (z + 0.2)0.15 45

3.7 Mặt phân bố nồng độ x và z 45

3.8 Phân bố nồng độ khí thải theo x thì cố định z 46

3.9 Phân bố nồng độ khí thải theo z tại x = jhx 46

Mở đầu

Ngày nay thế giới nói chung và Việt nam nói riêng đang phải đối mặtvới một thực tế là môi trường không khí, nước và đất ngày càng bị ô nhiễmnghiêm trọng Với sự công nghiệp hóa ngày càng cao nhiều nhà máy, xí nghiệpđược mọc lên và đi vào hoạt động đã và đang thải ra môi trường nhiều chấtđộc hại ảnh hưởng trực tiếp đến sức khỏe con người và hủy hoại môi trườngsinh thái Vì thế việc tính toán dự báo mức độ ô nhiễm môi trường là vôcùng quan trọng trong quy hoạch phát triển các xí nghiệp công nghiệp

Để làm việc này cần nghiên cứu mô hình toán học của bài toán lan truyềnkhí thải trong môi trường khí, phương pháp giải bài toán này và xây dựngchương trình tính toán các kịch bản có thể xảy ra phục vụ cho thẩm địnhmôi trường trong các dự án đầu tư phát triển các khu công nghiệp

Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm môi trường có nhiều ứng dụngtrong trong thực tế Chẳng hạn, đó là những bài toán về cơ học lượng tử,năng lượng hạt nhân, hóa học và một số bài toán trong các lĩnh vực khác.Trong phạm vi đề tài này, chúng tôi nghiên cứu các bài toán liên quanđến môi trường và khí hậu Sự tác động qua lại của các phần tử khí trongmôi trường chính là trọng tâm cần nghiên cứu mang tính khoa học và thựctiễn cao vì nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự sống của trái đất Trong môi trườngkhông khí, khí quyển, các thành phần khí cũng như các thành phần khácđược pha trộn lẫn nhau (theo một tỷ lệ nào đó) dưới tác động của gió vàhiện tượng khuếch tán trong môi trường

Khí thải công nghiệp là tác nhân lớn nhất gây ô nhiễm không khí Cácthực thể vật chất bị nhiễm bẩn ở dạng khí (khói nhà máy, lò hạt nhân, núilửa ) được lan truyền, khuếch tán trong khí quyển, tác động với nhau dưới

sự ảnh hưởng của nhiệt độ và độ ẩm tạo thành một hợp chất phức tạp, gọichung là hợp chất khí Trong quá trình chuyển động các thành phần của hợp

chất khí tác động với nhau, một số thành phần đang từ không độc hại trởthành độc hại đối với đời sống sinh vật Quá trình này dẫn đến ô nhiễm cáclục địa và đại dương.

Để giải quyết được vấn đề đó ta cần biết được những quá trình lan truyền

và khuếch tán ác thực thể nhiễm bẩn trong môi trường vì khi di chuyển chúng

sẽ không biến thành những thành phần có hại và ngược lại Đó là vấn đềrất đáng quan tâm Vì thế giới không ngừng hoàn thiện, bên cạnh đó là nềncông nghiệp phát triển Chính vì vậy, để bảo vệ môi trường chúng ta phảiđiều chỉnh những tiềm năng sẵn có trong thiên nhiên để ít bị mất đi, mà cònnâng cao nó, cải thiện môi trường Tuy nhiên, đòi hỏi một lượng kinh phí rấtlớn, cần sự chung tay, góp sức của cả quốc gia và sự quan tâm của nhân loại.Nội dung của đề tài này, chúng tôi trình bày những phương trình liên hợpđược phân tích dựa trên các phương trình đã được thừa nhận các điều kiệnbiên, điều kiện ban đầu đồng thời nghiên cứu các phương pháp giải các bàitoán thu được kết quả cuối cùng mà nhờ chúng có thể đánh giá được mức độtác động của thực trạng ô nhiễm trong môi trường của một vùng lãnh thổ.Phần trình bày của luận văn gồm có 03 chương, cụ thể

 Chương 1: Mô hình toán học của bài toán ô nhiễm

Nội dung là phân tích mô hình toán học của bài toán ô nhiễm không khí.Phương trình khuếch toán-truyền trải vật chất trong khí quyển, bài toánkhuếch tán-truyền tải dừng, nghiệm giải tích trong trường hợp riêng

 Chương 2: Phương pháp số giải bài toán lan truyền khí thải

Nội dung của chương này trình bày một số phương pháp khác nhau giảibài toán ô nhiễm Trong đó, luận văn tập trung chính vào phương phápsai phân giải bài toán khuếch tán - truyền tải Lược đồ sai phân cho bàitoán khuếch tán - truyền tải được xây dựng Đồng thời phương pháp giải

hệ phương trình sai phân thu được từ được từ việc rời rạc hóa phươngtrình sai phân được đưa ra

 Chương 3: Xây dựng chương trình tính nồng độ khí thải trong khôngkhí

Trong chương này, xây dựng phương pháp giải các bài toán đã đặt ra

ở Chương 1 Do độ phức tạp của phương trình, với những giả thiết vềđiều kiện biên, giá trị ban đầu chặt chẽ người ta mới nhận được nghiệmchính xác của bài toán Thực tế cho thấy các bài toán đặt ra thườngrộng hơn, phức tạp hơn Do đó, việc tìm các phương pháp giải số cholớp các bài toán trên là một trong những phương pháp hữu hiệu được

sử dụng Luận văn trình bày phương pháp sai phân của bài toán khuếchtán đặt ta ở Chương 1 bằng toán tử sai phân với độ chính xác cấp haitheo các biến không gian và thoả mãn tính không âm

Trong luận văn này các lược đồ sai phân giải bài toán ô nhiễm môi trườngđược cài đặt bằng ngôn ngữ MatLab trên máy tính PC

độ cacbondioxit và các thành phần khác trong khí quyển Những thay đổicủa quá trình sinh thái được biểu hiện rõ nét ở những khu công nghiệp lớnnhư ”mưa a - xít”

Sự lan truyền các thực thể nhiễm bẩn trong khí quyển là do các luồng gió

và sự chuyển động rối Dòng chảy trung bình của các thực thể vật chất ấyđược trung bình hoá và được xem như là hiện tượng khuếch tán trên nềnchuyển động trung bình

Ta sẽ xét các mô hình toán học khác nhau của sự truyền tải và khuếchtán vật chất trong môi trường lỏng và môi trường khí

Bài toán 1 Cho một nguồn phát thải với công suất f, cho trường gió vớivận tốc −→u = u, v, ω
Giả sử hệ số khuếch tán theo phương nằm ngang là

µ, hệ số khuếch tán theo phương thẳng đứng là ν Ta cần xác định nồng độkhí thải tại điểm (x, y, z) tại thời điểm t , ký hiệu là ϕ(x, y, z, t)

Các kết quả của phần này dựa trên kết quả của Đặng Quang Á và NgôVăn Lược (xem [8])

1.1 Phương trình khuếch tán - truyền tải vật chất trong không

khí và bài toán khuếch tán - truyền tải dừng

Trong mục này chúng ta giới thiệu về bài toán khuếch tán - truyền tải vậtchất trong không khí và bài toán khuếch tán - truyền tải dừng Như chúng

ta đã biết, quá trình khuếch tán - truyền tải các chất gây ô nhiễm trong khíquyển có thể được mô tả bằng phương trình đạo hàm riêng có dạng (xem[8])

• f là công suất của nguồn phát thải

• ωg = const là vận tốc rơi của chất gây ô nhiễm bởi trọng lực

• σ = const ≥ 0 là hệ số biến đổi của chất gây ô nhiễm, ν, µ là các hệ sốkhuếch tán

2

∂x2 + ∂

2

∂y2 là toán tử Laplace

Phương trình (1.1) là cực kỳ phức tạp Không có hi vọng tìm được nghiệmchính xác Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản (được chấp nhậntrong thực tế) chúng ta có thể tìm được nghiệm giải tích của (1.1) (xem [8]).Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết trong mục 1.3 cuối chương này

Bây giờ, chúng ta xét bài toán khuếch tán - truyền tải (1.1) với các giảthiết

1 Nguồn phát thải có công suất phát thải không đổi Q và tập trung tạimột điểm Tức là f = Qδ(x)δ(y)δ(z − z0), trong đó δ là ký hiệu củahàm Dirac

2 Quá trình lan truyền đã ổn định (tức là không còn phụ thuộc thời gian)

∂ϕ

∂t = 0.

3 Hướng gió trùng với trục Ox và tốc độ gió chỉ phụ thuộc vào độ cao,

1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán khuếch tán truyền tải dừng

Đầu tiên, chúng ta ký hiệu

Định lý 1.1 Trong lớp H bài toán bài toán khuếch tán - truyền tải dừng(1.2) - (1.5) có không quá một nghiệm

Chứng minh Giả sử rằng bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5)

có hai nghiệm ϕ1, ϕ2 ∈ H Chúng ta sẽ chỉ ra ϕ1 − ϕ2 ≡ 0 Thật vậy, đặt

ψ = ϕ1 − ϕ2, Khi đó ψ thỏa mãn phương trình thuần nhất:

với các điều kiện biên (1.3) - (1.5)

Nhân phương trình (1.6) với ψ, sau đó thực hiện lấy tích phân trong miền

dxdy

Z ∞ 0

Bài toán (1.9) - (1.13) là bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trìnhparabolic Giả sử ϕ˜ là nghiệm của bài toán này Ta đặt

0, x < 0

(1.14)

Kết quả sau đây của Đặng Quang Á và Ngô Văn Lược([8]) chỉ ra rằng hàm

ψ xác định bởi (1.14) là một nghiệm của bài toán khuếch tán - truyền tảidừng (1.2) - (1.5)

Định lý 1.2 Hàm số ψ xác định bởi (1.14) là một nghiệm của bài toánkhuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5)

Định lý 1.2 và 1.3 cho ta một cách biểu diễn nghiệm của bài toán khuếchtán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) thông qua nghiệm của bài toán biên giá trịđầu cho phương trình parabolic (bài toán (1.9) - (1.13) và bài toán (1.18) -(1.21)) Trong phần cuối của chương này ta sẽ đưa ra biểu thức nghiệm giảitích (chính xác) cho bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trongtrường hợp cụ thể.

trong trường hợp riêng

Như ta đã phân tích trước đó, bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2)

- (1.5) là cực kỳ phức tạp, không có hi vọng tìm được nghiệm chính xáctrong trường hợp tổng quát Tuy nhiên, trong trường hợp riêng xét ở mụcnày chúng ta sẽ đưa ra được biểu thức giải tích cho nghiệm của bài toánkhuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5)

Đối với các chất gây ô nhiễm bảo toàn các dạng khí và các hạt mịn (gaseousand fine - particle conservative pollutants) (ωg = σ = 0) ta có thể biết mộtnghiệm giải tích của bài toán (1.18) - (1.21) khiu(z) vàν(z) là các hàm côngsuất trong các trường hợp α = 0 (tương ứng với điều kiện biên ∂ϕ

ϕ(x, y, z) = 4√πνµxQ e−uy24µx {√1πx(e−a2(z+z0)4x + e−a2(z−z0)4x )

−2αa ea2+a(z+z0)a2x erf c(a(z+z0 )

2 √x + a√ax)}, x > 0

ϕ(x, y, z) = 0, x < 0,

(1.22)

trong đó

erf c(x) = √2

π

Z ∞ x

e−u2du

Chứng minh Xem [8]

Định lý 1.4 cho ta công thức nghiệm giải tích của bài toán khuếch tán truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trong trường hợp riêng Thực tế cho thấy cácbài toán đặt ra thường rộng hơn, phức tạp hơn Nói chung, không thể xácđịnh được nghiệm giải tích của bài toán Do đó, việc tìm các phương phápgiải gần đúng bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) là thực sựquan trọng và cần thiết Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ trình bày vềphương pháp sai phân tìm nghiệm số xấp xỉ cho phương trình khuếch tán -truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trong các trường hợp tổng quát hơn

-Chương 2

Phương pháp số giải bài toán lan

truyền khí thải

Trong thời kỳ đầu của sự phát triển về khoa học môi trường, đối với việctính toán khuếch tán chất gây ô nhiễm từ các nguồn điểm trên cao (ốngkhói, ống xả khí), có thể kể đến một vài công thức tính toán khuếch tánđược áp dụng trong thực tế như công thức của Sutton (1947), công thức củaBosanquet và Pearson (1936) Trong thời kỳ này, các công thức của Sutton

và Bosanquet và Pearson được áp dụng rộng rãi để đánh giá phân bố nồng

độ của chất gây ô nhiễm xuôi theo chiều gió của nguồn điểm liên tục (nguồnhoạt động liên tục) Các công thức này được đề xuất dựa trên cơ sở lý thuyếtkhuếch tán của Taylor G I (1915) và Shmidt W (1917) (xem [2], Chương 3).Ngoài ra, còn có thể kể đến một số công thức khác như công thức xác địnhphân bố nồng độ chất gây ô nhiễm theo luật phân bố chuẩn Gaus hay côngthức của Berliand và cộng sự (xem [2], Chương 3 ) Các công thức này được

đề xuất dựa trên cơ sở lý thuyết khuếch tán của Taylor G I (1915) và Shmidt

W (1917) kết hợp với phương trình khuếch tán chất gây ô nhiễm (dạng khí

và dạng lơ lửng)

Dưới góc độ của toán học thì việc xác định nồng độ của chất gây ô nhiễmtrong không khí thực chất là việc giải phương trình đạo hàm riêng khuếchtán - truyền tải (1.2) Như chúng ta đã biết thì các phương trình vi phânđạo hàm riêng thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyếtthủy động lực, đàn dẻo, cơ học, lượng tử, chất lỏng, điện - từ trường Đa

số các bài toán này rất phức tạp, không có phương pháp giải đúng Chỉ có

một lớp phương trình rất hẹp là có thể tìm được nghiệm giải tích trong một

số trường hợp đặc biệt Chẳng hạn, phương trình khuếch tán - truyền tảidừng ta xét trong Chương 1 là một ví dụ Chính vì vậy việc nghiên cứu cácphương pháp giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là một trong nhữngvấn đề quan trọng của toán học lý thuyết nói chung và toán học tính toánnói riêng Do nhu cầu của thực tiễn và sự phát triển của lý thuyết toán học,các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều các phương pháp giải gần đúng phươngtrình đạo hàm riêng

Có thể kể đến hai lớp phương pháp truyền thống, được sử dụng phổ biến

và rộng rãi trong việc giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phươngpháp sai phân hay còn gọi là phương pháp lưới và phương pháp phần tử hữuhạn Nhìn chung, cả hai phương pháp này đều có những ưu điểm và nhượcđiểm riêng khác nhau tùy theo các lớp phương trình đạo hàm riêng khácnhau Có thể đối với nhiều phương trình đạo hàm riêng thì phương pháp saiphân có có ưu thế hơn so với phương pháp phần tử hữu và ngược lại

Đối với bài toán ô nhiễm khí quyển nói riêng thì cả hai lớp phương phápphần tử hữu hạn và phương pháp sai phân đều đã được xây dựng Cụ thể,trong luận án tiến sĩ của Supot Witayangkurn năm 2002 (xem [12]), tác giả

đã xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn cho các bài toán ô nhiễm khôngkhí Trước đó, năm 1994 trong kết quả của Đặng Quang Á, Ngô Văn lược(xem [7]), các tác giả đã xây dựng phương pháp sai phân cho bài toán ô nhiễmkhí quyển dừng Trong khuôn khổ của luận văn ta không xét đến phươngpháp phần tử hữu hạn mà chỉ xét đến phương pháp sai phân cho bài toán ônhiễm khí quyển Phần trình bày này dựa trên kết quả của Đặng Quang Á

và Ngô Văn Lược (xem [7])

Trong phần tiếp theo, trước khi trình bày về phương pháp sai phân giảiphương trình truyền tải - khuếch tán dừng, chúng ta sẽ trình bày một cách

sơ lược về phương pháp sai phân giải phương trình đạo hàm riêng

2.2 Giới thiệu sơ lược về phương pháp sai phân giải phương

trình đạo hàm riêng

Ý tưởng chính của các phương pháp sai phân là rời rạc hóa các đạo hàmxuất hiện trong phương trình vi phân bằng các công thức sai phân và thaythế các hàm số (liên tục) xuất hiện trong phương trình bằng các hàm số rờirạc xác định trên các nút lưới

Khi đó, bài toán vi phân được rời rạc hóa thành bài toán sai phân Việctìm nghiệm số gần đúng lúc này dẫn đến việc giải hệ phương trình đại sốtuyến tính Việc nghiên cứu các phương pháp giải các hệ đại số tuyến tínhnhận được từ việc rời rạc hóa các phương trình đạo hàm riêng cũng là mộtvấn đề quan trọng được các nhà toán học hết sức quan tâm ([10], [11])

Để minh họa cho việc sử dụng phương pháp sai phân giải các phương trìnhđạo hàm riêng ta xét hai ví dụ đơn giản sau đây

Ví dụ 2.1 Xét bài toán vi phân đơn giản: Tìm hàm u(x) xác định trên đoạn

[0, 1] thỏa mãn phương trình vi phân

và tính chất của nghiệm của bài toán (2.1) - (2.2) được trình bày trong tất

cả các giáo trình về phương trình vi phân Trong ví dụ này ta giả sử bài toán(2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất xác định trên đoạn [0, 1]

Để giải gần đúng hay cụ thể hơn là tìm nghiệm số của bài toán (2.1) (2.2), đầu tiên ta rời rạc hóa trục thời gian bằng phân hoạch (không nhấtthiết đều)

-π = {0 = x0 < x1 < x2 < xk < xk+1 < < xN = 1}

Các giá trị hn = xn+1 − xn được gọi là bước lưới Để đơn giản ta xét bướcđều, tức là hn = hn+1 = h với mọi n = 1, N − 1 Chúng ta xẽ tìm cách xây

dựng các giá trị xấp xỉ vn ≈ u(xn) ≡ un tại các nút lưới t0, t1, TN Tagọi các giá trị vn

n=N n=0 nghiệm số xấp xỉ, hay ngắn gọn là nghiệm số củaphương pháp trên lưới π

Hình 2.1: Nghiệm số xấp xỉ trên lưới

Với mục tiêu này xuất phát từ phương trình vi phân (2.1) ta có

Chúng ta xét bài toán (2.1) - (2.2) trong trường hợp cụ thể với hàm

1 Các phương pháp trực tiếp: là những phương pháp cho nghiệm đúng của

hệ phương trình đại số tuyến tính sau hữu hạn bước Với các giả thiếtkhông có sai số làm tròn, chẳng hạn, phương pháp khử Gauss, phươngpháp Gauss cải biên, phương pháp phân tíchLU, phương pháp Cholesky,phương pháp trực giao hóa Phương pháp trực tiếp thường sử dụng

để giải hệ kích thước nhỏ với các số liệu {A, b} cho đúng Trong trườnghợp còn lại, các phương pháp lặp lại có ưu thế hơn

2 Các phương pháp lặp: là phương pháp xây dựng một dãy vô hạn các xấp

xỉ x(k) mà giới hạn của dãy là nghiệm đúng của hệ Phương pháp này

thường sử dụng để giải hệ có kích thước lớn và số liệu chỉ biết gần đúng.Trong thực hành ta buộc phải dừng lại tại một bước k cụ thể nào đó vàxem x(k) là nghiệm gần đúng của hệ với sai số có thể ước lượng được.Ngoài ra còn một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ đại số tuyến tính điềukiện xấu Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thu được từ việcrời rạc hóa các phương trình vi phân đạo hàm riêng thì cần một số cácphương pháp hiệu quả hơn dành riêng cho các hệ loại này Ví dụ, phươngpháp Gradient liên hợp cho hệ phương trình với ma trận đối xứng xác địnhdương, các phương pháp giải hệ phương trình với ma trận thưa

Đối với ví dụ ta đang xét, hệ phương trình đại số tuyến tính nhận được

có ma trận hệ số là ma trận dạng ba đường chéo Một trong những phươngpháp giải quyết hiệu quả hệ ba đường chéo là phương pháp truy đuổi ([1]).Khối lượng tính toán của phương pháp truy đuổi chỉ là cỡ 8n (so với 2

3n

3của phương pháp khử Gauss) Định lý về tính khả thi và ổn định của phươngpháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo được trình bày trong chi tiết trong(xem [1], Định lý 1, Trang 24)

Ta dễ dàng kiểm tra được rằng: Trong trường hợp này hệ ba đường chéotrong trường hợp này thỏa mãn định lý về tính khả thi và ổn định của phươngpháp truy đuổi Sau đây ta xét một vài trường hợp với bước lưới cụ thể.Đầu tiên, với bước lưới h = 0.1 nghiệm số thu được từ lược đồ sai phân(2.5) được biểu diễn trong hình 2.3 Tiếp theo, bước lưới h = 0.01, nghiệm

số xấp xỉ thu được từ lược đồ sai phân (2.5) được biểu diễn trong hình 2.4.Cuối cùng, h = 0.001 nghiệm số xấp xỉ thu được biểu diễn trong hình 2.5

So sánh nghiệm số xấp xỉ trong hình 2.3 - 2.5 với nghiệm chính xác tronghình 2.2 chúng ta thấy rằng khi h càng nhỏ (h → 0) thì nghiệm số càng gầnvới nghiệm chính xác Lấy các bước lưới nhỏ hơn nữa, tức là lấy lưới mịn hơnthì ta hình dung được rằng nghiệm số gần như trùng với nghiệm chính xác

Để thấy rõ hơn điều này ta sẽ xét đến sai số tuyệt đối |ui− vi|, i = 1, N

Đồ thị của sai số tương ứng với các trường hợp h = 0.1, h = 0.01, h = 0.001

được biểu diễn trong các hình 2.6 - 2.8 Ở đây ta kí hiệu

e = max

i=1,N {|ui = vi|}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

Quan sát đồ thị của sai số ta có thể thấy rằng |ui − vi| giảm nhanh về 0

khi bước lưới nhỏ dần Thực tế ở trường hợp này khi lấy các bước lưới nhỏhơn ta có thể thấy rằng |ui− vi| → 0 khi h → 0+ Tức là nghiệm xấp xỉ hội

tụ đến nghiệm chính xác và

e = max

i=1,N{|ui = vi|} = O(h2)

Trong lý thuyết về các lược đồ sai phân một vấn đề quan trọng đặt ra ([3],[10]) là:

1 Độ chính xác của xấp xỉ vi cho ui, tức là |ui − vi| =?

2 Khi h → 0 thì hiệu |vi− ui| có hội tụ về 0 không? Nói cách khác là liệunghiệm xấp xỉ có hội tụ về nghiệm chính xác hay không?

Định nghĩa 2.1 Giả sử u(x) là nghiệm chính xác của bài toán vi phân và

{vi} là nghiệm của bài toán sai phân trên lưới rời rạc đều

Một trong những định lý quan trọng nhất về lý thuyết lược đồ sai phân

có thể tìm thấy trong tất cả các giáo trình về lý thuyết lược đồ sai phân ([3],[10]), đó là, định lý về sự hội tụ của lược đồ sai phân có thể phát biểu ngắngọn như sau:

Xấp xỉ cấp m (tức là có cấp chính xác O(hm)) + Ổn định =⇒ Hội tụ

Các kết quả lý thuyết đã chứng minh được rằng: Một trong những yếu tốđảm bảo độ chính xác của lược đồ sai phân là độ xấp xỉ của các công thứcsai phân tính gần đúng đạo hàm Có thể kể đến một vài công thức tính vầnđúng đạo hàm quen thuộc và độ chính xác của chúng như sau ([1], [3], [10]).

h2 +O(h2), Công thức xấp xỉ đạo hàm cấp hai

Ngoài ra còn rất nhiều các công thức xấp xỉ đạo hàm khác được xây dựngnhờ sử dụng các đa thức nội suy, sử dụng công thức Taylor hay phương phápngoại suy Romberg để xác định các công thức xấp xỉ đạo hàm có cấp chínhxác cao Vấn đề về tính gần đúng đạo hàm là một trong những vấn đề cơbản, quen thuộc và truyền thống của phương pháp số Có thể tìm thấy vấn

đề này trong tất cả các giáo trình phương pháp số nên ta không đi sâu vàoviệc trình bày vấn đề này trong luận văn

Trong các ví dụ 1 ta đang xét công thức xấp xỉ đạo hàm có độ chính xác

O(h2) Hơn nữa có thể chứng mình được rằng lược đồ sai phân trong trườnghợp này là ổn định vì thế cấp xấp xỉ của lược đồ sai phân trong trường hợpnày là O(h2)

Chú ý 2.1 Nếu ta xét bài toán giá trị ban đầu u0 = f (x, u) và sử dụng cáccông thức sai phân tiến, sai phân lùi để xấp xỉ đạo hàm cấp một thì ta nhậnđược các công thức kinh điển giải gần đúng phương trình vi phân thường Đó

là, công thức Euler ẩn và công thức Euler hiển

Ví dụ 2.2 Trong ví dụ này, ta xét bài toán biên đối với phương trình viphân phức tạp hơn: Tìm hàm u(x) xác định tại a < x < b thỏa mãn







−(ku0)0 + q(x)u(x) = f (x), x ∈ (0, 1)u(a) = α, u(b) = β

(2.7)

Trong đó k = k(x), q = q(x), f (x) là những hàm số cho trước khả vi tới cấpcần thiết và thỏa mãn

0 < c0 ≤ k(x) ≤ c1, c0, c1 = const, q(x) ≥ 0,

các dữ liệu đầu α, β được xác định trước Giả sử bài toán (2.7) có duy nhấtnghiệm xác định trên đoạn [a, b]

Chú ý 2.2 Đây chính là bài toán biên của phương trình eliptic một chiều

Nó mô tả hiện tượng truyền nhiệt dừng trong một thanh vật chất mà nhiệt

độ ở hai đầu nút của thanh được xác định trước

Tương tự như ví dụ 1, ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau,mỗi đoạn con dàih = (b−a)/N bởi các điểm chiaxi = a+ih,i = 0, 1, N