Luan van co so groebner va ung dung

Sinh viên: Phạm Đăng Hải Sinh viên: Phạm Đăng Hải Sinh viên: Phạm Đăng Hải - 2 - Lời cảm ơn Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ

Trang 1

Ng−êi h−íng dÉn: ThS Hµ Ngäc Phó ThS Hµ Ngäc Phó

Phó Thä, N¨m 2010

Trang 2

Sinh viên: Phạm Đăng Hải Sinh viên: Phạm Đăng Hải Sinh viên: Phạm Đăng Hải

- 2 -

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Công nghệ, Trường Đại học Hùng Vương đã tận tình chỉ bảo tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài này

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS ThS ThS Hà Ngọc Phú Hà Ngọc Phú Hà Ngọc Phú - Giảng viên Khoa Toán - Công nghệ, Trường Đại học Hùng Vương Thầy đã giành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khoá luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tôi lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn

và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Công nghệ, tới gia đình, bạn bè những người luôn sát cánh bên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như khi tôi thực hiện và hoàn chỉnh khoá luận này

Mặc dù đã rất cố gắng song khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để khoá luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Phú Thọ, tháng 05 năm 2010 Sinh viên

Phạm Đăng Hải

Trang 3

- 3 - Mục lục Trang Lời cảm ơn……… 2

Mục lục……… 3

Mở đầu……… 5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị……… 8

1.1 Vành đa thức……… 8

1.1.1 Đa thức và bậc đa thức……… 8

1.1.2 Định lí Hilbert về cơ sở……… 12

1.1.3 Đa thức một biến……… 12

1.2 Iđêan đơn thức……… 15

1.3 Thứ tự từ……… 18

1.3.1 Thứ tự từ……… 18

1.3.2 Một số thứ tự từ……… 21

Chương 2 Cơ sở Grửbner và một số ứng dụng……… 22

2.1 Cơ sở Grửbner……… 22

2.1.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu……… 22

2.1.2 Iđêan khởi đầu……… 24

2.1.3 Định nghĩa cơ sở Grửbner……… 25

2.2 Thuật toán chia……… 30

2.3 Thuật toán Buchberger……… 36

2.3.1 Tiêu chuẩn Buchberger……… 36

2.3.2 Thuật toán Buchberger……… 43

2.4 Một số ứng dụng của cơ sở Grửbner……… 46

2.4.1 Bài toán thành viên……… 46

2.4.2 Bài toán khử biến……… 48

Trang 4

- 4 - 2.4.3 Giao các iđêan……… 50

2.4.4 Thương các iđêan……… 52

Chương 3 Bài tập……… 54

3.1 Bài tập có lời giải……… 54

3.2 Bài tập tự giải……… 64

Kết luận……… 67

Tài liệu tham khảo……… 68

Phụ lục……… 69

Trang 5

Trong Đại số giao hoán, khi nghiên cứu vành đa thức một biến K x[ ] (với K

là một trường), ta đa biết mọi iđêan đa thức I đều sinh bởi một đa thức g nào đó

mà ta gọi nó là phần tử sinh của I, vì vậy với f ∈K x[ ] bất kì, ta thực hiện phép chia đa thức f cho đa thức g theo thuật toán chia ơclit để tìm đa thức dư r , đa

thức này xác định duy nhất và f ∈I khi và chỉ khi r =0 Một lẽ rất tự nhiên khi

mở rộng lên vành đa thức nhiều biến K x x[ 1, , 2 …, x n], để xác định một đa thức

[ 1, , 2 , n]

f ∈K x x … x bất kì có thuộc iđêan đa thức I ⊆ K x x[ 1, , 2 …, x n] cho trước nào đó hay không, ta sẽ đi tìm tập các phần tử sinh {g1, g2, …, g s}:=G, trong đó các g i thuộc I, và sau đó thực hiện phép chia đa thức f cho tập các đa thức G Tuy nhiên, liệu rằng có thực hiện được phép chia đa thức f cho tập G

để tìm đa thức dư r hay không? và đa thức dư này vẫn còn xác định duy nhất?

Thuật toán chia khi đó thay đổi ra sao so với thuật toán ơclit? Liệu rằng f ∈I

khi và chỉ khi r =0? Cơ sở Grửbner trong Đại số máy tính đa giải đáp được tất cả những thắc mắc trên Đó là phải thêm vào thứ tự từ trong vành đa thức [ 1, , 2 , n]

K x x … x để phép chia có thể thực hiện được, tuy nhiên đa thức dư r bây giờ không còn xác định duy nhất nữa Đa thức dư r được xác định duy nhất

Trang 6

- 6 -

khi tập các đa thức chia G là cơ sở Grửbner của iđêan I và do đó “ f ∈I khi và chỉ khi r =0” vẫn đúng Mọi iđêan I ⊆K x x[ 1, , 2 …, x n] đều có cơ sở Grửbner, vì vậy hoàn toàn có thể xác định được f ∈K x x[ 1, , 2 …, x n] bất kì có thuộc iđêan đa thức I ⊆K x x[ 1, , 2 …, x n] cho trước nào đó hay không

Do vai trò quan trọng của Đại số máy tính đối với các chuyên ngành khác của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại số và với mong muốn tìm hiểu, tôi đa chọn đề tài khoá luận “Cơ sở Grửbner và một số ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và trình bày một cách hệ thống, logic các kiến thức về vành đa thức, iđêan đơn thức, quan hệ thứ tự, thứ tự từ; khái niệm cơ sở Grửbner, thuật toán chia đa thức nhiều biến, thuật toán Buchberger để tìm cơ sở Grửbner, một

số ứng dụng của cơ sở Grửbner trong lí thuyết iđêan và hệ thống bài tập vận dụng

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của khoá luận là cơ sở Grửbner và một số ứng dụng của cơ sở Grửbner trong lí thuyết iđêan Bên cạnh đó khoá luận còn nghiên cứu về vành đa thức, iđêan đơn thức, quan hệ thứ tự Các kiến thức này được xem như là sự chuẩn bị cho các kiến thức chính của khoá luận

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo trình

về các vấn đề cần nghiên cứu như: vành đa thức, iđêan đơn thức, quan hệ thứ tự, thứ tự từ và khái niệm cơ sở Grửbner, thuật toán chia đa thức nhiều biến, thuật toán Buchberger để tìm cơ sở Grửbner, một số ứng dụng của cơ sở Grửbner trong

lí thuyết iđêan và hệ thống bài tập vận dụng

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến của giảng viên hướng dẫn khoa học và các giảng viên khác trong Bộ môn Toán, Khoa Toán - Công nghệ, trường Đại học Hùng Vương

Trang 7

- 7 -

5 ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khoá luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành toán của trường Đại học Hùng Vương có mong muốn tiếp tục tìm hiểu về Đại số máy tính Với bản thân, nghiên cứu về lí thuyết cơ sở Grửbner giúp tôi hiểu rõ hơn về lí thuyết này và nắm được một số ứng dụng của nó trong lí thuyết iđêan Qua đó tôi cũng thấy được sự phát triển của khoa học máy tính ngày nay có tác dụng tích cực trong nghiên cứu toán học lí thuyết

6 Bố cục của khoá luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận gồm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này hệ thống một số kiến thức về vành đa thức, iđêan đơn thức Tuy nhiên các kiến thức về vành đa thức được tiếp cận trực tiếp vành đa thức nhiều biến chứ không mở rộng từ vành đa thức một biến Chương này cũng trình bày khái niệm về quan hệ thứ tự và đưa ra khái niệm thứ tự từ - một quan hệ thứ tự quan trọng trong lí thuyết cơ sở Grửbner

Chương 2 Cơ sở Grửbner và một số ứng dụng

Chương này trình bày một cách hệ thống về những khái niệm cơ sở của lí thuyết cơ sở Grửbner: khái niệm iđêan và từ khởi đầu, định nghĩa và một số tính chất cơ bản của cơ sở Grửbner, thuật toán chia đa thức và thuật toán Buchberger tìm cơ sở Grửbner được trình bày ở các mục tiếp theo Phần cuối chương trình bày bốn ứng dụng của cơ sở Grửbner trong lí thuyết iđêan: bài toán thành viên, bài toán khử biến, giao các iđêan, thương các iđêan Trong mỗi ứng dụng đều có các thuật toán và sau mỗi thuật toán này đều có ví dụ minh hoạ

Chương 3 Bài tập

Chương này là hệ thống bài tập gồm: 15 bài tập có lời giải và 14 bài tập tự giải Các bài tập chủ yếu mang tính tính toán và ứng dụng lí thuyết nhằm giúp người đọc hiểu hơn và vận dụng được lí thuyết

Trang 8

x …x , trong đó ( , a1 …, )a n ∈ℕn được gọi là bộ số mũ của

Từ là biểu thức có dạng 1

1

n a a n

x x

α … , trong đó α∈R được gọi là hệ số của từ Thông thường phần tử của vành cơ sở R được gọi là phần tử vô hướng Hai từ khác không 1

1

n a a n

x x

α … và 1

1

n a a n

Trang 9

- 9 -

Vì αa +βa ≠0 nếu một trong hai hệ số αa hoặc βa khác 0, nên trong biểu thức

ở vế phải cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 và nó đúng là một đa thức

trong đó a1,…,ap∈ℕn là các bộ số mũ khác nhau Biểu diễn này là duy nhất và

được gọi là biểu diễn chính tắc của đa thức ( )f x

Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:

= ∑

b c

b c a ℕ

Ta thấy γa ≠0 chỉ khi tồn tại b và c với αb ≠0 và βc ≠0 để b+ =c a Do vậy chỉ có một số hữu hạn hệ số γa khác không, và phép nhân đa thức ở trên hoàn toàn xác định

Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên, tập tất cả các đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn thức 1 Tập này được kí hiệu là R x[ 1, …,x n] hay R[ ]x

Định nghĩa 1.1 Vành R x[ 1, …,x n] xây dựng như trên được gọi là vành đa thức

n biến trên vành R

Chú ý 1.2

• Khi n=1, ta có vành đa thức một biến thông thường Đa thức một biến x

thường viết dưới dạng

Trang 10

x x

α … trên R nh− là từ

1 1

đa thức hữu hạn biến

• Khi tập các biến đa đ−ợc xác định, ta chỉ kí hiệu đa thức đơn giản là f g … , ,

Mệnh đề 1.5 Nếu R là miền nguyên thì vành R[ ]x cũng là miền nguyên

Chứng minh Theo chú ý 1.2, chỉ cần chứng minh điều khẳng định đúng cho

vành đa thức một biến, rồi dùng quy nạp theo số biến

Trang 11

( ) ( ) 0

f x g x ≠ Cho f( )x ∈R[ ]x Với mỗi i≤deg ( )f x , kí hiệu f i là tổng tất cả các từ có bậc tổng thể là i trong biểu diễn chính tắc của f( )x f i đ−ợc gọi là thành phần thuần nhất thứ i của f( )x Khi đó f( )x = f p + +… f0, trong đó p =deg ( )f x

và f p ≠0

Mệnh đề 1.6 Nếu R là miền nguyên, thì với mọi đa thức f( ), ( )x g x ∈R[ ]x đều có

deg( ( ) ( ))f x g x =deg ( )f x +deg ( )g x

và deg( ( )f x +g( ))x ≤max deg ( ), deg ( ){ f x g x }

Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chặt khi và chỉ khi deg ( )f x =deg ( )g x và

g

de f( ) deg (g )

f x = −g x

Chứng minh Bất đẳng thức thứ hai hiển nhiên đúng Để chứng minh đẳng thức

đầu, có thể giả thiết f( )x ≠0 và g( )x ≠0

Đặt p =deg ( )f x và q=deg ( )g x Biểu diễn f( ), ( )x g x thành tổng các thành phần thuần nhất:

0

( ) p

f x = f + +… f và g( )x =g q + +… g0, trong đó f p ≠0 và g q ≠0 Khi đó

1 1

( ) ( ) p q ( p q p q)

f x g x = f g + f g − + f − g +…

Vì R là miền nguyên nên theo Mệnh đề 1.5, ta có f g p q ≠0 Do

deg f g p q = +p q và các số hạng còn lại trong tổng trên có bậc tổng thể nhỏ hơn hoặc bằng p+ −q 1 nên deg( ( ) ( ))f x g x = +p q

Trang 12

Một vành thoả man một trong ba điều kiện trên được gọi là vành Noether

Định lí 1.9 (Định lí Hilbert về cơ sở) Cho R là vành Noether và x là tập n

biến Khi đó vành R[ ]x cũng là vành Noether

Hệ quả 1.10 Mọi iđêan của vành đa thức K[ ]x trên trường K là hữu hạn sinh

Thuật toán 1 Thuật toán chia đa thức một biến

Tìm thương và đa thức dư CHIA( , ) : ( , )f g = q r khi chia f cho g

Input: g f,

Output: q r,

Trang 13

Hệ quả 1.12 Vành đa thức K x trên một trường tùy ý là vành các iđêan chính, [ ]

nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức

Định nghĩa 1.13 ước chung lớn nhất của các đa thức f1, …, f n∈K[ ]x là đa

thức g sao cho:

(i) g chia hết f1, …, f n, nghĩa là f1 =q g1 , …, f n =q g n ; , q1 …, q n∈K x[ ]

(ii) Nếu h là đa thức khác chia hết f1, …, f n , thì h chia hết g

Trong trường hợp đó ta viết g =UCLN( , f1 …, )f n

Định nghĩa 1.14 Các đa thức f1, …, f n∈K[ ]x được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu UCLN( , f1 …, ) 1f n =

Mệnh đề 1.15 Cho f1, …, f n∈K x[ ], n≥ 2 Khi đó:

(i)UCLN( , f1 …, )f n tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác 0 của K (ii) ( , f1 …, )f n =(UCLN( , f1 …, ))f n

(iii) Nếu n≥3 thì UCLN( , f1 …, )f n =UCLN(UCLN( , f1 …, f nư1), )f n

Chứng minh Xét iđêan I =( , f1 …, )f n Theo Hệ quả 1.12 tồn tại g∈K x[ ] sao cho I =( )g Vì f i∈( ), (g i=1, …, )n nên f chia hết cho g Giả sử h chia hết i

1, , n

f … f , tức là f1=q h1 , …, f n = q h n , trong đó q1, …, q n∈K x[ ] Vì g I∈nên tồn tại s1, …, s n∈K x[ ] sao cho:

Trang 14

14

-chia hết cho h Nh− vậy g =UCLN( , f1 …, )f n Nếu g′ là một −ớc chung lớn nhất khác của f1, …, f n thì g và g′ chia hết lẫn nhau Do đó chúng phải có cùng bậc và g =λg′ với 0≠ ∈λ K Đến đây các kết luận (i) và (ii) đ−ợc chứng minh

Để chứng minh (iii), đặt g =UCLN( , f1 …, f n−1) (1)

Theo (ii) UCLN( , f1 …, f n−1)=( , f1 …, f n−1) ⇒( )g =( , f1 …, f n−1)

UCLN( , f …, )f n =UCLN( , )g f n =UCLN(UCLN( , f …, f n− ), ))f n

Bổ đề 1.16 Cho f g, ∈K x[ ] thỏa man quan hệ:

f =qg+r, với q r, ∈K x[ ] Khi đó UCLN( , )f g =UCLN( , )g r

Từ trên chúng ta có thuật toán tìm −ớc chung lớn nhất của hai đa thức

Cho f g, ∈K x[ ], g ≠0 Viết f =qg +r, nh− trong Định lí chia đa thức một biến Kí hiệu r =Re m( ; )f g

Thuật toán 2 Thuật toán ơclit (Euclid)

Trang 15

15

-Nhận xét 1.17 Hệ quả 1.12 cho chúng ta biết sự tồn tại của một đa thức là phần

tử sinh của một iđêan trong vành đa thức một biến, cũng qua Mệnh đề 1.15 và Thuật toán ơclit cho ta cách tìm đa thức đó Chẳng hạn để tìm phần tử sinh của

Xem h nh− tổng hữu hạn của các từ và khai triển vế phải của đẳng thức trên i

ta thấy mỗi từ của nó phải chia hết cho a ( )i

x nào đó Sau khi giản −ớc, sẽ còn lại một từ trong số đó và từ đó phải bằng b

x Vậy b

x phải chia hết cho a ( )i

x nào

Trang 16

(b) Mọi từ của f thuộc I

(c) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I

Chứng minh. Rõ ràng có (c)⇒(b)⇒(a) Để chứng minh (a)⇒(c) ta cũng có nhận xét giống bổ đề trên, mỗi từ của f phải chia hết cho a

x với a∈A nào đó

Mà mọi đơn thức chia hết cho a

x lại thuộc I Do đó mỗi từ của f là tích của

n

m ( , )m n ↔x y m n

Trang 17

Chứng minh Điều kiện cần suy ra từ Bổ đề 1.20 Từ giả thiết suy ra tập tất cả các

đơn thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I Do đó điều kiện đủ được chứng

Bổ đề 1.23 (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I =( a; ∈A)

x a bao giờ cũng viết được dưới dạng (1) ( )

đây là thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu {u1, …, u s} của iđêan đơn thức I

khi cho biết một tập sinh hữu hạn đơn thức {m1, …, m r} của nó

Thuật toán 3 Thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu

IF m m j i THEN

: 1; : 1

i = +i j = +i

Trang 18

1 (Phản xạ) Với mọi x∈X : xSx

2 (Phản đối xứng) Với mọi x y, ∈X : nếu xSy và ySx thì x= y

3 (Bắc cầu) Với mọi x y z, , ∈X : nếu xSy và ySz thì xSz

Thông thường thứ tự bộ phận được kí hiệu bởi ≤ ≥, (bắt chước kí hiệu quan

hệ thứ tự thông thường của số nguyên hay số thực) Khi đó x≤ y cũng được nói

là “ x nhỏ hơn hoặc bằng y ” Nếu S là một thứ thự bộ phận thì quan hệ ngược

Trang 19

19

-Quan hệ thứ tự ≤ trên X được gọi là thứ tự toàn phần nếu mọi cặp phần tử của X đều so sánh được với nhau Khi đó ta nói tập X là tập sắp hoàn toàn Quan hệ chỉ thỏa man tính chất phản xạ và bắc cầu trong định nghĩa trên

được gọi là giả thứ tự (bộ phận, toàn phần)

Ví dụ 1

• Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên ℝ là một thứ tự toàn phần

• Kí hiệu P X( ) là tập tất cả các tập con của X Quan hệ bao hàm ⊆ là thứ tự

Định nghĩa 1.26 Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M tất cả các đơn thức của K[ ]x thoả man các tính chất sau:

(a) Với mọi m∈M, 1≤m

Trang 20

Bằng quy nạp ta xây dựng đ−ợc một day vô hạn các đơn thức thực sự giảm

Ng−ợc lại, nếu có một day vô hạn các đơn thức thực sự giảm thì day đó không có phần tử nhỏ nhất Vì vậy thứ tự đa cho không phải là thứ tự tốt

Bổ đề 1.28 Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt Ng−ợc lại mọi thứ tự tốt trên M thoả điều kiện (b) của Định nghĩa 1.26 là thứ tự từ

Chứng minh Cho ≤ là thứ tự từ Giả sử ∅ ≠ ⊆A M Gọi I ⊆K[ ]x là iđêan

đơn thức sinh bởi A Theo Bổ đề Dickson 1.23, tồn tại một số hữu hạn phần tử

Trang 21

Sinh viªn: Ph¹m §¨ng H¶i Sinh viªn: Ph¹m §¨ng H¶i Sinh viªn: Ph¹m §¨ng H¶i

xα …xα ≤ xβ…xβ nÕu hoÆc víi mäi 0≤ ≤i n cã α βi = i hoÆc thµnh phÇn

®Çu tiªn kh¸c kh«ng kÓ tõ bªn tr¸i cña vect¬ (α β1− 1, …, αn −βn) lµ mét sè ©m (nãi c¸ch kh¸c, nÕu tån t¹i 0≤ <i n sao cho α β1= 1, …, α βi = i, nh−ng

Trang 22

22

-Chương 2 Cơ sở Grửbner và một số ứng dụng

2.1 Cơ sở Grửbner

Kí hiệu R=K[ ]x =K x[ 1, …,x n] và M là tập đơn thức của nó

2.1.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu

Định nghĩa 2.1 Cho ≤ là một thứ tự từ và f ∈ =R K x[ 1, …,x n] Từ khởi đầu của f , kí hiệu là in ( )≤ f , là từ lớn nhất của đa thức f đối với thứ tự từ ≤

Nếu in ( )≤ f =α a, 0≠ ∈α K

x , thì lc ( )≤ f =α được gọi là hệ số đầu và

lm ( )≤ f = a

x là đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ ≤

Nếu thứ tự từ ≤ đa được ngầm hiểu, ta sẽ viết in( )f (t.ư lc( )f , lm( )f ) thay cho in ( )≤ f (t.ư lc ( )≤ f , lm ( )≤ f )

Từ khởi đầu của đa thức 0 được xem là không xác định (có thể nhận giá trị tuỳ ý)

Trang 23

(a) Với mọi i j : , in( )in( )f g ≠0, in( )f n j <in( )in( )f g và

in( ) in( )in( )

i

m g < f g Do đó in( )in( )f g không giản −ớc đ−ợc với từ nào sau khi

bỏ ngoặc của tích f g và là từ lớn nhất Vì vậy in(fg)=in( )in( )f g

(c) Không mất tính tổng quát có thể giả thiết in( )f ≥in( )g Nếu

in( )f >in( )g thì

f + =g f + g +∑m +∑n

Ta có in( )f >in( )g > n j nên in( )f >n j Theo định nghĩa từ khởi đầu lại có

in( )f >m i Vậy từ in( )f lớn nhất trong tổng trên và không giản −ớc đ−ợc với

các từ khác, nên

lm(f + g)=lm( )f =max lm( ), lm( )f g Nếu lm( )f =lm( )g và lc( )f ≠ −lc( )g thì

Trang 24

24

-trong đó khi lm( )f =lm( )g thì max in( ), in( ){ f g } đ−ợc hiểu nh− α lm( )f với

0≠ ∈α K nào đó

2.1.2 Iđêan khởi đầu

Định nghĩa 2.4 Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ Iđêan khởi đầu của

I, kí hiệu là in ( )≤ I , là iđêan của R sinh bởi các từ khởi đầu của các phần tử của

I, nghĩa là

in ( )≤ I = in ( ) ≤ f f ∈I Cũng nh− trên ta sẽ viết in( )I thay vì in ( )≤ I nếu ≤ đa rõ

Chú ý 2.5 Thấy rằng in( )f và lm( ) f chỉ khác nhau bởi một hằng số khác 0 nên

in( )I =(lm( ) f f ∈I), và do đó in( )I là iđêan đơn thức

Bổ đề 2.6 Cho ≤ là một thứ tự từ và , I J là hai iđêan của R Khi đó:

(a) Tập tất cả các đơn thức trong in( )I là tập {lm( )f f ∈I}

(b) Nếu I là iđêan đơn thức thì in( )I =I

(c) Nếu I ⊆ J thì in( )I ⊆in( )J Hơn nữa nếu I ⊆ J và in( ) in( )I = J thì I = J (d) in( ) in( )I J ⊆in(IJ)

(e) in( ) in( )I + J ⊆in(I + J)

Chứng minh (a) Do in( ) (lm( ) I = f f ∈I) là một iđêan đơn thức nên theo Bổ đề 1.19 thì với mọi đơn thức m∈in( )I ta đều có m=lm( ).f m′, trong đó f ∈I và

m′∈M Lại theo Bổ đề 2.2(b), m=lm( ).f m′=lm(m f′ ) và m f′ ∈I Vậy {lm( ) }

m∈ f f ∈I Điều ng−ợc lại đúng theo Chú ý 2.5

(b) Vì I là iđêan đơn thức, nên I sinh bởi một tập đơn thức A nào đó Với mỗi m∈A m, =in( )m ∈in( )I , nên A⊆in( )I , do đó I ⊆in( )I

Ng−ợc lại, nếu f ∈I là phần tử tùy ý thì theo các bổ đề 1.20 và 1.19, in( )f chia hết cho đơn thức m∈A nào đó Lại theo Bổ đề 1.19, in( )f ∈I Suy ra

in( )I ⊆I , tức là in( )I = I

Trang 25

25

-(c) Với mọi f ∈I thì in( )f ∈in( )I Do I ⊆ J nên f ∈J Suy ra

in( )f ∈in( )J Do đó in( )I ⊆in( )J

Giả sử in( )I =in( )J Nếu I ≠ J , theo Bổ đề 1.28, có thể chọn đ−ợc f ∈J I\ để

lm( )f =min lm( ) g g∈J I\ Vì lm( ) in( ) in( )f ∈ J = I , nên tồn tại g I∈ sao cho lm( ) lm( )f = g Thay , f g

bằng f lc( ), f g lc( )g ta có thể giả thiết lc( )f =lc( ) 1g = Đặt h= −f g Vì

,

f g∈J nên h∈J Nh−ng f ∉I và g∈I nên h∉I Vậy h∈J I\ Mặt khác, theo Bổ đề 2.2(c) ta lại có lm( )h <lm( )f Điều này mâu thuẫn với việc chọn f Vậy I =J

(d) Vì in( ) in( )I J sinh bởi các từ in( ) in( )f g , trong đó f ∈I và g∈J , và theo Bổ đề 2.2(a) in(fg)=in( ) in( )f g , nên ta có in( ) in( )I J ⊆in(IJ)

(e) Với mọi f ∈in( )I +in( )J thì tồn tại g∈I h, ∈J sao cho

in( ) in( )

f = g + h Mặt khác, g∈ ⊆ +I I J và h∈ ⊆ +J I J nên in( ), in( )g h ∈in(I +J)

Do đó f ∈in(I +J) Suy ra in( )I +in( )J ⊆in(I +J)

2.1.3 Định nghĩa cơ sở Grửbner

Định nghĩa 2.7 Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một iđêan của R Tập hữu hạn các đa thức khác không g1, …, g s∈I đ−ợc gọi là một cơ sở Grửbner của I đối với thứ tự từ ≤, nếu

1

in ( )≤ I =(in ( ), ≤ g …,in (≤ g s)) Tập g1, …, g s∈I đ−ợc gọi là một cơ sở Grửbner, nếu nó là cơ sở Grửbner của iđêan sinh bởi chính các phần tử này

Từ Bổ đề Dickson 1.23 suy ra mọi iđêan đều có cơ sở Grửbner (hữu hạn) Chú ý rằng ở đây (và trong cả khoá luận) ta luôn hiểu cơ sở nh− một hệ sinh

Trang 26

{ }(in(G\ g ))=in( )I Theo định nghĩa, từ đó suy ra G\{ }g cũng là một cơ sở Grửbner của I

Bổ đề 2.9 Cho I là một iđêan tùy ý của R Nếu g1, …,g s là cơ sở Grửbner của

I đối với một thứ tự từ nào đó, thì g1, …,g s là cơ sở của I

Chứng minh

Đặt J =( , g1 …,g s)⊆ I Vì in( )I =(in(g1), …,in(g s))⊆in( )J ⊆in( )I , nên

in( )J =in( )I Theo Bổ đề 2.6(c), I =J

Ví dụ 2

• Cho I là iđêan của vành K x[ ] Ta biết rằng trên vành này chỉ có một thứ

tự từ (theo bậc), và theo Hệ quả 1.12 I =( )f , với f ∈K x[ ] Từ Bổ đề 2.2(a), suy ra in( )I =(in( ))f

Trang 27

• Cho I = +(x y y, + ⊆z) K x y z[ , , ] và xét thứ tự từ điển với x> >y z Ta

sẽ chứng tỏ x+ y y, + z là cơ sở Grửbner của I Thực vậy mọi phần tử

0≠ ∈f I có dạng f = g x.( + y)+h y.( + z) Nếu in( )f không chứa x và

y thì f chỉ chứa biến z , tức f = f z( ) Thay x= z và y= −z vào biểu diễn vừa nêu của f , ta có f = f z( )= g z( , − z z, ).0+h z( , − z z, ).0=0, vô lí Vậy in( )f ∈( , )x y =(in(x+ y), in(y+ z)), hay x+ y y, + z là cơ sở

Grửbner của I đối với thứ tự từ điển

Theo Bổ đề 2.8 ta thấy kể cả khi cố định một thứ tự từ thì cơ sở Grửbner

không xác định duy nhất Bởi vậy ta cần khái niệm sau

Định nghĩa 2.10 Cơ sở Grửbner tối tiểu đối với một thứ tự từ đa cho là một cơ sở

Grửbner G⊂I thoả man các tính chất sau:

(a) lc( ) 1g = với mọi g∈G

(b) Với mọi g∈G không tồn tại g′∈G để in( ) in( )g′ g

Hệ quả 2.11 Cho ≤ là một thứ tự từ Khi đó mọi iđêan đều có cơ sở Grửbner tối tiểu và mọi cơ sở Grửbner tối tiểu của cùng một iđêan đều có chung số phần tử

và chung tập từ khởi đầu

Dựa vào Thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu của iđêan đơn thức, ta có ngay cách xây dựng cơ sở Grửbner tối tiểu xuất phát từ một cơ sở Grửbner nào

đó

Thuật toán 4: Thuật toán tìm cơ sở Grửbner tối tiểu

Tìm cơ sở Grửbner tối tiểu CSGRTT( , f1 …, ) :f r ={g1, …, g s}

từ cơ sở Grửbner f1, …, f r

Input: f1, …, f r: đa thức trong K[ ]x

Output: g1, …, g s: đa thức trong K[ ]x

Trang 28

f Khi đó không còn trường hợp mà từ khởi đầu của một phần tử sinh chia hết

từ khởi đầu của phần tử sinh khác Do vậy,

2 1

Trang 29

29

-Định nghĩa 2.12 Cơ sở Grửbner rút gọn của iđêan I đối với một thứ tự từ đa cho

là một cơ sở Grửbner G của I thoả man các tính chất sau:

(a) lc( ) 1g = với mọi g∈G

(b) Với mọi g∈G và mọi từ m của g không tồn tại g′∈G\{ }g để in( ) g′ m

Rõ ràng mọi cơ sở Grửbner rút gọn là cơ sở Grửbner tối tiểu Kết quả sau đây nói rằng cơ sở Grửbner rút gọn tồn tại và duy nhất

Mệnh đề 2.13 Cho I ≠0 Khi đó đối với mỗi thứ tự từ, I có duy nhất một cơ sở

Grửbner rút gọn

Chứng minh Trước hết ta chứng minh sự tồn tại Cho G là một cơ sở Grửbner

tối tiểu của I Ta nói rằng g∈G rút gọn trong G nếu không có từ nào của g, trừ từ khởi đầu của nó, chia hết cho các từ khởi đầu trong

in( ) :G = in( ) f f ∈G Mục đích của ta là thay đổi G sao cho cuối cùng sẽ nhận được cơ sở Grửbner mà mọi phần tử của nó đều rút gọn

Nhận xét rằng nếu g rút gọn trong G thì g cũng rút gọn trong mọi cơ sở

Grửbner tối tiểu G′ chứa g của I (bởi vì định nghĩa chỉ liên quan đến các từ khởi đầu trong G, trong khi G và G′ có chung tập các từ khởi đầu)

Giả sử g∈G là một phần tử không rút gọn trong G Chọn từ 0≠αm≠in( )g

(α∈K m, ∈M) lớn nhất của g sao cho tồn tại g ≠ ∈g′ G để in( ) g′ m Đặt

Trang 30

G′ chính là cơ sở Grửbner rút gọn

Bây giờ ta chứng tỏ tính duy nhất Giả sử G và G′ là hai cơ sở Grửbner rút gọn Theo Hệ quả 2.11 G và G′ có cùng số phần tử và in( )G =in(G′) Cho

g∈G tuỳ ý Khi đó chọn được g′∈G′ sao cho in( )g =in( )g′ Đặt

h= ư ∈g g′ I Ta có in( )h ≠in( )g =in( )g′ Nếu h≠0 thì in( )h hoặc là một từ của g, hoặc là một từ của g′, nhưng khác in( )g Theo định nghĩa của cơ sở

Grửbner, in( )h chia hết cho một từ khởi đầu *

in(g ) nào đó, với *

g ∈G Nhưng

điều này mâu thuẫn với điều kiện (b) của Định nghĩa 2.12 Suy ra h=0 và

g = ∈g′ G′ Tức là G⊆G′ Tương tự cũng có G′ ⊆G , nên G G= ′

2.2 Thuật toán chia

Định lí 2.14 (Định lí chia đa thức) Cố định một thứ tự từ ≤ trên M và cho

(i) Hoặc r =0, hoặc không có từ nào của r chia hết cho một trong các từ khởi

đầu in( ), f1 …, in( )f s Hơn nữa in( )r ≤in( )f

(ii) Nếu q i ≠0 thì in(q f i i)≤in( )f

Định nghĩa 2.15 Đa thức r ở trên được gọi là đa thức dư hoặc phần dư của f

khi chia cho F và được kí hiệu là r =Re m ( )F f Bản thân biểu diễn trên của f

được gọi là biểu diễn chính tắc của f theo f1, …, f s

Trang 31

Sinh viªn: Ph¹m §¨ng H¶i Sinh viªn: Ph¹m §¨ng H¶i Sinh viªn: Ph¹m §¨ng H¶i

31

-Chøng minh §Þnh lÝ 2.14

§Þnh lÝ ®−îc chøng minh b»ng ThuËt to¸n d−íi ®©y cho phÐp x©y dùng ®−îc c¸c ®a thøc q1, …, , q s r tháa man nh÷ng tÝnh chÊt trªn

ThuËt to¸n 5 ThuËt to¸n chia ®a thøc

T×m PHANDU( ; , f f1 …, ) :f s = r khi chia f cho f1, …, f s

Input: f1, …, , f s f : c¸c ®a thøc trong K[ ]x

Output: q1, …, , q s r: c¸c ®a thøc trong K[ ]x

Trang 32

Vì các q j, j≠i và r không thay đổi, nên (1) vẫn đúng ở bước này Từ Bổ đề 2.2

và giả thiết quy nạp ta cũng có:

Thêm nữa, vì p′ = ưp (in( ) in( ))p f i f i và

in((in( ) in( )) )p f i f i =(in( ) in( ))in( )p f i f i =in( )p

Trang 33

33

-Chú ý rằng r bắt đầu từ 0 và chỉ tăng thêm từ mới khi Chiahet=false, tức là khi không có in( )f i nào chia hết in( )p Khi đó từ thêm vào r chính là in( )p , nên r

thỏa man (i) của Định lí chia đa thức Điều kiện (ii) suy ra từ (2)

Cuối cùng ta chứng minh thuật toán dừng sau hữu hạn bước Nếu kí hiệu

0 , , i 1

p = f p i≥ là đa thức p thay đổi lần thứ i, thì ở trên vừa chứng tỏ

in(p0)>in(p1)>in(p2)>…

Vì thứ tự từ là thứ tự tốt, nên theo Bổ đề 1.27, day này phải dừng, tức là tồn tại i

f =x y+xy +y cho hai đa thức f1 =xyư1 và 2

f = y ư trong vành K x y[ ], đối với thứ tự từ điển sao cho x> y Phép chia được thực hiện như Bảng 1

Trong ví dụ này sau khi chia cho f1 lần đầu, ta được đa thức bị chia mới là

xy + +x y và giá trị của lệnh thử Chiahet : true= , nên phải quay lại từ đầu Lúc bấy giờ lại vẫn chia cho f1 và nhận được đa thức bị chia là 2

x+ y + y Đa thức này có từ khởi đầu không chia hết cho in( )f1 và in(f2) Do đó ở bước tiếp theo phải chuyển từ khởi đầu x của nó sang phần dư

Đa thức bị chia (trung gian) p Đa thức chia Phần dư r

Trang 34

34

-Bây giờ đa thức này không chia được cho f1, nên ta chia cho f2 và nhận

được đa thức chia mới là y+1 Tương tự như trên, chỉ còn lần lượt chuyển y và

1 sang phần dư là thuật toán dừng Lấy tổng các số hạng đứng dưới f i lại thành

Đa thức dư trong phép chia này là x+ +y 1

Ví dụ 4 Cũng ví dụ như trên nhưng ta đổi vị trí hai đa thức chia cho nhau

2

f = y ư và f2 = xyư1 Phép chia được thực hiện như Bảng 2

Bây giờ không thể bắt đầu với phép chia cho f1 được, mà phải chia cho f2

Đa thức bị chia mới là 2 2

xy + +x y và giá trị của lệnh thử Chiahet : true= , nên phải quay lại từ đầu Lúc bấy giờ ta chia cho f1 được và nhận được đa thức bị chia mới là 2

2x+ y Sau khi chuyển 2x sang phần dư, bắt đầu lại vòng lặp, ta thấy sẽ chia tiếp cho f1 … Cuối cùng, tương tự như ví dụ trên, ta được

( 1).( 1) ( 1) (2 1)

x y+ xy + y = +x y ư +x xyư + x+

Đa thức dư trong phép chia này là 2x+1

Đa thức bị chia (trung gian) p Đa thức chia Phần dư r

Trang 35

35

x + =x x x + + x + = x + + x x +x, tức chia 3

x +x cho 2

x và 2

1

x + có thể cho đa thức dư là x, hoặc 0

Chú ý 2.16 Kết quả thực hiện Thuật toán chia đa thức nêu trên phụ thuộc vào

việc sắp xếp thứ tự các phần tử của tập F ={f1, …, f s} Đa thức

PHANDU( ; )f F xác định duy nhất và là một giá trị của Rem ( )F f Tuy nhiên nói chung Rem ( )F f ≠PHANDU( ; )f F

Không những thế, Thuật toán chia đa thức chỉ cho một cách xây dựng đa thức dư, chứ không khẳng định đó là tất cả đa thức dư có thể có nêu trong Định lí chia

đa thức Chẳng hạn ta cũng có

.( 1) ( 1) ( 1)

x + =x ax x + ư ưa x x ư ưa x Như vậy ngay trong trường hợp đơn giản này cũng có vô số đa thức dư thoả man

Định lí chia đa thức Hơn nữa, ví dụ này chứng tỏ điều kiện đa thức r=0 không phải là điều kiện cần để f ∈( , f1 …, )f s , mặc dù hiển nhiên nó là điều kiện đủ

Mệnh đề 2.17 Giả sử F ={f1, …, f s} là một cơ sở Grửbner đối với một thứ tự

từ cho trước Khi đó với mỗi đa thức f ∈R , đa thức dư r của phép chia f cho

hệ F (trong Định lí chia đa thức) được xác định duy nhất

Nói riêng, kết quả thực hiện Thuật toán chia đa thức trong trường hợp này không phụ thuộc vào thứ tự các đa thức chia trong F

Chứng minh Sự tồn tại của r được đảm bảo bởi Định lí chia đa thức Giả sử có hai đa thức dư r và r′, tức là tồn tại q1, …, , , q s q1′ …, q s′ ∈R để

f =q f + +… q f + =r q f′ + +… q f′ + r′ Khi đó

không có từ nào của r và r′ chia hết cho in( )f i Vậy phải có r =r′

Định dạng
Số trang	71
Dung lượng	609,79 KB

Tài liệu tham khảo	Loại	Chi tiết
[1]. Lê Tuấn Hoa, Đạ i s ố mỏy tớnh: C ơ s ở Grửbner, NXB Đại học quốc gia Hà Néi, 2003	Khác
[2]. Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXBGD, 2006	Khác
[3]. Adams, W. W. and Loustaunau, P. An Introduction to Grửbner Bases, Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1994	Khác
[4]. D. Cox, T.Little and D’Oshea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer Verlag, 1991	Khác
[5]. David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, third edition	Khác
[6]. David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer Verlag	Khác
[7]. Brendan Hassett, Introduction to Algebraic Geometry, Cambridge, University Press, 2007	Khác