Về cơ sở groebner và ứng dụng trong vành đa thức

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ---Hoàng đình sơn Về cơ sở GroEbner và ứng dụng trong vành đa thức Chuyên ngành: Đại số & Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán họ

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh

-Hoàng đình sơn

Về cơ sở GroEbner

và ứng dụng trong vành đa thức

Chuyên ngành: Đại số & Lý thuyết số

Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học

Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thành Quang

Vinh - 2006

Mở đầu

Khái niệm cơ sở Groebner đợc nhà toán học Bruno Buchberger (học trò của nhà toán học ngời áo Groebner) đa ra vào năm 1965 (xem [11]) Năm 1970, Bruno Buchberger đã tìm thấy một thuật toán hữu hiệu để tính cơ sở Groebner (xem [4]) Việc ngày càng có nhiều đối tợng trong đại số và hình học có thể tính toán hoặc chứng minh thông qua cơ sở Groebner nói lên tầm quan trọng của lý thuyết này

Điểm chốt khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết của Buchberger chính là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trờng hợp các đa thức nhiều biến Một nét nổi bật của các phần mềm tính toán là chúng không chỉ giúp chúng ta tính toán mà còn hỗ trợ cho t duy, suy luận và do đó nó rất hữu ích trong giảng dạy và nghiên cứu toán học Kể từ khi phần mềm tính toán Maple ra đời (xem [2], [3] ,[4], [7]), nhiều trờng đại học trên thế giới đã thay đổi cách dạy và học toán Cùng với cách dạy giải toán truyền thống, ngời học đợc hớng dẫn để giải toán bằng Maple Phơng pháp này tạo ra cho toán học một cách tiếp cận mới sinh động và sáng tạo hơn, tạo ra cho con ngời có thể khai thác tối đa khả năng sáng tạo Tính toán hình thức hay còn gọi Đại số máy tính (Computer Algebra) xuất hiện khoảng ba chục năm nay và gần đây đã trở thành một chuyên ngành

độc lập Nếu nh thời buổi đầu, máy tính chỉ thực hiện đợc những tính toán bằng

số cụ thể nh giải phơng trình bằng số, tính tích phân xác định, thì sự ra đời … của Đại số máy tính ta có thể giải phơng trình với hệ số bằng chữ, tính tích phân bất định Đây là một chuyên ngành kết hợp chặt chẽ toán học và khoa … học máy tính Mặt khác sự phát triển của khoa học máy tính đòi hỏi phải xây dựng các lý thuyết toán học làm cơ sở cho việc xây dựng các thuật toán và các phần mềm tin học.

Phối hợp cả hai phơng hớng nghiên cứu trên, trong luận văn này chúng tôi ứng dụng lí thuyết Cơ sở Groebner để tìm tòi một số ứng dụng về phơng diện hình học đại số Hạt nhân của việc thực hiện đợc các ứng dụng này chính là lý thuyết Cơ sở Groebner Công việc này gặp thuận lợi nhờ hiện nay các chơng trình máy tính toán học lớn nh Mathematica, Maple, Macaulay, CocoA đều …

có thể cài đặt các thuật toán làm việc với cơ sở Groebner.

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu các khái niệm và kết quả cơ sở

Groebner, từ đó tìm tòi một số ứng dụng vào một số bài toán trong Đại số giao hoán, Hình học đại số thể hiện thông qua vành đa thức một biến và nhiều biến Cấu trúc luận văn gồm ba chơng, phần mở đầu và kết luận cùng với danh mục 14 tài liệu tham khảo có trích dẫn.

Nội dung chính của chơng 1 của luận văn gồm:

∙ Giới thiệu một số kiến thức cơ bản trong đại số giao hoán làm cơ sở cho các phần sau đó là lý thuyết iđêan trong vành đa thức Một trong những kết quả cơ bản về vành đa thức đó là nội dung của định lý Hilbert về cơ sở, nói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên trờng là hữu hạn sinh.

∙ Giới thiệu một lớp iđêan quan trọng là lớp iđêan đơn thức, là ví dụ cho nhiều vấn đề trong đại số giao hoán

∙ Trình bày nội dung và chứng minh một trong ba định lý nổi tiếng của Hilbert là định lý về cơ sở Từ đó phát biểu và chứng minh một cách độc lập một

hệ quả của nó là bổ đề Dickson

∙ Trình bày khái niệm và tính chất của thứ tự từ, đây là xuất phát điểm để xây dựng lí thuyết cơ sở Groebner.

Chơng 2 trình bày về những khái niệm cơ sở của lý thuyết cơ sở Groebner, khái niệm iđêan khởi đầu; định nghĩa và một số tính chất cơ bản của cơ sở Groebner bằng cách dùng thứ tự từ thay cho bậc của đa thức nhằm để mở rộng

định lý chia đa thức một biến ra trờng hợp nhiều biến và xây dựng thuật toán chia Sau đó, luận văn xem xét tiêu chuẩn để một hệ sinh của một iđêan là cơ sở Groebner của nó, đó là tiêu chuẩn Buchberger

Chơng 3, trình bày một số ứng dụng của lý thuyết cơ sở Groebner trong vành đa thức và nghiên cứu ứng dụng cơ sở Groebner xây dựng các thuật toán để giải một số bài toán về iđêan trong vành đa thức nhiều biến Luận văn trình bày t- ờng minh định nghĩa và một số tính chất của cơ sở Groebner Cơ sở Groebner là một loại tập sinh đặc biệt của iđêan và nó đợc sử dụng trong một số bài toán về iđêan trong vành đa thức bằng cách sử dụng định lý Hilbert về không điểm.

Luận văn đã giới thiệu đợc 10 thuật toán về đa thức Chẳng hạn nh thuật toán: thành viên; tìm giao các iđêan; tìm thơng các iđêan; tìm iđêan bão hoà; giải

hệ phơng trình đồng d đa thức Thông qua một số thuật toán, luận văn chứng tỏ việc tính toán hình thức trên các iđêan có thể thực hiện đợc với những thuật toán

mà có thể lập trình hoá và có thể tính toán với sự trợ giúp của các phần mềm tin học

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đã dành cho tôi sự quan tâm chu đáo, cụ thể và

nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số

& Lý thuyết số, Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau Đại học Trờng Đại học Vinh đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và viết luận văn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên , học sinh Trờng THPT Tân Kỳ I – Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An đã

động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập.

Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý của quý thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp

Tác giả

Mục lục

2.1 Iđêan khởi đầu Cơ sở Groebner ……… 13

Chơng 3 ứng dụng của cơ sở groEbner

1.1.1 Định nghĩa, ký hiệu.

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và x x1, , , (2 x nn ≥ 1) là các biến Ta gọi mỗi đơn thức là một biểu thức có dạng: 1 2

α , trong đó α ∈R đợc gọi là hệ số của từ Để

Đa thức không, kí hiệu là 0, là đa thức có tất cả các hệ số đều bằng không.

Phép cộng và phép nhân đa thức đợc định nghĩa nh sau:

= ∑

Ơ

Với hai phép toán cộng và nhân đa thức nêu trên có thể kiểm tra tập tất cả các

đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị 1

Tập này đợc kí hiệu là R x x[ 1, , ,2 x n] hay R X[ ] và đợc gọi là vành đa thức n biến trên vành R Bậc tổng thể của đa thức f X( ) là số

deg f X = max a + + + a an/ αa ≠ 0 .

1.1.2 Định nghĩa Cho R là một vành R đợc gọi là vành Noether, nếu mọi tập khác

rỗng các Iđêan của R đều có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm thức)

1.1.3 Định lý Hilbert về cơ sở Cho R là vành Noether và X là tập n biến Khi đó vành R X[ ] cũng là vành Noether.

Chứng minh Quy nạp theo số biến, ta chỉ cần chứng minh cho vành một biến R[ ]x Cho I0 ⊆ ⊆ ⊆ ⊆I1 I j là một dãy tăng các iđêan của R[ ]x Với mỗi iđêan I của R

Vì vành R là vành Noether, nên tồn tại p q Ơ, ∈ sao cho L I p( )q là phần tử cực

đại của họ {L I i( )j / ,i j Ơ∈ } Từ các dãy tăng nói trên, suy ra với mọi i> p j q, > ta có:

Ta sẽ chứng tỏ I j = ∀ ≥I t, j t Giả sử, ngợc lại I t ≤I j Trong số các đa thức khác

không của tập I j\I t chọn đa thức có bậc nhỏ nhất, chẳng hạn

1.1.6 Thuật toán chia đa thức một biến.

Bài toán: Tìm thơng và d trong phép chia đa thức f cho g

(hạng tử có bậc cao nhất của f x( )) là in( f )

1.1.7 Hệ quả Vành đa thức K x[ ] trên trờng K là vành các iđêan chính nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức.

1.1.8 Định nghĩa Ước chung lớn nhất (UCLN) của các đa thức một biến

[ ]

1, , ,2 n

f f f ∈K x là đa thức d sao cho:

i, d chia hết f f1, , ,2 f n

ii, Nếu d’ chia hết f f1, , ,2 f n thì d chia hết d’.

Khi đó, kí hiệu: d = UCLN( f f1, , ,2 f n ).

1.1.9 Mệnh đề Cho f f1, , ,2 f n∈K x n[ ], ≥2 Khi đó:

i, UCLN f f( , , , )1 2 f n tồn tại và duy nhất sai khác một hằng số khác 0 của K.

ii, f f1, , ,2 f n = UCLN f f( 1, , ,2 f n) .

iii, Nếu n≥3 thì UCLN f f( 1, , ,2 f n)=UCLN UCLN f f( ( 1, , ,2 f n−1),f n)

1.1.10 Thuật toán Euclid.

Kí hiệu r=Re ( ; )m f g là d trong phép chia f cho g Sau đây là thuật toán Euclid tìm ớc chung lớn nhất của hai đa thức:

r:= Rem(h;s)h:= s

i i

X h X

=

=∑ (1)Xem h i nh là tổng hữu hạn của các từ và khai triển vế phải của (1) ta thấy mỗi từ của nó phải chia hết cho mỗi a i( )

X nào đó Sau khi giản ớc, một trong số từ còn lại phải bằng b

i, f ∈I .

ii, Mọi từ của f thuộc I

iii, f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I

Chứng minh Hiển nhiên (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) Ta cần chứng tỏ: (i) ⇒ (iii) Thật vậy, tơng

tự nh bổ đề 1.1.11 ta có mỗi từ của f phải chia hết cho X a với a A∈ nào đó Mà mọi

đơn thức chia hết cho X a lại thuộc I Do đó mỗi từ của f là tích của một đơn thức thuộc I với một hệ tử thuộc K hay có (iii) ■

1.1.14 Hệ quả Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau nếu chúng chứa

1.1.16 Bổ đề Dickson Mọi iđêan đơn thức a;

I = X a A∈ bao giờ cũng viết đợc dới dạng ( )1 ( )

, ,

I = X X trong đó a( )1 , , ( )a s ∈A Nói khác đi, I là iđêan hữu hạn sinh.

Chứng minh Để tiện theo dõi và ứng dụng kỹ thuật chúng tôi trình bày chứng minh bổ

đề trên bằng quy nạp theo số biến n

Khi n = 1 ta có A ⊆ Ơ , chọn b A ∈ là số nhỏ nhất Khi đó 1

b

x chia hết mọi đơn thức 1

a

x với a A∈ Suy ra b

I = x Giả sử bổ đề đúng với (n – 1) biến Kí hiệu , { }

i

n

Xα x ∈I Giả sử m max m= { 1, ,m S} Với mỗi p=0, ,m−1, xét iđêan J p ⊆K[ ]X sinh

1.2 Thứ tự từ

1.2.1 Định nghĩa Một quan hệ (hai ngôi) R trên tập X đợc gọi là quan hệ thứ tự (bộ

phận), nếu nó thoả mãn 3 điều kiện sau với mọi x,y,z thuộc X:

i, xRx (Tính phản xạ)

ii, Nếu xRy và yRz thì xRz ( Tính bắc cầu)

iii, Nếu xRy xà yRx thì x = y (Tính phản đối xứng)

Quan hệ thứ tự thờng đợc kí hiệu bởi ≤

Quan hệ R chỉ thoả mãn 2 điều kiện (i) và (ii) gọi là giả thứ tự

Nếu trong tập X có quan hệ thứ tự ≤ thì ta nói X là tập sắp thứ tự Hai phần tử x,y∈X mà x≤y hoặc y≤x ta nói x,y so sánh đợc với nhau theo quan hệ ≤.

Quan hệ thứ tự ≤ trên X gọi là thứ tự toàn phần nếu mọi cặp phần tử đều so

sánh đợc với nhau Khi đó, X đợc gọi là tập sắp thứ tự hoàn toàn.

1.2.3 Bổ đề Zorn Nếu X là tập đợc sắp (bộ phận) sao cho mọi tập con khác rỗng đợc

sắp hoàn toàn của nó bị chặn trong X, thì X có phần tử tối đại.

1.2.4 Định nghĩa Giả sử M là tập tất cả các đơn thức của K X[ ] Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên M thoả mãn:

i, Với mọi m M∈ , 1≤m

ii, Nếu m m m M1, 2, ∈ mà m1≤m2 thì mm1≤mm2.

1.2.5 Bổ đề Một thứ tự toàn phần ≤ trên M là thứ tự tốt khi và chỉ khi mọi dãy đơn thức thực sự giảm:

m1>m2 >m3 > đều dừng sau hữu hạn phần tử.

Chứng minh Nếu ≤ không là thứ tự tốt thì tồn tại tập con A⊆M không có phần tử nhỏ nhất Lấy m1 là một phần tử tuỳ ý từ A Khi đó tìm đợc m2 <m1 trong A Tiếp tục nh vậy sau khi tìm đợc n đơn thức m1 >m2 > > m n trong A, lại tìm đợc m n+1<m n Bằng quy nạp

ta xây dựng đợc dãy tăng vô hạn các đơn thức thực sự giảm

Ngợc lại nếu có dãy vô hạn các đơn thức thực sự giảm, thì dãy đó không có phần tử nhỏ nhất Do đó thứ tự đó không là thứ tự tốt ■

1.2.6 Bổ đề Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt Ngợc lại, mọi thứ tự tốt trên M thoả mãn điều

kiện (ii) của định nghĩa 1.2.4 là thứ tự từ.

Chứng minh Cho ≤ là thứ tự từ Giả sử φ ≠ ⊆A M Gọi I⊆K X[ ] là iđêan đơn thức sinh

bởi A Theo bổ đề Dickson, tồn tại một số hữu hạn phần tử m m1, 2, ,m n∈A sao cho

Theo bổ đề 1.2.5, điều này trái giả thiết ≤ là thứ tự tốt Vậy ≤ thoả mãn cả 2

điều kiện của định nghĩa 1.2.5, hay ≤ là thứ tự từ ■

1.2.8 Định nghĩa Thứ tự theo trọng liên kết với λ là thứ tự bộ phận ≤λ trên M xác

định bởi X a <λ X b nếu và chỉ nếu λ ( ) a < λ ( ) b .

Ta nói hàm trọng số λ tơng thích với thứ tự ≤ nếu m1<λ m2 thì m1 < m2.

Cho ≤1, , K ≤s là các thứ tự bộ phận trên tập X Tích từ điển R của các thứ tự này là quan hệ xây dựng nh sau: xRy nếu và chỉ nếu tồn tại 1 i s ≤ ≤ để x y , không

so sánh đợc với nhau theo ≤1, , K ≤s và x <i y

1.2.9 Bổ đề Tích từ điển của các thứ tự theo trọng là thứ tự bộ phận trên M Hơn nữa,

nếu tất cả các hàm trọng số nhận giá trị không âm trên Ơn và thứ tự tích là thứ tự toàn phần, thì thứ tự tích là một thứ tự từ.

Chứng minh Để cho gọn, kí hiệu các thứ tự theo trọng liên kết với λ λ1, , ,2 λs lần lợt là

Vậy ≤ là thứ tự bộ phận Từ tính chất tuyến tính của hàm trọng số, suy ra các thứ

tự theo trọng ≤j thoả mãn tính chất (ii), của định nghĩa 1.2.4 của thứ tự từ Dễ dàng kiểm

tra tính chất này cho thứ tự tích ≤ Hơn nữa, nếu λ ( ) 0; ≥ ∀ ∈ Ơn

cực tiểu theo mọi thứ tự ≤j và 1 là đơn thức bé nhất ■

1.2.10 Từ khởi đầu, đơn thức đầu.

f = y − x + z +xy z Viết theo thứ tự từ giảm dần ta có:

- Đối với thứ tự từ điển mà x> >y z:

f = − x +xy z+ y + z và in≤lex( )f = −4 ;x3 lc≤lex( )f = −4;lm≤lex( )f =x3

- Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà x> >y z:

Chứng minh Giả sử f =in f( )+∑m i; m i <in f( ) và g in g= ( )+∑n j; n j <in g( ), trong đó m n i, j là các từ có thể bằng 0.

f + =g hoặc lm f( +g)=lm m( )i <lm f( ) hoặc lm f( +g)=lm n( )j <lm g( )( ,i jnào đó)

Từ đó ta suy ra: lm f( +g)<max lm f{ ( );lm g( ) } ■

Chơng 2 Cơ sở GroEbner 2.1 Iđêan khởi đầu Cơ sở Groebner

Kí hiệu R =K X[ ] =K x x[ 1, , ,2 x n] và M là tập các đơn thức của nó

2.1.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành R và ≤ là một thừ tự từ Iđêan khởi đầu

của I , kí hiệu là in I≤( ), là iđêan của R sinh bởi các từ đầu của các phần tử của I , tức là:

in I≤ = in f f≤ ∈I Nếu ≤ đã rõ ta viết in I( ) thay vì in I≤( ) Rõ ràng in I( ) là iđêan đơn thức vì

in I = lm f f ∈I .

2.1.2 Bổ đề Cho ≤ là thứ tự từ và I ,J là hai iđêan của R Khi đó:

a) Tập tất cả các đơn thức trong in I≤( ) là tập {lm f f( ) ∈I} .

và m f, ∈I Vậy m∈{lm f( ) \ f ∈I} Điều ngợc lại hiển nhiên đúng.

b) Vì I là iđêan đơn thức, nên I sinh bởi tập đơn thức A nào đó Với mỗi

m A m in m∈ = ∈in I nên I ⊆in I( ) Nếu f ∈I là phần tử tuỳ ý thì theo bổ đề 1.1.11

và 1.2.11, in f( ) chia hết cho đơn thức m A∈ nào đó, và in f( )∈I

ta có lm h( )<lm f( ), điều này mâu thuẫn việc chọn f Vậy I = J

d) Bởi vì in I in J( ) ( ) đợc sinh bởi các từ in f in g( ) ( ), trong đó f ∈I g J; ∈ mà

2.1.3 Định lý (Định lý Macaulay) Với mọi thứ tự từ ≤, tập B tất cả các đơn thức của

M nằm ngoài in I( ) lập thành một cơ sở của không gian véctơ R I trên trờng K.

Chứng minh Trớc hết, ta chứng tỏ B độc lập tuyến tính Giả sử tồn tại m m1, 2, ,m s∈B

và α α1, 2, ,α ∈s K\ 0{ } sao cho f =α1m1+ + αs m s và f =0 (trong R/I) Khi đó

in f =αm với i s≤ nào đó Do đó m i∈in I( ) trái giả thiết m i∈B.

Bây giờ ta chứng tỏ B là hệ sinh của R/I, hay B∪I sinh ra R, kí hiệu E là tập các tổ hợp tuyến tính của B∪I trên K Giả sử E ≠ R, khi đó có thể chọn đợc

\

f ∈R E (theo bổ đề 1.2.6) sao cho:

( ) ( ){ } f lm g g R E

lm = min / ∈ \ Nếu lm f( )∈B thì in f( )∈E và do đó f in f− ( )∈R E\ có từ khởi đầu thực sự bé

hơn in f( ) Vô lý Vậy phải có lm f( )∈in I( ) Theo bổ đề 2.1.2, tìm đợc g I∈ sao cho

in f =in g Vì g I∈ ⊆E và f ∉E nên h= − ∈f g R E\ Lại có lm h( )<lm f( ) trái

cách chọn f Suy ra phải có E = R tức B là hệ sinh của R I .

Cho J là iđêan của R Với mỗi s∈N kí hiệu R≤s là tập các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng s và J≤s là tập các đa thức trong J bậc nhỏ hơn hoặc bằng s Định lý Macaulay còn đợc sử dụng dới dạng khác Đó là:

in I Theo định lý 2.1.3, ta có B≤s là cơ sở của không gian véctơ R≤s /I≤s Mặt khác,

rõ ràng B≤s là cơ sở của không gian véctơ R≤s[in≤( )I ]≤s Từ đó có đẳng thức (a),(b) đợc suy ra từ định lý trên và nhận xét B là cơ sở của không gian véctơ R in I/ ( ) 

Một vấn đề đặt ra là làm thế nào để xác định đợc iđêan khởi đầu in I( ) của một iđêan I cho trớc Cách tốt nhất là tìm đợc hệ sinh tối tiểu của nó Theo bổ đề Dickson, mọi iđêan đơn thức đều có tập sinh đơn thức tối tiểu và hữu hạn Do đó, ta đa vào khái niệm:

2.1.5 Định nghĩa cơ sở Groebner Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một iđêan của R Tập hữu hạn các đa thức khác không g1, ,g s∈I đợc gọi là một cơ sở Groebner của I

đối với thứ tự ≤ nếu:

in≤( )I = in≤( )g1 , ,in≤( )g s

Tập g1, ,g s∈I đợc gọi là cơ sở Groebner nếu nó là cơ sở Groebner của iđêan

sinh bởi chính các phần tử này

Từ bổ đề Dickson, suy ra mọi iđêan đều có cơ sở Groebner Tuy nhiên từ định nghĩa trên cha khẳng định là bản thân g g1, , ,2 g s có phải là cơ sở của I hay không?

Bổ đề sau cho ta khẳng định điều đó

2.1.6 Bổ đề Cho I là một iđêan tuỳ ý của R Nếu g g1, , ,2 g s là cơ sở Groebner của I

đối với thứ tự từ nào đó thì g g1, , ,2 g s là cơ sở của I

in≤ f =in≤ f =xy nên { f f1, 2} Không là cơ sở Groebner của I đối với ≤lex

Tuy nhiên in≤glex( )f1 =in≤rlex( )f1 =xy; 3

2.1.7 Định nghĩa Cơ sở Groebner tối tiểu của I đối với thứ tự từ đã cho là một cơ sở Groebner G⊂I thoả mãn các tính chất:

a) lc g( ) 1;= ∀ ∈g G.

b) Với mọi g G∈ không tồn tại g,∈G đểin( )g, in( )g .

Vì mỗi iđêan đơn thức chỉ có duy nhất một tập sinh đơn thức tối tiểu nên ta có

2.1.8 Hệ quả Cho ≤ là một thứ tự từ Khi đó mọi iđêan đều có cơ sở Groebner tối tiểu

và mọi cơ sở Groebner tối tiểu của cùng một iđêan đều có chung số lợng phần tử và chung tập từ khởi đầu.

Từ thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu của iđêan đơn thức ta xây dựng thuật toán sau

2.1.9 Thuật toán tìm cơ sở Groebner tối tiểu

Tìm cơ sở Groebner tối tiểu CSGRTT ( , , )f1 f r ={g1, ,g s} từ cơ sở Groebner f1, ,f r

Input : f1, ,f r : đa thức trong K X[ ]

Output : g1, ,g s : đa thức trong K X[ ]

f =xy f = − +y axy a K∈ và xy y, 3 là các cơ sở tối tiểu của I Khi K vô hạn thì I

có vô hạn cơ sở Groebner tối tiểu Để có một cơ sở Groebner xác định duy nhất ta xét:

2.1.10 Định nghĩa Cho thứ tự từ ≤ Cơ sở Groebner rút gọn của iđêan I đối với thứ

tự từ ≤ là một cơ sở Groebner G của I thoả mãn:

a) lc g( ) 1= với mọi g G∈

b) Với mọi g G∈ và mọi từ m của g không tồn tại , { }

\

g ∈G g để in( )g ' m

Rõ ràng mọi cơ sở Groebner rút gọn là cơ sở Groebner tối tiểu

2.1.11 Mệnh đề Cho I ≠ 0 Khi đó với mỗi thứ tự từ, I có duy nhất một cơ sở

Groebner rút gọn.

Chứng minh Trớc hết chứng minh sự tồn tại: Cho G là cơ sở Groebner tối tiểu của I

Ta nói rằng g G∈ rút gọn trong G nếu không có từ nào của g, trừ từ khởi đầu của nó

chia hết cho các từ khởi đầu trong in G( ) :={in f( ) \ f ∈G} Nếu g rút gọn trong G, thì g

cũng rút gọn trong mọi cơ sở Groebner tối tiểu G’ chứa g của I (bởi vì định nghĩa chỉ liên quan đến các từ khởi đầu trong G, trong khi G và G’ có chung tập các từ khởi đầu) Giả sử a G∈ là một phần tử rút gọn trong G Chọn từ 0≠αm≠in g( );(α∈K m M, ∈ ) lớn

nhất của g sao cho tồn tại g≠ ∈g, G đểin( )g, m

g = −g α g in g Vì ,

in g > ≥m in g nên theo bổ đề 2.1.2, in g( )1 =in g( )=lm g( ) Do đó

{ } { }

1 ( \ ) 1

G = G g U g lại là cơ sở Groebner tối tiểu Hơn nữa, nếu kí hiệu đơn thức m xác

định nh trên là s(g) thì hoặc g1 rút gọn trong G1 hoặc s(g1) < s(g) Thật vậy giả sử g1

không rút gọn Nếu s(g1) là đơn thức của g chia hết cho từ khởi đầu của g*∈G nào đó, thì từ đó không thể là s(g), vì từ này đã bị triệt tiêu Cho nên s(g1) < s(g) Nếu s(g1) ta

Nếu lặp lại quá trình trên với tất cả các phần tử không rút gọn của G, thì sẽ nhận

đợc cơ sở Groebner G’ tối tiểu mà mọi phần tử của nó đều rút gọn (vì trong quá trình

đó mọi phần tử đã rút gọn đợc giữ nguyên)

Theo định nghĩa G’ là cơ sở Groebner rút gọn

Tính duy nhất: Giả sử G, G’ là hai cơ sở Groebner rút gọn Theo hệ quả 2.1.8 thì

G, G’ có cùng số phần tử và in G( )=in G( )' Cho g G∈ tuỳ ý Khi đó chọn đợc g'∈G'

in h hoặc là một từ của g hoặc là một từ của g’ nhng khác in g( ) Theo định nghĩa cơ

sở Groebner, in h( ) chia hết cho một từ đầu in g( )* nào đó, với g*∈G (mâu thuẫn với

định nhĩa 2.1.10) Suy ra h = 0 và '

g= ∈g G tức làG⊆G,.Tơng tự G, ⊆G nên G G= ' 

2.2 Thuật toán chia Thuật toán Buchberger

A Thuật toán chia

Ta đã biết vai trò quan trọng của định lý chia đa thức một biến để nghiên cứu cấu trúc của vành đa thức một biến ý tởng chính trong việc mở rộng định lý này là dùng thứ tự từ thay cho bậc của đa thức để giảm dần từ khởi đầu của đa thức bị chia,

cho đến khi không thể chia đợc thì dừng Bằng cách này không những mở rộng ra trờng hợp nhiều biến mà còn chia cho đợc nhiều đa thức cùng một lúc Nhng khi đó, đa thức

d và đa thức thơng không còn duy nhất Cụ thể:

2.2.1 Định lý (Định lý chia đa thức) Cố định một thứ tự từ trên M và cho

f q f q f r trong đó , q r thoả mãn các điều kiện: i

i, Hoặc r = 0, hoặc không có từ nào của r chia hết cho một trong các từ khởi đầu

1, , s

inf inf Hơn nữa inr inf ≤

ii, Nếu q i ≠0 thì ( in q f i i)≤in f i( ); =1, ,s

2.2.2 Định nghĩa Đa thức r ở trong định lý 2.2.1 gọi là đa thức d hoặc phần d của f

khi chia cho F và kí hiệu là r=Rem f Biểu diễn trên của F( ) f đợc gọi là biểu diễn chính tắc của f theo f1, ,f s

Chứng minh Định lý chia đa thức Định lý đợc chứng minh bởi thuật toán sau đây, cho

phép xây dựng các đa thức q q1, , , ,2 q r , thoả mãn những tính chất trên s

Thuật toán chia đa thức:

Tìm phần tử ( , , , ) :f f1 2 f s =r khi chia f cho f f1, , ,2 f s

Input: f f1, , , ,2 f f s : các đa thức trong K X[ ]

Output: q q1, , , ,2 q r s : các đa thức trong K X[ ]

i:= i +1

IF Chiahet = false THEN

r:= r + in(p)

Nên từ bổ đề 2.1.2 suy ra in p( )' <in p( )≤in f( ) Nh vậy, (2) đúng ở bớc này.

Nếu bớc này tiếp theo không thực hiện phép chia mà chỉ đổi phần d r thì các giá trị mới của p và r tơng ứng là p'= −p in p r( ); ' = +r in p( ) Vì p'+ = +r' p r và q1, ,q… s

không thay đổi nên ta vẫn có (1) ở bớc này Từ bổ đề 2.1.2 suy ra in p( )' <in p( )≤in f( )

Vấn đề còn lại là chứng minh thuật toán dừng sau hữu hạn bớc Nếu kí hiệu

0 ; ,i 1

p = f p i≥ là đa thức p khi thay đổi lần thứ i, thì ta có: in p( )0 >in p( )1 >in p( ) 2 >

Vì thứ tự từ là thứ tự tốt nên theo bổ đề 1.2.5 dãy này phải dừng, tức là tồn tại i để pi =

0, hay thuật toán dừng 

Ví dụ 3: Chia f =x y2 +2xy2−3y2 cho hai đa thức 2

f =xy− f = y − , trong vành K x y[ ], đối với thứ tự từ điển sao cho x > y Phép chia thực hiện nh sau:

Đa thức bị chia (trung gian) p

bị chia x−3y2+2y Đa thức có từ khởi đầu không chia hết cho in f( )1 và in f( )2 Do đó

ở bớc tiếp theo phải chuyển từ khởi đầu xsang phần d Bây giờ đa thức này không chia

đợc cho f1, nên ta chia cho f2 và nhận đợc đa thức chia mới 2y−3 Tơng tự, lần lợt

chuyển 2y và 3 sang phần d là thuật toán dừng

Nh vậy, f = +(x 2 )y f1−3f2+ +(x 2y−3)

Đa thức r là x+2y−3.

Đa thức d không xác định duy nhất, kết quả thực hiện thuật toán chia đa thức trên phụ thuộc vào việc sắp xếp thứ tự các phần tử của F ={ f1, ,f s} Hơn nữa, thuật toán

chia đa thức chỉ cho một cách xây dựng đa thức d, chứ không khẳng định đó là tất cả

đa thức d đợc nêu trong định lý Chẳng hạn, ta có: