CHUYÊN đề TÍCH PHÂN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

VẤN ĐỀ 1 Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm+ Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.. VẤN ĐỀ 3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng

Trang 1

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093

CHỦ ĐỀ 2 TÍCH PHÂN

1 Khái niệm tích phân

• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là b ( )

• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: b ( )

3 Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số: [ ] ( )

b) Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì: b b a b

udv uv= − vdu

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

b a

vdu

∫ dễ tính hơn

b a

udv

∫ – Khi tính f x dx

b a

)(

∫ cần chú ý xem hàm số y = f(x) cĩ liên tục trên [ ]a; b khơng ? Nếu cĩ thì áp

Trang 2

VẤN ĐỀ 1 Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

+ Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.

+ Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b ( ) ( ) ( )

a

f x dx F b F a= −

∫

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Biến đổi biểu thức để cĩ nguyên hàm.

– Nắm vững bảng các nguyên hàm.

– Nắm vững phép tính vi phân.

Bài 1 Tính các tích phân sau:

1

x dx x

−

1 2 2

4

x

dx x

2

dx x

x dx x

8

3 2 1

143

e dx

− − − +

1

1 0

2

x x

e

dx e

3 3

Trang 3

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

4

x dx x

tancos

x dx x

Trang 4

t hoặc đặt = cos

a x

t

ĐỔI BIẾN DẠNG 1 Bài 1 Tính các tích phân sau

0 1

x dx x

Bài 2 Tính các tích phân sau

21

dx x

++

e dx

e e

1

ln

e x dx x

∫

Trang 5

cos sin

1 sin

dx x

tan

cos

x dx x

f) 6 2015 0

−

c) 5ln

ĐỔI BIẾN DẠNG 2 Bài 1 Tính các tích phân sau

4 x dx−

1 2

01

dx x

1

x dx x

2

x dx x

Trang 6

VẤN ĐỀ 3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

( )

b

x a

e e

2 4

Trang 7

e dx x

π

++

b

a

I =∫ f x dx, ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

+ Nếu h x( ) 0> thì max{ f x g x( ), ( )} = f x( ) và min{ f x g x( ), ( )} =g x( ).

+ Nếu h x( ) 0< thì max{ f x g x( ), ( )} =g x( ) và min{ f x g x( ), ( )} = f x( ).

x −x dx

2 2 0

Trang 8

- Loại 1: Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.

- Loại 2: Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng

của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

Các dạng dùng phương pháp hệ số bất định thường gặp:

Dạng 1: Mẫu số cĩ nghiệm đơn:

Trang 9

- Loại 3: Một số nguyên hàm ta dùng phương pháp đổi biến hoặc từng phần

−

4 2

11

x dx

4ln

dx x

x dx

2008 1

11

x dx

−+

Trang 10

x

dx x

++

2 0

4

dx x

11

dx x

+ ++

1 4

x dx

11

x dx x

−+

x

99 1

101 0

∫ x dx x

4 1

1

−+

∫ x dx x

4 1

11

1 4 6 0

1

x

3 2 3 4

1

11

Trang 11

Vấn đề 6 Tính tích phân các hàm số vô tỉ

cx d

+

=+

a x

a x dx

a x

+

−

−+

1

−+

∫ x dx x

8 2 3

1

−+

27

3 2 1

Trang 12

∫ x x dx x

∫ x dx x

1 2 1− −

∫

Trang 13

2 3

dx x

2

x dx x

dx x x

++

Dạng 1: Các dạng:

sin sinsin sinsin sin

Trang 14

Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi thành tổng:

21

axdx

n N axdx

Dạng 3 : ∫sinn ax.cosm axdx (n, m ∈ N)

+ Với n lẻ hay m lẻ : n lẻ Đặt u = cosax ; m lẻ Đặt u = sinax

+ Với n và m chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc:

2

2cos1

ax=

2sin2cos

1cos

dx ax dx ax

Trang 15

1

1cos

axdx

n N axdx

2

tan

cos

ax dx ax

1-dt dx

∫

Phương pháp: Phân tích

x d x c

x d x c B A x d x c

x b x a

cos.sin

)sin.cos.(cos

.sin

cos.sin

+

−+

=+

C n

x d x c

x d x c B A n x d x c

m x b x a

++

+++

−+

=++

++

cos.sin.cos

.sin

)sin.cos.(cos

.sin

cos.sin

Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B, C.

Trang 16

(1 ) sin( ) (cos( - ) ) (sin( ) ) (cos - )

* Dùng công thức tổng thành tích biến đổi về dạng 12 rồi giải bình thường

* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :

Trang 17

+ Biến đổi về dạng : sin2 sin cos cos2 (atan2 tan )cot2

π8

Trang 18

1 cos

x dx x

π

+

3 4 6

π

+

2 0

a) 2

0

1sinx cosx 1dx

ln 32

2ln

2

Dạng 3 Tính tích phân lượng giác bằng phương pháp từng phần

Trang 19

Kết hợp với đổi biến Bài 1 Tính các tích phân sau

π

01 cos 2

xdx x

π

∫

ln 23

ln sincos

x x

BÀI TẬP TỔNG HỢP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC Bài 1 Tính các tích phân sau

a)2

4 0

cos2

1 sin2

h)

5 4

π

++

Trang 20

d)

dx I

sin 2

2 sin

x dx x

2 3

a)

π

−+

2

3 0

2

3 0

sin

b)

π π

+ ++

2 3

Trang 21

tancos 1 cos

ĐS: a) 1ln3−2ln 2

π+ 2 3−

0

tancos 2

x dx x

cos

x dx

Trang 22

Tính tích phân các hàm số mũ và logarit bằng phương pháp đổi biến

e dx

e dx e

e e

e dx

ln8 2

19

3ln2

2 3

8 ln 3

1 ln

Trang 23

log

+ −+

e

e e

+

Dạng 2 Tính tích phân các hàm số mũ và logarit phương pháp từng phần

Kết hợp phương pháp đổi biến Bài 1 Tính các tích phân sau

ln(sin )cos

x dx x

++

∫

Trang 24

3

ln1

2 3

2

1

ln(x 1)

dx x

0

1ln

1.ln d) 1 2∫x .ln(1+x dx2)

x

dx e

1(x 1 )e x x dx

e

e e

e

1–2 ln

x dx x

2 2 1

(

π

xdx x

ln

e)

3 2 6

ln(sin )cos x dx x

x

++

∫

VẤN ĐỀ 9

Trang 25

Một số tích phân các hàm số đặc biệt

Dạng 1

Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ trên đoạn [-a; a]

Bài toán 1: Nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [−a, a] thì : ∫ ( )

−

=

= a

a dx x f

α

dx x f dx a

x f x

t t

t f a dt a

t f dx a

x f

Thế vào (1) ta được : ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) =∫ ( )

+

++

=+

α

dx x f dx x f dx x f a dx x f

x x

x

Trang 26

Chú ý: Các tính chất này không có trong sách giáo khoa nên phải chứng minh mới được vận dụng giải toán.

a)

5 2

2

sin

1 cos

x dx x

4 sin

xdx x

cos

4 sin

dx x

cos

dx x

sin1

dx x

−

++

2017 1

sin

2 1

2

2014 2

π

−

++

−

++

Trang 27

Bài 5 Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x( )+ − =f x( ) 2 2cos2+ x , với mọi x∈R Tính: I f x dx

3 2

t x

.sin

π

0

2

Do đó ta cần nhớ: + Neáu f(x) lieân tuïc treân 0;

=+

T

T a

T a T

T a a

T a

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f

0 0

Vậy ta cần chứng minh ∫a ( ) =a∫+T ( )

T dx x f dx x f

T t

x 0

Trang 28

Vậy : a∫+T ( − ) = ∫+ ( )

T

T a T dt t f dt T t

f Hay : a∫+T ( ) =∫ ( )

a

T dx x f dx x f

+ Nếu f(x) liên tục và f a b x( + − =) f x( ) hoặc f a b x( + − = −) f x( ) thì đặt: t = a + b – x

Đặc biệt: nếu a + b = π thì đặt t = π – x

nếu a + b = 2π thì đặt t = 2π – x

+ Các tính chất này khơng cĩ trong sách giáo khoa nên phải chứng minh mới được vận dụng giải tốn.

Bài 1 Tính các tích phân sau:

1 cos

x dx x

sin1

dx x

−

++

cos1

sin

dx x

x x

2 2

Trang 29

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093

Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)

± g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x)

Ta thực hiện các bước như sau:

F x = A x +B x +C là nguyên hàm của f(x).

Bài 1 Tính các tích phân sau:

4

dx x

01

xdx x

ln 22

Trang 30

ĐS: a) 1 b) 58

11215

7/3 3 0

1

x dx x

++

dx x

4

++

∫ x e dx x x

2 0

1

ĐS: a)

5 2

3 2 ln

1

e e

++

44

ππ

sincos

dx x

ln(5 x) x 5 x

dx x

x dx x

∫+

cossin

Trang 31

π

++

( sin )sin

π

++

∫ x x dx

x

2 3

π

+

∫

ĐS: a) b) c) d) e) π −2 f)0

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	3,08 MB