bài giảng toán cao cấp

Chẳng hạn như tập hợp các sinh viên trong một lớp học, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các nghiệm của một phương trình đại số .v.v.. Các đối tượng tạo nên tập hợp được gọi là các phần t

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÁI

NGUYÊN

Biên soạn: Nguyễn Độc Lập

Bộ môn: Toán - Tin

Chương II

Giới thiệu

Chương I

Chương III Chương IV Chương V Chương VI Chương VII Chương VIII

MỤC LỤC

Trong chương trỡnh đào tạo theo hướng đổi mới lấy người học làm trung tâm, chuyển đổi từ niên chế sang tín chỉ, chương trỡnh Toán đào tạo cho Trường đại học Y Dược có sự đổi mới theo hướng tinh giản để phù hợp với cách học tự nghiên cứu của sinh viên Phần Toán cao cấp mà chúng tôi trỡnh bày dưới đây sẽ bám sát mục tiêu phục vụ việc nghiên cứu khoa học, điều trị trong Y học Phần bài tập tự ôn luyện sẽ được trỡnh bày kỹ trong các giờ giải đáp thắc mắc và cuốn Bài tập Toán hoc cao cấp- Xác suất thông kê của cùng tác giả.

Với thời lượng 45 tiết , tương đương với 2 tín chỉ, người học cần nắm được lý thuyết cơ bản và giải được phương trỡnh ma trận, hệ phương trỡnh tuyến tính.

Tính được tích phân suy rộng loại I, II.

Giải được phương trỡnh vi phân tuyến tính cấp 1, cấp 2 có dạng đặc biệt.

Xét được sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương, tính được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.

Chương 1 Tập hợp, quan hệ và logic suy luận

Chương II Ma trận - Định thức

Đ1 Ma trận

1 Các khái niệm cơ bản về ma trận

2 Các phép toán đối với ma trận

Đ3 Các phương pháp tính định thức

1 Phương pháp khai triển

2 Định thức của tích hai ma trận

Đ4 Ma trận nghịch đảo

1 Khái niệm ma trận nghịch đảo

2 Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo

3 Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo và biểu thức của nó

4 Tỡm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp

5 Ma trận nghịch đảo của tích hai ma trận

6 ứng dụng của ma trận nghịch đảo

Đ5 Hạng của ma trận

1 Hạng của ma trận

2 Tỡm hạng của ma trân bằng biến đổi sơ cấp

Chương III Hệ phương trỡnh tuyến tính

Đ1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương tr ỡ nh tuyến tính

1 Hệ phương trỡnh tuyến tính tổng quát

2 Nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tính

3 Hệ tương đương

4 Các phép biến đổi sơ cấp

5 Hệ tam giác và hệ hỡnh thang

Đ2 Hệ Cramer

1 Định nghĩa

2 Quy tắc Cramer

Đ3 Hệ phương trỡnh tuyến tính tổng quát

1 Điều kiện có nghiệm

2 Giải hệ phương trỡnh tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp

Đ4 Hệ thuần nhất

1 Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường

2 Mối liên hệ với hệ không thuần nhất

Chương IV Hàm số

4.1 Hàm một biến

4.2 Các hàm sơ cấp cơ bản

4.3 Hàm hai biến

4.4 Định nghĩa và tính chất giới hạn hàm một biến

4.5 Giới hạn hàm hai biến

4.6 Sự liên tục của hàm một biến - hàm hai biến

Chương V: Phép tính vi phân

5.1 Đạo hàm - vi phân của hàm một biến

5.2 Đạo hàm và vi phân của hàm hai biến

Chương VI Phép tính tích phân

6.1 Tích phân bất định

6.2 Tích phân đơn giản chứa tam thức bậc hai

6.3 Tích phân các hàm lượng giác

6.4 Tích phân xác định

6.5 Công thức Newton- Leibnitz (Niutơn-Lepnit)

6.6 Tích phân suy rộng

Chương VII Phương trỡnh vi phân

Chương I Tập hợp, quan hệ và logic suy luận

Tập hợp là một khái niệm nguyên thuỷ của toán học, không

được định nghĩa và ta chỉ miêu tả, hình dung khái niệm này bằng những ví dụ cụ thể Chẳng hạn như tập hợp các sinh viên trong một lớp học, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các nghiệm của một phương trình đại số v.v

Các đối tượng tạo nên tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp đó

Để nói rằng a là phần tử thuộc tập hợp A ta viết a  A (đọc là a thuộc A) Nếu a không phải là phần tử của tập hợp A ta viết

a  A (đọc là a không thuộc A)

Đ1 Tập hợp

1 Các khái niệm cơ bản

Các đối tượng tạo nên tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp

đó

Để nói rằng a là phần tử thuộc tập hợp A ta viết a  A (đọc là a thuộc A) Nếu a không phải là phần tử của tập hợp A ta viết a  A (đọc là a không thuộc A)

Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu  Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu 

Để xác định một tập hợp ta sử dụng một trong hai phương pháp sau:

Cho hai tập hợp A và B Nếu mọi phần tử của tập hợp A cũng là phần tử của tập hợp B thì ta nói rằng A là tập hợp con của tập hợp

Người ta coi tập rỗng là tập con của mọi tập hợp

2 Các phép toán về tập hợp

a) Phép hợp

Định nghĩa: Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm các

phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó Hợp của hai tập hợp

A  B = {x: x  A và x  B}

Nếu A  B =  ta nói A và B là các tập hợp rời nhau

Ví dụ: Cho hai tập hợp

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6}

c) C¸c tÝnh chÊt cña phÐp hîp vµ phÐp giao

Để chứng minh các tính chất trên ta cần chỉ ra mỗi phần tử của tập hợp ở vế trái đều là phần tử của tập hợp ở vế phải và ngược lại mỗi phần tử của tập hợp ở vế phải đều là phần tử của tập hợp ở vế trái

Việc chứng minh các tính chất trên dành cho bạn đọc

Ví dụ: Cho hai tập hợp

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6}

A\ B = {1, 3, 5}

Cho A là tập con của một tập hợp X Khi đó X\ A được gọi là phần

bù của của tập hợp A trong X

Phần bù của tập hợp A được ký hiệu A Vậy A = X\ A

Ví dụ: Trong tập hợp các số thực, Tập hợp các số vô tỉ là phần bù

của tập hợp các số hữu tỉ

§Þnh lý: PhÇn bï cña hîp c¸c tËp hîp b»ng giao c¸c phÇn bï cña

chóng PhÇn bï cña giao c¸c tËp hîp b»ng hîp c¸c phÇn bï cña chóng, tøc lµ:

B A

Z = { , - n, , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, , n, }

Trong tập các số nguyên có thể thực hiện được phép cộng, phép trừ và phép nhân Tuy nhiên phép chia bị hạn chế Chẳng

hạn, không tồn tại số nguyên m sao cho 4.m = 7 Để thực hiện được

phép chia người ta mở rộng hệ thống số nguyên thành hệ thống số hữu tỉ Q:

Q = {

n

m : m, n  Z, n  0 }

Nếu biểu diễn dưới dạng số thập phân thì số hữu tỉ là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn Số nguyên cũng là số hữu tỉ (với mẫu số bằng 1)

Ta có bao hàm thức: N  Z  Q

Trong tập các số hữu tỉ có thể thể thực hiện được cả bốn phép toán cộng, trừ, nhân và chia Tuy nhiên, tập các số hữu tỉ vẫn chưa đủ để đáp ứng nhu cầu tính toán Chẳng hạn, độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 không thể biểu diễn được bằng một số hữu tỉ Để hoàn thiện

hệ thống số, người ta bổ xung thêm tập các số vô tỉ

Nếu biểu diễn dưới dạng số thập phân thì số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn Chẳng hạn, số đo độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 là một số vô tỉ:

4142135624 ,

1

2  Các số hữu tỉ và các số vô tỉ được gọi là số thực Tập hợp các

số thực được ký hiệu là R

2 Biểu diễn hình học các số thực

a) Giá trị tuyệt đối của số thực

Giá trị tuyệt đối của số thực x được ký hiệu và xác định như sau:

x khi

x x

Từ định nghĩa, với mọi số thực x, y ta có thể suy ra các kết quả: x y  x y

y

x y

x

 với y  0

x  y  x  y

x  y  x  y

a) Trục số và độ dài đại số của một đoạn thẳng

Trục số là một đường thẳng, trên đó có xác định:

- Hướng của đường thẳng (theo chiều mũi tên)

- Một điểm O cố định, gọi là gốc toạ độ

Định nghĩa: Độ dài đại số của đoạn thẳng AB trên trục số là một số

thực, ký hiệu là AB và được xác định như sau:

AB = AB nếu hướng từ A đến B cùng hướng với trục số

AB =  BA nếu hướng từ A đến B ngược hướng với trục số

c) Biểu diễn số thực trên trục số

Trên trục số lấy một điểm bất M bất kỳ

Như vậy, mỗi điểm M trên trục số được đặt tương ứng với một số

thực x xác định, gọi là toạ độ của nó Ngược lại mỗi số thực x cho

tương ứng với một điểm M trên trục số có toạ độ bằng x Phép

tương ứng một đối một nói trên cho phép ta đồng nhất số thực x

với điểm M trên trục số Mỗi tập số thực X  R là một tập hợp điểm của trục số Trục số còn gọi là đường thẳng thực

3 Các khoảng số thực

a) Khoảng hữu hạn

Với a , b là hai số thực cho trước và a  b ta có các khoảng sau:

Khoảng đóng (còn gọi là đoạn):  a ; b   x   R: a  x  b 

Khoảng mở:  a ; b    x  R: a  x  b 

Các khoảng nửa mở:

 a ; b    x  R: a  x  b 

a) Lân cận của một điểm

Với xo là một số thực cho trước và r là một số dương cho trước

Khoảng  xo  r ; xo  r  được gọi là lân cận bán kính r của điểm xovà

được ký hiệu Vr( xo) Như vậy:

Vr( xo) =  x  R: x  xo  r 

Trong toán học người ta dùng các ký hiệu   và   để chỉ các đầu

mút bên trái và bên phải của trục số Với mọi số thực x ta có

Số a được gọi là cận dưới của tập X

Một tập số thực X  R được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số thực a và b sao cho với mọi



x X ta luôn có: a  x  b

Ví dụ: Các khoảng hữu hạn là các tập bị chặn Các khoảng (a; +  );

dưới

b) Cận trên đúng và cận dưới đúng

Định nghĩa: Cận trên nhỏ nhất của một tập hợp bị chặn trên được

gọi là cận trên đúng của tập hợp đó Cận dưới lớn nhất của một tập hợp bị chặn dưới được gọi là cận dưới đúng của tập hợp đó

Cận trên đúng của tập hợp X được ký hiệu supX

Từ định nghĩa ta suy ra:

supX = b khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thoả mãn:

x  b với mọi x  X (b là cận trên của X)

Với mọi số b’< b luôn tồn tại số xo sao cho xo > b’ (mọi số b’<b không phải là cận trên của X)

infX = a khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thoả mãn:

x  a với mọi x  X (a là cận dưới của X)

Với mọi số a’ > a luôn tồn tại số x0 sao cho x0 < a’ (mọi số a’>a không phải là cận dưới của X)

Ví dụ: Tập hợp X =(a; b) có cận trên đúng là b Thật vậy, rõ ràng

x<b với mọi x  (a; b) Mặt khác, với mọi b’< b thì K = (a; b)  (b’; b)  , do đó tồn tại xo K Số xo  K thoả mãn điều kiện xo  (a; b) và

x0 > b’ Vậy supX = b

Tương tự ta chứng minh được infX = a

Trong toán học người ta đã chứng minh định lý sau:

Định lý: Mọi tập số thực khác rỗng bị chặn trên (bị chặn dưới) đều

có cận trên đúng(cận dưới đúng)

c) Số cực đại và số cực tiểu

Cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập hợp X có thể thuộc hoặc không thuộc tập hợp X

sup(a; b] = b  (a; b], inf(a; b] = a  (a; b]

Định nghĩa: Nếu supX = b  X thì số b được gọi là số cực đại, hay

số lớn nhất của tập hợp X Nếu infX = a  X thì số a được gọi là số cực tiểu, hay số nhỏ nhất của tập hợp X

Số lớn nhất của tập hợp X được ký hiệu maxX

Số nhỏ nhât của tập hợp X được ký hiệu minX

Từ định nghĩa ta suy ra:

maxX = b  b  X và x  b với mọi x  X

minX = a  a  X và x  a với mọi x  X

Ví dụ: max[a; b] = b, min[a; b] = a

Tập (a; b) không có số lớn nhất và số nhỏ nhất

Đ3 Quan hệ

1 Tích Descartes

tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (x, y), trong đó x  X và y  Y

X  Y = {(x, y): x  X và y  Y}

Ví dụ: Cho X = {1, 2, 3}; Y = {a, b}

X  Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Y  X = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)}

Tổng quát ta gọi tích Descartes của n tập hợp X1, X2, , Xn là tập hợp được ký hiệu và xác định như sau:

X1  X2   Xn = {(x1, x2, , xn): xi Xi, i = 1, 2, , n}

Đặc biệt, khi X1 = X2 = = Xn = X ta ký hiệu X  X   X = Xn

Xn = {(x , x , , x ): x  X, i = 1, 2, , n}

2 Quan hÖ

a) Kh¸i niÖm quan hÖ

§Þnh nghÜa: Quan hÖ hai ng«i trong tËp hîp X lµ mét tËp con cña

Ví dụ:

Quan hệ “x đồng dạng với y” là một quan hệ tương đương

trong tập hợp tất cả các tam giác

Quan hệ “x là bạn của y” trong tập hợp sinh viên của một

trường đại học không phải là quan hệ tương đương vì nó không có tính bắc cầu

Ví dụ: Quan hệ “x  y” là một quan hệ thứ tự trong tập hợp tất cả các số thực

Quan hệ “p chia hết cho q” là một quan hệ thứ tự trong tập hợp tất

cả các số tự nhiên

3 ánh xạ

a) Khái niệm ánh xạ: Cho hai tập hợp X, Y không rỗng bất kỳ

Định nghĩa: Một ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y là một quy tắc

đặt tương ứng mỗi phần tử x của tập X với một và chỉ một phần tử y của tập Y

Để nói rằng f là ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y ta dùng ký hiệu:

f: X  Y Phần tử y  Y tương ứng với phần tử x  X qua ánh xạ f được gọi là

ảnh của phần tử x, ký hiệu là y = f(x)

Ví dụ 1: Phép đặt tương ứng mỗi số thực x với phần nguyên của nó

Định nghĩa: ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f là tập hợp ảnh của tất cả

các phần tử x  A ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f được ký hiệu f(A):

f(A) = {y  Y: tồn tại x  A, y = f(x)}

§Þnh nghÜa: NghÞch ¶nh cña tËp hîp B qua ¸nh x¹ f lµ tËp hîp tÊt

§Þnh lý: Víi mäi ¸nh x¹ f: X  Y ta lu«n cã:

1 f(A1 A2) = f(A1)  f(A2), víi mäi A1 X, A2 X

- ánh xạ f: X  Y được gọi là toàn ánh nếu ảnh của tập hợp X là toàn bộ tập hợp Y: f(X) = Y

Hay nói cách khác, f là toàn ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi phần tử y  Y đều không rỗng

- ánh xạ f: X  Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa

d) ánh xạ ngược

Giả sử ánh xạ f: X  Y là một song ánh Khi đó, với mỗi phần tử y 

Y đều có nghịch ảnh không rỗng (do f là toàn ánh) và nghịch ảnh của nó phải là phần tử duy nhất x  X (do f là đơn ánh) Trong trường hợp này ta có ánh xạ f-1: Y  X đặt tương ứng mỗi phần tử y 

Y với phần tử x = f-1(y) ánh xạ f-1 được gọi là ánh xạ ngược của song

ánh f ánh xạ f-1 cũng là một song ánh

Ví dụ: Gọi X là tập hợp sinh viên của một lớp học và Y là danh sách

ghi đầy đủ họ và tên của các sinh viên lớp đó Giả sử lớp học không

có sinh viên nào trùng tên Khi đó, ánh xạ f: X  Y đặt tương ứng mỗi sinh viên với tên gọi của sinh viên đó trong danh sách, f là một song ánh ánh xạ ngược f-1 đặt tương ứng mỗi tên trong danh sách với sinh viên có tên đó

Đ4 Đại cương về logic suy luận

a) Mệnh đề trong logic toán

Trong ngôn ngữ thông thường, ta hiểu mệnh đề là những câu mô tả một điều gì đó, hoặc phát biểu một ý kiến mang tính khẳng định

Đối với các mệnh đề mang tính khẳng định, chúng ta thường có lời bàn: nói như vậy là đúng hoặc nói như vậy là sai Mục đích của hoạt

động khoa học là khẳng định chân lý khách quan Những lời bàn

đúng sai mang tính chủ quan không có giá trị khoa học Môn logic toán học đề cập tới cấu trúc logic để phân định đúng sai

1 Mệnh đề và cỏc phộp toỏn mệnh đề

Trong logic toán học chúng ta chỉ xét các mệnh đề có hai khả năng xảy ra: Mệnh đề đúng hoặc mệnh đề sai Ta gọi các mệnh đề đó là các mệnh đề logic Đúng và sai được gọi là các giá trị chân lý hay giá trị logic của mệnh đề Người ta dùng số 1 và số 0 để chỉ giá trị logic của mệnh đề: 1 là đúng và 0 là sai Mệnh đề logic là mệnh đề

có giá trị logic

Ta ký hiệu mệnh đề bằng các chữ: p, q, r,

b) Các phép toán mệnh đề:

- Phép phủ định: Phủ định của mệnh đề p là mệnh đề “không p”,

được ký hiệu p Giá trị logic của mệnh đề p ngược lại với giá trị logic của mệnh đề p Quan hệ giữa p và p thể hiện ở bảng giá trị logic sau:

- Phép hội: Hội của hai mệnh đề p và q, ký hiệu p  q, đọc là “p và q” Mệnh đề p  q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề p và q đều đúng

và sai trong tất cả các trường hợp còn lại

Bảng giá trị logic của mệnh đề p  q:

- Phép tuyển: Tuyển của hai mệnh đề p và q, ký hiệu là p  q, đọc

là “p hoặc q” Mệnh đề p  q sai khi và chỉ khi cả hai mệnh đề p và q

đều sai và đúng trong tất cả các trường hợp còn lại

Bảng giá trị logic của mệnh đề p  q: