Mot so bai tap Luyen thi 2012-2013

Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ các chữ số trên trong đó phải có mặt chữ số 4.. Hỏi trong các số thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứ

WWW.ToanCapBa.Net TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC 73 HÙNGVƯƠNG

TÀI LIỆU LUYỆN THI

Biên soạn: Phan Hoàng Tâm

Lưu hành nội bộ - 2012 -

1 WWW.ToanCapBa.Net

2 Các nguyên hàm cơ bản.

WWW.ToanCapBa.Net Hàm số Họ nguyên hàm

8

u

u

2sin

'

α

ln|u|+C C

a

a u

+ln

eu+C sinu+C -cosu+C tanu+C

-cotgu+C

Ch ý: * Khi u=x, th u’=1 Vă ta c câc cng thức tương ứng chẳng hạn ∫ =− gx+C

II Phương pháp tính tích phân:

1 Phương phâp đổi biến:

a) Đổi biến xui:

- Ta viết I =

b

a g[ (x)] '(x)dx ϕ ϕ

*Chú ý: Đổi biến ngược thường được dùng để khử căn & phân thức

mà dưới mẫu dạng bậc 2 vô nghiệm:

a v(x)u'(x)dxu(x)v(x)

v'

du(x)dx

về tích phân dễ hơn ∫b

a

(x)dxv(x)u'

Do đó ta phải chọn v’(x) sao cho v(x) xác định dễ ràng và tích phân ∫b

a

(x)dx

u(x)v' đã biết cách tính

• Nếu f(x) có dạng : f(x)=P(x).lnx thì ta đặt u=lnx

• Nếu f(x) có dạng : f(x)=P(x).eax,P(x).sinx , thì ta đặt u=P(x)

III Câc dạng tch phđn thường gặp:

B

A± = ±

b) Dưới mẫu bậc hai vô nghiệm:

Đưa về dạng u2+a2 (với u=u(x)) rồi đỏi biến lượng giâc

2

1

(1-cos2x)

b) Tổng quát:

1cos

1

2sin

1

2tan

t

t x t

t x

t

t x

rồi đưa về dạng hữu tỉ

Bài 1 Tính bằng đổi biến:

π

x

∫/40 4cos

π

dx x x

∫/3 ++4 / 3 sin2

cossin

π π

5) (ĐHKT HN 99) ∫/2 ++ ++

0 4sin 3cos 5

6cos7sin

π

dx x x

x x

133

)

2 3

++

−++

=

x x

x x x

x

3

1)1( =

F

8) (TN 2006 kpb) =∫2 −

0

2cos4

2sin

π

dx x

1 0

.)12(,1

)1(

dx e x I

dx e

e e

x

x x

7 WWW.ToanCapBa.Net

10) (TN 2007kpb) dx

x

x J

e

∫

=1

2ln

2x xdx K

Bài 2 Tính các tích phân sau:

sin21

π

dx x

iii) (Toán D 2003) | |

2 0

2 x dx x

11

2 1

dx x

1

ln.ln31

vi) (Toán D 2004 ) ∫3 −

2

2 ) ln(x x dx

x

x x

0 1 3cos

sin2sin

π

ix) (Toán B 2005) ∫2 +

0 1 cos

cos2sin

π

dx x

x x

x) (Toán D 2005) ∫2 +

0 sin cos )cos(

π

xdx x

e x

xi) (Toán A 2006) ∫2 +

0 cos2 3sin2

2sin

π

x x

xdx

xii) (Toán B 2006) ∫ + − −

5 ln 3

xiv) (D07) I =∫e x ln xdx.

1

2 3

Băi 3 Tnh câc tch phđn sau : (SGK)

π

π

dx x x

i) (ĐH BK HN) ln∫2 +

0

21

x

x

e

dx e

ii) (ĐH CT B) I=∫3

6

3cos

4sin

π

x x

dx x x

212

x

x

vă ∫34 4

π

π

xdx tg

vi) (ĐHQG HN) Tm họ nguyín hăm 2 1002

2001)1()(

x

x x

x x

x x

4

cossin

cossin

ii) (ĐH NT) ∫4 +

0

6

6 cossin

4sin

π

x x

xdx

iii) (ĐH AN) ∫3 x+1

xdx

tnh nguyín hăm

iv) (ĐH TS) ∫4 +

0sin2 cos2

2cos

π

x x

xdx

v) (ĐH SP HCM) ∫4 +

0

2)cos2(sin

π

x x

π

xdx x

vii) (ĐH NN) ∫1 − −

0

2

2)1

3sin

• Nếu f2(x)≥f1(x) với mọi x∈[a,b] thì :

11 WWW.ToanCapBa.Net

S=∫b −

a

1

2(x) f (x)]dx[f

2.Công thức thể tích khối tròn xoay

Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và (H) là miền phẳng được giớihạn bởi x=a,x=b và y=f(x) thì thể tích khối tròn xoay tạo thành khiquay (H) quanh 0x là : V =π [f(x)] dx

b a

|,34

3

1

)

(C y= x −x và các đường thẳng y=0, x=0, x=3 quay quanh trục Ox.

v) (TN 2005) Tính diện tích vật thể giới hạn bởi trục tung trục hoành và đồ

thị

1

12

WWW.ToanCapBa.Net x) (B 07) Cho hnh phẳng H giới hạn bởi câc đường: y=xlnx, y=0,

x=e Tnh thể tch của khối trn xoay tạo thănh khi quay hnh H quanh trục Ox

ii) Gọi (H) là miền phẳng giới hạn bởi 2 Parabol y = x2 và y2 =x

.Tính diện tích miền phẳng (H) và thể tích khối tròn xoay tạo thànhkhi quay (H) quanh Ox

iii) Gọi (H) là miền phẳng giới hạn bởi các đường y=0,

x x

y = sin6 +cos6 ,x=0 và x=π/2.Tính thể tích khối tròn xoay tạothành khi quay (H) quanh Ox

iv) ( Học viện Ngân hàng 99 )

Tính diện tích miền phẳng(H) giới hạn bởi các đường:y=x 1+x2,trục 0x và đường thẳng x=1

2

=+

b

y a

x

* y2=x3, y=0, y=1 (cả Ox, Oy)

13 WWW.ToanCapBa.Net

Băi 4 (Năm 2000)

i) (ĐH QG HCM) Cho D lă miền kn giới hạn bởi

0,2

4 x2 y x2

ii) (ĐH TC KT HN) Tnh diện tch hnh phẳng giới hạn bởi

x y

x

y=2+sin , =1+cos2 với x∈[0,π]

iii) (HV CNBCVT) Tnh diện tch phần hnh phẳng giới hạn bởi

2x1x0

GIẢI TCH TỔ HỢP

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Qui tắc nhân -Quy Tắc cộng :

♦ Để thực hiện một công việc A nào đó ta phải tiến hành nhiều

Từ Cần thơ đi Vĩnh long có 3 con đường

Từ Vĩnh long đi Tiền giang có 4 con đường

Từ Tiền giang đi Long an có 5 con đường

Từ Long an đi Sài gòn có 8 con đường

Khi đó: Từ Cần thơ đi Sài gòn sẽ có : 3.4.5.8=480 (con đường) ♦ Qui tắc nhân có thể phát biểu dưới dạng khác như sau :

Với k tập hợp cho trước :M 1 ,M 2 , .,M k trong đó M I có n I phần tử Giả sử phải chọn k phần tử (x 1 ,x 2 , ,x k ) mà x I ∈M I (i=1,2, ,k) thế thì ta sẽ có (n 1 n 2 n k ) cách chọn khác nhau

Ví dụ : Một trường có 4 lớp chuyên : Toán , Tin học,Lý ,Hoá và sĩ số các lớp lần lượt là : 8,10,9,12 Khi đó nếu phải chọn một đội tuyển 4 em thi Quốc gia 4 môn :Toán,Tin học,Lý ,Hoá thì sẽ có : (8.10.9.12) cách chọn Tất nhiên ta không chọn học sinh thi trái môn chuyên của mình

Ta có P = n ! (1) n

Cho tập X có n phần tử Một chỉnh hợp chập k của n phần tử

( 0 < k n≤ ) là bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đãcho

!1

k n

k

5 Nhị thức Newton

−

n k

k k n k

=

−

−

n k

k k n k n

0)1(

n n

n

o n

1 2

4 2

C1 , 2 , ,lần lượt chỉ số các tập có 1,2, ,n phần tử Vậy từ 1 suy ra : Số cáctập con của tập gồm n phần tử là 2n )

Bài Tập về lựa chọn và sắp xếp

Bài 1 (HVCNBCVT) Từ các số {0,1, ,9} có thể thành lập được bao nhiêu

số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong 6 chữ số đó phải có mặt chữ số 0

b Có bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A

mà không bắt đầu bởi 1,2,3.

Bài 3 (SGK)

17 WWW.ToanCapBa.Net

(a) Từ tập A={1,2,3,4,5,6} có thể thành lập bao nhiêu:

i) số có 4 chữ số đôi một khác nhau.

ii) số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.

iii) số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 3.

iv) số có 4 chữ số khác nhaucó mặt chữ số 4.

v) số có 4 chữ số khác nhau lớn hơn 4000.

vi) số có 4 chữ số khác nhau có tổng các chữ số là 8.

(b) Với các yêu cầu giống câu (a) nhưng tập A={0,1,2,3,4,5}.

Bài 4 Các đề thi về số năm 2000:

i) (ĐH SPHN II) Tính tổng tất cả các số tự nhiên có 5 chứ số khác nhau

đôi một được lập thành từ 6 chữ số 1,3,4,5,7,8.

ii) (ĐH GTVT) Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Hỏi có thể lập được bao

nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ các chữ số trên trong đó phải có mặt chữ số 4.

iii) (ĐH NT TP HCM) Từ các số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có sáu

chữ số khác nhau Hỏi trong các số thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau

iv) (HV NH) Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu sso chẵn có 5

chữ số đôi một khác nhau.

v) (ĐH TN) Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ

1,2,3,4,5 Trong đó có bao nhiêu số nhỏ hơn 345?

vi) (ĐH CT) Cho X={0,1,2,3,4,5,6,7} Từ X có thể lập được bao nhiêu số

chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và đứng đầu là số 2 Trong các

số trên có bao nhiêu chữ số gồm đúng 3 chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.

vii) (ĐH QGHN B 1999) Từ 5 chữ số 0,1,3,5,7 có thể lập được bao nhiêu

số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.

viii) (ĐHCT 1999) Với các chữ số 1,2,3,4,5,6 ta lập các số có 5 chữ số

trong đó các chữ số đôi một khác nhau Có bao nhiêu số phải có mặt chữ số

1 và 6

Bài 5 a) (Toán B 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác

nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình, 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho mỗi đề nhất thiết phải đủ 3 loại câu hỏi (khó, dễ, trung bình) và số câu hỏi

dễ không ít hơn 2?

b) (Toán B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12

nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện

đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ?

Bài 6 Các đề thi năm 2000, 2001 về lưa chọn.

i) (HVKTQS 2001) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung

bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ mỗi tổ 8 người sao cho trong mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.

ii) (ĐH Huế 2001) Từ một nhó gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5

em tham dự lễ với yêu cầu có cả nam lẫn nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

iii) (HV CT) Một đội văn nghệ có 10 người: 6 nữ và 4 nam Có bao nhiêu

cách chia đội thành hai nhomcs số người bằng nhau và số nữ là như nhau.

Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người trong đó không quá một nam.

iv) (ĐHCT 99) Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích

thước đôi một khác nhau Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng bi đỏ.

v) (ĐH Huế 99) Một lớp có 30 học sinh nam và 15 nữ Có 6 học sinh được

chọn ra để tập quốc ca Có bao nhiêu cách chọn nếu: chọn tùy ý, phải có ít nhất 2 nữ.

vi) (ĐH Y HN 99) Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật

lý nam Lập một đoàn công tác 3 người trong đó có cả nam lẫn nữ, cần có

cả toán và lý Có bao nhiêu cách chọn.

a Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau và đối diện nhau phải khác trường nhau.

b Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.

i) (ĐH ĐL 99) Có 5 thí sinh nam và 5 thí sinh nữ Có bao nhiêu cách sắp

xếp các thí sinh này thành một hàng sao cho hai thí sinh cùng giới không đứng liền nhau.

ii) (HVQY 99) Có 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh

khác nhau xếp vào một dãy 7 ô trống Có bao nhiêu cách xếp Có bao nhiêu cách xesp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cậnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cậnh nhau.

iii) (ĐHNN I 2000) Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp theo 1 hàng

dọc Có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ.

iv)(ĐH CT 2000) Một nhóm có 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ.

Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho

7 học sinh nam phải đứng liền nhau

Bài 10 (Toán B 2006) Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4) Biếtrằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2phần tử của A Tìm k∈{1,2, ,n}sao cho số tập con gồm k phần tửcủa A là lớn nhất

Bài 11 (Toán D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ

thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 họcsinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cáchchọn như vậy?

Bài Tập về Các Công Thức Tính & Nhị Thức Newton

Bài 1 (Toán A 2002 ) Cho khai triển nhị thức Newton

n x n n

n x x n n x

n x n

x n

n x x

C C

C C







 +







 +

1 1 3

1 2

1 1 2

1 0 3

2

1

2 2

2

2 2

2 2

2

với n là số nguyên dương Biết rằng trong khai triển đó C n3 =5C n1 và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.

Bài 2 a) (Toán D 2002)

Tìm số nguyên dương n sao cho 0+2 1 +4 2 + +2 n =243

n

n n

)

12(

2.42

.32

1 2 2 4

1 2 3 3

1 2 2 2

1 2

1

1

+ +

+ +

n n

n n

C

12

122

14

12

1 2 2

3 2

1

−

=+

+

n

C n C

C

n n

n n

nguyên dương, x>0, C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Bài 4 a) (Toán B 2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng

n n

n n

n

n C

C

C

1

12

3

122

1

2

3 1

2

0

+

−++

−+

3 3

4 1+

+

n

A A

1492

4

2 3

n n

d) (D 07) Tìm hệ số của x5trong khai triển x(1−2x)5 +x2(1+3x)10.

Bài 5 (Toán D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x 3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n Tìm n để a3n-3=26n.

Bài 6 (Toán A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của

Bài 8 Các đề thi tuyển sinh năm 2000.

i) (ĐHQGHN B) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

ii)(ĐHSPHCM D) Cho n là một số nguyên dương Tính =∫1 +

0)1

C S

1

1

2

1 10

++++

iii) (ĐHKTế) Chứng minh rằng

.3

2.42

.32

2 − 1 1+ − 1 2+ − 3 3+ − 4 4+ + n = n− 1

n n

n n

n n

1 2000

1

3

12

11

1 2

1

+

−

=++++

n

C n C

C

n n n n

vi) (ĐH YDTpHCM) Với n là số nguyên dương chứng minh rằng

2

2 2

0 2 1 2 2

n

n n n

5

905

3.3

2 4

4 2 2

2

x x x

iv) (ĐHĐN A) Với n là số tự nhiên, tính tổng:

.21

1

24

123

12

2

n n

n n

n C

C C

C

++++

+

+

v) (ĐHĐN D) Với n là số tự nhiên, tính tổng

.1

1)1(

n

n C

C

C

+

−+

−+

−

k n

k n

1

n n

23

1

3 3 1 1

2 2 0

1

2

23)1(3

232

2

+

+ + + +

+

−

−+

−

−+

n

n C

C C

b) =32 +1 20 +1−32 2 21 +1+32 −1.22 22+1− +(−1)2 +122 +1 22n++11

n n n n

n n

n n

c) C= 2.3 3.3 ( 1) 2 3 2

2 1 2 1 2 3

2 2 2

12

1 2

b (TN 2006) Tính hệ số của x5 trong khai triển (1+x) 5 , biết tổng các

hệ số trong khai triển bằng 1024.

1

n n

e (TN2004) 5 60 32

)!

(

+ +

−

k n

k n P

.