b/ Cho hình lập phương cạnh bằng 1 .Một góc nhị diện vuông có cạnh chứa 1 đường chéo hình lập phương .Tìm thể tích lớn nhất của phần giới hạn bởi nhị diện với hình lập phương... b/ Vlớn
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12
Đề 1 Câu 1( 3 đ)
Tìm a để pt :
x
có 3 nghiệm phân biệt
Câu 2( 3 đ) giải hệ pt :
1
1
x
x y y
x y
Câu 3(3 đ) Giải pt :
log (1+ x+ x) 2log= x
Câu 4(2 đ) Tìm tất cả các số tự nhiên không chia hết cho 45 mà là ước của số
N = 1890.1930.1970 Có bao nhiêu số như thế ?
Câu 5( 5 đ)
Cho tam giác ABC và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC Các đường thẳng AM,BM,CM theo thứ tự cắt BC,CA,AB tại A1,B1,C1 Hãy xác định vị trí của M để diện tích tam giác A1B1C1 lớn nhất
Câu 6(2 đ)
Tìm các cặp hàm số f(x) ,g(x) xác định trên R sao cho
f(x) - f(y) = (x + y)g(x – y) ∀x y R, ∈
Câu 7(2 đ)
Cho x > 0 , y > 0 , z > 0 , a > 0 , b > 0 , c R∈ thỏa
1 1 1 a
x+ + ≤y z và 9b > ca2
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = b x y z( ) c(1 1 1)
x y z
+ + + + +
Trang 2HD 1/ Đặt t = x 1
x
+ đs : a < -5
4 2/ đs x = 11 4 7; 22 8 7
3/ đặt x=212y dùng tính nghịch biến hs đs x = 212
4/ phân tích N thành thừa số nguyên tố lí luận đi đến có 320 ước của N không chia hết cho 45
5/ đặt S = SABC , S1 = SMBC … M trọng tâm tam giác ABC
6/ Thay y = -x f(x) = ax2 + b , g(x) = ax
7/ P = P + b( 9 9 9 ) b( 9 9 9 )
a ax ay az+ + −a ax ay az+ +
Áp dụng b đ t Cô Si min P =
2 2
9
a c b a
+ khi x = y = z = 3/a
Trang 3ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12
Đề 2 Câu 1(3 đ)
Giải pt : 2x2 + 1− +x 2x 1−x2 =1
Câu 2(3 đ)
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hệ pt sau chỉ có đúng một nghiệm :
2 | |
2 | | 1
x
= + − −
= −
Câu 3(3 đ)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ,đa thức :
F(x) = x4 -2001x3 + (2000 + a)x2 - 1999x + a không thể có hai nghiệm nguyên
( phân biệt hay trùng nhau )
Câu 4(2 đ)
Tìm các số nguyên tố p,q sao cho 2p + 2q chia hết cho p.q
Câu 5( 5 đ)
a/ Cho tam giác ABC đều cạnh a.M là điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác C/mr ta luôn có : MA.MB + MB.MC + MC.MA ≥ a2
b/ Cho hình lập phương cạnh bằng 1 Một góc nhị diện vuông có cạnh chứa
1 đường chéo hình lập phương Tìm thể tích lớn nhất của phần giới hạn bởi nhị diện với hình lập phương
Câu 6 (2 đ)
Cho dãy số (un) với un = 2012+ 2012+ + 2012 (n dấu căn )
Chứng minh (un) là dãy bị chặn
Câu 7(2 đ)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có : 2 ≤ 1 1
n n
+
< 3
Trang 4HD 1/ chuyển vế bình phương ta có x(1- 4 2 2 2
1−x +8x 1−x ) 0=
Đs : x = 0 ; x = - 5 5
8
−
2/ m = 0 hệ có nghiệm duy nhất x = 0, y = 0
3/ c/m nếu x0 là 1 nghiệm nguyên của f(x) thì x0 phải là số chẵn
Xét 2 trường hợp f(x) có 2 nghiệm nguyên phân biệt ,f(x) có nghiệm kép
4/ đs (2;2), (3;2) ,(2;3)
5/ Dùng bổ đề : Cho tam giác ABC Mlà điểm nằm trong mp chứa tam giác Ta có:
BC.MA2 + CA.MB2 + AB.MC2 ≥ BC.CA.AB
b/ Vlớn nhất khi chỉ khi một nhị diện đi qua trung điểm 1 cạnh hình vuông và mặt còn lại
đi qua đỉnh của cạnh kề
6/ c/m 45 < uk < 46 với mọi k ≥ 2 ( qui nạp )
44 < un < 46
7/ C/m
2 2
1
1 k (1 )k 1 k k
+ ≤ + < + + (qui nạp )
Thay k = n ta có bđ t cần c/m