Pi là đa giácthu được từ P1 bằng cách tịnh tiến mà di chuyển A1 tới Ai.. Chứng minh rằng ta có thể tìm được một tập vô hạn các số nguyên dương dạng 2n - 3 trong đó n cũng là một số nguyê
Trang 1
1 Cho En = (a1 - a2)(a1 - a3) (a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3) (a2 - an) + + (an - a1)(an - a2) (an -
an-1) Sn là định đề mà En 0 với mọi số thực ai
Chứng minh rằng: Sn đúng với n = 3 và n = 5, nhưng lại sai với những giá trị khác của n (với n>2)
2 Cho P1 là một đa giác lồi với các đỉnh A1, A2, , A9. Pi là đa giácthu được từ P1 bằng cách tịnh tiến mà di chuyển A1 tới Ai Chứng minh rằng: có ít nhất hai đa giác trong số các đa giác
P1, P2, , P9 có chung một điểm trong
3 Chứng minh rằng ta có thể tìm được một tập vô hạn các số nguyên dương dạng 2n - 3 (trong đó n cũng là một số nguyên dương) mà với mọi cặp của nó nguyên tố cùng nhau
4 Tất cả các mặt của tứ diện ABCD có các góc đều là nhọn Lấy điểm X trong đoạn AB, Y trong BC, Z trong CD, và T trong AD
(a) Nếu , chứng minh rằng: không có đường đi đóng XYZTX có
độ dài ngắn nhất
(b) Nếu thì có vô số các đường đi ngắn nhất XYZTX mà mỗi đường có độ dài là 2AC sin k, trong đó: 2k =
5 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m ta có thể tìm được một tập S hữu hạn các điểm trong mặt phẳng sao cho với bất kì điểm A thuộc S tồn tại đúng m điểm thuộc S có khoảng cách từ A đến là 1 đơn vị
6 Cho A = (aij), i,j = 1, 2, , n là một ma trận vuông với aij là các số nguyên không âm Với mỗi i, j mà có aij = 0 thì tổng của các phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j sẽ không nhỏ hơn n Chứng minh rằng: tổng của tất cả các phần tử của ma trận không nhỏ hơn