Các nhóm con tự do trong vành chia

Nhóm

Nhóm G được gọi là hữu hạn địa phương nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh của

G là nhóm P địa phương nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh của G đều có tính chất P Nếu P và Q là hai tính chất nhóm, thì G được gọi là nhóm P bởi Q (P-by-Q) khi có sự liên kết giữa hai tính chất này.

G có nhóm con chuẩn tắc A thỏa tính chất P và nhóm thương G/A thỏa tính chất

Q Ví dụ, G là nhóm giải được bởi hữu hạn nếu G có nhóm con chuẩn tắc giải được

H sao cho G/H là nhóm hữu hạn.

Nếu H là nhóm con của G và tồn tại dãy các nhóm con G 1 , G 2 , , G n của G sao cho

H =Gn C G n−1 C G1 =G thì ta nói H là nhóm con á chuẩn tắc của G, ký hiệu là H CCG.

Theo Hartley [15], nhóm con H là gần á chuẩn tắc trong G, ký hiệu là H asn G, nếu có dãy các nhóm con

H = Hr ≤ Hr−1 ≤ ≤ H1 = G là một chuỗi các nhóm con, trong đó với mỗi 1 < i ≤ r, Hi chuẩn tắc hoặc có chỉ số hữu hạn trong Hi−1 Dãy các nhóm con này được gọi là dãy gần chuẩn tắc của G Ví dụ trong [22, Example 8] của Harzat và Wadsworth đã chỉ ra rằng có những vành chia mà nhóm nhân chứa nhóm con tối đại không chuẩn tắc với chỉ số hữu hạn, cho thấy sự tồn tại của vành chia với nhóm nhân chứa nhóm con gần á chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc Bổ đề dưới đây sẽ được sử dụng nhiều trong Chương 3, và chúng tôi sẽ trình bày đầy đủ chứng minh mặc dù điều này gần như hiển nhiên.

Bổ đề 1.1.1 Cho H là nhóm con gần á chuẩn tắc của G Nếu N là nhóm con của

G chứa H thì H là nhóm con gần á chuẩn tắc của N.

Chứng minh Vì H là nhóm con gần á chuẩn tắc của G nên có dãy gần chuẩn tắc

H = H r ≤H r−1 ≤ ≤ H 1 =G, sao cho với mỗi 1< i ≤ r, H i chuẩn tắc hoặc có chỉ số hữu hạn trong H i−1

Với Mi =Hi∩N, 1≤ i≤ r, ta có dãy các nhóm con

Nếu H i chuẩn tắc trong H i−1, thì M i cũng sẽ chuẩn tắc trong M i−1 Khi H i có chỉ số hữu hạn trong Hi−1, ta định nghĩa A là tập hợp các lớp ghép trái của Mi trong Mi−1.

B là tập hợp các lớp ghép trái của Hi trong Hi−1, với ánh xạ φ :A → B được xác định bởi φ(tMi) = tHi Ánh xạ φ là đơn ánh, do đó có thể suy ra rằng Mi cũng có chỉ số hữu hạn trong Mi−1.

Xột một tập hữu hạn các biến không giao hoán {x1, x2, , xm} Một đơn thức nhóm là một từ trong nhóm tự do sinh bởi các biến này, có dạng w = w(x1, x2, , xm) = xα1^i1 xα2^i2 xαt^it, với t là số nguyên dương, i1, i2, , it ∈ {1, 2, , m}, và α1, α2, , αt ∈ Z\{0} Đơn thức nhóm w được gọi là đơn thức nhóm ngặt nếu từ điều kiện αjαj+1 < 0 ta luôn có ij ≠ ij+1.

• Đơn thức nhóm suy rộng:

Giả sử G là một nhóm với tâm Z(G) = {a ∈ G | ab = ba với mọi b ∈ G} Xét tập hợp {x1, x2, , xm} là một tập hữu hạn các biến không giao hoán Một biểu thức dạng w = w(x1, x2, , xm) = a1x α i1 1 a2x α i2 2 atx α it t at+1, với t là số nguyên dương và i1, i2, , it ∈ {1, 2, , m}, a1, a2, , at+1 ∈ G và α1, α2, , αt ∈ Z\{0}, được gọi là một đơn thức nhóm suy rộng trên G Điều kiện ij = ij+1 và αjαj+1 < 0 (j ∈ {1, 2, , t−1}) dẫn đến việc suy ra aj+1 không thuộc Z(G) Đơn thức nhóm suy rộng w được gọi là đơn thức nhóm suy rộng ngặt trên G nếu từ điều kiện αjαj+1 < 0 ta luôn có ij ≠ ij+1.

Giả sử w(x₁, x₂, , xₘ) là một đơn thức nhúm ngặt và H là một nhóm con của nhóm G H thỏa mãn đồng nhất thức nhóm w(x₁, x₂, , xₘ) = 1 nếu như w(c₁, c₂, , cₘ) = 1 với mọi c₁, c₂, , cₘ thuộc H.

• Đồng nhất thức nhóm suy rộng:

Giả sử w(x1, x2, , xm) là một đơn thức nhúm suy rộng trên nhóm G, và H là một nhóm con của G Nhóm H được coi là thỏa đồng nhất thức nhúm suy rộng w(x1, x2, , xm) = 1 nếu với mọi c1, c2, , cm thuộc H, ta có w(c1, c2, , cm) = 1.

Với x, y là hai phần tử bất kỳ trong nhóm G, phần tử

[x, y] = x −1 y −1 xy được gọi là giao hoán tử của hai phần tử x, y.

Cho H, K là hai nhóm con của G, ký hiệu

G 0 = [G, G] được gọi là nhóm con giao hoán tử của G Nhóm này chuẩn tắc trong

G NếuH là nhóm con chuẩn tắc của G thì G/H giao hoán khi và chỉ khi G 0 ⊆ H. Nếu D là vành chia thì ta ký hiệu D 0 = [D ∗ , D ∗ ].

Nhóm con G (i) được gọi là nhóm con giao hoán tử bậc i của G Dãy các nhóm con

Chuỗi dẫn xuất của một nhóm G được ký hiệu là G = G(0) ≥ G(1) ≥ G(2) ≥ Định lý 1.1.2 chỉ ra rằng nếu G là một nhóm và G/Z(G) hữu hạn, thì G(0) cũng sẽ hữu hạn Định lý 1.1.3 khẳng định rằng nếu G/Z(G) là hữu hạn địa phương, thì G(0) cũng sẽ hữu hạn địa phương.

Chứng minh Để chứng minh G 0 hữu hạn địa phương, ta chứng minh

[< x1, x2, , xn >, < x1, x2, , xn >] hữu hạn với x1, x2, , xn ∈G.

Vì G/Z(G) là một nhóm hữu hạn địa phương, nên thuộc Z(G)/Z(G) cũng hữu hạn, dẫn đến [, ] cũng hữu hạn Định lý 1.1.4 khẳng định rằng nếu H là nhóm con có chỉ số hữu hạn trong G, thì Core G(H) sẽ là nhóm con chuẩn tắc với chỉ số hữu hạn trong G Định lý 1.1.5 chỉ ra rằng nếu H là nhóm con có chỉ số n trong G, thì tồn tại đồng cấu ϕ từ G vào nhóm đối xứng S_n với kerϕ ≤ H, từ đó suy ra rằng x n! ∈ H cho mọi x thuộc G.

Chứng minh Đặt X := {xH| x ∈ G} là tập hợp tất cả các lớp ghép trái của

Ánh xạ ϕ : G −→ SX ∼= Sn được định nghĩa bởi ϕ(g) = σg, với σg(xH) := gxH cho mọi x ∈ G Cần kiểm tra rằng ϕ là đồng cấu và kerϕ ≤ H Từ đó, ta có G/kerϕ ∼= imϕ ≤ Sn, dẫn đến việc nếu x ∈ G thì x n! ∈ kerϕ ≤ H Định lý 1.1.6 chỉ ra rằng cho K là vành chia, ngoại trừ trường hợp K = F2 và n = 2, nhóm con giao hoán tử của GL n(K) là SL n(K).

Định lý 1.1.7 khẳng định rằng, với K là vành chia và n ≥ 3 hoặc n = 2 nhưng K có ít nhất 4 phần tử, nếu G là nhóm con của GL n (K) bất biến dưới các phép biến đổi unimodular và không nằm trong tâm của GL n (K), thì nhóm SL n (K) sẽ nằm trong G.

Trường và vành chia

Nếu K là trường con của trường F thì ta nói F là một mở rộng trường của K,

K là trường cơ sở của mở rộng và được ký hiệu là K ⊆ F hoặc F/K Số chiều [F : K] của không gian vector F trên K được gọi là bậc của F trên K; nếu [F : K] < ∞, F được coi là mở rộng hữu hạn trên K, ngược lại, F là mở rộng vô hạn trên K Trường K được gọi là hữu hạn địa phương nếu mọi trường con của K được sinh bởi một tập con hữu hạn đều hữu hạn, và trường K hữu hạn địa phương khi và chỉ khi trường con nguyên tố P của nó hữu hạn và K đại số trên P Đối với mở rộng trường F/K và tập con khác ∅ của F, K[S] là vành con của F sinh bởi S trên K, trong khi K(S) là trường con của F sinh bởi S trên K.

Nếu S là tập hữu hạn, thì K(S) được gọi là mở rộng hữu hạn sinh trên K Khi S chỉ có một phần tử, K(S) là mở rộng đơn trên K Định nghĩa K-tự đẳng cấu cho mở rộng trường K ⊆ L là tự đẳng cấu σ của L thỏa mãn σ(a) = a với mọi a ∈ K Tập hợp tất cả các K-tự đẳng cấu của L tạo thành nhóm con của nhóm Aut(L), được gọi là nhóm Galois của mở rộng K ⊆ L, ký hiệu là Gal(L/K) Theo định lý Schur, nếu K là trường và G là nhóm con hữu hạn sinh xoắn của GL n (K), thì G là nhóm hữu hạn.

Bổ đề 1.2.4 [41, Lemma 10.12] khẳng định rằng nếu R là miền nguyên hữu hạn sinh và G là nhóm con của GL n (R) với điều kiện mọi nhóm con sinh bởi hai phần tử của G đều giải được bởi hữu hạn, thì G sẽ là nhóm giải được bởi hữu hạn.

Xét D là vành chia với tâm F và D∗ là nhóm nhân của D Vành chia D được gọi là hữu hạn tâm khi D là không gian vector hữu hạn chiều trên F Theo Định lý Stuth (Định lý 1.2.5), nếu G là nhóm con á chuẩn tắc của

D ∗ và G * F thì G không giải được. Định lý 1.2.6 (Định lý Herstein, [25]) Nếu N là nhóm con á chuẩn tắc của D ∗ và

N xoắn thì N ⊆ F. Định lý 1.2.7 [23, Theorem 2.21] Nếu D hữu hạn tâm và G là nhóm con của D ∗ thì các phát biểu sau đây là tương đương:

(1) G không chứa nhóm con tự do không xyclic.

(2) G giải được bởi hữu hạn.

(3) G giao hoán bởi hữu hạn.

(4) G thỏa mãn đồng nhất thức nhóm.

Nếu một trong các điều kiện trên được thỏa mãn, thì G sẽ chứa nhóm con chuẩn tắc, giao hoán và có chỉ số là ước của 30deg(D) 2 Định lý 1.2.8 chỉ ra rằng nếu K là trường con tối đại của D, thì tích tensor D⊗F K sẽ là một đại số đơn và các điều kiện liên quan là tương đương.

Giả sử r = dim F K < ∞ Khi đó, dim(D K ) = dim( K D) = r, D⊗ F K ∼= End(D K )∼= M n (K) và dim F D =r 2

Hơn thế nữa, trường con E ⊇ F là trường con tối đại của D khi và chỉ khi dimF E √dimF D.

Lưu ý rằng trong định lý trên, ta kí hiệu:

(i) dim(DK) là số chiều của D là không gian vector phải trên K.

(ii) dim( K D) là số chiều của D là không gian vector trái trên K.

(iii) End(D K ) là tập các K - tự đồng cấu (phải) của D.

Bổ đề 1.2.9 khẳng định rằng nếu D là một vành chia đại số trái bậc bị chặn trên trường con K, thì mọi vành chia con hữu hạn sinh E của D đều là vành chia hữu hạn tâm.

Bổ đề 1.2.10 [30, Lemma 1] Giả sử x, y ∈ D ∗ sao cho z = xyx −1 y −1 6= 1, zx xz, zy = yz Đặt Q là vành con của D được sinh bởi 1, z, x, y và L là vành con của

D được sinh bởi 1, z, và mọi phần tử q ∈ Q đều có thể biểu diễn dưới dạng q = X λ kl x k y l với λ ∈ L, k = 0, 1, , l = 0, 1, Vành chia con D1 được sinh ra bởi x, y là hữu hạn tâm nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn.

Định lý 1.2.11 khẳng định rằng, cho G là một nhóm tuyến tính trên trường K bất kỳ, G sẽ thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng ngặt trên GL n (K) nếu và chỉ nếu G là một mở rộng hữu hạn của nhóm giải được Điều này có nghĩa là, nếu G đáp ứng điều kiện này, thì nó liên quan chặt chẽ đến cấu trúc của nhóm giải được trong bối cảnh các nhóm tuyến tính.

Bổ đề 1.2.12 khẳng định rằng, với D là vành chia hữu hạn tâm, mọi nhóm con giải được của D ∗ đều bao gồm nhóm con chuẩn tắc giao hoán có chỉ số hữu hạn Định lý 1.2.13 chỉ ra rằng, nếu D là vành chia đại số trên tâm F và G là nhóm con á chuẩn tắc của D ∗, thì khi G giải được địa phương, G sẽ nằm trong F Cuối cùng, Định lý 1.2.14, được đưa ra bởi Gonácalves vào năm 1984, cho biết rằng với D là vành chia hữu hạn tâm và H là nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâm của D ∗, H sẽ chứa nhóm con tự do không xyclic.

Giả sử H không chứa nhóm con tự do không cyclic, theo Định lý 1 và 2 trong [38], H chứa nhóm con chuẩn tắc L giải được sao cho H/L hữu hạn địa phương Vì L giải được và á chuẩn tắc trong D∗, ta có L ⊆ F, dẫn đến H/Z(H) hữu hạn địa phương và H₀ cũng hữu hạn địa phương Áp dụng Định lý 1.2.6, ta suy ra H₀ ⊆ F, từ đó H giải được và H ⊆ F, tạo ra mâu thuẫn Theo Định lý 1.2.15 (1986, Gonácalves [13]), nếu N là nhóm con chuẩn tắc không nằm trong tâm F của vành chia D, và a ∈ N là đại số trên F với một F-đẳng cấu không tầm thường trên F(a), thì N chứa nhóm con tự do không cyclic.

Hệ quả 1.2.16 Nếu N chứa phần tử xoắn không nằm trong tâm thì N chứa nhóm con tự do không xyclic.

Giả sử a ∈ N\F là phần tử xoắn, tồn tại số nguyên nhỏ nhất n > 2 sao cho a^n = 1, dẫn đến F(a) = F(a^r) với r, n là hai số nguyên tố cùng nhau Khi đó, Gal(F(a)/F) ≠ 1 với F tự đẳng cấu a ↦ a^r trong F(a), theo định lý 1.2.15, N chứa nhóm con tự do không xyclic Định lý 1.2.17 (Gonácalves, 1986) khẳng định rằng nếu char(D) = p > 0 và nhóm con chuẩn tắc N không nằm trong tâm của D* chứa phần tử x sao cho x^p thuộc tâm, thì N cũng chứa nhóm con tự do không xyclic.

Dựa trên các kết quả đã nêu, ta có định lý tổng quát: Định lý 1.2.18 (1986, Gonácalves [13]) khẳng định rằng nhúm con chuẩn tắc N không nằm trong tâm của D ∗ chứa nhóm con tự do không cyclic nếu tồn tại x∈ N\F đại số trên tâm.

F sao cho Gal(F(x)/F)6= 1 hoặc x p ∈ F, với p= 2 hoặc p= char(F)> 0. Định lý 1.2.19 (1999, Chiba [8]) Nếu tâm F của vành chia D không đếm được thì D ∗ chứa nhóm con tự do không xyclic.

Vành chia hữu hạn địa phương yếu

Vành chia D có tâm F được định nghĩa là vành chia hữu hạn địa phương nếu với mọi tập con hữu hạn S khác rỗng thuộc D, vành chia con F(S) của D được sinh ra từ tập hợp F ∪ S là không gian vector hữu hạn chiều trên F.

2 Dlà vành chiahữu hạn địa phương yếu nếu với mọi tập con hữu hạn∅ 6= S ⊆ D, vành chia con của D được sinh ra bởi tập S là vành chia hữu hạn tâm.

Nếu D là vành chia hữu hạn tâm, thì D được coi là vành con của vành ma trận Mn(F), với n là số chiều của D trên tâm F Ánh xạ φ : D → Mn(F) được xác định bởi φ(d) = [Ld]β, trong đó [Ld]β là ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính L d trong cơ sở β của D trên F, với L d : D → D, L d (x) = dx Ánh xạ φ là đơn cấu vành, và nếu chỉ xét φ với phép toán nhân, thì φ : D ∗ → GL n (F) là đơn cấu nhóm Do đó, D ∗ có thể được xem như nhóm tuyến tính bậc n trên trường.

Nghiên cứu tính chất của các vành chia hữu hạn tâm rất quan trọng, vì nó cho phép chúng ta áp dụng các tính chất của nhóm tuyến tính trên trường.

Lớp vành chia hữu hạn tâm nằm trong lớp vành chia hữu hạn địa phương, với nhiều vành chia hữu hạn địa phương không có tâm Ví dụ minh họa sẽ được đưa ra dưới đây Định lý 1.3.2 nêu rằng nếu D1 và D2 là các vành chia có cùng tâm F, và [D1 : F] cùng [D2 : F] là nguyên tố cùng nhau, thì D1⊗F D2 sẽ là vành chia tâm F.

Chứng minh Vì D1⊗ F D2 là F-đại số đơn tâm nên ta có

D1⊗F D2 ∼=Mn(D), (1) với D là một vành chia tâm F nào đó và một số nguyên n ≥ 1 Ta sẽ chứng minh n= 1 Đặt mi= [Di : F], i= 1,2, ta có

D op i ⊗F D ∼= Ms i (Ki), (2) với Ki là các vành chia tâm F và các số nguyênsi≥ 1 , i = 1,2 Hơn nữa, ta còn có

Mm 1(D2)∼= Mm 1(F)⊗ F D2 ∼=D 1 op ⊗ F D1⊗ F D2 ∼= D 1 op ⊗ F Mn(D)

∼=Mn(D op 1 ⊗F D)∼= Mn(Ms 1(K1)) ∼= Mns 1(K1).

Do đó, m 1 = ns 1 và m 2 = ns 2 Vì (m 1, m 2) = 1, suy ra n = 1, nghĩa là D1⊗ F D2 là vành chia Định lý 1.3.3 (Dirichlet) khẳng định rằng, nếu a và d là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, thì tồn tại vô số số nguyên tố có dạng a + nd.

Theo định lý Dirichlet, với một số nguyên tố p bất kỳ, luôn tồn tại một số nguyên tố có dạng q = np + 1 Gọi α ∈ C là căn nguyên thủy bậc q của đa thức x^q − 1.

K = Q(α) là một mở rộng xyclic bậc q−1 trên Q, với σ là phần tử sinh của nhóm Galois Gal(K/Q) Trường con cố định M của < σ p > tạo thành một mở rộng Galois M/Q, có bậc mở rộng p, do đó M/Q là mở rộng xyclic bậc p.

Xét đại số xyclic A = (K/Q, σ, a), với a ∈ Q sao cho a 6∈ N K/ Q (K ∗ ) Khi đó, theo [28, (14.8)], A là vành chia nhận Q làm tâm và [A : Q] = p 2

Bây giờ, xét dãy các số nguyên tố tăng dần p1 < p2 < Với mỗi số nguyên dương n, xây dựng một vành chia An tâm Q bậc p 2 n Áp dụng Định lý 1.3.2, suy ra

D n =A 1 ⊗ Q ⊗ Q A n cũng là vành chia tâm Q Xem Dn+1 =Dn ⊗ Q An+1, ta có thể thành lập vành chia

D = ∪ n≥1 D n Hiển nhiên D là vành chia vô hạn chiều trên tâm Z(D) = Q và D là vành chia hữu hạn địa phương.

Trong nghiên cứu [21], các tác giả chỉ ra rằng mọi vành chia hữu hạn địa phương đều là hữu hạn địa phương yếu, nhưng điều ngược lại không đúng, khi họ xây dựng các ví dụ về vành chia hữu hạn địa phương yếu không đại số Bài viết này sẽ bổ sung phần trình bày chứng minh cho khẳng định rằng mọi vành chia hữu hạn địa phương đều là hữu hạn địa phương yếu, bắt đầu với việc xem xét biểu thức liên quan.

Sn = X π∈Sym(n) sgn(π)xπ(1) xπ(n), với n≥ 1, trong đó x1, , xn là các biến độc lập không giao hoán Khi n=0, S0 được qui ước là 1 Để chứng minh điều này, cần sử dụng một số kết quả cổ điển trong Lý thuyết vành Định lý 1.3.4 của Amitsur-Levitzki cho biết S2n là đồng nhất thức đa thức trên Mn(R) với mọi vành giao hoán R Định lý 1.3.5 của Kaplansky chỉ ra rằng nếu một đại số nguyên thuỷ thỏa mãn đồng nhất thức đa thức, thì nó là không gian vector hữu hạn chiều trên tâm của nó Cuối cùng, Định lý 1.3.6 khẳng định rằng mọi vành chia con của vành chia hữu hạn tâm đều là vành chia hữu hạn tâm.

Giả sử D là vành chia hữu hạn tâm với [D : F] = n < ∞ Xem D như một vành con của vành ma trận Mn(F) và áp dụng Định lý 1.3.4, ta nhận thấy rằng D cùng với mọi vành chia con E của D đều thỏa mãn đồng nhất thức S 2n Do đó, theo Định lý 1.3.5, E cũng là một vành chia hữu hạn tâm Thêm vào đó, theo Định lý 1.3.7, mọi vành chia hữu hạn địa phương đều là vành chia hữu hạn địa phương yếu.

(ii) Tồn tại vô số vành chia hữu hạn địa phương yếu mà không đại số trên tâm.

Giả sử D là vành chia hữu hạn địa phương trên tâm F, và K là vành chia sinh bởi một tập hữu hạn S ⊆ D với S khác rỗng Khi đó, K trở thành vành chia con của vành chia F(S) Vì F(S) là vành chia hữu hạn tâm, theo Định lý 1.3.6, K cũng là vành chia hữu hạn tâm Do đó, D được chứng minh là vành chia hữu hạn địa phương yếu.

Nhóm con tự do của nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia hữu hạn địa phương yếu

Như đã giới thiệu trong phần TỔNG QUAN, những nghiên cứu chính của chúng tôi trong luận án này đều xoay quanh hai giả thuyết sau đây.

Giả thuyết 1 Nhóm nhân của vành chia không giao hoán chứa nhóm con tự do không xyclic.

Giả thuyết 2.Mọi nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâm của nhóm nhân của vành chia không giao hoán đều chứa nhóm con tự do không xyclic.

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của các nhóm con tự do không xyclic trong nhóm con á chuẩn tắc của D∗, với D là vành chia hữu hạn địa phương yếu Chúng tôi chứng minh rằng nếu D có tâm F và G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ không nằm trong tâm F, thì G chứa nhóm con tự do không xyclic Nghiên cứu này tiếp nối công trình của Gonácalves vào năm 1984.

Định lý 1.3.7 chứng minh rằng lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu rộng hơn lớp vành chia hữu hạn tâm Kết quả mà chúng tôi đạt được là một sự mở rộng mạnh mẽ của kết quả Gonácalves, đánh dấu một bước tiến quan trọng trong việc giải quyết Giả thuyết 2 Những phát hiện này đã được công bố trong bài báo [20].

Một số tính chất của các nhóm con trong vành chia hữu hạn địa phương yếu

hữu hạn địa phương yếu

Định lý Tits (1972), hay còn gọi là Tits’Alternative, là một kết quả quan trọng trong nghiên cứu về sự tồn tại các nhóm con tự do không cyclic trong nhóm nhân của vành chia không giao hoán, cũng như trong nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia Để dễ theo dõi, chúng ta sẽ phát biểu lại kết quả này của Tits Định lý 2.1.1 [Tits’Alternative, [38]] khẳng định rằng đối với trường F bất kỳ, có các khẳng định sau.

(i) Nếu char(F) = 0 thì mọi nhóm con của GL n (F) hoặc chứa nhóm con chuẩn tắc giải được có chỉ số hữu hạn hoặc chứa nhóm con tự do không xyclic.

Nếu charF = p > 0, mọi nhóm con hữu hạn sinh của GL n (F) hoặc chứa nhóm con chuẩn tắc giải được với chỉ số hữu hạn, hoặc chứa nhóm con tự do không xyclic Định lý này được coi là Tits’ Alternative cho vành chia hữu hạn địa phương yếu, mở rộng kết quả của Hazrat, Mahdavi-Hezavehi và Motiee vào năm 2014 Định lý 2.1.2 khẳng định rằng, cho D là vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F và G là nhóm con của D ∗, thì các phát biểu sau là tương đương: i) G không chứa nhóm con tự do không xyclic; ii) G là nhóm giải được bởi hữu hạn địa phương; iii) G là nhóm giao hoán bởi hữu hạn địa phương; iv) Mọi nhóm con hữu hạn sinh của G đều thỏa mãn đồng nhất thức nhóm.

Chứng minh rằng từ (i) dẫn đến (ii) thông qua việc gọi S là tập con hữu hạn của G, với K và H lần lượt là vành chia con của D và nhóm con của G được sinh bởi S Vì D là hữu hạn địa phương yếu, nên tỉ số [K : Z(K)] là hữu hạn Điều này cho thấy H là nhóm tuyến tính trên trường Z(K) và không chứa nhóm con tự do không chu trình Theo Tits’ Alternative, H do đó là nhóm giải được bởi hữu hạn.

H giả được bởi hữu hạn, và nếu A là nhóm con chuẩn tắc giải được của H với H/A hữu hạn, thì theo Bổ đề 1.2.12, A sẽ chứa nhóm con giao hoán B có chỉ số hữu hạn Điều này được khẳng định bởi Định lý 1.1.4.

C := CoreH(B) là nhóm con chuẩn tắc giao hoán chỉ số hữu hạn của H và C nằm trong A.

Trong trường hợp này, nhóm H có một nhóm con B chuẩn tắc giao hoán với chỉ số hữu hạn k Do đó, mọi phần tử a và b thuộc H đều thỏa mãn đồng nhất thức [x k , y k ] = 1.

Năm 1950, Hua đã chứng minh rằng nhóm nhân D ∗ của vành chia không giao hoán D không thể là nhóm giải được Stuth đã mở rộng kết quả này trong định lý 2.1.3, khẳng định rằng nếu G là nhóm con á chuẩn tắc của D ∗ và G giải được, thì G phải nằm trong F, tâm của vành chia D Định lý của Hua và định lý tổng quát của Stuth được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu cấu trúc các nhóm con nhân của vành chia Nhiều nỗ lực đã được thực hiện để mở rộng các định lý này; ví dụ, B X Hải và N V Thìn đã chứng minh rằng nếu D là vành chia đại số trên tâm F của nó, thì mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được địa phương của D ∗ đều nằm trong F Hai bổ đề dưới đây cũng nằm trong những nỗ lực đó nhằm hỗ trợ cho nghiên cứu của chúng tôi.

Bổ đề 2.1.4 Cho D là vành chia đại số trên tâm F Nếu G là nhóm con á chuẩn tắc giải được địa phương bởi hữu hạn địa phương của D ∗ thì G⊆ F.

Theo giả thiết, G có nhóm con chuẩn tắc và giải được địa phương H, dẫn đến G/H là một nhóm hữu hạn địa phương Do D là đại số trên tâm, theo Định lý 1.2.13, điều này được khẳng định.

H thuộc tập con của F, dẫn đến H cũng thuộc tập con của Z(G), từ đó suy ra G/Z(G) là một nhóm hữu hạn địa phương Áp dụng Định lý 1.1.3, ta có G 0 là nhóm hữu hạn địa phương Theo Định lý 1.2.6, G 0 thuộc F Do đó, G là nhóm giải được và theo Định lý 2.1.3, ta có G thuộc F.

Bổ đề 2.1.5 Cho D là vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F Nếu G là nhóm con á chuẩn tắc giải được địa phương bởi hữu hạn địa phương của D ∗ thì G⊆ F.

Chứng minh rằng H là nhóm con chuẩn tắc của G, với G/H là nhóm hữu hạn địa phương Xét các phần tử x, y thuộc H và gọi K là vành chia con của H.

D sinh bởi x, y, với [K : Z(K)]< ∞ và H ∩ K ∗ là nhóm con á chuẩn tắc, giải được địa phương của K ∗ Theo Bổ đề 2.1.4, H ∩ K ∗ ⊆ Z(K) dẫn đến xy = yx, chứng tỏ H là nhóm con á chuẩn tắc giao hoán của D ∗ Theo Định lý 2.1.3, H ⊆ F, từ đó suy ra H ⊆ Z(G), khiến G/Z(G) hữu hạn địa phương Điều này dẫn đến G 0 là nhóm xoắn, do đó, theo Định lý 1.2.13, G 0 ⊆ F, suy ra G giải được Cuối cùng, theo Định lý 2.1.3, ta có G ⊆ F.

CZ -nhóm

Trong chương này, chúng tôi sẽ khám phá khái niệm về các CZ-nhóm con trong tô pô Zariski của nhóm GL n (D), với D là vành chia hữu hạn địa phương Mục tiêu của phần này là trình bày ngắn gọn khái niệm này để bạn đọc dễ dàng theo dõi.

ChoU là không gian vector các dòng độ dài n trên trường F, trong khi R = F[X1, , Xn] là vành đa thức n biến trên F Tập con A ⊆ U được gọi là tập đóng trong U nếu có một tập con S ⊆ R sao cho A chứa tất cả các nghiệm của các đa thức thuộc S.

Khi đó, ta ký hiệu A =V(S) Có thể kể ra đây một số tập đóng đặc biệt:

(i) Tập rỗng ∅ là tập nghiệm của phương trình a= 0 với 06= a∈ F.

(ii) Tập U gồm tất cả các nghiệm của phương trình 0 = 0.

(iii) Tập hợp chỉ gồm một điểm (α 1 , , α n ) là tập nghiệm của hệ phương trình xi−αi = 0, i = 1, , n.

Ký hiệu < S > là ideal của R được sinh ra bởi tập S Rõ ràng

Hơn nữa, nếu A = V(I) và B = V(J), với I, J là các ideal của R, thì

Thật vậy, vì IJ ⊆ I nên V(I) ⊆ V(IJ) Tương tự, ta có V(J)⊆ V(IJ) Do đó,

A ∪ B ⊆ V(IJ) Giả sử tồn tại phần tử x ∈ V(IJ) nhưng x 6∈ A ∪ B, ta có thể giả định x 6∈ A Khi đó, tồn tại f ∈ I sao cho f(x) 6= 0 Với mọi g ∈ J, f g ∈ IJ, và vì x ∈ V(IJ) nên f(x)g(x) = 0, dẫn đến g(x) = 0, suy ra x ∈ V(J) = B Điều này tạo ra một mâu thuẫn, từ đó kết luận rằng A ∪ B = V(IJ).

Giao của một họ tùy ý và hợp của một họ hữu hạn các tập đóng đều là các tập đóng, xác định cấu trúc tô pô trên U, được gọi là tô pô Zariski Hơn nữa, U là không gian T1, vì một tập con chỉ gồm một phần tử là tập đóng Nếu có dãy giảm của các tập đóng trong U, ký hiệu là ⊂ An ⊂ An−1 ⊂ ⊂ A2 ⊂ A1 (*), thì tồn tại các ideal I1, , In, của Rsao cho.

Vành R là vành Noether, do đó dãy I1 ⊂ I1 + I2 ⊂ ⊂ I1 + I2 + + In ⊂ là dãy dừng, dẫn đến (*) là dãy dừng Điều này chứng tỏ tô pô Zariski thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm trên các tập đóng Một Z−không gian được định nghĩa là một T1 không gian tô pô thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm trên các tập đóng Không gian tô pô X được coi là liên thông nếu trong X không tồn tại những tập con vừa đóng vừa mở khác với ∅ và X.

Mệnh đề 2.2.2 Mọi Z- không gian đều phân hoạch một cách duy nhất thành một số hữu hạn các không gian con liên thông tối tiểu.

Giả sử X0 là một Z−không gian không rỗng, X0 thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm trên các tập đóng Do đó, tồn tại một tập C1 khác rỗng, vừa đóng vừa mở tối tiểu trong X0 Đặt X1 = X0 \ C1, nếu X1 không rỗng, thì nó cũng chứa một tập C2 khác rỗng, vừa đóng vừa mở tối tiểu Tiếp tục đặt X2 = X1 \ C2, và nhận thấy rằng X0 ⊃ X1 ⊃ X2 Quá trình này tiếp tục cho đến khi tồn tại một số nguyên dương k sao cho Xk = ∅ và Xk−1 không rỗng, từ đó tạo ra sự phân hoạch mong muốn.

Giả sử C là tập hợp tối thiểu không rỗng của X0, tồn tại ít nhất một chỉ số i thuộc {1, 2, , k} sao cho C i và C có phần giao nhau Do tính chất tối thiểu của C và C i, ta có thể kết luận rằng C i chính là C Như vậy, sự phân tích (1) là duy nhất.

Các C i trong mệnh đề trên được gọi là các thành phần liên thông của X 0 Nhóm G được định nghĩa là CZ− nhóm nếu G là Z− không gian và với mọi a ∈ G, bốn ánh xạ sau đây là liên tục: x 7−→ ax, x 7−→ x −1, x 7−→ xa, và x 7−→ x −1 ax, với x ∈ G.

Nếu G là CZ-nhóm thì ta ký hiệu thành phần liên thông chứa phần tử đơn vị của

G là G 0 Dưới đây là một số kết quả liên quan đến các CZ-nhóm mà ta sẽ cần sử dụng trong các chứng minh ở mục tiếp theo.

Bổ đề 2.2.4 chỉ ra rằng nếu G là một CZ− nhóm và C là thành phần liên thông chứa phần tử đơn vị của G, thì C sẽ là một nhóm con chuẩn tắc của G với chỉ số hữu hạn Hơn nữa, các thành phần liên thông của G chính là các lớp ghép trái của C trong G.

Bổ đề 2.2.5 [41, Lemma 5.3] Cho G là CZ− nhóm và H là nhóm con đóng của

G Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:

Nếu G là một CZ− nhóm, thì chuẩn hoá tử của tập con đóng của G cũng là một tập đóng Hơn nữa, tâm của bất kỳ tập con nào trong G cũng thuộc về tập đóng.

Bổ đề 2.2.7 [41, Lemma 5.9] Trong một CZ− nhóm, bao đóng của nhóm con là nhóm con và bao đóng của nhóm con chuẩn tắc là nhóm con chuẩn tắc.

Bổ đề 2.2.8 [41, Lemma 5.11] Cho G là CZ− nhóm và H là nhóm con của G, K là bao đóng của H trong G Khi đó,

(i) H giải được với bậc giải được là d khi và chỉ khi K giải được với bậc giải được là d.

(ii) H luỹ linh với lớp c khi và chỉ khi K luỹ linh với lớp c.

Xét G là một nhóm con của GL n (F) ⊆ Mn(F), với F là trường Mn(F) được coi là không gian vector hai chiều trên F và có cấu trúc tô pô Zariski Nhóm G trở thành một CZ− nhóm nhờ vào tô pô cảm sinh từ tô pô Zariski trong không gian Mn(F).

Giả sử D là vành chia hữu hạn địa phương với tâm là F Xét nhóm con hữu hạn sinh Y =< y1, y2, , ys > trong nhóm tuyến tính tổng quát GL n (D) và gọi

K là vành chia con của D, được sinh ra trên F từ tất cả các hệ số của các ma trận y1, y2, , ys Do đó, K là không gian vector hữu hạn chiều trên F với số chiều [K : F] = m Như vậy, Y là nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát.

GL mn (F) Với tô pô cảm sinh từ tô pô Zariski trong Mmn(F), Y trở thành một

CZ-nhóm là một khái niệm trong lý thuyết nhóm, trong đó mọi nhóm con của Y cũng đều là một CZ-nhóm Nếu X là một nhóm con của Y, thì ký hiệu X 0 đại diện cho thành phần liên thông chứa phần tử đơn vị của X.

Sự tồn tại của các nhóm con tự do trong nhóm con á chuẩn tắc của vành chia hữu hạn địa phương yếu

á chuẩn tắc của vành chia hữu hạn địa phương yếu

Chương này sẽ chứng minh rằng mọi nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâm của vành chia hữu hạn địa phương yếu đều chứa nhóm con tự do không xyclic Điều này khẳng định Giả thuyết 2 đúng đối với lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu, một lớp rộng lớn bao gồm cả lớp vành chia hữu hạn địa phương (Định lý 1.3.7) Định nghĩa 2.3.1 nêu rõ rằng nếu G là nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GL n (D) trên vành chia hữu hạn địa phương D, thì có những điều kiện và định nghĩa cụ thể liên quan.

G + := ∪Y(G∩Y) 0 , trong đó Y chạy khắp tập các nhóm con hữu hạn sinh của GL n (D).

Bổ đề 2.3.2 Cho D là vành chia hữu hạn địa phương tâm F và G là nhóm con của GL n (D) Khi đó, G + chuẩn tắc trong G và G/G + hữu hạn địa phương.

Chứng minh rằng với hai phần tử tùy ý x, y trong G +, nếu Y1 và Y2 là hai nhóm con hữu hạn sinh của GL n (D) với các tập sinh S1 và S2 tương ứng, trong đó x thuộc (G∩Y1) 0 và y thuộc (G∩Y2) 0, thì nhóm con hữu hạn sinh Y của GL n (D) được sinh bởi S1 ∪ S2.

Nếu x, y ∈ (G∩Y)₀ thì xy ∈ (G∩Y)₀, do đó suy ra xy ∈ G⁺ Điều này cho thấy nghịch đảo của bất kỳ phần tử nào trong G⁺ cũng thuộc G⁺, chứng minh rằng G⁺ là một nhóm con của G Xét các phần tử x ∈ G⁺ và g ∈ G, tồn tại một nhóm con hữu hạn sinh Y của G, được sinh bởi tập hữu hạn S, sao cho x ∈ (G∩Y)₀ Đặt Yg là nhóm con của G được sinh bởi S ∪ {g} Vì x ∈ (G ∩ Yg)₀, theo Bổ đề 2.2.4, ta có gxg⁻¹ ∈ (G∩Yg)₀ ≤ G⁺, từ đó chứng tỏ G⁺ chuẩn tắc trong G.

Giả sử x1, x2, , xr ∈ G và H là nhóm con của G được sinh bởi x1, x2, , xr. Khi đó,

< x1G + , , xrG + >= HG + /G + Mặt khác, HG + /G + ∼= H/(H ∩G + ) Ánh xạ ϕ:H/H ∩G + −→ H/H + h(H ∩G + )7→ hH + là đơn cấu nhóm Theo Bổ đề 2.2.5, H/H 0 hữu hạn, suy raHG + /G + hữu hạn Vậy, G/G + hữu hạn địa phương.

Bổ đề 2.3.3 khẳng định rằng cho D là vành chia hữu hạn địa phương với tâm F và G là nhóm con của GL n (D), các phát biểu sau đây là tương đương: i) G là nhóm giải được bởi hữu hạn địa phương; ii) G giải được địa phương bởi hữu hạn địa phương; iii) G cộng với nhóm giải được địa phương.

Chứng minh (iii) ⇒ (ii): hiển nhiên do Bổ đề 2.3.2.

Giả sử H là nhóm con hữu hạn sinh của G Theo giả thiết, tồn tại nhóm con A chuẩn tắc của G sao cho A giải được địa phương và G/A hữu hạn địa phương Đặt B = A ∩ H, ta có H/B ∼= HA/A là nhóm hữu hạn, từ đó suy ra B là nhóm con hữu hạn sinh của A Do đó, B giải được và G là nhóm giải được bởi hữu hạn địa phương.

Để chứng minh rằng nếu Y =< y1, , ys > là nhóm con hữu hạn sinh của GL n (D), thì X 0 giải được với X = G∩Y Theo giả thiết, X là nhóm địa phương được giải quyết bởi hữu hạn Gọi K là vành chia con của D được sinh bởi F và tất cả các phần tử của các ma trận yi, với i = 1, , s Khi đó, K có chiều hữu hạn.

F và X ≤ Y ≤ GL mn (F), với m = [K : F] Áp dụng Bổ đề 1.2.4, ta suy ra rằng X là nhóm giải được hữu hạn Gọi A là nhóm con chuẩn tắc giải được của X, sao cho X/A là hữu hạn, và ký hiệu A là bao đóng của A trong X Theo Bổ đề 2.2.7 và 2.2.8, A cũng là nhóm con chuẩn tắc giải được của X Do A có chỉ số hữu hạn trong X, theo Bổ đề 2.2.5, ta có X 0 ⊆ A Do đó, X 0 là nhóm giải được.

Bây giờ ta hãy xétH =< x1, , xr >là một nhóm con hữu hạn sinh bất kỳ của

Với mỗi i thuộc tập {1, 2, , r}, tồn tại nhúm con hữu hạn sinh Yi của GLn(D) được sinh bởi tập hữu hạn Si, trong đó x i thuộc Yi Đặt Y0 là nhóm con của GLn(D) sinh bởi tập S = ∪ r i=1 Si và X = G ∩ Y0 Theo chứng minh trước đó, X0 là nhóm giải được, do đó H cũng là nhóm giải được Kết luận, G+ là nhóm giải được địa phương.

Cùng với Bổ đề 2.1.5, bổ đề dưới đây là chìa khóa giúp ta chứng minh được kết quả chính của chương này.

Bổ đề 2.3.4 nêu rằng, cho D là vành chia hữu hạn địa phương và G là nhóm con của D ∗ Nếu G không chứa nhóm con tự do không chu kỳ, thì G sẽ giải được địa phương bởi vành chia hữu hạn địa phương.

Chứng minh Được suy ra từ Định lý 2.1.2 và Bổ đề 2.3.3.

Trong nghiên cứu của Gonácalves, đã chỉ ra rằng nếu D là vành chia hữu hạn, thì mọi nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâm của D∗ đều chứa nhóm con tự do không xyclic Hơn nữa, Định lý 1.3.7 xác nhận rằng lớp vành chia hữu hạn địa phương thực sự nằm trong lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu Do đó, Định lý 2.3.5 là một mở rộng quan trọng của kết quả trên, khẳng định rằng nếu D là vành chia hữu hạn địa phương yếu với tâm F, thì bất kỳ nhóm con á chuẩn tắc G của D∗ không nằm trong tâm F đều chứa nhóm con tự do không xyclic.

Giả sử G không chứa nhóm con tự do không xyclic, ta chọn các phần tử x, y ∈ G sao cho xy ≠ yx và đặt K là vành chia sinh bởi x, y Khi đó, K là vành chia hữu hạn tâm, G ∩ K∗ là nhóm con á chuẩn tắc của K∗, và G không nằm trong tâm của K∗ Do G ∩ K∗ không chứa nhóm con tự do không xyclic, theo Bổ đề 2.3.4, G ∩ K∗ giải được địa phương bởi hữu hạn địa phương, và theo Bổ đề 2.1.5.

G∩K ∗ ⊆ Z(K), suy ra xy =yx, mâu thuẫn.

Nhóm con tự do của nhóm con gần á chuẩn tắc trong nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia

Trong chương này, chúng tôi sẽ áp dụng các đồng nhất thức nhóm suy rộng để nghiên cứu các nhóm tuyến tính bậc bất kỳ trên vành chia D Phương pháp này hoàn toàn khác biệt so với phương pháp được sử dụng trong Chương 2 Kết quả thu được trong chương này thực sự mở rộng những phát hiện từ Chương 2, cho thấy rằng đồng nhất thức nhóm suy rộng là công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu cấu trúc nhóm.

Trong chương này, chúng tôi chứng minh rằng mọi nhóm con gần á chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát GL n (D), với D là vành chia hữu hạn địa phương yếu và n≥ 1, đều chứa nhóm con tự do không xyclic, ngoại trừ trường hợp D là trường hữu hạn địa phương và n≥ 2 Chúng tôi cũng mô tả tất cả các nhóm con hữu hạn sinh, vô hạn và gần á chuẩn tắc của GL n (D) Nếu F là tâm của vành chia D, thì tâm của Mn(D) là tập hợp F In, bao gồm tất cả các ma trận vô hướng dạng aI n, với a ∈ F Tương ứng a 7→ aIn xác định một đẳng cấu vành giữa F và F In, trong khi F ∗ In = {aIn|a∈ F ∗ } là tâm của GL n (D) Chúng tôi thường đồng nhất F I n với F mà không có chú thích thêm Những kết quả mới trong chương này đã được công bố trong bài báo [33].

Nhóm con gần á chuẩn tắc với đồng nhất thức nhóm suy rộng

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất của nhóm con gần á chuẩn tắc thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng Để thuận tiện cho việc theo dõi, chúng tôi sẽ liệt kê một số kết quả quan trọng được sử dụng trong các chứng minh sau này Định lý 3.1.1 khẳng định rằng, với D là vành chia có tâm vô hạn và n≥ 2, thì GL n (D) không thỏa mãn bất kỳ đồng nhất thức nhóm suy rộng nào.

Định lý 3.1.2 cho biết rằng nếu D là vành chia với tâm vô hạn và D ∗ thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên D ∗, thì D là giao hoán Cùng với Định lý 3.1.1, điều này chỉ ra rằng đối với bất kỳ vành chia vô hạn nào, các tính chất này vẫn giữ nguyên.

Nhóm GL n (D) thỏa mãn đồng nhất thức suy rộng trên GL n (D) với điều kiện thỏa mãn là D = F Gần đây, điều này đã được chứng minh đúng khi thay thế GL n (D) bằng nhóm con á chuẩn tắc của nó Theo Định lý 3.1.3 [7, Định lý 1.1], nếu D là vành chia có tâm vô hạn, thì mọi nhóm con á chuẩn tắc của GL n (D) thỏa mãn đồng nhất thức suy rộng trên GL n (D) đều thuộc về F.

Giả sửG là một nhúm,{x 1 ,ã ã ã , x m }và{y 1 ,ã ã ã , y m } là hai tập hữu hạn cỏc biến khụng giao hoỏn Với phần tử a ∈ G\Z(G), và i ∈ {1,2,ã ã ã , m}, định nghĩa ul(yi) bằng qui nạp: u 0 (y i ) = y i , u l =u l−1 (y i )a[u l−1 (y i )] −1

Ta cần bổ đề sau.

Bổ đề 3.1.4 chỉ ra rằng cho hàm w(x1, x2, , xm) = a1x α i 1 1 a2x α i 2 2 atx α i t t, với {y1, y2, , ym} là m biến không giao hoán, thì w0(y1, y2, , ym) = w(ul(y1), ul(y2), , ul(ym)) cũng là một đơn thức nhóm suy rộng trên G.

Bổ đề 3.1.5 khẳng định rằng, cho nhóm G và nhóm con H gần á chuẩn tắc không nằm trong tâm của G, nếu H thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên G, thì G cũng sẽ thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên G.

Chứng minh Vì H gần á chuẩn tắc trong G nên tồn tại dãy gần chuẩn tắc

H = Hr ≤H r−1 ≤ ≤ H1 =G, sao cho với mỗi 1< i≤ r, Hi chuẩn tắc trongH i−1 hoặc Hi có chỉ số hữu hạn trong

H i−1 Rõ ràng, ta chỉ cần chứng minh H r−1 thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên G là đủ.

Giả sử H = Hr thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên G: w(x1, x2, , xm) =a1x n i 1 1 a2x n i 2 2 atx n i t t at+1 = 1.

Không mất tính tổng quát, giả sử ni ∈ {1,−1}, với mọi 1≤ i≤ t.

Trong trường hợp Hr có chỉ số hữu hạn trong Hr−1, đặt k = [Hr−1 : Hr] Theo Định lý 1.1.5, tồn tại các phần tử c k! 1, , c k! m thuộc Hr với mọi c 1, , c m thuộc Hr−1 Theo giả thiết, w(c k! 1, c k! 2, , c k! m) = 1, điều này chứng tỏ Hr−1 thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng w(x k! 1, x k! 2, , x k! m) = 1.

Trường hợp 2: Hr chuẩn tắc trong Hr−1

Xét phần tử a ∈ H r \F ∗, thay x j bằng x j ax −1 j với 1 ≤ j ≤ m, theo Bổ đề 3.1.4, ta có w1(x1, x2, , xm) = w(x1ax −1 1 , x2ax −1 2 , , xmax −1 m ), là đơn thức nhóm suy rộng trên G Với mọi c1, , cm ∈ H r−1, ta có w1(c1, c2, , cm) = w(c1ac −1 1 , c2ac −1 2 , , cmac −1 m ) = 1, chứng tỏ Hr−1 thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng w1(x1, x2, , xm) = 1 Định lý 3.1.6 chỉ ra rằng, nếu D là vành chia với tâm vô hạn F và G là nhóm con gần á chuẩn tắc của GL n (D), thì G thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng.

Nếu G không thuộc F, theo Bổ đề 3.1.5, GL n (D) sẽ thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên GL n (D) Áp dụng Định lý 3.1.1 và Định lý 3.1.2, với n=1 và D giao hoán, dẫn đến G phải thuộc F, tạo ra sự mâu thuẫn.

Hệ quả 3.1.7 Cho D là vành chia với tâm vô hạn F Giả sử G là nhóm con gần á chuẩn tắc của GL n (D) Nếu G giao hoán thì G nằm trong F.

Chứng minh Nếu G giao hoán thì G thỏa đồng nhất thức nhóm xyx −1 y −1 = 1.Theo Định lý 3.1.6, G nằm trong F.

Nhóm con gần á chuẩn tắc trong GL n (D) là nhóm con chuẩn tắc

Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu nhóm tuyến tính tổng quát GL n (D) trên vành chia D và các đặc điểm của các nhóm con á chuẩn tắc trong trường hợp D là vành chia vô hạn và n ≥ 2 Các kết quả cổ điển đã chỉ ra rằng mọi nhóm con á chuẩn tắc của GL n (D) đều chuẩn tắc khi n ≥ 2, trong khi n=1 lại không đúng Đặc biệt, trong nhóm nhân D ∗ của vành chia D có thể tồn tại những nhóm con á chuẩn tắc mà không chuẩn tắc Chúng tôi cũng đã nhận thấy rằng có những vành chia D mà nhóm nhân D ∗ chứa nhóm con gần á chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc Một câu hỏi quan trọng được đặt ra là liệu GL n (D) với n≥ 2 có chứa những nhóm con gần á chuẩn tắc mà không chuẩn tắc hay không Chúng tôi chứng minh rằng với n ≥ 2, nếu D là vành chia vô hạn thì mọi nhóm con gần á chuẩn tắc của GL n (D) đều là chuẩn tắc trong GL n (D) Để đạt được kết quả này, chúng tôi đưa ra Định lý 3.2.1, khẳng định rằng nếu N là nhóm con không nằm trong tâm của GL n (D) và thỏa mãn điều kiện xN x −1 ⊆ N với mọi x∈ SL n (D), thì N chứa SL n (D), từ đó chỉ ra rằng một nhóm con của GL n (D) không nằm trong tâm là chuẩn tắc khi và chỉ khi nó chứa SL n (D).

Bổ đề 3.2.2 Cho D là vành chia và n ≥ 2 Khi đó, nhóm tuyến tính đặc biệt

SL n (D) thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên GL n (D) nếu và chỉ nếu D hữu hạn.

Chiều đảo của bổ đề được chứng minh là hiển nhiên khi giả sử D là vô hạn Gọi K là trường con tối đại của D; nếu K là hữu hạn, theo Định lý 1.2.8, dimF D sẽ nhỏ hơn vô hạn, dẫn đến D là hữu hạn, điều này tạo ra mâu thuẫn Do đó, K phải là vô hạn Giả sử SL n (K) thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên GL n (D) w(x1, x2, , xm) = 1.

Khi đó GL n (K) thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên GL n (D) w(y1y2y 1 −1 y −1 2 , y3y4y 3 −1 y 4 −1 , , y2m−1y2my 2m−1 −1 y 2m −1 ) = 1.

Theo Định lý 3.1.6, GL n (K) nằm trong tâm, điều này dẫn đến mâu thuẫn Định lý 3.2.3, được trình bày sau đây, là kết quả chính của mục này Cụ thể, cho D là vành chia vô hạn và n ≥ 2, giả sử N là nhóm con của D.

G = GL n (D) không nằm trong tâm Khi đó, các phát biểu sau tương đương:

(1) N là nhóm con gần á chuẩn tắc của GL n (D).

(2) N là nhóm con á chuẩn tắc của GL n (D).

(3) N là nhóm con chuẩn tắc của GL n (D).

Chứng minh (4) ⇒ (3) ⇒ (2) ⇒ (1) là hiển nhiên Ta chỉ cần chứng minh

(1)⇒ (4) Giả sử N là nhóm con gần á chuẩn tắc của G với dãy gần chuẩn tắc

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo i rằngNi chuẩn tắc trong G hay tương đương

SL n (D) ⊆ N i (1 ≤ i ≤ r) và giả sử N 1 có chỉ số hữu hạn trong G Khi đó, CoreG(N1) là chuẩn tắc và cũng có chỉ số hữu hạn trong G, gọi là m Nếu CoreG(N1) nằm trong tâm thì x m y m x −m y −m = 1 với mọi x, y ∈ G, dẫn đến mâu thuẫn với Bổ đề 3.2.2 Do đó, CoreG(N1) không nằm trong tâm Áp dụng Định lý 3.2.1, ta có SL n (D) ⊆ CoreG(N1) ⊆ N1.

SL n (D) ⊆ N j , j > 1 Ta sẽ chứng minh N j+1 cũng chứa SL n (D) Thật vậy, giả sử

Nhóm CoreN j(Nj+1) có chỉ số hữu hạn k trong Nj và là nhóm con chuẩn tắc không nằm trong tâm của Nj Nếu CoreN j(Nj+1) nằm trong tâm, sẽ dẫn đến mâu thuẫn với đồng nhất thức nhóm x k y k x −k y −k = 1, cho thấy D là hữu hạn Do đó, xCoreN j(Nj+1)x −1 thuộc CoreN j(Nj+1) với mọi x ∈ SLn(D) ⊆ Nj Theo Định lý 3.2.1, CoreN j(Nj+1) chứa SLn(D), từ đó suy ra Nj+1 cũng chứa SLn(D).

Chú ý 3.2.4 Định lý trên không còn đúng nếu D là trường hữu hạn Thật vậy, lấy

D = Fq là một trường hữu hạn với q phần tử, và nhóm PSL(n, q) được định nghĩa là SL(n, q)/Z(SL(n, q)), ngoại trừ hai trường hợp đặc biệt là PSL(2,2) và PSL(2,3) Theo Định lý Jordan-Dickson, PSL(n, q là nhóm đơn Gọi k là ước nguyên tố của |PSL(n, q)|, với k khác |PSL(n, q)|, và H là ảnh ngược của nhóm con cấp k của PSL(n, q) thông qua đồng cấu tự nhiên.

Vì k khác với số lượng phần tử của PSL(n, q), nhóm H là một nhóm con thực sự của SL(n, D) và không thuộc vào tâm của SL(n, D) Theo Định lý 3.2.3, H không phải là nhóm chuẩn tắc trong GL(n, q), điều này cho thấy H là một nhóm con gần chuẩn tắc và không chuẩn tắc trong GL(n, q).

Nhóm con tự do của nhóm con gần á chuẩn tắc trong GL n (D)

Theo như đã chứng minh, nếu n ≥ 2 và D là vành chia vô hạn, thì mọi nhóm con gần á chuẩn tắc của GL n (D) đều chuẩn tắc Định lý 3.3.1 khẳng định rằng nếu D không phải là trường hữu hạn địa phương và n ≥ 2, thì bất kỳ nhóm con chuẩn tắc N nào không nằm trong tâm của GL n (D) đều chứa nhóm con tự do không xyclic.

Bài toán về sự tồn tại các nhóm con tự do không cyclic trong nhóm con gần á chuẩn tắc của GL n (D) đã được rút gọn về trường hợp D ∗ = GL 1 (D) Trong D ∗, có thể tồn tại những nhóm con gần á chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc Chúng tôi sẽ chứng minh rằng nếu D là vành chia hữu hạn địa phương yếu, thì mọi nhóm con gần á chuẩn tắc sẽ không nằm trong tâm của nhóm.

Định lý 3.3.4 khẳng định rằng D ∗ chứa nhóm con tự do không xyclic, một kết quả tổng quát hơn so với Định lý 2.3.5 Để đạt được kết quả này, chúng tôi đã áp dụng một phương pháp nghiên cứu khác, sử dụng các kết quả mạnh từ Lý thuyết về các đồng nhất thức nhóm suy rộng Điều này chứng minh rằng Lý thuyết về đồng nhất thức nhóm suy rộng có những ứng dụng sâu sắc trong nghiên cứu toán học.

Vành chia D được coi là hữu hạn địa phương yếu nếu mọi tập con hữu hạn khác rỗng của D đều tạo ra vành chia con hữu hạn tâm Một số tính chất liên quan đến vành này đã được trình bày trong phần trước của bài viết.

Sau đây là một tính chất quan trọng khác của vành chia mà ta sẽ sử dụng trong mục này.

Bổ đề 3.3.2 khẳng định rằng, cho D là vành chia tâm F và x là phần tử xoắn không thuộc F, thì tồn tại một vành chia con hữu hạn tâm D1 của D chứa x, với điều kiện x không nằm trong tâm D1.

Bổ đề 3.3.3 khẳng định rằng, nếu D là vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F và G là nhóm con gần á chuẩn tắc của D ∗, thì khi G thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên D ∗, G sẽ thuộc về F Đặc biệt, trong trường hợp G giải được, nó cũng sẽ nằm trong F.

Giả sử G không thuộc F và G thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên D ∗ w(x1, x2, , xm) = 1 Theo Bổ đề 3.1.5, D ∗ cũng thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng trên D ∗ w 0 (x1, x2, , xm) =a1x t 1 1 a2x t 2 2 amx t m m am+1 = 1 Chọn các phần tử x, y ∈ D ∗ sao cho xy ≠ yx và gọi D1 là vành chia con của D sinh bởi x, y, ai, 1 ≤ i ≤ m+1 Khi đó, D1 không giao hoán và có tâm hữu hạn Vì ai ∈ D1 ⊆ D ∗ nên w 0 = 1 là đồng nhất thức nhóm suy rộng trên D1 Theo Định lý 3.1.6, D1 là giao hoán, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Do đó, G phải nằm trong F Định lý 3.3.4 chỉ ra rằng, với D là vành chia hữu hạn địa phương yếu, mọi nhóm con gần á chuẩn tắc không nằm trong tâm của D ∗ đều chứa nhóm con tự do không cyclic.

Chứng minh Giả sửGlà nhóm con gần á chuẩn tắc không nằm trong tâm củaD ∗ Khi đó theo Bổ đề 3.3.3, G không giao hoán Giả sử a, b ∈ G sao cho ab 6= ba Gọi

D1 là vành chia sinh bởi a, b, với N = G ∩ D1* là nhóm con gần á chuẩn tắc trong D1* Chúng ta sẽ chứng minh rằng N chứa nhóm con tự do không xyclic Giả sử ngược lại, theo Định lý 1.2.7, N thỏa mãn đồng nhất thức nhóm w(x1, x2, , xm) = 1 Tuy nhiên, Z(D1) = F1 vô hạn, dẫn đến N nằm trong F1 và ab = ba, điều này gây ra mâu thuẫn Do đó, kết luận rằng N chứa nhóm con tự do không xyclic là hợp lý.

Dựa trên các kết quả đã được chứng minh trước đó, chúng ta có thể đưa ra định lý 3.3.5: Cho D là một vành chia, và giả sử N là nhóm con gần á chuẩn tắc của D.

GL n (D)không nằm trong tâm của nó Khi đó, N chứa nhóm con tự do không xyclic nếu một trong những điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) D là vành chia hữu hạn địa phương yếu không giao hoán.

(2) n≥ 2 và D không là trường hữu hạn địa phương.

Nếu \( n \geq 2 \) và \( D \) là trường hữu hạn địa phương, thì mọi nhóm con \( G \) của \( GL_n(D) \) đều không chứa nhóm con tự do không chu kỳ Giả sử \( G \) chứa nhóm con tự do không chu kỳ \( H \) sinh bởi hai phần tử \( a \) và \( b \) Gọi \( K \) là trường con của \( D \) sinh bởi tất cả các hệ số của các ma trận \( a \) và \( b \) Khi đó, \( K \) là trường hữu hạn, dẫn đến \( H \) là nhóm con của nhóm hữu hạn \( GL_n(K) \), điều này tạo ra mâu thuẫn.

Bài toán về sự tồn tại của nhóm con tự do không xyclic trong nhóm con gần á chuẩn tắc của GL n (D), với D là vành chia hữu hạn địa phương yếu, đã được giải quyết triệt để.

Một số hệ quả của sự tồn tại các nhóm con tự do không xyclic trong

Trong bài viết trước, chúng ta đã khám phá sự tồn tại của các nhóm con tự do không xyclic trong nhóm con gần á chuẩn tắc của GL n (D) Dựa trên những kết quả này, chúng ta có thể rút ra một số tính chất quan trọng liên quan đến các nhóm tuyến tính trên vành chia D Để dễ dàng theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày những tính chất này trong một mục riêng, kèm theo các bàn luận cần thiết.

Mệnh đề 3.4.1 nêu rõ rằng, với D là vành chia tâm F và G là nhóm con gần á chuẩn tắc của D ∗, nếu G\F có phần tử xoắn, thì G sẽ chứa nhóm con tự do không chu kỳ.

Giả sử a ∈ G\F và a^n = 1 với n là số nguyên dương, theo Bổ đề 3.3.2, tồn tại vành chia hữu hạn tâm D1 sao cho a /∈ F1 = Z(D1) Từ đó, M = G∩D∗1 là nhóm con gần á chuẩn tắc không nằm trong tâm của D∗1 Do đó, theo Định lý 3.3.4, M chứa nhóm con tự do không cyclic Theo Định lý 3.4.2, nếu D là vành chia hữu hạn địa phương yếu và G là nhóm con gần á chuẩn tắc của D∗, thì nếu G giải được bởi xoắn, G sẽ nằm trong tâm của D.

Chứng minh Giả sử G không nằm trong tâm của D Khi đó, theo Định lý 3.3.4,

G chứa nhóm con tự do không xyclic Gọi H là nhóm con chuẩn tắc, giải được của

G sao cho G/H là nhóm xoắn Khi đó, H là nhóm con gần á chuẩn tắc của D ∗ Vì

Theo Bổ đề 3.3.3, H nằm trong tâm của D Đối với mỗi x ∈ G, tồn tại một số nguyên dương n x phụ thuộc vào x, sao cho x n x thuộc H và H nằm trong F Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra do G chứa nhóm con tự do không cyclic.

Trong nghiên cứu của Lichtman [30], đã chứng minh kết quả cho nhóm con chuẩn tắc trong vành chia hữu hạn tâm Lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu rất rộng và bao gồm cả lớp vành chia hữu hạn địa phương Hơn nữa, các tác giả trong [21] đã phát triển nhiều vành chia hữu hạn địa phương yếu không đại số trên tâm, cụ thể là không hữu hạn địa phương Kết quả trong Định lý 3.4.2 mở rộng đáng kể những phát hiện trong [30] Định lý dưới đây xem xét vành chia hữu hạn tâm D và tính chất của nhóm con của D ∗ khi không chứa nhóm con tự do không xyclic Định lý 3.4.3 khẳng định rằng với D là vành chia hữu hạn tâm và G là nhóm con của D ∗, các phát biểu sau đây là tương đương.

(1) G không chứa nhóm con tự do không xyclic.

(2) G giải được bởi hữu hạn.

(3) G giao hoán bởi hữu hạn.

(4) G thỏa mãn đồng nhất thức nhóm.

(5) G chứa nhóm con giải được có chỉ số hữu hạn.

(6) G chứa nhóm con giao hoán có chỉ số hữu hạn.

(7) G thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng ngặt.

Chứng minh Theo Định lý 1.2.7, ta có (1) ⇔ (2)⇔ (3)⇔ (4) Mặt khác, (2) ⇒

Để chứng minh rằng (5) ⇒ (4), giả sử H là một nhóm con giải được có chỉ số hữu hạn m trong G Vì H giải được, nó thỏa mãn một đồng nhất thức nhóm w(x₁, x₂, , xₙ) = 1, từ đó suy ra G cũng thỏa mãn đồng nhất thức nhóm w(xₘ₁, xₘ₂, , xₘₙ) = 1.

Cuối cùng (5) ⇔ (7) được suy ra từ Định lý 1.2.11.

Trong [30], Lichtman đã chứng minh rằng đối với nhóm con chuẩn tắc G của

Nếu D ∗ tồn tại nhóm con không giao hoán và lũy linh bởi hữu hạn của G, thì G sẽ chứa nhóm con tự do không cyclic Gonácalves và Pasman đã đưa ra một phương pháp chứng minh mới và chỉ ra phần tử sinh của nhóm con tự do không cyclic Trong định lý 3.4.4, chúng tôi xem xét trường hợp D là vành chia đại số trên tâm F và mở rộng kết quả này cho nhóm con gần á chuẩn tắc của D ∗ Nếu G là nhóm con gần á chuẩn tắc và chứa nhóm con lũy linh bởi hữu hạn không giao hoán, thì G sẽ chứa nhóm con tự do không cyclic.

Chứng minh Gọi N là nhóm con lũy linh bởi hữu hạn không giao hoán của G. Khi đó, trong N có nhóm con A chuẩn tắc, lũy linh sao cho [N : A] =m.

Trường hợp 1: A không giao hoán

Vì A lũy linh nên tồn tại x, y ∈ A sao cho

16=z =xyx −1 y −1 , xz = zx, zy =yz.

Giả sử A là nhóm lũy linh lớp c > 1, khi đó γc+1(A) = [γc(A), A] = 1 và γc(A) khác 1 Gọi [x^−1, y^−1] ∈ γc(A) với [x^−1, y^−1] khác 1, đặt z = [x^−1, y^−1] Khi đó, z khác 1 và thỏa mãn zx = xz, zy = yz Đặt D1 là vành chia con của D sinh bởi x, y, theo Bổ đề 1.2.10, D1 hữu hạn tâm Đặt M = G ∩ D1* là nhóm con gần á chuẩn tắc không giao hoán của D1* Áp dụng Định lý 3.3.4, M chứa nhóm con tự do không cyclic.

Gọi D1 là vành chia con của D được sinh bởi F∪N, với F1 = Z(D1) Vì [N : A] = m, nên D1 là vành chia hữu hạn chiều trên F(A) và theo Bổ đề 1.2.9, D1 có tâm hữu hạn Từ Định lý 3.3.4, ta có M = G ∩ D1* chứa nhóm con tự do không cyclic.

Bổ đề 3.4.5 khẳng định rằng, cho D là vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F và S là một tập con hữu hạn của D Nếu F1 là tâm của vành chia con D1 được sinh ra từ S, thì mối quan hệ giữa các yếu tố này sẽ được xác định rõ ràng.

F1 hữu hạn sinh trên trường con nguyên tố của nó.

Giả sử S = {a1, a2, , an}, với D là vành chia hữu hạn địa phương yếu, dẫn đến D1 có tâm hữu hạn Gọi {b1, b2, , bl} là cơ sở của D1 trên F1 = Z(D1) Đối với mọi 1 ≤ i, j ≤ l, ta có b i b j = c ij1 b 1 + c ij2 b 2 + + c ij` b `, trong đó c ijk ∈ F1 Ngoài ra, với mọi ai ∈ S, ta có ai = di1b1 + di2b2 + + di`b`, với dij ∈ F1 Đặt K là trường con của

Khi đó, dim K D 2 ≤ `, suy ra D 2 là một vành chia Vì D 2 chứa S và D 2 ⊆ D 1 nên

D2 = D1, do đó dimKD1 < ∞ dẫn đến dimKF1 < ∞ Điều này suy ra rằng F1 là hữu hạn sinh trên trường con nguyên tố của nó Theo định lý 3.4.6, nếu D là vành chia hữu hạn địa phương yếu và H là một nhóm con hữu hạn sinh của GL n (D), thì các phát biểu sau đây là tương đương.

(1) H không chứa nhóm con tự do không xyclic.

(2) H giải được bởi hữu hạn.

(3) H thỏa mãn đồng nhất thức nhóm.

(4) H chứa nhóm con giải được có chỉ số hữu hạn.

(5) H thỏa mãn đồng nhất thức nhóm suy rộng ngặt.

Giả sử H =< a1, a2, , ak >, gọi S là tập hợp tất cả các hệ số của các ma trận ai, a −1 i và D1 là vành chia con của D được sinh bởi S Với D hữu hạn địa phương yếu, ta có [D 1 :F 1 ] = m, trong đó F 1 là tâm của D 1, do đó H được xem như nhóm con hữu hạn sinh của GL nm (F1) Từ đó, theo Tits’ Alternative, (1) suy ra (2) và (3) suy ra (1), cùng với (2) suy ra (4) là hiển nhiên Bằng cách chứng minh tương tự như trong Định lý 3.4.3, ta có (4) suy ra (3) Cuối cùng, (4) tương đương với (5) nhờ Định lý 1.2.11.

Lịch sử nghiên cứu về các nhóm con tự do không xyclic trong vành chia đã được giới thiệu trong phần Tổng quan, bắt nguồn từ câu hỏi của S Bachmuth Nghiên cứu này không chỉ tập trung vào vành chia mà còn mở rộng ra các nhóm tuyến tính trên vành chia, góp phần làm rõ các đặc điểm và tính chất của chúng.

Tại Hội nghị Quốc tế lần thứ 2 về Lý thuyết nhóm năm 1973 ở Canberra, Úc, đã đặt ra vấn đề chuyển giao kết quả nghiên cứu của Tits từ các nhóm tuyến tính trên trường sang các nhóm tuyến tính trên vành chia A L Lichtman là người đầu tiên đạt được kết quả trong lĩnh vực này khi ông chứng minh rằng không thể có kết quả tương tự như Định lý Tits đối với các nhóm tuyến tính trên vành chia không giao hoán Trong nghiên cứu của mình, Lichtman cũng đã chỉ ra rằng không thể xác định sự tồn tại của những nhúm con tự do không cyclic trong nhóm nhân của vành chia không giao hoán Sau đó, để thuận tiện, J Z Gonácalves đã tiếp tục nghiên cứu trong lĩnh vực này.