Về nhóm tuyến tính trên vành chia hữu hạn địa phương yếu

Một trong các nghiên cứu của luận án là khảo sát bài toán trên cho cáclớp vành chia mở rộng của lớp vành chia hữu hạn địa phương, đó là lớp vànhchia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn địa p

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- oOo -

TRỊNH THANH ĐÈO

VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN VÀNH CHIA

HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- oOo - TRỊNH THANH ĐÈO

VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN VÀNH CHIA

HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số chuyên ngành: 62 46 05 01

Phản biện 1: GS.TS Nguyễn Văn Sanh Phản biện 2: PGS.TS Mỵ Vinh Quang Phản biện 3: TS Nguyễn Viết Đông Phản biện độc lập 1: GS.TSKH Nguyễn Tự Cường Phản biện độc lập 2: TS Phó Đức Tài

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS BÙI XUÂN HẢI

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viếtchung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vàoluận án Các kết quả trong luận án của tôi là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

TÁC GIẢ LUẬN ÁN

TRỊNH THANH ĐÈO

Lời cảm ơn

Trước tiên, tác giả luận án xin gởi lời cảm ơn trân trọng đến người thầyđáng kính, PGS.TS Bùi Xuân Hải, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡtác giả trong suốt quá trình học tập từ đại học, đến cao học và nghiên cứusinh

Xin cám ơn anh Mai Hoàng Biên đã cùng tham gia nhóm nghiên cứu củatác giả và có những đóng góp quan trọng cho các kết quả của luận án.Xin cám ơn TS Nguyễn Viết Đông và TS Trần Ngọc Hội đã nhiệt tìnhgiúp đỡ tác giả trong việc thực hiện các chuyên đề nghiên cứu sinh

Xin cám ơn GS.TS Đặng Đức Trọng (trưởng khoa Toán - Tin học) đã tạođiều kiện tốt để tác giả hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh

Xin cám ơn các thầy cô và đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên tác giảhoàn thành luận án của mình

Xin cám ơn các anh chị thuộc Phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp.HCM đã nhiệt tình giúp đỡ và chỉ dẫn các thủtục liên quan đến công việc học tập của nghiên cứu sinh và các thủ tục bảovệ luận án

Xin được gởi lời cảm ơn trân trọng đến thầy Võ Văn Phú (giáo viên trườngTHPT Hồ Thị Kỷ, Tp Cà Mau, tỉnh Cà Mau) đã giúp cho tác giả có niềmđam mê học toán và hình thành nhân cách học toán của tác giả

Cuối cùng, xin gửi lời tri ân đến gia đình, bè bạn, người thân và đồngnghiệp đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và công tác

TÁC GIẢ LUẬN ÁN

Mục lục

1.1 Các khái niệm và ký hiệu 81.2 Về các lớp vành chia không giao hoán 91.3 Một số kết quả cổ điển liên quan đến luận án 11

2.1 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia kiểu 2 142.2 Vành chia hữu hạn địa phương yếu 222.3 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia hữu hạn địa phương yếu 29

3.1 Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh 323.2 Nhóm tuyến tính tối đại căn trên tâm 35

Bảng ký hiệu

Ký hiệu D là vành chia và F là tâm của D

D∗ - nhóm nhân của vành chia D

D0 := [D∗, D∗] - đạo nhóm của nhóm nhân D∗

F [S] - vành con sinh bởi tập hợp S trên trường F

F (S) - vành chia con sinh bởi tập hợp S trên trường F

hSi - nhóm con sinh bởi tập hợp S

[K : F ] - chiều của không gian vectơ K trên trường F

[D : K]r - chiều của D như là không gian vectơ (phải) trên trường K

ND/F và RND/F - chuẩn và chuẩn rút gọn của D trên F

CG(X) và NG(X)-tâm hóa tử và chuẩn hóa tử của tập X trong nhóm G

H ≤ G - H là nhóm con của nhóm G

H C G - H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G

Z(G), Z(R) - tâm của nhóm G, vành R

R∗ - tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành R

Mn(D) - vành các ma trận vuông cấp n trên vành chia D

GLn(D) - nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên vành chia D

SLn(D) - nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trên vành chia D

CharD - đặc trưng của vành chia D

K/F - K là mở rộng trường của trường F

Fp - trường nguyên tố với đặc trưng p

Q - trường các số hữu tỷ

Phần giới thiệu

Trong lý thuyết vành chia, một trong những bài toán được nhiều nhà toánhọc quan tâm là khảo sát các nhóm con trong vành chia không giao hoán, vàrộng hơn nữa là khảo sát các tính chất liên quan đến nhóm tuyến tính trênvành chia Có nhiều kết quả thú vị liên quan đến bài toán này, một trong sốđó phải kể đến là một khám phá nổi tiếng của Wedderburn vào năm 1905, đólà “nếu nhóm nhân D∗ của vành chia D là hữu hạn thì D giao hoán” Sau đó,

L K Hua đã chứng minh rằng (xem [22], p.223) nhóm nhân của một vànhchia không giao hoán thì không giải được Năm 2009, B X Hải và N V.Thìn (xem [16]) đã chứng minh D ∗ cũng không lũy linh địa phương Một vàikết quả mới nhất có thể được tìm thấy trong các công trình của các nhóm tácgiả S Akbari, M Mahdavi-Hezavehi, R Ebrahimian, B X Hải (xem [2]-[5],[10], [13]-[16], [23]-[27]),

Một trong các nghiên cứu của luận án là khảo sát bài toán trên cho cáclớp vành chia mở rộng của lớp vành chia hữu hạn địa phương, đó là lớp vànhchia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu (xem Định nghĩa 1.1và 1.2) Đối với lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu, chúng tôi xây dựngđược ví dụ chứng tỏ lớp này là mở rộng thực sự của lớp vành chia hữu hạnđịa phương, và thậm chí lớp này không chứa trong lớp các vành chia đại sốtrên tâm Đối với lớp vành chia kiểu 2, việc chứng tỏ lớp vành chia này thựcsự chứa lớp vành chia hữu hạn địa phương là một bài toán khó Sự khó khănnày liên quan đến một giả thuyết chưa có câu trả lời do A Kurosh đặt ra năm

1941 (được hiểu như là Bài toán Kurosh về vành chia (xem [20], [21])), đólà: “Mọi vành chia đại số đều hữu hạn địa phương” Trong luận án, nhữngkết quả chúng tôi đạt được đối với những lớp vành chia kiểu 2 đều chưa từngđược chứng minh cho những vành chia hữu hạn địa phương Do đó, mặc dùchưa có ví dụ chứng tỏ lớp vành chia kiểu 2 thực sự khác với lớp vành chiahữu hạn địa phương, nhưng những kết quả chúng tôi đạt được ít nhất là có

giá trị đối với lớp vành chia hữu hạn địa phương.

Trong Chương 2, chúng tôi đưa ra các kết quả liên quan đến nhóm concủa nhóm nhân D∗ của vành chia D (gọi là nhóm tuyến tính bậc 1 trên vànhchia), với D là vành chia kiểu 2 hoặc vành chia hữu hạn địa phương yếu Cáckết quả thu được đều là các kết quả mở rộng của các kết quả đã có trên lớpvành chia hữu hạn tâm Cụ thể hơn, Mahdavi-Hezavehi (xem [25]) đã chứngminh rằng, nếu D là vành chia hữu hạn tâm thì Z(D 0) là hữu hạn Từ kếtquả này, Mahdavi-Hezavehi cũng đưa ra một câu hỏi là: “nếu D đại số trêntâm thì Z(D0) có là nhóm xoắn hay không”? Câu hỏi này đến nay vẫn chưacó câu trả lời Bằng cách khảo sát lớp vành chia kiểu 2, chúng tôi chứngminh được rằng, nếu D là vành chia kiểu 2 thì Z(D0) là nhóm xoắn (Định lý2.3) Hơn nữa, sử dụng kết quả này, chúng tôi chứng minh được rằng trongvành chia kiểu 2 không giao hoán với tâm F , không có nhóm con hữu hạnsinh chứa F∗ (Định lý 2.5) Dựa vào kết quả trên ta có thể suy ra rằng, nếu

D là vành chia kiểu 2 sao cho D∗ hữu hạn sinh thì D là trường hữu hạn Dođó kết quả của chúng tôi được xem như là một mở rộng mạnh của Định lý 1trong [4] (nếu D hữu hạn tâm và D∗ hữu hạn sinh thì D giao hoán) Liên hệđến một giả thuyết của Herstein trong [17]: “Cho D là vành chia với tâm F Nếu N là nhóm con á chuẩn tắc (subnormal) của D∗ sao cho N căn trên Fthì N ⊆ F ” B X Hải và L K Huỳnh (xem [14]) đã chứng minh giả thuyếttrên đúng cho trường hợp vành chia hữu hạn tâm Ở Định lý 2.16, chúng tôichứng minh được rằng giả thuyết trên cũng đúng cho trường hợp D là vànhchia hữu hạn địa phương yếu Ngoài ra, bằng cách xét trường hợp D là vànhchia kiểu 2, chúng tôi chứng minh rằng kết luận trên cũng đúng cho trườnghợp N là nhóm con chuẩn tắc căn trên một vành chia con thực sự K của D,không nhất thiết là tâm F (xem Định lý 2.11) Bằng cách thực hiện tươngtự chứng minh Định lý 2.11, chúng tôi cũng chứng tỏ rằng kết quả trên cũngđúng khi thay lớp vành chia kiểu 2 bởi lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu(Định lý 2.18)

Trong Chương 3, chúng tôi xét các bài toán liên quan đến nhóm tuyếntính tổng quát trên vành chia D hữu hạn địa phương yếu và thu được các kếtquả sau: Nếu D là vành chia hữu hạn địa phương yếu và N là nhóm con á

chuẩn tắc hữu hạn sinh của GLn(D) thì trong trường hợp n = 1 (Định lý 3.1)hoặc n ≥ 2 và N vô hạn (Định lý 3.2) ta có N nằm trong tâm của D Kếtquả này được xem như là kết quả mở rộng của ([23], Định lý 1) và ([4], Địnhlý 5) Sau đó, chúng tôi nghiên cứu sự mở rộng của Định lý 1 trong [23]và chứng minh được rằng, nếu D là vành chia không giao hoán, đại số vàhữu hạn địa phương yếu với tâm F , và N là nhóm con của GLn(D), n ≥ 1,sao cho N chứa F∗ thì N không hữu hạn sinh (Định lý 3.4) Phần cuối củaChương 3 sẽ khảo sát các tính chất liên quan đến nhóm con tối đại căn trêntâm của nhóm tuyến tính tổng quát GLn(D), và chúng tôi thu được kết quảquan trọng sau: “Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn địa phươngyếu với tâm F , và n ≥ 1 Khi đó, nếu tồn tại nhóm con tối đại M của GLn(D)sao cho M căn trên F thì n = 1,CharD = p > 0, [D : F ] = p2, F∗ ⊆ M,

K := M ∪ {0} là trường con tối đại của D, K/F là mở rộng thuần túy khôngtách được” (Định lý 3.15) Kết quả này là một mở rộng mạnh của Định lý 5trong [26] và Định lý 6 trong [27] Áp dụng kết quả trên, chúng tôi đã đưa

ra một kết quả mở rộng của Định lý 11 trong [3] từ lớp vành chia hữu hạntâm sang lớp vành chia tổng quát, và thậm chí giảm bớt điều kiện M ∪ {0}chứa tâm của vành chia Có thể nói đây là kết quả thật sự mạnh so với cáckết quả đã có Cụ thể, ta được kết quả sau: “Cho D là vành chia không giaohoán với tâm F và giả sử M là nhóm con tối đại của GLn(D), n ≥ 1 Khiđó, nếu M/M ∩ F∗ là nhóm hữu hạn địa phương thì n = 1, CharD = p > 0,[D : F ] = p2, F∗

⊆ M, K := M ∪ {0} là trường con tối đại của D, K/F làmở rộng thuần túy không tách được” (Định lý 3.17)

Các phương pháp được chúng tôi sử dụng trong luận án cũng chính làcác phương pháp đang được nhiều nhà toán học sử dụng trong hướng nghiêncứu về nhóm tuyến tính trên vành chia Đó chính là các phương pháp của lýthuyết nhóm kết hợp với lý thuyết vành, như: dùng các điều kiện hữu hạnđể khảo sát trong những trường hợp cần thiết, sử dụng các phương pháp củalý thuyết nhóm tuyến tính trên trường trong một số trường hợp cụ thể Các kết quả thu được của chúng tôi là mới và chưa từng được ai công bốtrong bất kỳ công trình nào khác

TÁC GIẢ LUẬN ÁN

Chương 1.

Các kiến thức mở đầu

Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra một số khái niệm và ký hiệu liênquan đến luận án Bên cạnh đó, chúng tôi cũng phát biểu lại một số định lýcổ điển của lý thuyết vành chia được áp dụng nhiều trong luận án như Địnhlý Wedderburn-Artin, Jacobson, Kaplansky, Cartan-Brauer-Hua, Định lý tâmhóa tử kép,

1.1 Các khái niệm và ký hiệu

Trong toàn bộ luận án, chúng tôi ký hiệu D là vành chia và F là tâm của D,[D : F ] là chiều của D (như là không gian vectơ) trên F Ký hiệu D ∗ và

D0:= [D∗, D∗] tương ứng là nhóm nhân của D và đạo nhóm của nhóm nhân.Nếu S là tập con khác rỗng của D thì ta ký hiệu F [S] và F (S) tương ứng làvành con và vành chia con của D sinh bởi S trên F Nếu S là tập con khácrỗng của Mn(D) thì F [S] là vành con của Mn(D) sinh bởi S trên F

Ta nói rằng vành chia D là hữu hạn tâm nếu D là không gian vectơ hữuhạn chiều trên tâm của nó; D hữu hạn địa phương nếu với mọi tập con hữuhạn S của D, vành chia con F (S) của D là không gian vectơ hữu hạn chiềutrên F Nếu a là một phần tử thuộc D thì ta có mở rộng trường F ⊆ F (a)

Ta nói a đại số trên F nếu mở rộng trường này là mở rộng hữu hạn Một tậpcon S 6= Ø của D được gọi là đại số trên F nếu mọi phần tử thuộc S đềuđại số trên F Vành chia D được gọi là đại số trên tâm (nói ngắn gọn là đạisố) nếu mọi phần tử thuộc D đều đại số trên tâm F Ta cũng ký hiệu N D/F

và RND/F lần lượt là chuẩn và chuẩn rút gọn của D trên F Một phần tử

x ∈ Mn(D) được gọi là căn trên một vành con K của Mn(D) nếu tồn tạin(x) nguyên dương sao cho xn(x) ∈ K Một tập con S khác rỗng của Mn(D)được gọi là căn trên K nếu mọi phần tử thuộc S đều căn trên K Do tâmcủa vành Mn(D) là tập hợp F I = {xI : x ∈ F } ∼= F , với I là ma trận đơn

vị, nên trong luận án này chúng tôi đồng nhất F I với F

Cho G là một nhóm và X là một tập con của G, ký hiệu CG(X) và

NG(X) lần lượt là tâm hóa tử và chuẩn hóa tử của X trong G Ta luôn dùngký hiệu Z(G) để chỉ tâm của G Với R là một vành, ký hiệu R∗ là tập hợptất cả các phần tử khả nghịch của R và Z(R) là tâm của R

Các ký hiệu và khái niệm được dùng trong tài liệu này là chuẩn và đượcsử dụng nhiều trong các tài liệu về lý thuyết nhóm, vành, trường, nhóm controng vành chia và nhóm tuyến tính trên vành chia, chẳng hạn như trong [6],[8], [18], [22], [32],

1.2 Về các lớp vành chia không giao hoán

Theo định nghĩa, rõ ràng lớp các vành chia hữu hạn tâm chứa trong các lớpvành chia hữu hạn địa phương; lớp các vành chia hữu hạn địa phương chứatrong lớp các vành chia đại số Trong ([22], p.220-221) có một ví dụ chứngtỏ tồn tại một vành chia hữu hạn địa phương nhưng không hữu hạn tâm Liệulớp vành chia đại số có thực sự chứa lớp vành chia hữu hạn địa phương haykhông? Năm 1941, A Kurosh (xem [21]) đã đưa ra giả thuyết rằng “mọi vànhchia đại số đều hữu hạn địa phương” Giả thuyết này còn được biết với tên

“Bài toán Kurosh về vành chia” Bài toán Kurosh về vành chia đến nay vẫnchưa có câu trả lời, nhưng đã có một số kết quả chứng minh rằng bài toánnày đúng trong một số trường hợp đặc biệt như: F không đếm được (xem[30]); F hữu hạn (xem [22]); F có hữu hạn trường mở rộng đại số, nói riêngcho trường hợp F đóng đại số (xem [9], [20])

Trong tài liệu này, chúng tôi xét hai lớp vành chia mới là lớp vành chiakiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu như sau:

Định nghĩa 1.1 Cho D là vành chia tâm F Ta nói D là vành chia kiểu 2nếu với mọi x, y thuộc D, vành chia con F (x, y) của D là không gian vectơhữu hạn chiều trên F

Định nghĩa 1.2 Ta nói vành chia D là hữu hạn địa phương yếu nếu với mọitập con hữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữuhạn tâm

Lớp vành chia kiểu 2 đã được S Akbari và M Mahdavi-Hezavehi địnhnghĩa năm 2002 trong [5] Rõ ràng, lớp vành chia này chứa lớp vành chiahữu hạn địa phương, và là lớp vành chia con của lớp vành chia đại số Việcchứng tỏ lớp vành chia kiểu 2 có phải là lớp vành chia trung gian thực sự củacác lớp vành chia hữu hạn địa phương và đại số hay không là một vấn đềkhó, điều này liên quan đến Bài toán Kurosh đã trình bày ở trên Lớp vànhchia hữu hạn địa phương yếu là lớp vành chia do chúng tôi định nghĩa trongquá trình nghiên cứu Sở dĩ có tên gọi như vậy vì lớp vành này là mở rộngcủa lớp vành hữu hạn địa phương thông qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.3 Mọi vành chia con của vành chia hữu hạn tâm đều hữu hạn tâm

Chứng minh Giả sử D là vành chia hữu hạn tâm, với tâm F Khi đó ta cóthể xem D như là vành chia con của vành ma trận Mn(F ) Theo Định lýAmitsur-Levitzki ([1], Theorem 1), M n(F ) thỏa mãn đồng nhất thức đa thứcchuẩn S(x1, , x2n), trong đó

Dựa vào định lý trên ta thấy rằng, nếu D là vành chia hữu hạn địa phươngthì với mọi tập con hữu hạn S của D, ta có vành chia con F (S) của D là hữuhạn tâm, nên vành chia con sinh bởi S cũng hữu hạn tâm Do đó mọi vànhchia hữu hạn địa phương đều là hữu hạn địa phương yếu Trong Chương 2,chúng tôi xây dựng ví dụ chứng tỏ lớp vành chia hữu hạn địa phương yếuthực sự chứa lớp vành chia hữu hạn địa phương (Mệnh đề 2.13).

Hầu hết các kết quả đạt được của luận án đều là mở rộng của các kếtquả đã có đối với lớp vành chia hữu hạn tâm lên lớp vành chia kiểu 2 vàlớp vành chia hữu hạn địa phương yếu, và thậm chí có một số kết quả đượcmở rộng lên lớp vành chia tổng quát Như đã thảo luận ở trên, các mở rộngnày là thực sự mạnh và có nhiều ý nghĩa trong việc khảo sát lý thuyết nhómtuyến tính trên vành chia nói chung, và nhóm con của nhóm nhân trên vànhchia nói riêng

1.3 Một số kết quả cổ điển liên quan đến luận án

Để tiện cho việc theo dõi luận án, trong mục này chúng tôi phát biểu lại mộtsố kết quả cổ điển của lý thuyết vành và lý thuyết vành chia được sử dụngnhiều trong luận án, như các định lý: Jacobson, Kaplansky, Cartan-Brauer-Hua, Poincaré,

Định lý 1.4 (Định lý tâm hóa tử kép-Centralizer Theorem) Cho B là vànhcon của vành đơn A sao cho K := Z(A) ⊆ Z(B) và n := [B : K] hữu hạn.Khi đó:

i) CA(B) ⊗K Mn(K) ∼= A⊗K Bop, trong đó Bop là đối vành của vành B;ii) CA(B) là vành đơn;

iii) Z(CA(B)) = Z(B);

iv) CA(CA(B)) = B;

v) Nếu L := Z(B) và r := [L : K] thì A ⊗K L ∼= Mr(B ⊗LCA(B)).

Định lý 1.5 (Công thức tháp -Tower Formulae) Cho L là một trường mởrộng hữu hạn trên trường F và A là một L-đại số hữu hạn chiều Khi đó, nếu

α ∈ A thì NA/K(α) = NL/K(NA/L(α))

Để tiện theo dõi định lý tiếp theo, chúng tôi phát biểu lại định nghĩa vànhArtin nửa đơn như sau:

Định nghĩa 1.6 Cho R là vành và M là một R-môđun (trái) Khi đó:

i) M được gọi là R-môđun đơn nếu M 6= 0 và M chỉ có hai R-môđun conlà (0) và M;

ii) M được gọi là môđun nửa đơn nếu M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn của nó;

R-iii) R được gọi là vành nửa đơn Artin nếu R là R-môđun nửa đơn

Định lý 1.7 (Định lý Wedderburn-Artin) Cho R là một vành nửa đơn Artin.Khi đó, tồn tại các số nguyên dương n1, , nr và các vành chia D1, , Dr

sao cho

R ∼= Mn1(D1) × · · · × Mnr(Dr)

Số r xác định duy nhất, các cặp (n1, D1), , (nr, Dr) cũng xác định duy nhất(sai khác một hoán vị)

Định lý 1.8 (Định lý Burnside thứ nhất) Cho K là một trường đặc trưng p ≥ 0và G là một nhóm con của GLn(K) Nếu G có số mũ N < ∞ và p - N thì

|G| < Nn3 < ∞

Định lý 1.9 (Định lý Jacobson) Cho D là một vành chia đại số trên trườnghữu hạn F Khi đó D giao hoán (và do đó D là một trường mở rộng đại sốcủa F ).

Định lý 1.10 (Định lý Cartan-Brauer-Hua) Cho D là một vành chia và Klà vành chia con của D Khi đó, nếu nhóm nhân K∗ chuẩn tắc trong D∗ thì

K = D hoặc K ⊂ Z(D)

Định lý 1.11 (Bổ đề Kaplansky) Giả sử F K là một mở rộng trường và

P là trường con nguyên tố của F Khi đó, nếu mỗi a ∈ K đều căn trên F thìCharF = p > 0 Đồng thời, hoặc K là mở rộng thuần túy không tách đượctrên F hoặc K đại số trên P

Định lý 1.12 (Định lý Kaplansky) Nếu D là vành chia căn trên tâm của nóthì D giao hoán

Định lý 1.13 (Định lý Poincaré) Mọi nhóm con có chỉ số hữu hạn m củanhóm G đều chứa một nhóm con chuẩn tắc của G với chỉ số hữu hạn là bộisố của m và là ước số của m!

Nhận xét 1.14 Ta dễ thấy rằng, mọi vành chia đều là một đại số trên tâmcủa nó Do đó, trong luận án này (cũng như trong các tài liệu về vành chia),

ta có thể đồng nhất hai khái niệm vành chia và đại số chia

Chương 2.

Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia

Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia D là nhóm con của nhóm nhân

D∗ = GL1(D) nên các kết quả liên quan đến nhóm tuyến tính bậc 1 trênvành chia D chính là các kết quả liên quan đến nhóm con của D ∗ Các địnhlý được phát biểu và chứng minh trong chương này đều là các kết quả mới,đã được chúng tôi trình bày trong các bài báo [11] và [12]

2.1 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia kiểu 2

Mục đích chính của mục này là chứng minh rằng trong một vành chia kiểu

2 không giao hoán, không tồn tại nhóm con hữu hạn sinh chứa tâm Và tiếptheo là khảo sát các nhóm con của D∗ thỏa mãn điều kiện căn trên một vànhchia con thực sự của D Các kết quả chúng tôi thu được trên lớp vành chiakiểu 2 là mở rộng của các kết quả trên vành chia hữu hạn tâm, nhưng chúngchưa từng được mở rộng lên cho lớp vành chia hữu hạn địa phương Do đó,mặc dù chưa chứng minh được sự khác nhau giữa lớp vành chia kiểu 2 vàlớp vành chia hữu hạn địa phương nhưng những kết quả mới nhận được trongmục này cũng thực sự có ý nghĩa, vì ít nhất là nó mang lại những sự hiểubiết mới về lớp vành chia hữu hạn địa phương

Bổ đề 2.1 Cho D là vành chia tâm F , L là vành chia con của D và chứa

F Giả sử L là không gian vectơ hữu hạn chiều trên F và a ∈ L Khi đó,

NL/F(a) xoắn khi và chỉ khi NF (a)/F(a) xoắn

Chứng minh Đặt K = Z(L) ⊇ F , m2 = [L : K] và n = [K(a) : K] Do([8], Bổ đề 3, tr.145 và Hệ quả 4, tr.150), ta có

NL/K(a) = [RNL/K(a)]m = [NK(a)/K(a)]m2/n.Bằng cách áp dụng Công thức tháp cho chuẩn (xem [8]), đẳng thức trên suyra

NL/F(a) = [NK(a)/F(a)]m2/n

Do a ∈ F (a) nên NK(a)/F (a)(a) = ak, với k = [K(a) : F (a)] Do đó

NF (a)/F(ak) = NF (a)/F(NK(a)/F (a)(a)) = NK(a)/F(a)

Từ đó nhận được

NL/F(a) = [NF (a)/F(a)]km2/n,và như vậy bổ đề đã được chứng minh

Mệnh đề 2.2 Nếu D là vành chia tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc của

Trong [25], Mahdavi-Hezavehi đã chứng minh rằng, nếu D là vành chiahữu hạn tâm thì Z(D0) là hữu hạn Từ kết quả này, Mahdavi-Hezavehi cũngđưa ra một câu hỏi là “nếu D đại số trên tâm thì Z(D0) có là nhóm xoắn haykhông?” Câu hỏi này đến nay vẫn chưa có câu trả lời Bằng cách khảo sátlớp vành chia kiểu 2, ta nhận được kết quả sau:

Định lý 2.3 Nếu D là vành chia kiểu 2 thì Z(D0) là nhóm xoắn

Chứng minh Do Mệnh đề 2.2, Z(D0) = D0 ∩ F∗ Do đó, mọi phần tử

a ∈ Z(D0) đều biểu diễn được dưới dạng

a = c1c2 cr, với ci = [xi, yi], xi, yi ∈ D∗, i ∈ {1, , r}

Đặt D1 = D2 := F (c1, c2), D3 := F (c1c2, c3), , Dr := F (c1 cr−1, cr)và Fi = Z(Di) với i ∈ {1, , r} Do D kiểu 2 nên [Di : F ] < ∞

Do NF (xi,yi)/F(ci) = 1 nên từ Bổ đề 2.1 suy ra NF (ci)/F(ci) là phần tửxoắn Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.1, ta được NDi/F(ci) xoắn Do đó tồn tạisố ni nguyên dương sao cho NDi/F(cnii ) = 1 Chú ý rằng, do D2 = D1 nên

ND2 /F(c1c2)m = ND2 /F(c1)mND2 /F(c2)m = 1,với m = n1n2 Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.1 ta có NF (c1c2)/F(c1c2) xoắn, từ đó

ND3 /F(c1c2) cũng xoắn Bằng quy nạp toán học, suy ra N Dr/F(c1 cr−1)xoắn

Giả sử NDr/F(c1 cr−1)n = 1 Khi đó

Do Định lý 2.3, tồn tại số nguyên dương r sao cho arp m

= 1 Ký hiệu k làcấp của phần tử a trong nhóm D∗ Nếu k chia hết cho p thì tồn tại t nguyêndương sao cho k = pt Khi đó

1 = ak = apt = (at)p

Do đó at = 1, điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn của k Như vậy ta có thểgiả sử k không chia hết cho p Khi đó, k và pm nguyên tố cùng nhau, nêntồn tại các số nguyên α và β sao cho αk + βpm = 1 Do đó

a = aαk+βpm = (ak)α(apm)β = (apm)β ∈ F

Như vậy a ∈ F ∩ D0 = Z(D0), là điều mâu thuẫn Do đó ta được điều phảichứng minh

Định lý 1 trong [4] đã khẳng định rằng, nếu vành chia D hữu hạn tâm và

D∗ hữu hạn sinh thì D giao hoán Bằng cách áp dụng Định lý 2.3, chúng tôimở rộng kết quả trên bằng cách khảo sát vành chia D kiểu 2 và nhận đượckết quả sau:

Định lý 2.5 Cho D là vành chia kiểu 2 không giao hoán với tâm F và N lànhóm con của D∗ chứa F∗ Khi đó N không hữu hạn sinh

Chứng minh Giả sử N = hx1, , xni là nhóm con hữu hạn sinh của D∗ vàchứa F∗ Khi đó, do ([31], 5.5.8, p 113), F ∗N0/N0 là nhóm abel hữu hạnsinh, với N0 là đạo nhóm của N

Trường hợp 1 Nếu Char(D) = 0 thì F chứa trường Q các số hữu tỷ,

do đó Q∗/(Q∗

∩ N0) ∼= Q∗N0/N0 được xem như là nhóm con của nhóm abel

F∗N0/N0 hữu hạn sinh nên nó cũng hữu hạn sinh Xét một phần tử bất kỳ

a ∈ Q∗

∩ N0 Khi đó a ∈ F∗

∩ D0 = Z(D0) Do Định lý 2.3, a là phầntử xoắn Do a ∈ Q nên a = ±1 Như vậy Q∗

∩ N0 là nhóm hữu hạn Do

Q∗/(Q∗∩ N0) hữu hạn sinh, nên Q∗ là hữu hạn sinh Đây là điều mâu thuẫn.Trường hợp 2 Nếu Char(F ) = p > 0 thì ta ký hiệu Fp là trường connguyên tố của F Ta sẽ chứng minh rằng trường F đại số trên F p Thật vậy,giả sử u ∈ F là phần tử siêu việt trên Fp Khi đó, nhóm Fp(u)∗/(Fp(u)∗

∩N0)được xem như là nhóm con của nhóm abel hữu hạn sinh F ∗N0/N0nên nó cũnghữu hạn sinh Xét phần tử bất kỳ f(u)/g(u) ∈ Fp(u)∗

∩N0, với f(X), g(X) ∈

Fp[X], ((f (X), g(X)) = 1 và g(u) 6= 0 Tương tự như trong chứng minh trên,

tồn tại s nguyên dương sao cho f(u)s/g(u)s = 1 Do u là phần tử siêu việtnên f(u)/g(u) ∈ Fp Do đó Fp(u)∗

∩ N0 hữu hạn, kéo theo Fp(u)∗ hữu hạnsinh Từ đây suy ra Fp(u) là trường hữu hạn, là điều mâu thuẫn Như vậytrường F đại số trên Fp, và do đó D đại số trên Fp Do Định lý Jacobson([22], (13.11), p 219) ta được D giao hoán, là điều mâu thuẫn

Vậy định lý đã được chứng minh

Từ Định lý 2.5 (với chú ý rằng, nếu nhóm nhân của một trường là hữuhạn sinh thì trường đó hữu hạn) ta được kết quả sau, được xem như là trườnghợp tổng quát của Định lý 1 trong [25]:

Hệ quả 2.6 Cho D là vành chia kiểu 2 Nếu nhóm nhân D∗ là hữu hạn sinhthì D là trường hữu hạn

Nếu nhóm nhân D∗ có một nhóm con tối đại hữu hạn sinh thì D∗ là nhómhữu hạn sinh, nên từ Hệ quả 2.6 ta được kết quả sau:

Hệ quả 2.7 Cho D là vành chia kiểu 2 Nếu nhóm nhân D∗ có một nhómcon tối đại hữu hạn sinh thì D là trường hữu hạn

Hệ quả 2.8 Cho D là vành chia kiểu 2 không giao hoán với tâm F và S lànhóm con của D∗ Đặt N = SF∗ Khi đó nhóm thương N/N0 không hữu hạnsinh

Chứng minh Giả sử N/N0 hữu hạn sinh Từ N0 = S0 và F∗/(F∗ ∩ S0) ∼=

S0F∗/S0 suy ra F∗/(F∗

∩ S0) là nhóm abel hữu hạn sinh Tương tự chứngminh của Định lý 2.5 ta được D giao hoán Đây là điều mâu thuẫn

Từ Hệ quả 2.8 ta có ngay kết quả sau:

Hệ quả 2.9 Nếu D là vành chia kiểu 2 không giao hoán thì D∗/D0 khônghữu hạn sinh

Để chứng minh định lý tiếp theo, ta cần tính chất hữu ích sau đây củavành chia kiểu 2

Bổ đề 2.10 Cho D là vành chia kiểu 2 với tâm F và N là nhóm con á chuẩntắc của D∗ Nếu với mọi x, y thuộc N , tồn tại số nguyên dương nxy (phụthuộc x và y) sao cho xnxyy = yxnxy thì N ⊆ F

Chứng minh Do N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ nên tồn tại một dãycác nhóm con

N = N1 C N2 C C Nr = D∗.Giả sử x, y ∈ N và K := F (x, y) Bằng cách đặt Mi = K∩Ni, ∀i ∈ {1, , r}

ta được dãy các nhóm con

M1 CM2 C C Mr = K∗.Với mọi a ∈ M1 ≤ N1 = N , tồn tại các số nguyên dương nax và nay sao cho

anaxx = xanax và anayy = yanay.Khi đó, với n := naxnay ta có

an = (anax)nay = (xanaxx−1)nay = xanaxnayx−1 = xanx−1,

và

an = (anay)nax = (yanayy−1)nax = yanaynayy−1 = yany−1

Do đó an ∈ Z(K) Như vậy M1 căn trên Z(K) Do D là vành chia kiểu 2nên K hữu hạn tâm Do đó, từ Định lý 1 trong [14] ta được M 1 ⊆ Z(K) Nóiriêng, x và y giao hoán nhau Như vậy N là nhóm abel Do ([31], 14.4.4, tr.440), N ⊆ F

Sau đây ta xem xét một giả thuyết của Herstein trong [17] : “Cho D làvành chia với tâm F Nếu N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ sao cho Ncăn trên F thì N ⊆ F ” Trong định lý sau, bằng cách xét trường hợp D làvành chia kiểu 2 và N chuẩn tắc trong D∗, chúng tôi chứng minh kết luậntrên cũng đúng thậm chí cho trường hợp N căn trên một vành chia con thựcsự K của D, không nhất thiết là tâm F

Định lý 2.11 Cho D là vành chia kiểu 2 với tâm F , K là vành chia con thựcsự của D và N là nhóm con chuẩn tắc của D∗ Khi đó, nếu N căn trên Kthì N ⊆ F

Chứng minh Giả sử N không chứa trong tâm F Nếu N \K = Ø thì N ⊆ K

Do ([31], p 433), hoặc K ⊆ F hoặc K = D Do giả thiết, K 6= D, suy ra

K ⊆ F Từ đó N ⊆ F , là điều mâu thuẫn Vậy N \ K 6= Ø

Tiếp theo, ta chỉ cần chứng minh rằng các phần tử của N thỏa mãn điềukiện của Bổ đề 2.10 là đủ Thậy vậy, giả sử a, b ∈ N Ta xét các trường hợpsau:

Tính toán trực tiếp từ các đẳng thức trên, ta được

xmb−ymb+xma−ym = xm(a+b)−ym(b+1) = (a+b)am−(b+1)am = am(a−1).Suy ra

đó amb = bam Điều này mâu thuẫn với điều giả sử Vậy tồn tại n nguyêndương sao cho anb = ban.

b) b ∈ K Xét x ∈ N \ K Ta có xb 6∈ K nên từ trường hợp a), tồn tạicác số nguyên dương r, s sao cho

arxb = xbar và asx = xas.Từ các đẳng thức trên ta được

ars = (xb)−1ars(xb) = b−1(x−1arsx)b = b−1arsb,và như vậy arsb = bars

Chứng minh Giả sử M là nhóm con tối đại của D∗ và M căn trên F Đặt

G = D0

∩ M Với mỗi x ∈ G, tồn tại n(x) nguyên dương sao cho xn(x) ∈ F Như vậy xn(x) ∈ D0

∩ F = Z(D0) Do Định lý 2.3 ta được Z(D0) xoắn,

do đó x xoắn Như vậy G là nhóm xoắn Do M 0

≤ G nên M0 cũng lànhóm xoắn Với mọi x, y ∈ M0, đặt H = hx, yi và D1 = F (x, y) Khi đó

n := [D1 : F ] < ∞ và H là nhóm con xoắn của D∗

1 ≤ GLn(F ) Do ([22],(9.9), p 154), H là nhóm hữu hạn Do charF = p > 0 nên từ ([22], (13.3),

p.215) ta được H là nhóm cyclic Nói riêng, ta được x và y giao hoán vớinhau, và như vậy M0 là nhóm abel Từ đó suy ra M là nhóm giải được Nhưvậy M là nhóm con tối đại giải được của D∗ Do đó, từ Hệ quả 2 trong [2]và Định lý 6 trong [3] ta được [D : F ] < ∞, là điều mâu thuẫn Vậy định lýđã được chứng minh.

2.2 Vành chia hữu hạn địa phương yếu

Nhắc lại rằng, vành chia D là hữu hạn địa phương yếu nếu với mọi tập conhữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm(Định nghĩa 1.2) Ta đã chứng minh rằng mọi vành chia hữu hạn địa phươngđều hữu hạn địa phương yếu Trong phần này, chúng tôi sẽ xây dựng một vídụ chứng tỏ lớp vành hữu hạn địa phương và lớp vành hữu hạn địa phươngyếu là khác nhau Để thực hiện điều này, dựa vào việc xây dựng vành chiachuỗi Laurent tổng quát của Malcev-Neumann, chúng tôi xây dựng một vànhchia chuỗi Laurent với vành cơ sở là một mở rộng của trường các số hữutỷ Q Vành chia mà chúng tôi xây dựng trong mệnh đề sau là vành chia hữuhạn địa phương yếu nhưng thậm chí không đại số trên tâm

Mệnh đề 2.13 Tồn tại một vành chia hữu hạn địa phương yếu nhưng khôngđại số trên tâm

Chứng minh Ký hiệu G = +∞L

i=1

Z là tổng trực tiếp vô hạn của nhóm cộng Z.Với mỗi chỉ số nguyên dương i, ta ký hiệu xi= (0, , 0, 1, 0, ) là phần tửthuộc G với giá trị 1 ở vị trí thứ i và giá trị 0 ở tất cả các vị trí còn lại Khiđó G là một nhóm abel tự do sinh bởi tất cả các xi Hơn nữa, mọi phần tử

x ∈ G đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng

i∈I

nixi,với ni ∈ Z và I là một tập hợp con hữu hạn của N

Tiếp theo ta trang bị một thứ tự trên G như sau: với mọi x = (n1, n2, )và y = (m1, m2, ) trong G, ta định nghĩa x < y nếu n1 < m1 hoặc tồn tại

k ∈ N sao cho n1 = m1, , nk = mk và nk+1 < mk+1 Rõ ràng G với thứtự như trên là một tập thứ tự toàn phần

Giả sử p1 < p2 < < pn < là một dãy vô hạn các số nguyên tố và

K = Q(√p1, √p2, ) là trường con của trường số thực R sinh bởi trường sốhữu tỷ Q và các phần tử √p1, √p2, Với mọi i ∈ N, giả sử fi: K → K làmột Q-đẳng cấu thỏa mãn điều kiện

fi(√p

i) = −√pi, và fi(√pj) = √pj với mọi j 6= i

Dễ dàng chứng minh rằng fifj = fjfi với mọi i, j ∈ N

• Bước 1 Chứng minh rằng, với mọi x ∈ K ta có fi(x) = x với mọi i ∈ Nkhi và chỉ khi x ∈ Q:

Chiều đảo là hiển nhiên Giả sử x ∈ K sao cho fi(x) = x với mọi i ∈ N.Bằng cách đặt K0 = Q và Ki = Q(√p1, , √pi) với i ≥ 1, ta được dãy mởrộng trường

K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ Ki ⊂ Nếu x 6∈ Q thì tồn tại i ≥ 1 sao cho x ∈ Ki \ Ki−1 Do đó ta có thể biểudiễn x = a + b√pi, với a, b ∈ Ki−1 và b 6= 0 Do fi(x) = x, ta suy ra

0 = x − fi(x) = 2b√pi, là điều mâu thuẫn

• Bước 2 Xây dựng vành chia chuỗi Laurent D:

là một đồng cấu nhóm

Dễ dàng chứng minh các điều sau:

i) Φ(xi) = fi, ∀i ∈ N

ii) Nếu x = (n1, n2, ) ∈ G thì Φx(√pi) = (−1)ni√pi

Để cho tiện trong trình bày, trong phần còn lại của chứng minh, ta xemphép toán trong G là phép toán nhân và phần tử đơn vị của G là 1 Với Gvà K như trên, xét các tổng hình thức dạng

Hơn nữa, ta dễ dàng chứng minh các điều sau:

iii) Với mọi x ∈ G và a ∈ K ta có xa = Φx(a)x

iv) Với mọi i 6= j ta có xi√p

Ký hiệu F là tâm của D Ta sẽ chứng minh rằng F = Q((H)) Giả sử

Như vậy, αβ = βα với mọi β ∈ D Nghĩa là α ∈ F

Ngược lại, giả sử α = P

x∈G

axx ∈ F Đặt S là tập hợp tất cả các phần tử xxuất hiện trong dạng biểu diễn của α Khi đó ta chỉ cần chứng minh rằng, vớimọi x ∈ S ta có x ∈ H và ax ∈ Q Thật vậy, từ α ∈ F ta được √piα = α√pi

và αxi = xiα với mọi i ≥ 1, nghĩa là P

x∈S

ax(xxi) = P

x∈S

Φxi(ax)(xix) Do đó, từ các điều được liệt kê ở Bước 2,

ta được √piax = Φx(√pi)ax = (−1)ni√piax và ax = Φxi(ax) = fi(ax) vớimọi x = (n1, n2, ) ∈ S Từ đẳng thức thứ nhất ta suy ra ni là số nguyênchẵn với mọi i ≥ 1 Do đó x ∈ H Từ đẳng thức thứ hai ta suy ra ax = fi(ax)với mọi i ≥ 1, nên từ kết quả của Bước 1 ta được ax ∈ Q Như vậy, với mọi

x ∈ S ta có x ∈ H và ax ∈ Q, nghĩa là α ∈ Q((H))

• Bước 4 Chứng tỏ rằng vành chia D không đại số trên tâm F :

Xét tổng vô hạn

1 x−12 x−1n không xuất hiện trong dạng biểu diễn của

γ, γ2, , γn−1 và hệ số của X trong dạng biểu diễn của γn là n!, nên hệsố của X trong biểu thức ở vế trái của đẳng thức (1) là an.n! Do đó an = 0

Bằng quy nạp, ta dễ dàng suy ra rằng

a0 = a1 = = an = 0

Như vậy, với mọi n ∈ N, tập hợp {1, γ, γ2, , γn} độc lập tuyến tính trên

F , nên γ không đại số trên F Vậy D không đại số trên F

• Bước 5 Xây dựng vành chia con R∞ của D sao cho R∞ là hữu hạn địaphương yếu:

Xét phần tử γ như trong Bước 4 Với mọi n ≥ 1, ta đặt

Rn = F (√p

1,√p

2, ,√p

n, x1, x2, xn, γ),và R∞ =