Các nhóm con nhân thỏa một số điều kiện hữu hạn trong vành chia

Vành chia

Định nghĩa 1.1: Cho D là một vành chia tâm F Một phần tử α thuộc D được gọi là đại số trên F nếu nó là nghiệm của một đa thức không thuộc F Nếu tất cả các phần tử trong D đều là đại số trên tâm F, thì ta nói rằng D là đại số trên tâm F.

Vành chia giao hoán và vành chia các quaternion thực, do Hamilton phát hiện vào năm 1843, là ví dụ đầu tiên về vành chia không giao hoán Hiện nay, có nhiều phương pháp xây dựng các vành chia không giao hoán Theo Định lý 1.2, nếu D là một vành chia đại số trên một trường hữu hạn, thì D sẽ giao hoán Ngược lại, Định lý 1.3 chỉ ra rằng nếu D là một vành chia đại số trên tâm F vô hạn không đếm được, thì với mọi số tự nhiên n, ta có Mn(D) đại số trên F Cuối cùng, Định nghĩa 1.4 xác định D là một vành chia có tâm F.

(i) Nếu D là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên tâmF của D thìD được gọi là hữu hạn tâm.

Nếu với mọi tập con hữu hạn S của D, vành chia con F(S) được sinh bởi S trên F tạo thành một không gian vectơ hữu hạn chiều trên F, thì D được gọi là hữu hạn địa phương.

(iii) Nếu mọi vành chia con hữu hạn sinh của D đều hữu hạn tâm thì D được gọi là hữu hạn địa phương yếu.

Việc xây dựng các vành chia là một nhiệm vụ phức tạp Ví dụ, vành chia hữu hạn địa phương yếu được đề cập trong tài liệu [20] Theo Định lý 1.5 [31, Định lý 3], mọi vành chia con của một vành chia hữu hạn tâm đều có tâm hữu hạn Hơn nữa, Định lý 1.6 [44, Định lý 15.8, tr.242] chỉ ra rằng nếu D là một vành chia tâm F và K là một trường con tối đại của D, thì các phát biểu liên quan là tương đương.

Giả sử r = dimF K