Luận văn sư phạm Một số ứng dụng của hàm suy rộng

Vai trò không gian các hàm th Gauss... Nh ng step là hàm m kh tích do đó có th... Vladimirov - Generarized Functions In Mathematical Physics.. Howell – Principles of Fourier Analysis –NX

L I C M N

Khóa lu n t t nghi p này là b c đ u tiên giúp em làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c Tr c s b ng khi b t đ u công vi c và g p nhi u khó kh n khi m i làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c, em đã nh n

đ c s đ ng viên và giúp đ t n tình, t m c a các th y cô giáo và các b n

sinh viên trong khoa

c bi t em xin g i l i c m n sâu s c đ n Ti n s Tr n v n B ng đã

giúp đ h ng d n t n tình đ em hoàn thành khóa lu n này

Em xin g i l i c m n đ n Ban ch nhi m khoa Toán đã t o đi u ki n

cho em có c h i làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c

Em xin chân thành c m n!

Sinh viên

Lê Th HƠ

L I CAM OAN

Em xin cam k t đ tài „„M t s ng d ng c a hàm suy r ng‟‟ là k t

qu nghiên c u c a riêng em d i s h ng d n c a th y giáo - Ti n s Tr n

V n B ng - Khoa Toán - Tr ng i H c S Ph m Hà N i 2 tài này

không h sao chép t b t kì m t tài li u có s n nào Và k t qu nghiên c u không h trùng l p v i k t qu nào

N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m!

Sinh viên

Lể TH HÀ

M C L C

M đ u 4

Ch ng 1: Hàm Th Gauss 5

1.1 Không gian c a nh ng hàm th 5

1.2 Vai trò không gian các hàm th Gauss 7

1.3 M t s tính ch t c a hàm th Gauss 10

Ch ng 2 :Hàm suy r ng 14

2.1 Hàm s 14

2.2 Hàm suy r ng 15

2.3 i s c b n c a hàm suy r ng 18

2.4 M t s dãy c a hàm liên t c 21

Ch ng 3: PhỨp bi n đ i c b n c a gi i tích Fourier suy r ng 23

3.1.Phép bi n đ i Fourier 23

3.2 Phép t nh ti n suy r ng 27

3.3 o hàm suy r ng 29

Ch ng 4: ng d ng hàm suy r ng 33

4.1 Nh ng c s trong cách gi i ph ng trình đ i s đ n gi n 33

4.2 Ph ng trình thu n nh t v i nhân t đa th c 36

4.3 Ph ng trình không thu n nh t v i nhân t đa th c 39

4.4 Hàm c c 42

4.5 Phép bi n đ i, tích và nghi m trong hàm c c 46

K T LU N 51

TÀI LI U THAM KH O 52

L I M U

Hàm suy r ng xu t hi n vào th k XX trong các công trình c a Dirac

v c h c l ng t và nhà toán h c L.Shwartz đã góp ph n quan tr ng vào

vi c nghiên c u các ph ng trình đ o hàm riêng Do nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng nói chung, ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính nói

riêng th ng không t n t i toàn c c nên nhu c u m r ng khái ni m nghi m cho ph ng trình đ o hàm riêng ngày càng tr nên b c thi t

S ra đ i c a lý thuy t hàm suy r ng có nhi u ng d ng trong v t lý và

lý thuy t đ o hàm riêng, đ c bi t góp ph n gi i quy t nh ng v n đ v lý thuy t c a ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính, trong khi đó nh ng hi u

bi t v hàm suy r ng v n còn xa l và m i m đ i v i sinh viên

V i mong mu n đ c nghiên c u và tìm hi u sâu h n v v n đ này và

b t đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c em đã ch n đ tài: "M t

C h ng 1 HÀM TH GAUSS

1.1 KHÔNG GIAN C A NH NG HÀM TH 1.1.1 Nh ng hƠm th Gauss c b n

nh ngh a 3 Cho f là hàm s xác đ nh trên ฀ , f là hàm m kh tích khi và

ch khi nó liên t c trên t ng ph n trên ฀ và có m t giá tr ฀ sao cho

3 Tích c a hàm th Gauss c b n b t k v i hàm m kh tích b t k là hàm kh tích tuy t đ i trên ฀

4 N u  là m t hàm th Gauss c b n thì các hàm sau c ng là hàm Gauss c b n

nh lý 1 Gi s f và g là hai hàm m kh tích trêỉ ฀ thì f g khi và ch

1.3 M T S TệNH CH T KHÁC C A HÀM TH GAUSS 1.3.1 Nhơn t đ n

B đ 5

Cho h là nhân t đ n thu c G Khi đó h là m t hàm th Gauss, G

1.3.2 M t vƠi tính ch t gi i tích ph c c a hƠm th Gauss

M t khác n u cho D,฀ sao cho:

 s  Ds e en s s2 ,      sThì ta có

 n x iy x iy 2

  ,   ฀x iy

i u đó cho th y, ta có th coi các hàm th Gauss là các hàm bi n ph c

gi i tích Lúc đó đ phân bi t v i hàm bi n th c ta s thêm ch E vào đ ch

Ch ng 2 HÀM SUY R NG

nh ngh a 1 Trong toán h c, nh ng hàm cho t ng ng m i hàm th v i

2.1.3 T ính ch t liên t c c a phi m hƠm

nh ngh a 3 M t hàm  là liên t c khi và ch khi     ,  là g n nhau tùy ý mi n là  , là nh ng hàm th g n nhau

2.2.2 phi m hƠm giá tr và hàn Delta

Gi s a ฀ , xét phi m hàm E - là a phi m hàm cho giá tr c a hàm

th t i a Do E a tuy n tính, liên t c nên E a là hàm suy r ng Lúc này ta

th ng kí hi uE a b i a và đ c g i là hàm Delta t i a Nói cách khác, a

là hàm suy r ng sao cho:

hàm suy r ng n u f không là hàm m kh tích vì nó không liên t c

B đ 1 Cho f là hàm c đi n ít nh t là liên t c trên m t phân ho ch c a ฀

và cho l có chi u dài h u h n thì f là hàm m kh tích khi và ch khi có

2 0

g   e  trong khi 2

2 0

V y ,2g  2 g,

Do đó g không là hàm suy r ng

2.3 CÁC PHÉP TOÁN I S I V I HÀM SUY R NG

2.3 1 HƠm suy r ng b ng nhau

Cho f g, là hai hàm suy r ng xác đ nh, v i m i G ta nói f g, b ng nhau kí hi u f g khi và ch khi ,f   g, ,  G

Ví d 7 Gi s cho f là hàm suy r ng th a mãn

 0

a Phép c ng suy r ng có tính ch t giao hoán

Cho f g, là hai hàm suy r ng , theo đ nh ngh a c a f g g,  f và

2.4 2 Tính tr n c a phi m hƠm giá tr v i tham s

N u x ,  là hàm c a ,x  liên t c theo  Khi đó hàm h cho b i

2.4 3 n gi n hóa vi c ki m tra hai hƠm suy r ng b ng nhau

Nh l i r ng, hai hàm suy r ng f và g là b ng nhau, n u

Ví d 3 Hàm step- không kh bi n theo ngh a c đi n ( t c là bi n đ i

Fourier c đi n không t n t i) Nh ng step là hàm m kh tích do đó có th

nh lí 2 Cho f và g là hai hàm suy r ỉg thì

x x

x x

V y công th c trên cho cách gi i u x   t ph ng trình ban đ u

nh lí 1 Cho f và g là hai hàm suy r ỉg v i f là m t hàm c đi ỉ, ỉgh ch

đ Ị 1

f là m t ỉhâỉ t đ ỉ N u có m t hàm suy r ỉg u th a mãỉ fug

thì ỉó đ c chỊ b i 1

u f g

           

1 2

nh lý 2 Cho f và glà hai hàm suy r ỉg Lúc đó ỉ u ỉó t ỉ t i thì ỉghi m

t ỉg quát c a fug đ c chỊ b i: u  , u0 w đó u 0 là ỉghi m riêỉg c a

fug và w là ỉghi m t ỉg quát c a ịh ỉg trìỉh thu ỉ ỉh t t ỉg ỉg

0

k k k

u  c D 



   

0

k k k

tích t i x , vì v y nó không xác đ nh hàm suy r ng H n n a 0 sin x 

c ng tri t tiêu t i x , khi đó 0 sin x 

x là hàm sin c mà chúng ta đã bi t

Vì sin c x   là nghi m c a xu x sin x và c là nghi m t ng

quát c a ph ng trình thu n nh t t ng ng xu x 0 Khi đó nghi m t ng quát c a ph ng trình xu x sin x là

Tuy nhiên hàm suy r ng có th th a mãn t ng t hàm c đi n

4.4.1 HƠm c c c b n (The basic pole function) vƠ phép bi n đ i c a nó

nh ngh a 1

Xét suy r ng t ng t hàm c đi n 1

x Ta g i suy r ng này t ng t hàm c c ( c b n ) và đ c kí hi u là pole x  

hàm pole x   xác đ nh t ng t 1

x , ta s ki m tra pole x   th a mãn hai tính ch t:

1 Nó là hàm suy r ng l

ây là hàm liên t c t ng khúc và b ch n trên ฀ H n n a, nó là hàm

l vì t phép bi n đ i Fourier c a hàm suy r ng ta có đi u đó Ngh a là,

   1 1 1

1

11

1 !

k k

sgn

2 2 !

k k

2

sgn

2 2 !

k k

2

sgn

k k

f x pole x A pole x





đây A B C, , là h ng s trong khai tri n phân s riêng t ng ng

K T LU N

Sau m t th i gian tích c c tìm hi u, nghiên c u tài li u d i s giúp

đ nhi t tình c a th y giáo Tr n V n B ng cùng nhi u th y cô trong khoa

Toán – Tr ng i H c S Ph m Hà N i 2 em đã hoàn thành khóa lu n t t

nghi p này Nhìn chung qua đ tài „„M t s ng d ng c a hàm th c r ng’’

em đã hi u sâu s c h n v ng d ng c a hàm suy r ng trong v t lí và lí thuy t

đ o hàm riêng c bi t là nh ng v n đ v lí thuy t c a ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính

Nh v y đ tài c b n đã đ t đ c m c đích đ ra Tuy nhiên do m i

b c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c cùng v i t m hi u bi t

và th i gian làm khóa lu n h n h p nên em không tránh kh i nh ng thi u sót,

và ch a th m r ng h t đ c đ tài Em r t mong nh n đ c s góp ý c a các th y, cô giáo và các b n sinh viên đ khóa lu n đ c hoàn thi n h n

Hà n i, tháng 5 n m 2010

Sinh viên

Lê Th HƠ

TÀI LI U THAM KH O

1 Nguy n Minh Ch ng, Hà Ti n Ngo n, Nguy n Minh Trí, Lê Quang

Trung - Ph ng trình đ o hàm riêng – NXB Qiáo d c

2 Hoàng ình Dung - M đ u v gi i tích ph ng trình đ o hàm riêng

Hà N i

4 V.S Vladimirov - Generarized Functions In Mathematical Physics

5 Kenneth B Howell – Principles of Fourier Analysis –NXB Studies in

advanced mathematics