Luận văn ánh xạ đơn điệu suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... Luận văn này trình bày một cách có hệ th

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐỨC MINH THIÊM

ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐỨC MINH THIÊM

ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội – 2016

Mục lục

1.1 Không gian Euclide 6

1.2 Tập lồi 7

1.3 Hàm lồi 8

1.4 Hàm lồi suy rộng 11

2 Ánh xạ đơn điệu suy rộng 17 2.1 Các định nghĩa 17

2.1.1 Ánh xạ đơn điệu và đơn điệu chặt 17

2.1.2 Ánh xạ giả đơn điệu 18

2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu chặt 19

2.1.4 Ánh xạ tựa đơn điệu 21

2.1.5 Ánh xạ đơn điệu mạnh và giả đơn điệu mạnh 23

2.2 Các đặc trưng của ánh xạ đơn điệu suy rộng 26

2.2.1 Ánh xạ đơn điệu suy rộng 1−chiều 26

2.2.2 Mối liên hệ giữa ánh xạ tựa đơn điệu và ánh xạ giả đơn điệu 28

2.2.3 Ánh xạ đơn điệu suy rộng khả vi 30

2.2.4 Ánh xạ đơn điệu suy rộng affin 34

3 Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân giả đơn

3.1 Bất đẳng thức biến phân 403.2 Sự tồn tại nghiệm 43

(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} đoạn thẳng mở nối x và y[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} đoạn thẳng đóng nối x và yL(f, α) = {x ∈ X | f (x) 6 α} tập mức dưới

Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản

về ánh xạ đơn điệu suy rộng và một vài ứng dụng vào nghiên cứu sự tồntại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Luận văn được trình bày gồm 3 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Tác giả trình bày các kiến thức cơ bản

về tập lồi, hàm lồi và các hàm lồi suy rộng Các kiến thức cơ bản được sửdụng để nghiên cứu các vấn đề trong chương 2

Chương 2: Ánh xạ đơn điệu suy rộng Nội dung chính của chương nàytập trung trình bày các định nghĩa về ánh xạ đơn điệu và đơn điệu chặt,ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ giả đơn điệu chặt, ánh xạ tựa đơn điệu, ánh

xạ đơn điệu mạnh và giả đơn điệu mạnh Đồng thời nêu các đặc trưng củaánh xạ đơn điệu suy rộng như là ánh xạ đơn điệu suy rộng 1− chiều, mốiliên hệ giữa ánh xạ tựa đơn điệu và ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ đơn điệusuy rộng khả vi, và ánh xạ đơn điệu suy rộng affin

Chương 3: Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân giả đơnđiệu Ở đây luận văn trình bày một vài ứng dụng vào nghiên cứu sự tồntại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới

PGS.TS Nguyễn Năng Tâm đã hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thànhluận văn này Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến cácthầy phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báucho tác giả Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ– Tin học, khoa Sau đại học và các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức, tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian tác giả học tập tại trường Cuốicùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã quan tâm,động viên và chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn của mình

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Tác giả luận văn

Đức Minh Thiêm

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số nội dung về tập lồi, hàm lồi và hàm lồisuy rộng, bao hàm hàm tựa lồi và của hàm giả lồi Những nội dung trìnhbày trong chương này chủ yếu chọn trong tài liệu [2]

1.1 Không gian Euclide

Tập hợp

Rn := {x = (x1, , xn)T : x1, , xn ∈ R}

với hai phép toán

(x1, , xn)T + (y1, , yn)T := (x1+ y1, , xn + yn)Tλ(x1, , xn)T := (λx1, , λxn)T, λ ∈ Rlập thành một không gian véc tơ Euclide n−chiều

Nếu x = (x1, , xn)T ∈ Rn thì xi gọi là thành phần hoặc tọa độ thứ icủa x Véc tơ không của không gian này gọi là gốc của Rn và được kí hiệuđơn giản là 0, vậy 0 = (0, , 0)T

Trong Rn ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc h., i như sau: với

x = (x1, , xn)T, y = (y1, , yn)T ∈ Rn,

hx, yi =

nXi=1

xiyi

Đôi khi ta còn ký hiệu là xTy Khi đó với mọi x = (x1, , xn)T ∈ Rn tađịnh nghĩa

kxk := phx, xi =

vuut

nXi=1(xi)2

và gọi là chuẩn Euclide của véc tơ x

Định nghĩa 1.6 Giả sử X ⊂ Rn Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa

X được gọi là bao lồi đóng của tập X và kí hiệu là coX

Mệnh đề 1.7 Cho X ⊂ Rn lồi Khi đó,

i) Phần trong intX và bao đóng X của X là các tập lồi;

ii) Nếu x1 ∈ intX, x2 ∈ X, thì

{λx1+ (1 − λ)x2 : 0 < x1 ≤ 1} ⊂ intX

1.3 Hàm lồi

Định nghĩa 1.8 Cho hàm f : X → R, trong đó X ⊂ Rn, R = R ∪{−∞, +∞}, các tập

epi(f ) = {(x, α) ∈ X × R| f (x) ≤ α} ,dom(f ) = {x ∈ X| f (x) < +∞}

được gọi lần lượt là trên đồ thị và miền hữu hiệu của f

Định nghĩa 1.9 Cho X ⊂ Rn là một tập lồi, f : X → R

Hàm f được gọi là lồi trên X nếu trên đồ thị epi(f ) của nó là một tậplồi trong Rn × R

Nếu dom f 6= ∅ và −∞ < f (x) với mọi x ∈ X ta nói hàm f là chínhthường

Hàm f được gọi là lõm trên X nếu −f là hàm lồi trên X

Định lý 1.10 Giả sử f1, , fm là các hàm lồi chính thường trên X Khi

iii) Nếu ϕ lồi trên [a, b] thì ϕ liên tục trên (a, b)

Định lý 1.12 Cho X là tập lồi trong không gian Rn và f : X → R Khi

đó, các điều kiện sau là tương đương:

a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X.b) f (λx + (1 − λ) y)> λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ > 1, ∀x, y ∈ X sao cho

λx + (1 − λ) y ∈ X

c) f (λx + (1 − λ) y)> λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ < 0, ∀x, y ∈ X sao cho

λx + (1 − λ) y ∈ X

d)(Bất đẳng thức Jensen) Với bất kì x1, , xm ∈ X, i = 1, , m và vớibất kì λi ∈ [0, 1], i = 1, , m,

mPi=1

λi = 1 bất đẳng thức sau đúng:

f (λ1x1+ + λmxm) ≤ λ1f (x1) + + λmf (xm) e) Với mọi x ∈ X, với mọi y ∈ Rn, hàm ϕx,y(t) = f (x + ty) là hàm lồitrên đoạn Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ X}

f) Với mọi x, y ∈ X, hàm ψx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) lồi trên đoạn [0, 1].g) Trên đồ thị của f là tập lồi trong Rn+1

Định lý 1.13 Giả sử X ⊂ Rn là một tập lồi mở, f : X → R Khi đó, flồi trên X khi và chỉ khi với mọi x0 ∈ X, tồn tại x∗ ∈ Rn sao cho

a) f lồi trên X

b) Với mọi x ∈ X và với mọi y ∈ Rn hàm

ϕ0x,y(t) = hy, ∇f (x + ty)i,biến t, không giảm trên đoạn Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ X}

c) Với mọi x, y ∈ X, hàm

ψx,y0 (λ) = hx − y, ∇f (λx + (1 − λ)y)i,biến λ, không giảm trên đoạn [0, 1]

d) Với mọi x, y ∈ X, f (x) − f (y) > h(x − y), ∇f (y)i.

e) Với mọi x, y ∈ X, f (x) − f (y) 6 h(x − y), ∇f (x)i

f) Với mọi x, y ∈ X, h(x − y), [∇f (x) − ∇f (y)]i > 0

Định lý 1.16 Cho f : X → R là hàm số khả vi liên tục hai lần trêntập lồi mở X ⊂ Rn Khi đó, f lồi trên X khi và chỉ khi ma trận Hessian

∇2f (x) nửa xác định dương với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.17 Cho X là tập lồi trong không gian Rn, f : X → R Tanói f lồi chặt trên X nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀λ ∈ (0, 1), f orallx, y ∈ X, x 6= y

Định lý 1.18 Cho X là tập lồi trong không gian Rn và f : X → R Khi

đó, các điều kiện sau là tương đương:

a) f lồi chặt trên X

b) Với mọi x, y ∈ X, x 6= y, f (x) − f (y) > h(x − y), ∇f (y)i

e) Với mọi x, y ∈ X, x 6= y, f (x) − f (y) < h(x − y), ∇f (x)i

f) Với mọi x, y ∈ X, h(x − y), [∇f (x) − ∇f (y)]i > 0

Định lý 1.20 Cho f : X → R là hàm số khả vi liên tục hai lần trên tập lồi

mở X ⊂ Rn Khi đó, nếu ma trận Hessian ∇2f (x) xác định dương với mọi

x ∈ X, nghĩa là với mọi x ∈ X, hy, ∇2f (x)yi > 0 với mọi y ∈ Rn, y 6= 0,thì f lồi chặt trên X

Điều kiện nêu trên chỉ đủ chứ không cần để f lồi chặt Ví dụ như,

f (x) = x4 lồi chặt trên R, nhưng ∇2f (x) = 12x2 không xác định dươngtrên R, vì ∇2f (0) = 0

Định nghĩa 1.21 Hàm f : X → R xác định trên tập lồi X ⊂ Rn đượcgọi là hàm affin trên X nếu có vừa lồi vừa lõm trên X, nghĩa là

f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X.Định lý 1.22 Hàm f : Rn → R là hàm aphin khi và chỉ khi tồn tại

c ∈ Rn

và số α ∈ R sao cho f (x) = hc, xi + α

Định lý 1.23 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên Rn Khi đó các khẳngđịnh sau là tương đương:

i) f bị chặn trong một lân cận của x ;

ii) f liên tục tại x ;

iii) int(epif ) 6= ∅ ;

iv) int(domf ) 6= ∅ và f liên tục trên int(domf )

Đồng thời, int(epif) = {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ int(domf ), f (x) < µ}

x, y ∈ X, f (x) 6 f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) 6 f (y), ∀λ ∈ [0, 1]Nhận xét 1.26 Mọi hàm lồi f : X → R đều là hàm tựa lồi.Thật vậy,giả sử f lồi Khi đó

Định lý 1.27 Cho X ⊂ Rn là một tập lồi và f : X → R Khi đó, cácđiều kiện sau đây là tương đương:

a) f là hàm tựa lồi trên X, nghĩa là

f (λx + (1 − λ)y) 6 max{f (x), f (y)}, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].b) Với mọi x ∈ X và với mọi y ∈ Rn hàm số gx,y(t) = f (x + ty) là tựa lồitrên đoạn Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ X}

c) Với mọi x, y ∈ X hàm hx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) là tựa lồi trên đoạn[0, 1]

d)Với mọi α ∈ R tập mức dưới

x, y ∈ X, f (x) 6 f (y) ⇒ h(x − y), ∇f (y)i 6 0

Định lý 1.29 a) Cho f : X → R là một hàm liên tục trên tập lồi X ⊂ Rn.Khi đó f tựa lồi trên X khi và chỉ khi

x, y ∈ X, f (x) < f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) 6 f (y), ∀λ ∈ [0, 1]b) Cho f : X → R là một hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn Khi đó ftựa lồi trên X khi và chỉ khi

x, y ∈ X, f (x) < f (y) =⇒ h(x − y), ∇f (y)i 6 0

Định lý 1.30 Cho f : X → R là một hàm hai lần khả vi liên tục trêntập lồi mở X ⊂ Rn Điều kiện cần để f tựa lồi trên X là:

y ∈ Rn, x ∈ X, y∇f (x) = 0 =⇒ hy, ∇2f (x)yi > 0

Lưu ý rằng, các điều kiện nêu trong định lý trên không đủ để f tựa lồi.Với hàm f : R → R; f (x) = x4, các điều kiện nêu trong định lý trên đềuthỏa mãn, nhưng f không tựa lồi trên R.

Định lý 1.31 Cho f : X → R là một hàm hai lần khả vi liên tục trêntập lồi mở X ⊂ Rn Giả sử rằng, ∇f (x) 6= 0 với mọi x ∈ X Nếu

y ∈ Rn, x ∈ X, y∇f (x) = 0 =⇒ hy, ∇2f (x)yi > 0thì f tựa lồi trên X

Định lý 1.32 Cho f : X → R là một hàm hai lần khả vi liên tục trêntập lồi mở X ⊂ Rn Khi đó, nếu

y ∈ Rn, y 6= 0, x ∈ X, y∇f (x) = 0 =⇒ hy, ∇2f (x)yi > 0

thì f tựa lồi trên X

Định nghĩa 1.33 Ta nói hàm f : X → R là tựa tuyến tính trên tập lồi

X ⊂ Rn nếu f và −f đều là tựa lồi trên X, nghĩa là với bất kì x, y ∈ X,

λ ∈ (0, 1) ta có

min{f (x), f (y)} ≤ f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}

Dễ dàng thấy rằng, f : X → R là tựa tuyến tính trên tập lồi X ⊂ Rnkhi và chỉ khi các tập mức dưới L(f, α) và các tập mức trên U (f, α) :={x ∈ X | f (x) > α} lồi với mọi α ∈ R Từ đây suy ra rằng, nếu f tựa lồitrên X thì các tập mức

Định lý 1.34 Nếu các tập mức Y (f, α) = {x ∈ X | f (x) = α} lồi vớimọi α ∈ R và f liên tục trên tập lồi X ⊂ Rn thì f tựa tuyến tính trên XKhi f khả vi, ta có

Định lý 1.35 Cho f khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn Khi đó, f tựa tuyếntính trên X khi và chỉ khi

x, y ∈ X, f (x) = f (y) =⇒ h(x − y), ∇f (y)i = 0

Định nghĩa 1.36 Hàm f : X → R xác định trên tập lồi X ⊂ Rn đượcgọi là tựa lồi chặt trên X nếu với x, y ∈ X, x 6= y, λ ∈ (0, 1) tùy ý:

f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x) f (y)}

Định lý 1.37 Cho f khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn Khi đó, f tựa lồichặt trên X khi và chỉ khi

x ∈ X, y ∈ Rn, y 6= 0, hy, ∇f (x)i = 0 =⇒ gx,y(t) = f (x + ty),

xác định với t > 0, không đạt cực đại địa phương tại t = 0

Ta có f tựa lồi trên R, nhưng với x = −1/2, y = 1/2, λ = 1/10 ta có

f (x) < f (y) và f (λx + (1 − λ)y) = f (y)

Định nghĩa 1.38 Cho f : X → R là hàm khả vi trên tập mở X ⊂ Rn

Ta nói f giả lồi trên X nếu

x, y ∈ X, h(x − y), ∇f (y)i > 0 =⇒ f (x) > f (y),hoặc, một cách tương đương

x, y ∈ X, f (x) < f (y) =⇒ h(x − y), ∇f (y)i < 0

Hàm f gọi là giả lõm nếu −f giả lồi

Ví dụ Hàm f : R → R, f (x) = x3− x giả lồi trên R, nhưng không lồi.Lưu ý rằng, định nghĩa hàm giả lồi trong trường hợp tổng quát nhưsau (và tương đương với định nghĩa trên trong trường hợp hàm khả vi)

Định nghĩa 1.39 Ta nói hàm f : X → R là giả lồi trên tập lồi X ⊂ Rnnếu ta có: với x, y ∈ X, λ ∈ (0, 1)

f (x) < f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y) − λ(1 − λ)β(x, y),

trong đó β(x, y) là một số dương phụ thuộc vào x và y

Định lý 1.40 Cho f : X → R là hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn.Khi đó, f giả lồi trên X khi và chỉ khi

x ∈ X, y 6= 0, hy, ∇f (x)i = 0 =⇒ g(t) = f (x + ty),

xác định với t > 0, đạt cực tiểu địa phương tại t = 0

Định lý 1.41 Cho f : X → R là hàm khả vi liên tục hai lần trên tập lồi

mở X ⊂ Rn Khi đó, f giả lồi trên X khi và chỉ khi với mọi x ∈ X:i) h∇f (x)i = 0 =⇒ hy, ∇2f (x)yi > 0, và

ii) nếu như ∇f (x) = 0 thì f có cực tiểu địa phương tại x

Định nghĩa 1.42 Cho f : X → R xác định trên tập lồi mở X ⊂ Rn.Nếu f và −f đều giả lồi thì ta nói f là hàm giả tuyến tính

Định lý 1.43 Cho f : X → R, trong đó X ⊂ Rn là một tập lồi mở Khi

đó các mệnh đề sau tương đương:

i) f là giả tuyến tính ii) Với tùy ý x, y ∈ X, h(x − y), ∇f (y)i = 0 khi

và chỉ khi f (x) = f (y)

Định nghĩa 1.44 Cho f : X → R là hàm khả vi trên tập mở X ⊂ Rn

Ta nói f giả lồi chặt trên X nếu

x, y ∈ X, x 6= y f (x) > f (y) =⇒ h(x − y), ∇f (y)i < 0 ,

hoặc, một cách tương đương

x, y ∈ X, x 6= y h(x − y), ∇f (y)i > 0 =⇒ f (x) > f (y)

Dễ thấy tính giả lồi chặt suy ra tính giả lồi

Định lý 1.45 Cho f : X → R là hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn.

Khi đó f giả lồi chặt trên X khi và chỉ khi

x ∈ X y 6= 0, hy, ∇f (x)i = 0 =⇒ g(t) = f (x + ty),xác định với t > 0, đạt cực tiểu địa phương chặt tại t = 0

Định lý 1.46 Cho f : X → R là hàm khả vi liên tục hai lần trên tập lồi

mở X ⊂ Rn Khi đó, f giả lồi chặt trên X khi và chỉ khi

x ∈ X y 6= 0, hy, ∇f (x)i = 0 =⇒ hoặc hy, ∇2f (x)yi > 0 hoặc hy, ∇2f (x)yi = 0

và g(t) = f (x + ty), xác định với t > 0, đạt cực tiểu địa phương chặt tại

t = 0

Kết luận

Chương này đã trình bày khái niệm tập lồi, hàm lồi và hàm lồi suy

rộng Những kiến thức này sẽ dùng đến trong các chương sau

Chương 2

Ánh xạ đơn điệu suy rộng

Chương này trình bày tập trung về ánh xạ đơn điệu suy rộng, bao gồm:ánh xạ đơn điệu, ánh xạ đơn điệu chặt, ánh xạ đơn điệu mạnh, ánh xạ giảđơn điệu, và ánh xạ tựa đơn điệu

2.1 Các định nghĩa

2.1.1 Ánh xạ đơn điệu và đơn điệu chặt

Khái niệm của một ánh xạ đơn điệu F từ Rn vào Rn là suy rộng tựnhiên của một hàm thực một biến đơn điệu tăng Cho S là một tập concủa Rn và F là ánh xạ từ S vào Rn

Định nghĩa 2.1 F là ánh xạ đơn điệu trên S nếu với mọi cặp điểm phânbiệt x, y ∈ S, ta có

(y − x)T (F (y) − F (x)) ≥ 0 (2.1)Định nghĩa 2.2 F là ánh xạ đơn điệu chặt trên S nếu với mọi cặp điểmphân biệt x, y ∈ S, ta có

(y − x)T (F (y) − F (x)) > 0 (2.2)Tính lồi của một hàm và tính đơn điệu của gradient của nó là tươngđương

Cho f là một hàm khả vi trên một tập lồi , mở S ⊂ Rn Khi đó ta cómệnh đề sau đây [3].

Mệnh đề 2.3 Hàm f là lồi trên S khi và chỉ khi ∇f là đơn điệu trên S.Mệnh đề 2.4 Hàm f là lồi chặt trên S khi và chỉ khi ∇f là đơn điệuchặt trên S

Bây giờ ta sẽ nghiên cứu sự suy rộng khác nhau của các ánh xạ đơnđiệu Trong trường hợp ánh xạ là một gradient của một hàm, như thế cáckhái niệm về tính đơn điệu suy rộng có thể liên quan đến một số tính chấtlồi suy rộng của hàm dưới nó

2.1.2 Ánh xạ giả đơn điệu

Một hàm khả vi f trên một tập mở S ⊂ Rn là giả lồi trên S nếu vớimọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S , ta có

(y − x)T ∇f (x) ≥ 0 ⇒ f (y) ≥ f (x) (2.5)Mệnh đề sau là kết quả trong [4]

Mệnh đề 2.6 Cho f khả vi trên tập một tập lồi mở S ⊂ Rn Khi đó, f

là giả lồi trên S khi và chỉ khi ∇f là giả đơn điệu trên S

Trước khi ta giới thiệu một số tính đơn điệu suy rộng khác, ta thấyrằng, trong (2.3) cả hai bất đẳng thức có thể được thay bởi hai bất đẳngthức chặt.

Mệnh đề 2.7 Một ánh xạ F là giả đơn điệu trên S khi và chỉ khi mọicặp điểm phân biệt x, y ∈ S, ta có

(y − x)T F (x) > 0 ⇒ (y − x)T F (y) > 0 (2.6)Chứng minh Theo (2.3), tính giả đơn điệu của F tương đương với

2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu chặt

Định nghĩa 2.8 Một ánh xạ F là giả đơn điệu chặt trên tập S ⊂ Rnnếu với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, ta có

(y − x)T F (x) ≥ 0 ⇒ (y − x)T F (y) > 0 (2.9)

Từ (2.3) và (2.9), có thể thấy được rằng hiển nhiên một ánh xạ giả đơnđiệu chặt là giả đơn điệu Nhưng điều ngược lại là không đúng Thật vậy,cho ví dụ

F (x) =

(

0, x ≤ 0

Hơn nữa, từ (2.2) và (2.9) ta thấy mọi ánh xạ đơn điệu chặt là giả đơnđiệu chặt Điều ngược lại là không đúng, ta có thể thấy qua ví dụ trong(2.4) Bây giờ ta chứng minh tính tương đương của Mệnh đề 2.6 cho hàmgiả lồi chặt Ta nhắc lại:

Một hàm khả vi f trên một tập mở S ⊂ Rn là giả lồi chặt trên S nếu vớimọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, ta có

(y − x)T ∇f (x) ≥ 0 ⇒ f (y) > f (x) (2.11)Khi đó, ta có thể chứng minh mệnh đề sau

Mệnh đề 2.9 Cho f khả vi trên một tập lồi mở S ⊂ Rn Khi đó, f làgiả lồi chặt trên S khi và chỉ khi ∇f là giả đơn điệu chặt trên S

Chứng minh Giả sử rằng f là giả lồi chặt trên S Lấy x, y ∈ S, xkhácysao cho:

Ta cần chỉ ra rằng

(y − x)T ∇f (y) > 0 (2.13)Giả sử ngược lại

Ta cần chỉ ra rằng f (y) > f (x) Giả sử ngược lại rằng

Từ định lí giá trị trung bình, ta có

f (y) − f (x) = (y − x)T ∇f (x) (2.19)Trong đó

(x − y)T ∇f (x) > 0 (2.23)điều này mâu thuẫn với (2.23)

2.1.4 Ánh xạ tựa đơn điệu

Trong Định nghĩa 2.5, Mệnh đề 2.7, và Định nghĩa 2.8, vẫn còn mộttrường hợp ta chưa xét đó là bất đẳng thức đầu tiên trong (2.3) là mộtbất đẳng thức chặt

Định nghĩa 2.10 Một ánh xạ F là tựa đơn điệu trên một tập S ⊂ Rnnếu với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, ta có

(y − x)T F (x) > 0 ⇒ (y − x)T F (y) ≥ 0 (2.24)Mọi ánh xạ giả đơn điệu là tựa đơn điệu Điều ngược lại là không đúng.Thật vậy, cho ví dụ

(y − x)T ∇f (x) > 0 (2.28)Bất đẳng thức

và λ ∈ (0; 1) sao cho với x = x + λ(y − x) ta có

f (x) > f (x) ≥ f (y) (2.33)Theo định lí giá trị trung bình suy ra tồn tại bx và x∗ sao cho:

f (x) − f (y) = (x − y)T∇f (x)b (2.34)

f (x) − f (x) = (x − x)T ∇f (x∗) (2.35)trong đó

b

x = x + bλ(y − x), x∗ = x + λ∗(y − x), 0 < λ∗ < λ < bλ < 1 (2.36)Khi đó, (2.33) suy ra

(x − y)T∇f (bx) > 0 (2.37)(x − x)T∇f (x∗) > 0 (2.38)

Từ (2.36) dẫn đến:

(x∗−bx)T∇f (bx) > 0 (2.39)(bx − x∗)T∇f (x∗) > 0 (2.40)

Từ (2.40) thu được:

(x∗−bx)T ∇f (x∗) < 0 (2.41)điều này cùng với (2.39) mâu thuẫn với tính tựa đơn điệu của ∇f Do đó,(2.33) không đúng với bất kỳ cặp x, y ∈ S, tức là f là tựa lồi trên S

Ta đề cập rằng cũng có những khái niệm của hàm tựa lồi nửa chặt vàtựa lồi chặt ([4]) Nhưng dường như rất khó để nhận dạng những hàm nàyvới sự trợ giúp của gradient Vì vậy, không có sự cố gắng nào được tạo ra

ở đây để giới thiệu những ánh xạ tương ứng Thay vào đó, ta đưa tới mộtlớp con của các ánh xạ giả đơn điệu chặt

2.1.5 Ánh xạ đơn điệu mạnh và giả đơn điệu mạnh

Trong [4], các hàm lồi mạnh đã được giới thiệu Trong trường hợp khả

vi, chúng được đặc trưng như sau:

Định nghĩa 2.12 Một hàm khả vi f là lồi mạnh trên một tập lồi mở

S ⊂ Rn nếu tồn tại α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ S,

f (y) − f (x) ≥ (y − x)T ∇f (x) + α ky − xk2 (2.42)

Định nghĩa 2.13 Một ánh xạ F là đơn điệu mạnh trên một tập S ⊂ Rnnếu tồn tại β > 0 sao cho với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, ta có

(y − x)T (F (y) − F (x)) ≥ β ky − xk2 (2.43)Hiển nhiên , mọi ánh xạ đơn điệu mạnh là đơn điệu chặt Nhưng điềungược lại không đúng , như ví dụ minh họa sau:

F (x) = x2, S = {x ∈ R, x ≥ 0} (2.44)Theo kết quả của [2] ( cũng như [4]), Mệnh đề sau là đúng

Mệnh đề 2.14 Cho f là một hàm khả vi trên một tập lồi mở S ⊂ Rn.Khi đó, f là lồi mạnh trên S khi và chỉ khi ∇f là đơn điệu mạnh trên S,trong đó β = 2α

Bây giờ ta chuyển đến hàm giả lồi mạnh và ánh xạ giả đơn điệu mạnh.Định nghĩa 2.15 Một hàm khả vi f là giả lồi mạnh trên một tập lồi mở

S ⊂ Rn nếu tồn tại α > 0 sao cho với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, tacó:

(y − x)T ∇f (x) ≥ 0 ⇒ f (y) ≥ f (x) + α ky − xk2 (2.45)Định nghĩa 2.16 Một ánh xạ F là giả đơn điệu mạnh trên một tập

S ⊂ Rn nếu tồn tại β > 0 sao cho với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, tacó:

(y − x)T F (x) ≥ 0 ⇒ (y − x)T F (y) ≥ β ky − xk2 (2.46)

Từ (2.9), có thể thấy được rằng mọi ánh xạ giả đơn điệu mạnh là giảđơn điệu chặt Nhưng điều ngược lại là không đúng Cũng như vậy, từ(2.46) và (2.43), có thể thấy được rằng mọi ánh xạ đơn điệu mạnh là giảđơn điệu mạnh Điều ngược lại là không đúng Thật vậy, cho ví dụ

F (x) = 1

Mệnh đề 2.17 Một hàm khả vi f trên một tập lồi mở S ⊂ Rn là giả lồimạnh nếu ∇f là giả đơn điệu mạnh trên S , trong đó β = 2α

Chứng minh Giả sử rằng ∇f là giả đơn điệu mạnh Lấy

Xét

φ (λ) = f (x + λ (y − x)) , λ ∈ [0, 1] (2.49)Khi đó

φ0(λ) = (y − x)T ∇f (x + λ (y − x))Đặt

x (λ) = x + λ (y − x)Bởi vì (2.48) nên

φ0(λ) ≥ βλ ky − xk2, vớiλ ∈ [0, 1] (2.52)Khi đó

φ (1) − φ (0) =

1Z0

φ0(λ) dλ ≥

1Z0