Trích đoạn giải tích không gian

GIA ĐÌNH LOVEBOOKCHINH PHỤC BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Sách dà nh cho:  Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016  Học sinh lớp

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz được thực hiện bởi đội ngũ tác giả Lovebook: Nguyễn Anh Văn, Lê Hoàng Nam, Lê Phương Anh, Nguyễn Thành Đạt.

Một số thông tin:

NXB: ĐH quốc gia HN

Số trang: 292 trang khổ A4.

Giá: 119000 VND

Ngày phát hành toàn quốc: 25/09/2015

Ước mơ của bạn - Sứ mệnh của chúng tôi!

� Đặt sách: h tt :// l o v ebo o k v n/ - h t t ps :// goo.gl / X Hw k 5

☎ Tổng đài hỗ trợ đặt sách, thắc mắc đơn hàng: 0466 860 849 - 0462857197 Hotline: 0963 140 260

� Trung tâm giải đáp thắc mắc trong sách: goo g l / A 7 D z l 0

� Tổng hợp video bài giảng: goo g l /O A o 45w

� Kho tài liệu Lovebook: goo g l / n U 0F z e

� Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên: g o g l / o l 9E m G

Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook

Lời chúc & kí tặng Sách gốc phải có chữ ký của tác giả hoặc của thành viên Lovebook Bất kể cuốn sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành.

LOVEBOOK.VN

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!

Đặng Thùy Trâm

Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà bằng cả con tim của mình nữa!

Lương Văn Thùy

LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ

đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất!

Bản quyền thuộc về Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp

Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ hình thức hoặc phương

tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của công ty

GIA ĐÌNH LOVEBOOK

CHINH PHỤC BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

OXYZ Sách dà nh cho:

 Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA

2016)

 Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA

 Học sinh mất gốc Toán, học kém Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp và kĩ năng giải toán Toán

 Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA

2016)

 Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông

 Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán

 Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị,

sáng

tạo và độc đáo.

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI MỞ ĐẦU

Các bạn cảm thấy:

 Hoang mang khi lần đầu tiếp xúc với các kiến thức về hình giải tích Oxyz?

 Kiến thức về hình giải tích Oxyz nói chung và hình giải tích nói riêng khá là phức tạp và

rộng, hơn nữa các dạng bài trong đề thi khác xa với kiến thức trong SGK.

 Không hình dung được phương pháp, ý tưởng làm một bài hình giải tích Oxyz?

 Giá như có cuốn sách với đầy đủ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu

để mình có thể tự tin học?

 ….

Nếu bạn gặp phải những vấn đề trên, chắc chắn Chinh phục hình học giải tích Oxyz là cuốn

sách DÀNH CHO BẠN!!!!

Trong cuốn sách này bạn sẽ:

1 Thử thách bản thân với hàng loạt bài tập được các tác giả chọn lọc kĩ càng.

Các bài tập trong cuốn sách đều là những bài tập điển hình và quen thuộc nhất trong các

đề thi Ngoài các ví dụ giúp các bạn định hình dạng toán, cuốn sách còn bao hàm rất nhiều bài tập tự luyện có đáp án, giúp các bạn có một kĩ năng làm bài tốt phục vụ cho kì thi sắp tới.

2 Tiếp cận các nội dung, phương pháp giải bài toán một cách tối ưu nhất.

Các phương pháp và nội dung trong cuốn sách đều là các phương pháp được chọn lọc kĩ càng, đồng thời được trình bày cẩn thận và rõ ràng với lời hướng dẫn chi tiết… Cuốn sách dễ hiểu, dễ học ngay cả với những bạn mới bắt đầu tiếp xúc với hình giải tích Oxyz.

3 Được hỗ trợ trực tuyến ngay khi cầm trên tay cuốn sách.

Nếu có khúc mắc trong quá trình sử dụng sách, bạn có thể hỏi trực tiếp đội ngũ tác giả

trên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách của nhà sách: vedu.vn/forums/

Cuốn sách là tập hợp những kinh nghiệm, kiến thức về hình học giải tích Oxyz của các tác giả; là quá trình làm việc nghiêm túc, miệt mài của các tác giả Cuốn sách cũng là tâm huyết của đội ngũ tác giả với mong muốn bạn đọc có thể đạt được kết quả tốt nhất, chinh phục được bài toán hình giải tích Oxyz trong đề thi THPT Quốc gia sắp tới.

Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách nhưng cuốn sách chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi sai sót vì thời gian và kiến thức còn hạn chế Chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp về nội dung của cuốn sách từ các bạn học sinh, sinh viên, các thầy cô giáo để những lần tái bản tiếp theo cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn.

Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ

o Thư điện tử: gop y lov e book.v n @ g mail.c o m

o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/

Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!!

LỜI CẢM ƠN

Chúng tôi xin được gửi những lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cha mẹ - những người có ơn sinh thành và nuôi dưỡng chúng tôi, dạy bảo chúng tôi nên người Gia đình luôn là điểm tựa vững chắc giúp chúng tôi vươn đến những thành công như ngày hôm nay.

Chúng tôi cũng xin gửi những lời tri ân sâu sắc đến những người thầy, người cô đã dạy dỗ chúng tôi suốt những năm học vừa qua, những người truyền đạt cho chúng tôi không chỉ về những kiến thức mà còn về những hiểu biết, kĩ năng về cuộc sống.

Tiếp đến chúng tôi xin được cảm ơn các anh em bạn bè cũng như các anh em trong mái nhà chung LOVEBOOK, các anh em đã luôn giúp đỡ, ủng hộ chúng tôi mọi lúc mọi nơi, giúp chúng tôi có động lực để hoàn tất ước mơ có một sản phẩm “tinh thần” của cuộc đời.

Cuối cùng, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến anh Lương Văn Thùy – Giám đốc VEDU – và NHÀ SÁCH LOVEBOOK đã luôn ủng hộ, động viên và hướng dẫn chúng tôi trong quá trình hoàn thành cuốn sách.

Một lần nữa, chúng tôi xin chân thành cảm ơn!!!

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

1 Bạn nên học theo thứ tự các chủ đề.

Cuốn sách này khác với các cuốn sách khác, tác giả khuyên các bạn nên ĐỌC THẬT KĨ ĐÁP ÁN vì đáp án trong cuốn sách sẽ trình bày và phân tích các sai lầm mà các bạn sẽ hay gặp phải cũng như phần bình luận, mở rộng thêm bài toán đó Các bạn không nên lướt qua đáp án

vì đáp án chính là một trong những phần thú vị và giá trị nhất của cuốn sách.

2 Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì?

Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!!

- Hỏi bạn bè cùng lớp Học thầy không tày học bạn.

- Hỏi thầy cô giáo trên lớp.

- Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng.

- Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử

dụng sách của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/

3 Ghi chú, đánh dấu

Trong quá trình đọc cuốn sách, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào những phần kiến thức

mà bạn hay quên, còn nhầm lẫn, những bài toán mà các bạn làm sai và những phần mà bạn thấy quan trọng Trước khi thi 2 tháng, bạn nên đọc lại toàn bộ cuốn sách vì cuốn sách đã tổng hợp toàn bộ những thứ bạn cần về phần Hình giải tích Oxyz, đặc biệt bạn cần xem lại những phần mình đã đánh dấu bằng bút màu trước đây để tránh việc lặp lại sai lầm khi bước vào kì thi chính thức.

4 Kết hợp với bộ đề.

Trong quá trình sử dụng sách, để đạt được hiệu quả cao nhất, tốt nhất bạn nên có một bộ

đề để luyện tập Vì sao lại thế ?

Các bài tập tự luyện bên dưới sau mỗi chuyên đều là các bài tập cùng dạng đã trình bày nhằm củng cố kiến thức dạng bài tập đó Do đó, để có thể nhớ lâu và có kĩ năng tư duy tổng hợp các kiến thức, các chuyên đề với nhau thì cần phải có một bộ đề để làm.

Khi làm đề mà có nhiều phần chưa học, hãy làm những phần mình đã học rồi chứ không nên để đến lúc học xong hết chương trình rồi mới làm.

Ví dụ bạn đọc hết cuốn sách này, hãy cứ bỏ đề ra và đặt bút làm, làm hết tất cả các câu thuộc phần Oxyz.

Bạn sợ thiếu đề? Bạn yên tâm rằng, Lovebook có 80 bộ đề nằm trong 2 tập của bộ sách Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán với đáp án và lời giải chi tiết cho bạn.

MỤC LỤC Chuyên đề 1: Hệ trục tọa độ trong không gian và công cụ giải toán 13

1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 119

2.Tích có hướng của hai vectơ ứng dụng trong mặt phẳng 119

Trước khi bắt đầu chính thức trải nghiệm cuốn sách, anh chị Lovebook xin gửi tặng các em câu chuyện:

Bài học từ câu chuyện “Tái ông thất mã”

Một câu chuyện của Trung Quốc về một nông dân Bình tĩnh

“Một ông lão ở gần biên giới giáp với nước Hồ phía Bắc nước Tàu, gần Trường thành, có nuôi một con ngựa.Một hôm con của ông lão dẫn ngựa ra gần biên giới cho ăn cỏ, vì lơ đễnh nên con ngựa vọt chạy qua nước Hồmất dạng Những người trong xóm nghe tin đến chia buồn với ông lão

Ông lão là người thông hiểu việc đời nên rất bình tỉnh nói:

– Biết đâu con ngựa chạy mất ấy đem lại điều tốt

cho tôi

Vài tháng sau, con ngựa chạy mất ấy quay trở về, dẫn theo một con ngựa của nước Hồ, cao lớn và mạnh mẽ.Người trong xóm hay tin liền đến chúc mừng ông lão, và nhắc lại lời ông lão đã nói trước đây

Ông lão không có vẻ gì vui mừng, nói:

– Biết đâu việc được ngựa Hồ nầy sẽ dẫn đến tai họa

cho tôi

Con trai của ông lão rất thích cỡi ngựa, thấy con ngựa Hồ cao lớn mạnh mẽ thì thích lắm, liền nhảy lên lưng cỡi

nó chạy đi Con ngựa Hồ chưa thuần nết nên nhảy loạn lên Có lần con ông lão không cẩn thận để ngựa Hồ hấtxuống, té gãy xương đùi, khiến con ông lão bị què chân, tật nguyền

Người trong xóm vội đến chia buồn với ông lão, thật không ngờ con ngựa không tốn tiền mua nầy lại gây ra taihọa cho con trai của ông lão như thế

Ông lão thản nhiên nói:

– Xin các vị chớ lo lắng cho tôi, con tôi bị ngã gãy chân, tuy bất hạnh đó, nhưng biết đâu nhờ họa nầy màđược

phúc

Một năm sau, nước Hồ kéo quân sang xâm lấn Trung nguyên Các trai tráng trong vùng biên giới đều phải sungvào quân ngũ chống ngăn giặc Hồ Quân Hồ thiện chiến, đánh tan đạo quân mới gọi nhập ngũ, các trai tráng đều

tử trận, riêng con trai ông lão vì bị què chân nên miễn đi lính, được sống sót ở gia đình.”

Người đời sau lập ra thành ngữ: Tái ông thất mã, an tri họa phúc Nghĩa là: ông lão ở biên giới mất ngựa, biếtđâu là họa hay là phúc

Bài học: Việc đời, hết may tới rủi, hết rủi tới may, nên bắt chước tái ông mà giữ sự thản nhiên trước những biến đổi thăng trầm trong cuộc sống.Ta không bao giờ thực sự biết được những điều còn ở phía phía trước sẽ xảy ra như thế nào Cuộc sống không phải lúc nào cũng như chúng ta mong đợi Dẫu có đôi lúc làm bài

không như mong đợi, các em cũng đừng vội nản, vội bỏ cuộc nhé Biết đâu, đó lại là cú hích cho các em vươn xa hơn ở các kỳ thi sắp tới 

Chuyên đề II: Các bài toán về

cụ thể mà khi nghĩ đến điểm, ta sẽ liên tưởng tới nó:

Trong một mặt phẳng điểm là một con ruồi đậu trên mặt bảng

Điểm là một hạt bụi trong không khí

Điểm là những thứ ta sẽ thu được khi băm nhỏ vật chất đến vô cùng và giải chúng khắp không gian…

v.v…

2.Biểu diễn:

Trong hình học giải tích Oxy, chúng ta gặp một dạng biểu diễn của điểm với một cặp số(x;y) thuộc

giải tích không gian

chúng ta thêm một thành phần nữa: z Một điểm trong không gian sẽ được biểu diễn với một cặp 3 số

(0,0)

-1 -2 -3

Py

Oxyz Đó là mô tả về một điểm trong hệ tọa độ Descartes ( Hệ tọa độ đề-các)

LOVEBOOK.VN | 15

Trước khi sang phần mới, các em hãy dành chút thời gian đọc câu chuyện

dưới đây nhé…

NHỮNG ĐIỀU HỌC ĐƯỢC TỪ CUỘC SỐNG

Cuộc sống là những chất liệu thô mà chúng ta là những người nghệ sỹ Nhào nặn chúng thànhmột tuyệt tác hay biến chúng thành một tác phẩm thô kệch đều tùy thuộc vào chúng ta Cuộc sốngkhông phải là cái bẫy để chờ chúng ta sa vào rồi kết tội Những biến cố, thử thách phải đối mặt chỉlàm cho chúng ta lớn lên và "biết" nhiều hơn Và chúng ta học được gì từ cuộc sống? Rất nhiều

Biết cách chấp nhận khiếm khuyết !

Chuyện kể rằng, có một vòng tròn rất hoàn mỹ Nó rất tự hào về thân hình tròn trĩnh đến từngmilimet của mình Thế nhưng một buổi sáng thức dậy, nó thấy mình bị mất đi một góc lớn hình tamgiác

Buồn bực, vòng tròn đi tìm mảnh vỡ đó Vì không còn hoàn hảo nên nó lăn rất chậm

Nó ngắm nhìn những bông hoa dại đang toả sắc bên đường vui đùa với ánh nắng mặt trời, tâm tình cùng sâu bọ…

Một ngày kia nó tìm được một mảnh hoàn toàn vừa khít và ghép vào Nó lăn đi và nhận ra mình đang lăn quá nhanh Đến nỗi, không kịp nhận ra những bông hoa đang cố mỉm cười với nó Vòng tròn thấy rằng, cuộc sống khác hẳn đi khi nó lăn quá nhanh Nó dừng lại, đặt mảnh vỡ bên đường rồi chầm chậm lăn đi

Bài học về cái vòng tròn cho chúng ta thấy được rằng, đôi khi con người ta mất đi thứ gì đó thìlại trở nên hoàn hảo Người có tất cả mọi thứ trên đời lại là kẻ nghèo túng Đã là "nhân" thì sẽ "vô thập toàn"

Điều quan trọng là, bạn phải biết chấp nhận sự bất toàn ấy giống như một phần tất yếu của cuộcsống Chưa hoàn mỹ là cơ hội để bạn cố gắng, ước mơ, hy vọng chứ không phải là lý do để bạn tựdằn vặt về thất bại của mình

Biết quan tâm đến những người xung quanh !

Quan tâm tới một người không đơn giản chỉ là việc xem người ấy sống thế nào, tiền có đủ tiêuhay không Điều quan trọng nhất chính là sự yêu thương xuất phát từ tâm hồn, là biết cách khơi dậylòng tin cho người khác

Nên nhớ rằng, đôi khi những lời nói vô cùng bình dị lại tràn vào và khoả lấp khe nứt của tráitim con người

Quan tâm tới người khác chính là cách làm cho tâm hồn bạn "giàu có" thêm

Biết giúp đỡ người khác !

Đơn giản như việc giúp một bà cụ hay một em nhỏ qua đường, cho ai đó đi nhờ xe, chép hộbài cho nhỏ bạn bị ốm Hãy làm điều đó một cách vô tư và không mong chờ được đền đáp

Hãy nghĩ rằng sẽ có lúc bạn rơi vào tình trạng đó và cần sự giúp đỡ

Biết xem trở ngại là cơ hội !

Cuộc sống có những ngả rẽ, những bước ngoặt mà ta không thể ngờ được Gục ngã hay đạtđược thành công nhờ trở ngại, tất cả phụ thuộc vào bản thân bạn Bạn sẽ không thể khám phá rađược rằng, mình có tài "chèo lái" nếu công ty không lâm vào cảnh khó khăn về tài chính

Bạn sẽ không thể khám phá ra được rằng, mình có thể trở thành ca sỹ nếu không bị "ép" lên hát trongbuổi biểu diễn văn nghệ toàn trường

Cuộc sống bao giờ cũng là bắt đầu Trở ngại nhiều lúc chính là cơ hội để bạn khám phá bảnthân

Biết tự tin !

Tự tin là chìa khoá của thành công Hãy thử hình dung một buổi phỏng vấn xin việc sẽ như thếnào nếu bạn trả lời câu hỏi bằng ánh mắt sợ sệt, giọng nói run rẩy? Chắc chắn kết quả sẽ rất tệ.

Mỗi người chúng ta đều có một "bản ngã" riêng, tự tin với bản thân cũng có nghĩa là giữ cho mìnhmột nét khác biệt Điều này luôn đặt mình vào những cơ hội mới để có dịp thể hiện bản thân

Những điều học được từ cuộc sống

Biết tha thứ!

Tôi không thể quên được câu chuyện về "cái bao giận hờn"

Chuyện kể rằng, vị thầy giáo nọ khuyên các học sinh của mình, hãy ghi tên tất cả những người

mà cho đến giờ các con chưa thể tha thứ lên những củ khoai tây, sau đó bỏ chúng vào một cái bao.Mỗi người tương xứng với một củ

Thêm nữa, phải luôn để mắt, đặt nó ở những nơi dễ thấy nhất và mang chúng theo dù đanglàm bất cứ chuyện gì

Ai cũng cảm thấy thật nặng nề và phiền toái khi lúc nào cũng phải mang kè kè bên mình một

"gánh nặng" như vậy Hơn thế nữa, qua một tuần những bao khoai tây đó đã dần bị thối rữa

Vị thầy giáo đã cho ta hiểu được cái giá phải trả khi luôn mang theo những nỗi giận hờn, buồnphiền và bi quan bên mình Chúng ta cứ nghĩ rằng, tha thứ là một món quà mà ta dành tặng chongười khác, nhưng thực chất lại là món quà dành tặng cho chúng ta

Hãy biết cách tha thứ, đó chính là món quà quý nhất mà cuộc sống mang lại cho bạn

Biết sống hết mình và dám trả giá!

Mỗi giai đoạn của cuộc đời đều là những giai đoạn đẹp nhất nếu chúng ta biết sống hết mình,biết trân trọng từng khoảnh khắc được sống Thời gian không chờ đợi một ai Do đó, đừng giữ mãitrong đầu ý nghĩ rằng: “Mình sẽ làm việc đó vào ngày mai”

Cuộc sống luôn đầy rẫy những bất trắc, không ai có thể biết trước được ngày mai sẽ xảy ra chuyện gì.Trân trọng từng khoảnh khắc sống và làm hết khả năng của mình bạn sẽ không phải rơi những giọtnước mắt hối tiếc Sống hết mình cũng là cách trả giá cho những gì đáng giá đấy bạn ạ

Biết đứng dậy sau vấp ngã!

Ngọn trúc oằn mình dưới sức mạnh của gió nhưng rồi lại bật thẳng lên đầy kiêu hãnh nhưchưa từng xảy ra chuyện gì Mỗi người chúng ta đều mang trong mình tính cách của ngọn trúc Đấy làđiều chắc chắn

Vấp ngã không phải là cách để bạn từ bỏ ước mơ, hy vọng Đấy là "cơ hội”"để bạn nhìn lạichính mình và rút kinh nghiệm cho lần sau

Hãy thay đổi thái độ của mình sau mỗi lần gặp thất bại Thời gian không chờ đợi một ai nhưngkhông bao giờ là quá muộn Khởi đầu hay kết thúc là do chính bạn

Biết yêu thương!

Yêu thương vô điều kiện Bạn đã bao giờ làm được điều đó chưa? Hay lúc nào cũng chỉ muốnngười khác yêu mình, muốn "nhận" tất cả mà không muốn "cho" đi chút gì?

Cuộc sống thật kỳ diệu, không ai có tất cả nhưng cũng không ai mất tất cả Những nỗi đau sẽ dịu đirất nhiều nếu được hàn gắn bằng sự yêu thương Yêu thương chính là dang tay đón nhận những xúccảm tuyệt vời do cuộc sống mang lại

Điều quan trọng nhất không phải là việc đọc những điều này, mà là thái độ và quan điểm củachúng ta trước những điều mà cuộc sống mang lại Hãy để những "món quà vô giá" ấy của cuộc sốnglàm dịu mát tâm hồn bạn, để sống tốt hơn và tận hưởng hạnh phúc diệu kỳ !

2 điểm A,B thì độ vector AB biểu thị v ị t rí tương đối đ iểm B so v ớ i A Và vì vector khôngxác định điểm đặt cố định, chúng ta có thể “bê” vector này đi đặt ở bất kì nơi nào thuậntiện cho việc tính toán (ví dụ: đặt một đầu mút tại O )

Để rõ hơn, chúng ta sẽ thử làm một vài bài tập phụ áp dụng công thức này:

Bài 1: Tính khoảng cách giữa 2 điểm A(2;0;0) và B(3;2;1)

2

+ z

Bạn cần lưu ý cách đổi gốc vector cũng là một thủ thuật cho để giải một số bài toán bạn sẽ gặp sau này.

B.Các dạng bài thường gặp

1.Các bài toán sử dụng vector để tìm điểm

Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;b;c), B(m,n,p) Tìm điểm P sao cho

 Bài toán này chỉ cho một điều kiện, và điều kiện này cho sử dụng vector, vậy muốn tìm P,

ít nhất chúng

ta cũng phải sử dụng một vector nào đó chứa P, và tìm quan hệ của nó với các vector cố định Trong bài

AP = sBP ⇔ AP - sAP = sBP - sAP ( cộng cả 2 vế của đẳng thức với -sAP )

Biện luận:

toán vô nghiệm

(mâu thuẫn giữa 2 chi tiết AB = 0 & AB ≠ 0

Vậy nếu A ≡ B? ( a = m & b = n & c = p) Bài toán của chúng ta sẽ có vô số nghiệm hình khi s = 1, bởi

AP = BP luôn thỏa mãn khi A ≡ B

P

1 - s

s

P

1 - s s

b,

s (p - c)+ c

= P

-1

a + s

• Việc giải một bài toán chưa bao giờ nên dừng lại ở việc biết đáp số, chúng ta luôn thửlàm của mình, cũng như con người luôn tìm cách đổi mới các phương pháp, tìm tòi sángtạo những cái mới để giải quyết vấn đề dễ hơn Đây cũng

là lí do mình thường đưa ra 2 cách giải cho một bài toán Chúng ta sẽ thử cách

trong việc giải, có thể bạn đã từng hay thử giải bài toán bằng cách tương tự sau đây mìnhtrình bày Nếu

chúng ta “chèn” điểm O vào giữa các vector trong

giả thiết:

(AO + OP) = s(BO + OP) ⇔ (s - 1)OP =

-OA + sOB

 Điểm đặc biệt khi biến đổi đẳng thức theo cách này là chúng ta có thể dừng việc tính toán

để có luôn kết quả ngay cả khi còn tới 2 vector Vì từ bài toán, tọa độ điểm A,(tương ứng:

Trường hợp 1: s =1: tương tự như trên, bài toán có thể vô nghiệm hoặc có vô số

thử làm vài bài luyện tập bên dưới đây)

Bài 2 (luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;0),B(1;-2;3) Tìm

trung điểm Pcủa AB

AM = 2BM ⇔ (AO + OM) = 2(BO + OM) ⇔ OM = -OA + 2OB , M(-1;4;9)

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(xA , y A , zA ), B(xB , yB , zB ),C(xC ,

vô số điểm P thỏa mãn, hoặc sẽ xảy ra mâu thuẫn với giả thiết Trường hợp có vô số điểm

P thỏa mãn, tập hợp các điểm P này sẽ tạo thành một mặt phẳng mà chúng ta sẽ tìm hiểusau

 Ở những trường hợp khác, chúng ta tìm được duy nhất một

a + b+ c

Hay tọa độ điểm P thỏa mãn là (axA + bxB + cxC ;ay A + byB + cyC

;azA + bzB + czC )

a + b+ cNhận xét 2: Một lần nữa mình nghĩ bạn không nên học thuộc lòng công thức để áp dụngtổng quát, các bạn không thể áp dụng ngay công thức mà vẫn phải trình bày lại)

Bài 5 (luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;2), B(3;4;5),

1

Hay G = 1 + 3 + 1 ; 0 + 4 + 2 ; 2 + 5 + 3

= 5 ;2; 10

 Lưu ý: Từ sau bài toán này, mình sẽ áp dụng công thức trên ngay khi cần dung mà

không chứng minh lại, bạn cũng có thể làm vậy

Bài 6(luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2;0;1), B(2;1;3),

 Bài tập này khác với những bài trên ở chỗ điểm bạn tìm được không dựa trên sự thẳng hàng giữa các

điểm mà dựa trên sự vuông góc giữa các vector

 Và sự vuông góc giữa các vector chúng ta sẽ dựa trên tích vô hướng Mình sẽ nhắc sơ lại một chút về

tích vô hướng mà chúng ta đã học:

Với 2 vector a(xa , ya , za ) , b(xb ; yb ;zb ) , chúng ta có tích vô hướng của a và b :

a�⃗ �b⃗ = xaxb + yayb

+ zazbTích vô hướng của 2 vector cho chúng ta một đại lượng vô hướng (tức là không biểu thị hướng, chỉ biểu

phổ biến mà mình sẽ dùng để giải nhiều bài toán tới

 Quay trở lại bài toán:

Gọi H(x,y,z) là điểm cần tìm Vậy CH = (x - xC ; y - yC ;z - zC ), BH = (x - xB ,

y - yB , z - zB ) Có

AB = (xB - xA ; yB - y A ;zB - zA ); AC = ( xC - xA ; yC - y A ;zC - zA )

H ∈(ABC)

Vì H là trực tâm của tam giác

song với mặt phẳng  (ABC)

Gọi AB; AC = (a1 ;a2 ;a3 ) ,vector này hoàn có thể tính được do A,B,C đều đã xác định Phương trình đầu

tiên của tọa độ H: a1x +a2y +a3z = 0

 Cũng theo ngôn ngữ vector, chúng ta có: 

gian Đây mới chỉ là một bài tập mở đầu, để nắm vững dạng này , chúng ta sẽ làm một số bài luyện tập

Bài 8 (luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2;1;1); B(1;2;-1); C(0;1;2) Tìm

trực tâm H của tam giác ABC

(P) chứa AB, AC có vector pháp

tuyến np



cùng phương với AB; AC = (1;5; 2)

Lấy np = (1;5;2) ,(P) đi qua A mặt phẳng (P) có phương trình:

⇔

-sau khi tính vector AB, AC ) Việc kiểm tra mất thêm một chút thời gian, nhưng nếu vào dạng bài đặc biệt,

nó mới chỉ là một hướng tư duy, thật ra, mọi bài toán hình không gian nếu đưa được vềdạng vector, đều

có thể giải được Qua bài 8 mình muốn giới thiệu một hướng nghĩ mở rộng cho việc giảicác bài toán sử

dụng

vector

 Đề bài yêu cầu chúng ta tìm M sao cho tọa độ của M sẽ khiến đa thức bậc 2 kia có giá trị

thể thay ngay các giá trị x,y,z và cố gắng biến đổi để tìm ra giá trị thỏa mãn yêu cầu đềbài Đây là cách tư duy thẳng nhất để đến đích, tuy nhiên quan sát sơ qua chúng ta có thểthấy việc biến đổi sẽ khá khó khan và tất nhiên sẽ thú vị hơn nếu bạn có 2 phương pháp đểlựa chọn tùy vào điểm mạnh yếu của bạn Mình sẽ đưa ra phương pháp thứ

Những gì mình sắp làm là sử dụng vector để suy luận, biến đổi và đơn giản hóa việc tính toán trên Đa

☺ Mọi thứ không có gì thay đổi nhiều, cho đến khi mình thử “chèn” điểm I vào: 

 Đây là điểm mạnh của vector , việc có thể tự do chèn thêm n điểm vào phương trình 

=(a + b)MI +2MI(aIA + bIB)+ aIA2 + bIB2(3)

 Việc biến đổi chung của những dạng bài này chỉ dừng lại ở đây, những việc quen thuộc

Phần cố định: Ban đầu ở giả thiết, thứ duy nhất cố định mà chúng ta cố không tách rời khỏi biến : A & B bị

I Nếu điểm I

cố định, tất nhiên chúng ta sẽ có IA & IB cố định, từ đố phần cố định ở đây là aIA2 + bIB2

thuộc duy nhất

vào một biến là khoảng cách từ M đến I

nó không chỉ

khó k h ảo s át

để đảm bảo được 2 mục đích: cố định phần cố định( với mọi I cố định, phần cố định sẽ cố định  ) , khử

phần khó khảo sát Từ đó chúng ta sẽ có một đa thức một biến thay đổi : MI

 Để khử phần d ễ kh ảo s át , chúng ta sẽ tìm I thỏa mãn aIA + bIB = 0 , vì việc tìm

I cố định để

MI ⊥ (aIA + bIB)∀M là hoàn toàn không thể Việc tìm điểm I này giống như những bài trên, chúng ta sẽ

có (a + b)OI = -aOA - bOB

 Cuối cùng, ở bài toán này không có điều kiện ràng buộc giữa các phần tử x,y,z trong tọa

Nhận xét 2: bạn có thể đang thắc mắc vì lí do gì khiến mình “vẽ” bài này dài ra như vậy ?Tất nhiên bạn luôn có thể làm theo cách cũ và khảo sát đa thức với x,y,z Ở bài toán nàymột biến sẽ là một lợi thế rất lớn Chúng ta sẽ thử xem trong một vài bài tập ví dụ ( luyệntập) dưới đây

Bài 11: (VnMath) (luyện tập) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x + y + z – 4 =0 và các điểm A (1;2;1) , B(0;1;2) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

I

MP

Bài 12( luyện tập) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1; 6; 2); B(-1;4;2)

2.Tìm điểm thuộc mặt phẳng kèm

điều kiện phụ

Chuyên đề IV Phương trình đường

thẳng A.Lý thuyết trọng tâm

 Đường thẳng là …một đường không cong dài vô hạn

 Đường thẳng là tập hợp các điểm thẳng hàng, không có độ cong tại mọi điểm nó chứa

có thể mô tả đường thẳng dưới dạng giao tuyến 2 mặt phẳng

Px

Qy

0

=

LOVEBOOK.VN | 34

Chúng ta vừa sử dụng những tham số y hệt như trên Đây cũng là một điểm lưu ý khi

đường thẳng trong khi  Dạng giao tuyến:(a; b;c)vẫn là vector chỉ phương của đường thẳng đó

ax + by + cz +d = 0

mx + ny + pz + q = 0

Ở dạng giao tuyến, phương trình đường thẳng được cho dưới dạng một hệ phương trình gồm phương trình

2 mặt phẳng chứa đường thẳng đó, đó cũng là lí do đây được gọi là dạng giao tuyến

Chuyển ngược lại từ

dạng này về 2 dạng trước phức tạp hơn một chút

Gọi mặt phẳng có phương trình thứ nhất là (P), mặt phẳng có phương trình thứ hai là (Q) Vậy lấy vector

Cách 3: Bạn có thể tìm 2 điểm A,B thuộc (d) để viết phương trình đường thẳng

bằng cách thay giá trị bất của một tọa độ và giải hệ tìm hai tọa độ còn lại

Chẳng hạn bạn có thể chọn x=0 và x=1

4.Vị trí tương đối của đường thẳng:

Trong hình tọa độ phẳng, đường thẳng có ba vị trí tương đối với một đường thẳng khác: songsong, trùng,

cắt

Vai trò đường thẳng với mặt phẳng khá giống nhau khi chuyển qua không gian, vẫn có 3 vị trí tương đối:

song song hay trùng,

chúng ta lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng và kiểm tra xem nó có thuộc mặt phẳng không, nếu điểm

này thuộc mặt phẳng, đường thẳng nằm trọn trong mặt phẳng, còn nếu không thì đường thẳng song song

với mặt phẳng

Đường thẳng với đường thẳng trong không gian thì tới có 4 vị trí tương đối: Trùng, song song, cắt, chéo

a : Trùng

b.Song song

d

Chéoc.Cắt

0

và một điểm B có tọa độ

(xb , yb , zb ) Chúng ta có thể dễ dàng lấy ngay tọa độ điểm gốc trong phương trình d, gọi

là A(x0 , y0 , z0 )

x - x = y - y = z - z

hướng giữa hai vector:

d

Và nếu mình gọi B’ là điểm thuộc đường thẳng

hay nói cách

khácviệc biểu diễnbiểu thức trên

= d(B; AB').AB' Đây chính là mấu chốt

củaTrước khi vào xử lí các bài toán phức tạp, chúng ta sẽ thử làm một

số bài tập áp dụng công thức:Bài 1: Trong

không gian với

hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

Tín

h khoản

g các

h từ

B (1; 6;9) tớiđường thẳng d

Giải

Gọi A(-1;1;2)

∈ d ,

AB = (2;5;7)

= y - 1

= z - 2

d