oxy nhom toan 2016 phan 1

a.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, D là chân đường phân giác trong góc A.. Điểm I là giao điểm của EF và AD, H là hình chiếu vuông góc của I lên BC.. Trong mặt phẳng Ox

OXY CHỌN LỌC 2016

(TỪ CÁC THÀNH VIÊN GROUP NHÓM TOÁN)

Lời giải

Từ giả thiết ta có 1 1

IE  AC  BD nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ABCED

Tam giác IBE cân tại I nên IEBEBD; Tam giác ADK

vuông cân tại D nên

45

IEBEBDEAD Từ đó suy ra tam giác IBE

vuông cân tại I

BD đi qua điểm 1;0

2

I 

  và có véc tơ pháp tuyến

3

2

IE    hay n 

nên BD có phương trình là :

1

2

BD đi qua điểm K   1; 2 và có véc tơ chỉ phương u 3; 4 nên có phương trình tham số

2 4

BD

  





  



Gọi B3t1; 4t2 thuộc BD, điều kiện 1

3

t  ta có

 

 



Từ đó ta có B2; 2 Vì I là trung điểm của BD nên D   1; 2

AB AD BD   AD   AD AB Gọi A x y ,  ta có

I

K

E

Bài toán 1 Cho hình chữ nhật ABCD tâm I Gọi K là trung điểm của cạnh DC, E là hình

chiếu của C trên AK Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết rằng

1

;0

2

I 

 , 5; 3

E  

 , điểm B có hoành độ dương và AB2BC

Sáng tác :Nguyễn Hữu Hiếu

N

M

B A

6

;

5

6 12 2; 0 , ;

x

y









Kiểm tra A và E khác phía so với đường thẳng BD, ta có

1

2;0 , ;

A  E  

   4 2 3.0 2 4.5 3 3 2 0

       

  nên A E1; khác phía so với đường thẳng BD

6 12 2;0 , ;

A  A   

         

với đường thẳng BD

Vậy điểm A cần tìm là A  2;0 Vì I là trung điểm của AC nên C3;0

Đáp số: A  2;0, B2; 2, D   1; 2,C3;0

Bài toán 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh C 3; 2   Bên ngoài hình bình hành vẽ tam giác vuông cân ABM tại A và tam giác vuông cân ADN

tại A Giả sử M2;7 và N 2; 4 Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành

Sáng tác: Huỳnh Đức Khánh

Lời giải

Dự đoán và chứng minh AC MN và

AC MN Thật vậy:

Xét hai tam giác MAN và ABC, ta có

● MAAB NA, BC

● MANABC (cùng bù góc BAD) Suy ra MAN ABC nên AC MN và

NMACAB

Kéo dài AC cắt MN tại E, suy ra

CABMAE MAB hay   0

90

NMAMAE

Đường thẳng AC đi qua C và vuông góc với

MNnên có phương trình AC:x 3 3t

Bài toán 3 a.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, D là chân đường

phân giác trong góc A Gọi E là giao điểm phân giác trong góc ADB và cạnh AB, F là giao điểm phân giác trong góc ADC và cạnh AC Điểm I là giao điểm của EF và AD,

H là hình chiếu vuông góc của I lên BC Xác định tọa độ đỉnh A biết 2 1,

5 5

H 

 , phương trình ED x:  2y  1 0 và điểm E có tung độ bằng 0

b Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, D là chân đường phân giác

trong góc A Gọi E là giao điểm phân giác trong góc ADB và cạnh AB, F là giao điểm phân giác trong góc ADC và cạnh AC Điểm I là giao điểm của EF và AD, H là hình chiếu vuông góc của I lên BC Xác định tọa độ đỉnh A biết 7 1,

5 5

H 

  và EF: 3x y  0

Sáng tác : Nguyễn Đại Dương

 

9 6 25

A t

AC MN AC MN t t









 

Vì d A MN , d C MN ,  nên ta chọn A 0;2

Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với AM nên có phương trình : 5 '

2 2 '

x t AB







 

Điểm BAB nên B 5 ';2 2 't  t  Từ giả thiết  

 

29 ' 29

1 5; 4

B t

AB AM t







 

Vấn đề bây giờ làm sao loại bớt điểm B, bạn đọc tự suy ngẫm!

Phân tích

Xét bài toán sau : “Cho tam giác ABC vuông tạo A có D là chân đường phân giác trong góc B,

DE là phân giác trong góc ADB, DF là chân đường phân giác trong góc ADC, đường thẳng EF cắt AD tại I, khi đó ta có:

 EDF là tam giác vuông cân tại D

 Gọi H là chân đường cao kẻ từ I lên BC khi đó: A và H đối xứng nhau qua EF, AEHDF nội tiếp đường tròn đường kính EF

 FHC FHI IHE EHB 45o ”

I E

F

B

A

Chứng minh Gọi H là giao điểm đường tròn đường kính EF và BC

Khi đó chứng minh được FHC EHB 45o

Ta có:

45 45

o o





  



EF là phân giác AFH

Tương tự: EF là phân giác AEH

Nên A và H đối xứng nhau qua EF

Từ đó suy ra IHBC

Hướng dẫn giải Tìm tọa độ D: EHD 135oD 1,1 Lấy đối xứng H qua ED: H' 0,1 , phương trình AD: y  1 0

Cách 1: Sử dụng tính đối xứng EA EH EH' A 2,1

Cách 2: Sử dụng góc EAD 45oA 2,1

Bài toán 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  C

có phương trình đường thẳng AB: 3x y   3 0 Các tiếp tuyến của đường tròn  C tại A

và B cắt nhau tại M, đường thẳng qua M song song với BC cắt đường tròn tại D0;1 và

E sao cho D nằm giữa M và E, cắt cạnh AC tại K4;1 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh A có tung độ dương

Nguyễn Minh Tiến – maths287

Lời giải

Ta có AKMACB (do MK // BC)

2

ACB AIBAIM

90

IKM IAM

K

 là trung điểm DEE 8;1

Gọi HABMIAHMI

Xét IMA vuông tại A có AH là đường cao MA2 MH MI.  1

Theo tính chất cát tuyến và tiếp tuyến 2  

Từ  1 , 2 MH MI. MD ME. MD MI MHD

Gọi F là điểm đối xứng với điểm D qua đường thẳng   12 1;

5 5

AB F 



  Phương trình  EH đi qua E và F EH x:  7y  1 0

Phương trình  DE đi qua D và E DE x:   1 0

Tọa độ     : 7 1 0  1;0

x y

   



Phương trình  IK đi qua K và vuông góc DE IK x:   4 0

Phương trình  IH đi qua H vuông góc với    AB  IH x:  3y  1 0

Tọa độ     : 4 0 4; 1

3 1 0

x

  



Lấy điểm A a a ; 3   3  AB Ta có IAID 2 5 IA2  20

A a



  





Điểm H là trung điểm của ABB0; 3  

Phương trình  BC đi qua B và song song    DE  BC y:   3 0

Lấy điểm C c ; 3    BC Ta có ICID 2 5 IC2  20

C c







Kết luận: Bài toán có 1 nghiệm A  2; 3 ,B 0; 3 ,   C 8; 3  

Bài toán 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao

BE và CF Đường tròn đường kính AB cắt đường cao CF tại điểm N3; 1  , đường tròn đường kính AC cắt đường cao BE tại điểm M   1; 1, phương trình đường thẳng

AB: 9x 8y 23 0  Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Nguyễn Minh Tiến – maths287

Lời giải

Tứ giác AFMC nội tiếp AMFACF

Tứ giác BFEC nội tiếp ECFFBE

AM AF AB

Tương tự có 2

.

AN AE AC

Tứ giác BFEC nội tiếp có AEC và AFB

là hai cát tuyến AF AB AE AC AM2 AN2 AMAN

A

 thuộc trung trực của đoạn MN

Trung trực của đoạn MN là  d x  : 1 0

x

  



Phương trình  BN đi qua N vuông góc với AN BN : 2x 5y 11  0

Tọa độ     : 2 5 11 0  7; 5

   



Phương trình  AC đi qua A vuông góc BM AC : 3x 2y 11  0

Phương trình CM đi qua M vuông góc AMCM: 2x 5y  7 0

          

Kết luận: Bài toán có 1 nghiệm   1; 4 , 7; 5 , 69; 43

11 11

A B   C  



 

Bài toán 6 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên

cạnh BC lấy điểm 5; 0

2

P 

Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AB và

AC Tìm tọa độ A, B, C biết DE:12x24y750 và BC = 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2

Sáng tác : Nguyễn Văn Hoàng

Tính chất cần phát hiện Cho tam giác

ABC vuông cân tại A Lấy P là điểm bất kì

trên cạnh BC Gọi D, E lần lượt là hình

chiếu của P trên AB và AC Gọi Q là điểm

đối xứng của P qua đường thẳng DE Khi

đó PQQA và Q thuộc đường tròn

(ABC)

Chứng minh

Gọi I  APDE Khi đó IAIP IQ

nên tam giác AQP vuông tại Q hay

AQQP

Tiếp theo, Ta có EP = EQ (P và Q đối

xứng qua ED), mà tam giác EPC vuông

cân nên EC = EP = EQ Do đó E là tâm

của đường tròn (PQC), do đó

135 45 180

Trở lại bài toán

Bài toán 7 Cho hình chữ nhật ABCD có 4AB = 3BC Gọi E( ;0 2 ) là chân đường phân giác trong góc ABD Điểm H là hình chiếu của A trên BD Gọi 9 2

5 5;

K 

là chân đường phân giác trong góc A của tam giác HAD Tìm tọa độ điểm A, B, C biết D có hoành độ dương

 Vì Q đối xứng với P qua đường thẳng DE nên ta tìm được (4;3)Q Theo chứng

minh trên AQQP nên phương trình đường thẳng AQ là: x2y100

 Gọi F QPAM với M là trung điểm BC Theo chứng minh trên Q thuộc đường tròn (ABC) nên AF là đường kính của đường tròn (ABC) suy ra AF = BC Khi đó tứ giác AQPM nội tiếp nên:

FP FQFM FA FP FQ

 

Ta cóPQ: 2xy 5 0 Gọi ( ;2F a a 5) thuộc đường thẳng PQ Khi đó

2

FP FQ  a  a a a

 

Vì P nằm giữa Q và F nên (0;5)F

 Gọi (10 2 ; )A  m m AQ Vì AF 10 nên (0;5)A  A(8;1) Chọn A(0;5)

Khi đó M(0;0) nên MP: x = 0 Do đó ( 5;0), (5; 0).B  C Vậy tọa độ các điểm cần tìm là:

A(0;5), ( 5;0), (5; 0) B  C

Bài toán 8 Cho tam giác vuông ABC có AB = AC và nội tiếp trong đường tròn (C)

Trên cạnh AC lấy điểm D, BD cắt đtròn tại E, CE cắt AB tại F Tìm toạ độ B biết D(9/2;-1/2), phương trình AE: 3x+4y -13=0 BD = 5 2

2 , tia EF đi qua K(4;6) và điểm B có tung

độ âm

Sáng tác : Phạm Hùng

Bình luận Hình chữ nhật có tỉ lệ độ dài hai cạnh, thông thường ta có thể sử dụng góc

hoặc khoảng cách Nếu phát hiện tính chất hình học thì lời giải sẽ gọn gàng, đẹp mắt hơn

Về bản chất bài này là tam giác vuông có tỉ lệ giữa hai cạnh góc vuông

Hướng dẫn giải

Tính chất cần phát hiện là:

EK  EA EK  BC

Chứng minh Hai góc

ABH

của chúng cũng bằng nhau do đó

Suy ra, tứ giác ABKE nội tiếp nên

0

90

EKB

Hai tam giác vuông ABE và KBE bằng

nhau nên EK  EA EK,  BC

Đường thẳng BD qua K và vuông góc EK nên có phương trình:

:

BD x y  Theo tính chất của chân đường phân giác ta có :

5 3



Mà AE  EK 3 Nên ED  5

4

( ; a)

D a  thuộc đường thẳng BD Vì ED  5 nên tìm được D( ;5 2 ) vì D có hoành

3

DE  AE

 

tìm được A  ( 3 2; ), từ đó tìm được B ( 3 4; ) và C( ; )5 4

Bình luận Có thể viết phương trình AD bằng cách tính cosKED

Bài toán 9 Cho tam giác nhọn ABC có AC 41,K5;3 là trung điểm của cạnh BC và

H là hình chiếu của B trên AK Trên tia đối tia AK lấy 9 47;

5 5

  sao cho AM 2HK Biết B có tọa độ nguyên và nằm trên d x:   y 5 0 Tìm tọa độ các đỉnh tam giác

Sáng tác : Phan Phước Bảo

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

- Góc AEB = góc ACB = 450 nên góc AEF= 450  AE là phân giác của góc AEF

- Tìm được tọa độ điểm K1 đối xứng với K qua phân giác AE

- Viết được phương trình BD (1)

- B nằm trên đường tròn tâm D bán kính DB (2)

- Từ (1) và (2) và tung độ của B âm suy ra điểm B(1;-1)

Cách 2:

- Dùng góc viết được pt BD ( được 2 pt BD)

- Và độ dài BD Tìm được 4 điểm B (sẽ gặp khó khăn khi loại 3 điểm)

Lời giải

Dựng hình bình hành BACN

Tức là ta có K vừa là trung điểm BC ( theo gt)

thì K cũng là trung điểm AN

Ta có AC = BN (1)

Theo giả thiết AM = 2.HK

nên MH = AM + AH = 2HK+ AH = HK+

(HK+AH)

=HK + AK = HK + KN = HN

Vậy tam giác BNM có BH vừa là đường cao

vừa là trung tuyến

Nên tam giác BNM cân tại B

Suy ra BN = BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra BM AC  41

Gọi B( b; 5-b) B b ;5bd x: y 5 0 và

Bài toán 10 Cho hình vuông ABCD có tâm I6; 6 , đỉnh A nằm trên d : 7x  y 4 0 , điểm E thuộc cạnh AD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AC, đường thẳng BH cắt đường thẳng IE tại F5;13 Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông

Sáng tác : Phan Phước Bảo

K là trung điểm BC suy ra C8;3

H là hình chiếu B trên AK nên 22 21;

5 5

 

Ta có: MA2HKA3; 7

Lời giải

Ta có HE // BC ( cùng vuông góc AC)

Theo định lý Talet ta có:

FB  FI  BI  DI

và

AD  AI  DI

Suy ra

/ /

AI  FI  IA  IF   

Gọi A(a; 7a-4) ta có :AF 5a;17 7 a;AI 6a;10 7 a

     

AFAI  AF AI 0 5a 6a  17 7 a 10 7 a 0a2

Vậy A2;10 mà tâm I6; 6nên C10; 2

   

   

2; 2 ; 10;10

2; 2 ; B 10;10

D





 do F,D nằm cùng 1 phía đối với AC nênB2; 2 ; D10;10

Bài toán 11 Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD với góc ở đỉnh A

nhọn Trên các tia AB và CB lấy các điểm H(11;5) và K(6; 6) tương ứng sao cho

;

BC bằng 3 5 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng D có tung độ là một số âm

Sáng tác : Nguyễn Thành Hiển

Lời giải

Lời giải

Bài toán 12 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

( 3;4), 90

A  BAC  Hai tiếp tuyến của ( ) tại B và C cắt nhau ở

21

(1; );

4

M  điểm K(1; 3) là trung điểm của cạnh BC Xác định tọa độ các đỉnh của

ABC

 biết x B  x C

Sáng tác : Nguyễn Văn Trường

Gọi E là giao điểm thứ 2 khác A của AM với đường tròn ( ) Trong tam giác IBM vuông tại

Mặt khác ta lại có 2

( ;( ))

MB ME MA  MK MIME MAA E K I nội tiếp

Suy ra EAKEIN 2EANAN là phân giác của EAK

Từ NM AM KN N(1; 4) MK x: 1

AK

 

Gọi I(1; m) ta có IAINm1 I(1;1)( ) : (x 1)  2(y1)2 25

Đường thẳng BC có phương trình y = -3, cắt ( ) tại B(-2;-3) và C(4;-3) (do x B x C)

Vậy A( 3; 4),  B( 2; 3),   C(4; 3)  là các đỉnh của tam giác ABC

Lời giải

Tọa độ giao điểm của (d ) và (E) là nghiệm của hệ :

4)

E

C B

I

N K(1;-3) A(-3;4)

Bài toán 13 Cho elip (E): 1

4 2 2



 y

x

và hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0 (d1) cắt elip (E) tại A và C, (d2) cắt elip (E) tại B và D Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD

Sáng tác : Nguyễn Văn Trường





 x ky

y x





 1 4

2 2

  





4

2

k y

ky x









 AC2 = 2

2 4

) 1 ( 16

k

k





Tọa độ giao điểm của (d2) và (E) là nghiệm của hệ :





 y kx

y x







 1 4

2 2

  





4 1

2

k x

kx y











 BD2 = 2

2 4 1

) 1 ( 16

k

k





Vì (d1)  (d2) nên AC  BD  4S2 = AC2.BD2 =

) 4 1 )(

4 (

) 1 ( 16

2 2

2 2 2

k k

k







Đặt x=k20, xột f(x)=

) 4 1 )(

4 (

) 1 (

162 2

x x

x







) 4 ( ) 4 1 (

) 9 9 )(

1 (









x x

x x

f’(0)=0  x=1

Chỳ ý rằng:

4

1 ) ( lim 



 f x x

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên  Max

  4

1 ) (

; 0





x

f khi x=0  k=0

Min

  25

4 ) (

; 0





x

f khi x=1  k=1

Vậy Max SABCD=4 khi k=0, Min SABCD=

5

16 khi k= 1

Bài toán 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm Ivà điểm Cnằm ngoài đường tròn  I Từ C,kẻ hai tiếp tuyến AC,BCcủa  I (A, Blà hai tiếp điểm)

25

1 4

1

+

-

+

1

0

f(x) f’(x)

x

Đường tròn  I cắt đoạn ICtại D , E điểm thuộc đường AD. Giả sử A8 12; , D12 4; 

,E16 6;  Tìm tọa độ điểm B và viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Sáng tác : Hứa Lâm Phong

Phân tích

Tính chất cần chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (mình đã nghĩ ra 4 cách chứng minh nhưng xin được phép trình bày 1 cách dưới đây)

Ta có:

CAD DAI t / c tiep tuyen tai A

DAI ADI IAD can tai I do IA ID R







0 0

90 90

Suy ra AD là phân giác của góc CAB

Mặt khác theo tính chất của 2 tiếp tuyến ta có CI là đường phân giác góc ACB và ICADD nên

D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Viết phương trình đường thẳng ADAD : x y2   28  0

Gọi Flà điểm đối xứng của E qua phân giác AD (phần tìm F xin dành cho bạn đọc)

F ;

 8 2

 

r d D; AB



4

Bài toán 15.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A nội tiếp

2

2

4

  Gọi D4,5là trung điểm của AB, 6;16

3

E 

  là trọng tâm của tam giác ADC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết điểm C có tung độ âm

Sáng tác : Trần Thông