Các trạng thái tạp chất trong graphene

Graphene có cấu trúc siêu mỏng, chỉ gồm một lớp các nguyên tử Carbon, nó có những tính chất vật lý mới lạ so với vật liệu bán dẫn truyền thống: bền vững, dẫn điện và dẫn nhiệt rất tốt..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO VĂN LIM

CÁC TRẠNG THÁI TẠP CHẤT

TRONG GRAPHENE

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Liễn, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn Thầy luôn tận tình chỉ dạy tôi những kiến thức về vật lý, luôn tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu Sau một thời gian làm việc với Thầy, tôi may mắn học được ở Thầy đức tính giản dị và gần gũi trong cuộc sống, sự quan tâm giúp đỡ hết lòng với học viên

Tôi xin chân thành cảm ơn chị Nguyễn Thị Thùy Nhung ở viện Vật Lý, người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin cảm ơn các Thầy cô ở khoa Vật Lý, trường đại học Sư Phạm Hà Nội II, đã trực tiếp giảng dạy và cung cấp cho tôi những kiến thức về vật lý lý thuyết trong thời gian tôi tham gia học tập ở khoa

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, những người luôn bên tôi những lúc kho khăn, cổ vũ và động viên tôi trong quá trình học tập Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2015

Đào Văn Lim

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO VĂN LIM

CÁC TRẠNG THÁI TẠP CHẤT

TRONG GRAPHENE

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Liễn

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Liễn, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn Thầy luôn tận tình chỉ dạy tôi những kiến thức về vật lý, luôn tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu Sau một thời gian làm việc với Thầy, tôi may mắn học được ở Thầy đức tính giản dị và gần gũi trong cuộc sống, sự quan tâm giúp đỡ hết lòng với học viên

Tôi xin chân thành cảm ơn chị Nguyễn Thị Thùy Nhung ở viện Vật Lý, người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin cảm ơn các Thầy cô ở khoa Vật Lý, trường đại học Sư Phạm Hà Nội II, đã trực tiếp giảng dạy và cung cấp cho tôi những kiến thức về vật lý lý thuyết trong thời gian tôi tham gia học tập ở khoa

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, những người luôn bên tôi những lúc kho khăn, cổ vũ và động viên tôi trong quá trình học tập Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2015

Đào Văn Lim

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả luận văn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

1 Lý do chọn đề tài 5

2 Mục đích nghiên cứu 6

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6

5 Phương pháp nghiên cứu 6

6 Đóng góp mới 6

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE 7

1.1 Giới thiệu về Graphene 7

1.2 Các tính chất điện tử cơ bản của Graphene 8

1.2.1 Cấu trúc tinh thể 8

1.2.2 Hệ thức tán sắc tuyến tính 10

1.2.3 Chirality 17

1.2.4 Truyền dẫn ballistic 19

1.2.4.1 Chui ngầm Klein 19

1.2.4.2 Giới hạn độ dẫn lượng tử 23

1.2.5 Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường 25

1.3 Graphene pha tạp 28

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỘ DẪN BẰNG HÀM GREEN HỒI QUI 30

2.1 Công thức Kubo-Greenwood 30

2.2 Tính cho mật độ trạng thái bằng hàm Green hồi qui 35

2.2.1 Hàm Green hồi qui 35

2.2.2 Tính mật độ trạng thái định xứ 37

Tóm tắt chương 2 38

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU KHUẾCH TÁN LƯỢNG TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP

TRUY HỒI 39

3.1 Phương pháp truy hồi 39

3.1.1 Khai triển toán tử trên các đa thức trực giao 39

3.1.2 Độ rộng bình phương trung bình 42

3.2 Một số kết quả số về các trạng thái tạp chất của graphene 46

Tóm tắt chương 3 54

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Một số dạng thù hình của Carbon từ trái qua phải, từ trên xuống dưới: tấm graphene, than chì (graphite), ống nanô carbon, fullerence (quả cầu C60) 7 Hình 1.2 Mô hình mạng tinh thể graphene, gồm hai mạng con tam giác A và B giống nhau, lồng vào nhau…….………9 Hình 1.3 Các vector cơ sở và vùng Brillouin của graphene: (a)Các vector cơ sở mạng thuận a a 1, 2

, (b) các vector cơ sở mạng đảob b 1, 2

và vùng Brillouin thứ nhất 10 Hình 1.4 Mạng tinh thể graphene Mỗi nguyên tử carbon có 3 nguyên tử lân cận gần nhất và 6 nguyên tử lân cận tiếp theo 12 Hình 1.5 Mô tả cấu trúc vùng (a), phóng to cấu trúc vùng ở lân cận điểm K (b), các trạng thái giả spin (c) và mật độ trạng thái (d) 14 Hình 1.6: Cấu trúc vùng nhận được bằng phương pháp tight-binding và phương pháp ab-initio 15 Hình 1.7 Khối lượng cyclotron của điện tử trong graphene phụ thuộc vào nồng độ điện tử n 17 Hình 1.8: (a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic 20 Hình 1.9: Mô hình chui ngầm Klein 20 Hình 1.10: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và đường màu xanh lá cây ứng với bán dẫn thông thường có vùng cấm 22 Hình 1.11: Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L Đường liền nét biểu diển độ dẫn theo công thức (1.4.19), các điểm hình tròn và hình vuông là số liệu thực nghiệm tương ứng của nhóm Miao (2007) và nhóm Danneau (2008) 25

Hình 1.12: Hiệu ứng Hall lượng tử cho (a) hệ bán dẫn hai chiều thông thường, (b) graphene đơn lớp, (c) graphene hai lớp, (d) graphene đơn lớp ở nhiệt độ T=

4K,B=14T 26 Hình 1.13: Hiệu ứng Hall lượng tử của graphene ở nhiệt độ T=300K,B=29T 28 Hình 3.1 : DOS theo năng lượng với nồng độ tạp khác nhau, V = 2t, d = −t/16 47 Hình 3.2: Hình phóng to hình 3.1 trong khoảng năng lượng 48 Hình 3.3: Hệ số khuếch tán theo thời gian với E=-0.73eV Thời gian được tính theo đơn vị e 49 Hình 3.4: Hệ số khuếch tán theo thời gian với E=0.27eV Thời gian được tính theo đơn vị

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Công nghệ bán dẫn với transistor truyền thống đã phát triển hết sức mạnh mẽ suốt từ thập kỷ 50 Tuy nhiên mật độ transistor sẽ đạt đến giới hạn mà tại đó các nguyên lý hoạt động của transistor cổ điển không còn đúng nữa, đó là vấn đề mà các nhà vật lý và công nghệ quan tâm khi tiếp tục giảm kích thước.Thúc đẩy về khoa học kỹ thuật khai sinh ra khoa học nano và công nghệ nano Công nghệ nano đặt ra các yêu cầu mới cho vật liệu Việc tìm kiếm vật liệu mới làm cơ sở cho linh kiện nano đóng vai trò then chốt trong cuộc các mạng công nghệ hiện đại Trong quá trình nghiên cứu các nhà khoa học hy vọng rằng chính Carbon, với những tính chất độc đáo sẽ giúp giải quyết vấn đề này Có thể trong tương lai, Carbon sẽ thay thế Silic, và công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng công nghệ nano trên nguyên tắc hoàn toàn mới Các cấu trúc nano hiện dựa trên ống nano Carbon và Graphene đang thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà khoa học Graphene không đơn giản là vật liệu carbon mà nó còn mở đầu cho cuộc cách mạng nghiên cứu tinh thể hai chiều

Graphene có cấu trúc siêu mỏng, chỉ gồm một lớp các nguyên tử Carbon, nó

có những tính chất vật lý mới lạ so với vật liệu bán dẫn truyền thống: bền vững, dẫn điện và dẫn nhiệt rất tốt Các tính chất này có nguyền gốc từ hệ thức tán sắc tuyến tính rất đặc trưng xung quanh điểm Dirac trong cấu trúc vùng năng lượng của Graphene Graphene được kỳ vọng là loại vật liệu lý tưởng để thay thế cho các vật liệu bán dẫn truyền thống trong các linh kiện điện tử tốc độ cao

Tuy nhiên, Graphene cũng như vật liệu bán dẫn khác không thể tránh khỏi tâm tạp Các tâm tạp này ảnh hưởng đến tính chất của Graphene Bởi vậy chúng tôi

chọn đề tài “ Các trạng thái tạp chất trong Graphene” cho luận văn cao học này

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu về các tính chất electron của Graphene khi có các tâm tạp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Cấu trúc năng lượng của Graphene khi có pha tạp

- Xây dựng công thức tính mật độ trạng thái

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Tinh thể Graphene pha tạp

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp hàm Green hồi qui

6 Đóng góp mới

- Tìm hiểu thêm về các tính chất điện tử của Graphene pha tạp và từ đó có thể góp phần ứng dụng Graphene trong các linh kiện điện tử

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE

1.1 Giới thiệu về Graphene

Carbon là nguyên tố cơ bản của sự sống, với những tính chất độc đáo nó được

kỳ vọng là vật liệu cơ sở cho nền công nghệ mới Có thể trong tương lai, carbon sẽ thay thế silic, và công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng công nghệ nano trên nguyên tắc hoàn toàn mới Các cấu trúc nano của nguyên tố carbon như quả cầu Fullerenes C , ống nano carbon, dải nano carbon đã và đang được nghiên 60

cứu trong lĩnh vực vật lí nano

Hình 1.1 Một số dạng thù hình của carbon từ trái qua phải, từ trên xuống dưới: tấm graphene,

than chì (graphite), ống nanô carbon, fullerence (quả cầu C60)

Graphene đơn giản là một lớp đơn nguyên tử của mạng tinh thể than chì Mặc

dù vậy, năm 2004 người ta mới tạo được một lớp đơn nguyên tử như vậy trên đế 2

SiO phục vụ cho nghiên cứu [1,2] Cấu trúc của graphene chính là cơ sở của các

cấu trúc nano Carbon Từ mặt phẳng graphene ta có thể hình thành nên ống nano carbon bằng cách cuộn mặt phẳng mạng theo một chiều nào đó với một chu kỳ nào

đó, để thu được các ống nano carbon khác nhau Hoặc có thể cắt mặt graphene theo một đường nào đó, với độ rộng nào đó, để thu được các dải nano carbon

Graphene có nhiều tính chất đặc biệt thú vị so với các vật liệu thông thường: ở nhiệt độ thấp, các electron biểu hiện như những hạt tương đối tính không khối lượng, mặc dù vận tốc của nó chỉ vào khoảng 1/300 vận tốc ánh sáng Hàm sóng của electron có cấu trúc spinor hai thành phần và hướng của các spinor có liên quan đến hướng của xung lượng là nguyên nhân chính của tính chirality Đặc biệt graphene có khả năng truyền dẫn nhiệt tốt Độ linh động của electron trong Graphenecó thể đạt tới 10 cm Vs , cao hơn hẳn so với độ linh động của electron 5 2

trong Silicon (cỡ 1350cm Vs ), hay GaAs (cỡ 2 86 00cm Vs ) Bởi vậy, graphene 2

được kỳ vọng sẽ thay thế vật liệu bán dẫn thông thường trong nhiều ứng dụng, từ sản xuất bộ vi xử lý tốc độ cao đến các cảm biến hóa sinh học

1.2 Các tính chất điện tử cơ bản của Graphene

1.2.1 Cấu trúc tinh thể

Graphene là một mạng tinh thể hai chiều được tạo thành do sự liên kết giữa các nguyên tử carbon sắp xếp tại đỉnh các ô lục giác, hai đỉnh gần nhất cách nhau 1.42 Có thể xem mạng này là hai mạng con tam giác lồng vào nhau (ký hiệu là

A và B) như hình 1.2 Nguyên tố carbon có cấu hình electron 2 2 2

1 2s s 2p với bốn điện tử ở lớp ngoài cùng Ba trong bốn điện tử này hình thành các orbital lai hóa 2

sp , thực hiện các liên kết  với các nguyên tử lân cận, đảm bảo tính bền vững của mạng Điện tử cuối cùng thực hiện liên kết  không định xứ trên toàn mạng tạo thành khí điện tử hai chiều quyết định các tính chất electron của graphene [3]

Hình 1.2 Mô hình mạng tinh thể graphene, gồm hai mạng con tam giác A và B giống nhau, lồng

a  A là khoảng cách giữa hai nguyên tử carbon gần nhau nhất Từ các vector

cơ sở này ta có thể xây dựng các vector mạng đảo: 1 2 1 ,1

3

b a

Hình 1.3 Các vector cơ sở và vùng Brillouin của graphene: (a)Các vector cơ sở mạng thuận

a a 1, 2

, (b) các vector cơ sở mạng đảob b 1, 2

và vùng Brillouin thứ nhất

1.2.2 Hệ thức tán sắc tuyến tính

Cấu trúc vùng năng lượng của graphene đã được nghiên cứu chi tiết bằng

phương pháp gần đúng liên kết mạnh (tight−binding) và ab−initio Ở đây, để đơn

giản chúng tôi giới thiệu tính toán bằng phương pháp gần đúng liên kết mạnh và so

sánh kết quả nhận được với phương pháp ab−initio [4]

Hàm sóng của electron trong gần đúng liên kết mạnh được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai hàm Bloch trên hai mạng con:

     (1.1) Trong đó:

, 0

R R , 

biến đổi, ta thấy tổng có tính đối xứng đối với tất cả các vị trí khác nhau

trên mạng của chỉ số kia, kết quả là thừa số 1/N0 sẽ tự động triệt tiêu khi thực hiện

lấy tổng theo một chỉ số, do đó có thể viết lại các số hạng này dướidạng:

Hình 1.4 Mạng tinh thể graphene Mỗi nguyên tử carbon có 3 nguyên tử lân cận gần nhất và 6

nguyên tử lân cận tiếp theo

Khai triển hệ thức trên và chỉ tính đến tương tác của lân cận thứ 2 như minh họa trên hình 1.4:

Bên cạnh đó, do tính đối xứng của hai mạng thành phần nên H AA H BB, và

do tính liên hợp Hermite của toán tử Hamilton mà ta có H AB H BA*

Tọa độ của 3 lân cận thứ nhất là:

y

ak ak

t  eV là năng lượng hopping giữa hai nguyên tử lân cận gần thứ hai

(nguyên tử cùng một mạng con, AA hoặc BB)

Phương trình (1.4) được gọi là hệ thức tán sắc của electron trong cấu trúc mạng đơn lớp graphene ở gần đúng liên kết mạnh

Hình 1.5 Mô tả cấu trúc vùng (a), phóng to cấu trúc vùng ở lân cận điểm K (b), các trạng thái giả

Hình 1.6: Cấu trúc vùng nhận được bằngp hương pháp tight-binding (đường nét đứt) và phương

pháp ab-initio (đường nét liền)

Ô cơ sở của mạng graphene có hai nguyên tử carbon nên có hai điện tử tự do,

do đó vùng hóa trị hoàn toàn lấp đầy và vùng dẫn hoàn toàn trống Chúng tiếp xúc nhau ở sáu điểm của vùng Brillouin như thể hiện ở hình1.5(a), trong đó chỉ có hai

điểm K và K′ là không tương đương Trong graphene tinh khiết (chưa pha tạp), mặt

fermi nằm ở giao điểm của vùng dẫn và vùng hóa trị Như vậy, có thể kết luận graphene là một bán kim Hầu hết các tính chất điện tử quan trọng của graphene đều được xác định bởi các trạng thái điện tử có năng lượng gần mức Fermi (năng lượng

thấp) Do đó, khai triển Taylor cấu trúc vùng năng lượng (1.5) xung quanh điểm K

v  ta  m s là vận tốc fermi, hoàn toàn không phụ thuộc vào

nồng độ hạt tải (thực nghiệm đo được vF ≈ 106m/s) Ta thấy rằng, hệ thức tán sắc

(1.6) của điện tử trong graphene là tuyến tính với vector sóng mô tả trên hình 1.5(b), khác biệt hoàn toàn với hệ thức tán sắc parabol của điện tử tự do trong kim loại hay bán dẫn hai chiều Quy luật tuyến tính trong (1.6) là gần đúng tốt trong

miền |E|≤t

Các hệ quả trực tiếp nhận được từ hệ thức tán sắc tuyến tính là:

•Mật độ trạng thái trên một ô nguyên tố tính cho một phương của spin trong

C

a

A  là diện tích ô nguyên tố của mạng graphene Công thức này cho thấy mật độ trạng thái trong graphene khác biệt với mật độ trạng thái trong các vật liệu khác (khí điện tử hai chiều thông thường (ρ(E) = const) và carbon nanotube Đối với graphene thuần khiết, mật độ trạng thái bằng không tại năng lượng Fermi

•Khối lượng cyclotron phụ thuộc vào căn bậc hai của nồng độ điện tử

Phương trình mô tả các trạng thái kích thích năng lượng thấp trong graphene giống phương trình Dirac cho các fermion không khối lượng Nên các electron và lỗ trống trong graphene được gọi là các fermion Dirac, và điểm giao nhau của các hình nón tại mức fermi được gọi là các điểm Dirac

Hình 1.7 Khối lượng cyclotron của điện tử trong graphene phụ thuộc vào nồng độ điện tử n (các

đường vòng tròn là các giá trị thực nghiệm)

1.2.3 Chirality

Trong giới hạn liên tục và gần đúng khối lượng hiệu dụng, Hamiltonian cho

electron trong graphene ở lân cận điểm K và K′

spinor hai thành phần, với điểm K (hình 1.5(c))

k k

i

e k

k k

i

e k

Tuy nhiên cần lưu ý:  x, y

không phải đặc trưng cho spin thật mà nó chỉ xuất hiện một cách đơn thuần khi tính đến sự đóng góp của cả hai mạng con, nên được gọi là giả spin (pseudospins) Hai thành phần trên và dưới của hàm sóng liên quan đến biên độ xác suất tìm thấy hạt ở một trong hai mạng con tương ứng, do đó hàm sóng (1.10) và (1.11) được gọi là các giả spinor (pseudospinor)

Một đặc trưng thú vị của graphene đó là hướng của các giả spin có liên quan tới xung lượng của hạt (Hình1.5(c)) Điều này có nghĩa là hàm sóng của các electron trong graphene ở lân cận điểm Dirac có tính chirality hay helicity (tính chất cho biết hình chiếu của toán tử spin dọc theo hướng của xung lượng ) Toán tử đặc trưng cho tính chất này là toán tử helicity

Do đó, toán tử ˆh chỉ có hai trị riêng là ±1, điều này có nghĩa: trong các trạng thái

riêng của năng lượng ở lân cận điểm Dirac, giả spin thì song song hoặc đối song với với xung lượng Ở lân cận điểm K, electron có helicity dương và lỗ trống có helicity

âm, dấu helicity ngược lại khi electron ở gần K’ Tính chất này thể hiện tính đối

xứng giữa electron và lỗ trống tương tự như đối xứng liên hợp điện tích trong điện động lực học lượng tử

Bản chất chirality của electron trong graphene là nguồn gốc cho hàng loạt các hiện tượng thú vị thể hiện sự khác biệt so với các electron trong vật liệu thông thường Ở đây, chúng tôi xin nêu ra hai hiện tượng đặc trưng nhất của tính chirality

là chui ngầm Klein và hiệu ứng Hall lượng tử trong graphene

1.2.4 Truyền dẫn ballistic

Trong các hệ nano, quãng đường tự do trung bình l (quãng đường trung bình e

electron di chuyển được mà momentum của nó chưa bị thay đổi) là một tham số rất

quan trọng Khi kích thước của hệ L nhỏ hơn le, electron có thể chuyển động hết

chiều dài của hệ mà mômen động lượng của nó vẫn giữ nguyên Chuyển động như vậy được gọi là truyền dẫn ballistic (Hình1.7(b)), ngược lại được gọi là truyền dẫn khuếch tán (Hình1.7(a)) Với graphene, l có thể rất lớn (cỡ e 1 m  ) nên cơ chế ballistic đóng vai trò quan trọng [5]

1.2.4.1 Chui ngầm Klein

Chui ngầm là hiện tượng electron chuyển động vào miền có bờ thế rất cao (so với năng lượng của electron), mà theo quan niệm cơ học cổ điển lẽ ra phải là miền cấm đối với electron Trong cơ học lượng tử, chui ngầm lượng tử là quá trình mà hàm sóng của hạt không tương đối tính có thể lọt vào vùng cấm cổ điển với xác suất

truyền qua giảm theo hàm e mũ theo chiều cao và độ rộng của bờ thế Với bờ thế có

chiều cao hữu hạn, xác suất truyền qua nhỏ hơn một, bờ thế có chiều cao vô cùng thì xác suất truyền qua bằng không

Hình 1.8: (a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic.

Chui ngầm Klein: Đối với hạt Dirac, xác suất truyền qua phụ thuộc vào góc tới Trường hợp góc tới (xung lượng ngang bằng 0) thì xác suất truyền qua luôn bằng 1 kể cả khi bờ thế có chiều cao vô cùng Điều này có thể giải thích dựa trên tính chất của phương trình Dirac là phương trình nhận cả trạng thái năng lượng

âm (electron) và trạng thái năng lượng dương (lỗ trống) Do đó, với một bờ thế thì trạng thái bên ngoài bờ thế (electron) và trạng thái bên trong bờ thế (lỗ trống) được nối với nhau (Hình1.9a)

Hình 1.9: Mô hình chui ngầm Klein: electron chuyển động ở vùng dẫn đến gặp bờ thế có chiều cao

0

V và chuyển thành lỗ trống khi đi vào vùng hóa trị

Trường hợp góc tới :

Nếu bờ thế dạng bậc thang, xác suất truyền qua có dạng

  2cos

Từ các công thức (1.13), (1.14) ta nhận thấy rằng khi góc tới bờ thế  0 thì xác suất chui ngầm của electron luôn bằng một, không phụ thuộc vào độ cao, độ rộng cũng như hình dạng bờ thế Kết quả này có được là do tính chất chirality trong graphene Trên (Hình 1.9b) mô tả chui ngầm của điện tử có xung lượng ngang bằng không trong graphene qua bờ thế có độ cao V0, độ rộng là D Hình vẽ mô tả phổ năng lượng, màu xanh và màu đỏ của các nhánh năng lượng tương ứng với hai trạng thái giả spin cho hai mạng con A và B Một electron với giả spin , xung lượng k

đang ở nhánh màu đỏ, chuyển động tới gặp bờ thế, năng lượng tới E của electron (đường chấm chấm) nằm trong vùng dẫn khi ở ngoài bờ thế và vùng hóa trị khi bên trong bờ thế Do tính chất chirality của hàm sóng, trạng thái electron , k

khi vào bờ thế chuyển thành trạng thái lỗ trống , k

, cùng ở nhánh màu đỏ (không thể chuyển sang trạng thái ở nhánh màu xanh vì trạng thái này yêu cầu giả spin phải đổi hướng) Sự liên tục về trạng thái giả spin dẫn tới xác suất truyền qua

bờ thế của electron luôn bằng một mà không phụ thuộc vào độ cao, độ rộng cũng như hình dạng bờ thế [6]

Hình 1.10: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và đường màu xanh lá cây ứng với

bán dẫn thông thường có vùng cấm

Chui ngầm Klein trong graphene do tính chirality của hàm sóng ở lân cận điểm Dirac, được kiểm chứng thông qua so sánh chui ngầm Klein của ba mẫu (Hình1.10): mẫu một là graphene đơn lớp xác suất chui ngầm luôn bằng 1; mẫu hai

là graphene hai lớp, xác suất này giảm theo hàm mũ với độ rộng của bờ thế; và mẫu

ba là bán dẫn thường không có vùng cấm, truyền qua hoàn toàn chỉ trong trường hợp có cộng hưởng (chui ngầm cộng hưởng) Sự khác biệt của 3 vật liệu này ở chỗ: graphene đơn lớp có tính chirality, không có vùng cấm trong phổ năng lượng; graphene hai lớp có tính chirality, có xuất hiện vùng cấm; cuối cùng là bán dẫn thường không có vùng cấm và không có tính chirality Tính chirality giữa graphene đơn lớp và hai lớp cũng khác nhau và có sự khác nhau về giả spin trong hai mẫu

tương tự như sự khác nhau giữa hạt spin 1

2 và 1, do đó trong graphene đơn lớp có hai mạng con, còn graphene hai lớp có bốn mạng con

Chui ngầm Klein là một trong những hiện tượng quan trọng trong điện động

lực học lượng tử, tuy đã được nghiên cứu lý thuyết khá lâu nhưng vẫn chưa có khả

năng kiểm chứng Do đó, sự phát hiện chui ngầm Klein trong graphene có một ý

nghĩa quan trọng, mở ra một hướng mới cho việc nghiên cứu các hiện tượng vật lý

trong lý thuyết trường lượng tử mà không cần đến máy gia tốc cỡ lớn để gia tốc cho

electron có được vận tốc tương đối tính

1.2.4.2 Giới hạn độ dẫn lượng tử

Do chui ngầm Klein nên việc giam cầm electron trong graphene gặp khó khăn

Vì thế, chúng ta quan tâm đến độ dẫn suất giới hạn lượng tử tổng quát Ở đây, chỉ

xét trường hợp không có tương tác giữa các electron ở nhiệt độ 0K và không có mất

trật tự (nghĩa là xét quá trình truyền dẫn qua vùng này là ballistic), khi đó mẫu đo có

độ dẫn suất ballistic Đối với kim loại thông thường theo quan niệm bán cổ điển

trong trường hợp không có tán xạ sẽ không có gì cản trở chuyển động của electron

và độ dẫn điện là vô hạn Nếu mật độ hạt tải bằng không thì độ dẫn bằng không

Nhưng đối với graphene thì không phải như vậy, nếu xét mô hình chuyển tiếp

n-p-n trong graphene, ta điều chỉnh điện áp đặt vào vùng giữa để thay đổi vị trí của

mức Fermi tương đối so với điểm Dirac khi đó vùng dẫn loại p được điều chỉnh để

trở thành vùng dẫn loại n’ (nghĩa là n-n’-n) Nghiên cứu về chui ngầm Klein cho cả

2 chuyển tiếp này đều có hệ số truyền qua hữu hạn

Bằng cách sử dụng phương trình tựa Dirac cho điện tử trong graphene ta đi

tìm độ dẫn suất giới hạn lượng tử của graphene tại điểm Dirac [5]

Với V(x<0)=V(x>L)=V; V(x)=Vg với 0<x<L ta sẽ tìm xác suất truyền qua

và độ dẫn ballistic tương ứng Với trường hợp Vg= ∞ và tại điểm Dirac V   g ε 0 thì xác suất truyền qua sẽ là:

 

21cosh

tuân theo hệ thức tán sắc parabol với một giá trị q xác định thì n ~ 1

g

T

V Trong công thức trên thì vector sóng q được xác định từ điều kiện biên n

W cosh

2 W

s v

n n

n

g g e L

2 min

4e h





 (1.20)

Hình 1.11: Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L Đường liền nét biểu diển độ dẫn theo công thức (1.4.19), các điểm hình tròn và hình vuông là số liệu thực nghiệm tương ứng của nhóm

1.2.5 Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường

Đây là một trong những hiện tượng quan trọng, xuất phát từ bản chất Dirac của các kích thích năng lượng thấp của fermion không khối lượng trong graphene Khi có một từ trường vuông góc với mẫu đo, electron và lỗ trống bị cầm tù trong một mặt phẳng buộc phải chuyển động trên các quỹ đạo cyclotron kín Sự lượng tử hóa các quỹ đạo cyclotron dẫn đến sự lượng tử hóa các mức năng lượng (mức Landau) Mỗi mức Landau có N BA0 trạng thái suy biến (A là diện tích mẫu đo, 0 là thông lượng từ lượng tử) và hiệu ứng Hall xảy ra khi N có giá trị so

sánh được với tổng số giả hạt có trong hệ Khi đó, các bình nguyên trong đồ thị của điện dẫn suất ngang  cho phép đo nồng độ electron Tại đó các mức Landau xyđược lấp đầy, tương ứng với các bình nguyên này là vị trí cực tiểu (bằng không) của điện trở suất dọc xx Trong hiệu ứng Hall lượng tử nguyên thông thường (Integer quantum Halteffect) ở nhiệt độ thấp, độ dẫn xuất là các số nguyên lần của 2

4e

h (Hình1.12(a)) Tuy nhiên trong graphene, hiệu ứng Hall lượng tử có điểm khác:

các bình nguyên của xy nằm ở các giá trị bán nguyên lần