Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài.
Trang 1Trường THCS P Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd
và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d
Bài 3: (1,5điểm) Cho 1 +1+1 =0
c b
Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên Chứng minh rằng:
M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 5: (2,5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm nằm giữa B và C Từ M kẻ MD
song song AB (D ∈ AC), kẻ ME song song AC ((E ∈ AB)
a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất
b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); ·ABC = 600
Hết
-Trường THCS P Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd
và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d
Bài 3: (1,5điểm) Cho 1 +1+1 =0
c b
Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên Chứng minh rằng:
M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 5: (2,5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm nằm giữa B và C Từ M kẻ MD
song song AB (D ∈ AC), kẻ ME song song AC ((E ∈ AB)
a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất
b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); ·ABC = 600
Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG VÒNG II
NĂM HỌC 2013 – 2014
Bài 1: (2,0điểm) x5 + x – 1 = x5 + x2 – x2 + x – 1 (0,5 đ)
= x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) (0,5 đ) = x2(x+ 1) (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) (0,25 đ) = (x2 – x + 1) [x2(x+ 1) – 1] (0,5 đ) = (x2 – x + 1) (x3 + x2 – 1) (0,25 đ)
Bài 2: (2,0điểm) a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd
⇔ a4 – 2a2 b2 + b4 + c4 – 2c2 d2 + d4 + 2a2 b2 – 4abcd +2c2 d2 = 0 (0,5 đ) ⇔ (a2 – b2)2 + (c2 – d2)2 +2(ab – cd)2 = 0 (0,5 đ)
⇔
ab cd
=
=
=
(0,5 đ)
Do a, b, c, d > 0 nên a = b = c = d (0,5 đ)
Bài 3: (1,5điểm)
Ta có: M =
c
b a b
a c a
c
b+ + + + +
+ + +
+ + +
+ +
c
b a b
a c a
c b
(0,5 đ)
c
c b a b
c b a a
c b a
(0,5 đ)
+ +
c b a c b
a (0,25 đ)
M = –3 (0,25 đ)
Bài 4: (2,0điểm)
M = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2 (0,5 đ) Đặt x2 + xy + xz = a (0,5 đ)
M = 4a(a + yz) + y2z2 (0,5 đ)
M = 4a2 + 4ayz + (yz)2 (0,25 đ)
M = (2a + yz)2 là số chính phương (0,25 đ)
Trang 3
Bài 5: (2,5điểm)
a) Tứ giác ADME có:
AE // DM ( AB //DM) ; AD // EM ( AC // EM) và µA = 900 (gt)
⇒ tứ giác ADME là hình chữ nhật (0,5 đ)
⇒ DE = AM (t/c hình chữ nhật) (0,25 đ)
⇒ DE ngắn nhất ⇔ AM ngắn nhất Mà AM ngắn nhất khi AM ⊥ BC tức là AM là đường cao ∆ ABC (0,25 đ) Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC (0,25 đ) b) Xét ∆ ABM vuông tại M có ·ABM = 600
⇒ ∆ ABM là nửa tam giác đều có cạnh AB (0,25 đ)
⇒ BM = AB= 4
2 2 = 2(cm)
⇒ AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (đl pythagore) (0,5 đ)
⇒ AM = 12 cm
Vậy AM ngắn nhất bằng 12 cm ⇒ DE ngắn nhất bằng 12cm (0,5 đ)
Hết
-Ghi chú: Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của bài.
Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài.
E
D
B
A