Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài..[r]
Trang 1Trường THCS P Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd
và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d
Bài 3: (1,5điểm) Cho
1
a+
1
b+
1
c=0 Tính giá trị biểu thức M =
b + c c a a b
Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên Chứng minh rằng:
M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 5: (2,5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm nằm giữa B và C Từ M kẻ MD
song song AB (D AC), kẻ ME song song AC ((E AB)
a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất
b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); ABC= 600
Hết
-Trường THCS P Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd
và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d
Bài 3: (1,5điểm) Cho
1
a+
1
b+
1
c=0 Tính giá trị biểu thức M =
b + c c a a b
Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên Chứng minh rằng:
M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 5: (2,5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm nằm giữa B và C Từ M kẻ MD
song song AB (D AC), kẻ ME song song AC ((E AB)
a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất
b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); ABC= 600
Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG VÒNG II
NĂM HỌC 2013 – 2014
Bài 1: (2,0điểm) x5 + x – 1 = x5 + x2 – x2 + x – 1 (0,5 đ)
= x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) (0,5 đ) = x2(x+ 1) (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) (0,25 đ) = (x2 – x + 1) [x2(x+ 1) – 1] (0,5 đ) = (x2 – x + 1) (x3 + x2 – 1) (0,25 đ)
Bài 2: (2,0điểm) a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd
a4 – 2a2 b2 + b4 + c4 – 2c2 d2 + d4 + 2a2 b2 – 4abcd +2c2 d2 = 0 (0,5 đ) (a2 – b2)2 + (c2 – d2)2 +2(ab – cd)2 = 0 (0,5 đ)
2 2
2 2
a b
c d
ab cd
(0,5 đ)
Do a, b, c, d > 0 nên a = b = c = d (0,5 đ)
Bài 3: (1,5điểm)
Ta có: M = b+c a +c +a
b +
a+b c
M = (b+c a +1)+(c+a b +1)+(a+b c +1)−3 (0,5 đ)
M = a+b+c a +a+b+c
a+b+c
c −3 (0,5 đ)
M = (a+b +c )(1a+
1
b+
1
c)−3 (0,25 đ)
M = –3 (0,25 đ)
Bài 4: (2,0điểm)
M = 4x(x +y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
M = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2 (0,5 đ) Đặt x2 + xy + xz = a (0,5 đ)
M = 4a(a + yz) + y2z2 (0,5 đ)
M = 4a2 + 4ayz + (yz)2 (0,25 đ)
M = (2a + yz)2 là số chính phương (0,25 đ)
Trang 3
Bài 5: (2,5điểm)
a) Tứ giác ADME có:
AE // DM ( AB //DM) ; AD // EM ( AC // EM) và A = 900 (gt)
⇒ tứ giác ADME là hình chữ nhật (0,5 đ)
⇒ DE = AM (t/c hình chữ nhật) (0,25 đ)
DE ngắn nhất AM ngắn nhất Mà AM ngắn nhất khi AM BC tức là AM là đường cao ∆ ABC (0,25 đ) Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC (0,25 đ) b) Xét ∆ ABM vuông tại M có ABM = 600
⇒ ∆ ABM là nửa tam giác đều có cạnh AB (0,25 đ)
⇒
BM =
AB 4
=
2 2 = 2(cm)
⇒ AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (đl pythagore) (0,5 đ)
⇒ AM = √12 cm
Vậy AM ngắn nhất bằng √12 cm ⇒ DE ngắn nhất bằng √12 cm (0,5 đ)
Hết
-Ghi chú: Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của bài.
Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài.
E
D
B
A