KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TRƯỜNG LẦN 1 NĂM HỌC 20172018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Tìm các giá trị của m để hàm số 1 có hai cực trị đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy A

TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TRƯỜNG LẦN 1

NĂM HỌC 2017-2018

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2.0 điểm).

a) Giải phương trình:  2

sin 2 os2 3 2 sin 2

1

s in os

x c x

b) Một hộp đựng 16 viên bi, trong đó có 5 viên bi màu đỏ đôi một khác nhau, 5 viên bi màu xanh đôi một khác nhau và 6 viên bi màu vàng đôi một khác nhau Lấy ngẫu nhiên từ hộp đã cho

7 viên bi Tính xác suất để lấy được 7 viên bi có đủ 3 loại màu

Câu 2 (2.0 điểm).

a)Cho hàm số

1 ( 1) (2 1) (3 2) 3

y m x  m x  m x m

Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4

b)Cho hàm số y  x3 3mx2m(1) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có hai cực trị đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

Câu 3 (2.0 điểm).

a)Chứng minh đẳng thức sau:

 0  2 1  2 2  2 3 2  2017 2 20182 1009

b) Cho hàm số

3 2

3

x

y  x  x

có đồ thị là ( )C Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị ( ) C ,

hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Câu 4 (1.0 điểm).

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a , mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

Câu 5 (1.0 điểm)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB CD, lần lượt tại I J, Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC Hãy xác định các giao điểm K L, của SB SD, với HIJ và chứng minh rằng AK SBC

Câu 6 (1.0 điểm)

Xét khối tứ diện ABCD có cạnh và các cạnh còn lại đều bằng Tìm để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Câu 7 (1.0 điểm) Cho a, b, c, là các số thực dương.Chứng minh rằng:

Hết

- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….; Số báo danh:………

TRƯỜNG THPT ĐỒNG

ĐẬU

(Hướng dẫn chấm gồm 06

trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TRƯỜNG LẦN 1

NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài thí sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

II ĐÁP ÁN:

Câu 1.a (1.0 điểm) Giải phương trình:  2

sin 2 os2 3 2 sin 2

1 sin os

x c x

Điều kiện xác định: sinx c x os �0 x 4 k k Z,

 



۹ �

0.25

Khi đó phương trình (1) tương đương

sin 2x c os2x3 2 sinx  2 1 sin 2x

2

2.sin x3 2 s inx 4 0

�

sin 2 2 (vô nghiêm)

2 sin

2

x x

� 

�

� �  

�

0,5

Với

2

x  � x 

2 , 4

5

2 , 4

�    �

�

� �

�

Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình đã cho có nghiêm:

5

2 , 4

x  k  k Z�

0.25

Câu 1.b (1.0 điểm) Một hộp đựng 16 viên bi, trong đó có 5 viên bi màu đỏ đôi một khác nhau, 5

viên bi màu xanh đôi một khác nhau và 6 viên bi màu vàng đôi một khác nhau Lấy ngẫu nhiên từ hộp đã cho 7 viên bi Tính xác suất để lấy được 7 viên bi có đủ 3 loại màu

Ký hiệu Ω là không gian mẫu Số cách lấy ra 7 viên bi từ 16 viên bi là: n( )  C167

Gọi A là biến cố “ lấy ra được 7 viên bi có đủ 3 loại màu” suy ra A là biến cố “ lấy

ra được 7 viên bi không có đủ 3 loại màu”

0,25

Các khả năng thuận lợi cho biến cố A là:

Khả năng 1 lấy ra 7 viên bi từ 2 loại bi đỏ và bi xanh là: C107

Khả năng 2 lấy ra 7 viên bi từ 2 loại bi anhx và bi vàng là: C117

Khả năng 3 lấy ra 7 viên bi từ 2 loại bi đỏ và bi vàng là: C117

Suy ra n A( )C107 C117 C117 �n A( )C167 (C107 2C117)

0,5

Do đó xác suất lấy ra được 7 viên bi có đủ 3 màu là:

( ) 41 ( )

( ) 44

n A

P A

n

0,25

Câu 2.a (1.0 điểm) Cho hàm số

1 ( 1) (2 1) (3 2) 3

y m x  m x  m x m

Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4

Tập xác định của hàm số: D R

Ta có: y' ( m1)x22(2m1)x(3m2)

Hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4 khi và chỉ khi

' 0

y � trên đoạn có độ dài bằng 4

0,25

'

y

� có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1x2 4 0,25

2

1

1 0

4 2 '

4 1

m m

m

�

� �

�  �    

� 

0,25

2 2

6

3 7 1 0

m



�

  

�

Vậy với

7 61 7 61

;

m � �   � �

� thì thỏa mãn ycbt

0,25

Câu 2.b (1.0 điểm) Cho hàm số y  x3 3mx2m Tìm các giá trị của m để hàm số có hai cực trị đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

Tập xác định của hàm số: D R

Ta có: y' 3x26mx

2

x



�

 �   � ��

0,25

Để hàm số có hai điểm cực trị thì m�0 , khi đó đồ thị của hàm số có hai điểm cực

trị là: A(0,m), B m m(2 ; 4 3m)

0,25

Ta có AB 4m216m6 2m 1 4 m4

Đường thẳng AB có phương trình:

2 3

0

m x y m m

4

m

d O AB

m





0,25

Hai điểm A, B tạo với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 nên

ta có:

1

2

OAB

1

m

�

 �m � 2( / )t m

Vậy với m�2;2 thì thỏa mãn ycbt

0,25

Câu 3.a (1.0 điểm) Chứng minh đẳng thức sau:

 0  2 1  2 2  2 3 2  2017 2 20182 1009

Xét đẳng thức  2018  2018  22018

+) Ta có  2018 2018  

2018 0

k



suy ra hệ số của số hạng chứa x2018 là C10092018 0,25

+) Ta có  2018  2018 2018   2018

suy ra hệ số của số hạng chứa x2018 là

2018o 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018

C C C C C C C C  C C C C

 0  2 1  2 2  2 3 2  2017 2 20182

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh

0,5

Câu 3.b (1.0 điểm) Cho hàm số

3 2

3

x

y  x  x

có đồ thị ( )C Trong tất cả các tiếp tuyến với

đồ thị ( )C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Hàm số đã cho có y' x24x 1

Gọi M x y là điểm bất kỳ thuộc đồ thị (C),  0; 0 0 03 02 0

1

3

y  x  x  x

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M x y có hệ số góc:  0; 0   2

k  y' x  x  x 

0.25  2

x

   �

Vậy k đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x0  2 0.25

Khi đó

7 2

3

M��; ��

� � và tiếp tuyến cần tìm có phương trình:

11

3

Câu 4 (1.0 điểm) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với

AB=AC=a , mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc .Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

60 0

120 0

a

a

C

B

A

B'

M

Gọi M là trung điểm của B’C’

Vì tam giác A’B’C’ cân tại A’ A’MB’C’ (1)

+ Do hai hình chữ nhật ABB’A’ và ACC’A’ bằng nhau nên

 (2)

0.25

Mà ,

Do đó từ (1) và (2)  góc giữa (AB’C’) và mặt đáy (A’B’C’) là góc (vì

+ Xét tam giác A’B’C’ cân tại A’ có

 

0.25

+ Do 

 AA’M vuông tại A’ 



0.25

Diện tích tam giácABC là :

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABCA’B’C’ là:

(đvtt)

0.25

Câu 5 (1.0 điểm)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB CD, lần lượt tại I J,

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC Hãy xác định các giao điểm K L, của SB SD, với HIJ và chứng minh rằng AK SBC

Trong (SBC) gọi K=SB IH� �K=SB�(HIJ)

Trong (SCD) gọi L=SD JH� � =L SD�(HIJ)

0,5

Ta có

( )

� ^

�

�

� ^

� , mà AH ^SC Suy ra SC^(IJH). 0,25

Suy ra AK^SC Mà BC^(SAB)�BC^AK.Vậy AK ^(SBC). 0,25

Câu 6 (1.0 điểm)

Xét khối tứ diện ABCD có cạnh và các cạnh còn lại đều bằng Tìm để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

S

K

D C

B I

A

H L

J

A

C

B M

o

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆ABC

R OA OB OC  

� , mà DA DB DC  (gt)

 DO(ABC)�DOOC

+ Gọi M là trung điểm của AB

CM AB

� (vì CA CB 2 3)

0,25

Theo Pitago:

2



2

48

2

x

(với 0 x 4 3)



ABC

Mà

4

ABC

AB AC BC

S

R



.2 3.2 3 12 48 48 4

4

x R

0,25

+ Khi đó theo Pitago:

2 2

12 12(36 ) 12

48 48

x

x x







12(36 ) 2 3 36

DO

  (với 0  )x 6 + Thể tích của khối tứ diện ABCD là:

2 2

x



0,25

Với 0  theo BĐT Cauchy có:x 6

2



3 18 3 2 6

0,25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2

36

x

 

�

  ��  � �  Vậy với x3 2 thì thể tích khối tứ diện ABCD có diện tích lớn nhất.

Câu 7 (1.0 điểm) Cho a, b, c, là các số thực dương.Chứng minh rằng:

Trong không gian dựng hình chóp S.ABC có

SA=a, SB=b, SC=c và

0,25 Trong tam giác SAB theo định lý cosin ta có:

Trong tam giác ABC ta có bất đẳng thức: