Bất đẳng thức về GTNN và GTLN

Trang 1

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN

1)Cho x, y, z 0 ≥ và x2 + y2 + z2 = 3 Chứng minh:

3 2 2

GIẢI

Ta có: VT + 3 =

0.25

VT

+

1

4 2

+

1

4 2

+

0.25

6

0.25

6 3

2 2

( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1)

2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).

GIẢI

Ta có xy yz xz 2xyz 1 1 1 2

x y z

+ + ≥ ⇔ + + ≥ nên

Tương tự ta có 1 1 1 1 1 x 1 z 1 2 (x 1)(z 1) (2)

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được ( 1)( 1)( 1) 1

8

x− y− z− ≤

Trang 2

8⇔ = = =x y z 2

3 Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2(x2+y2) =xy+1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

x y P

xy

+

= + .

G

5

xy+ = x y+ − xy ≥ − xy⇒xy≥ −

3

xy+ = x y− + xy ≥ xy⇒xy≤ ĐK: 1 1

− ≤ ≤

2

x y x y t t P

2 2

7

'

2 2 1

t t P

t

− −

=

+ , ' 0P = ⇔ =t 0( ),th t= −1(kth)

P− =P =

 ÷  ÷

    và ( )0 1

4

P =

KL: GTLN là 1

4 và GTNN là

2

15( HSLT trên đoạn

1 1

;

5 3

−

 )

4)Với mọi số thực dương ; ;x y z thỏa điều kiện x y z+ + ≤1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: P x y z 2 1 1 1

x y z

= + + +  + + ÷

 

G

Áp dụng BĐT Cô-si : 18x 2 12

x

+ ≥ (1) Dấu bằng xãy ra khi 1

3

x= Tương tự: 18y 2 12

y

+ ≥ (2) và 18z 2 12

z

+ ≥ (3)

Mà: −17(x y z+ + ≥ −) 17 (4) Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: P≥19

1 19

3

P= ⇔ = = =x y z KL: GTNN của P là 19

2

ab bc ca a b c

a b b c c a+ + + + + ≥ + + + + + với mọi số dương ; ;a b c

G

Ta có:

2 2

a b= −a b≥ − ab = −

Tương tự: 2 1

2

b

b bc

b c ≥ −

2

c

c ca

c a ≥ −

2

ab bc ca a b c

a b b c c a+ + + + + ≥ + +

Trang 3

6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

x y z+ + = CMR:

1

2 x y z x + + + + 2 y z x y + + + + 2 z≤

+Ta có : 2 1 14 2.( 1 1 )

x y z + + ≤ x y z+ + ;

x + y z + ≤ y x z+ + ;

2 4 2 ( )

x y + + z≤ z y x+ + + Lại có : 1 1 1( 1);

x y ≤ 4 x + y

+

1 1 1( 1);

y z ≤ 4 y + z

+

1 1 1( 1);

x z ≤ 4 x + z

+ cộng các BĐT này ta được đpcm

7) Cho a, b, c 0≥ và a2+ + =b2 c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

GIẢI

3 2 2

3

1 1

c c c

b b b

a

+ + + + + + + +

2 4

1 1

2 1

2 2

4

2

2 2

b

a b

a

+

+ +

=

+

2 4

1 1

2 1

2

2 2

c

b c

+

+ + +

2 4

1 1

2 1

2

2 2

a

c a

+

6 3

6

2 16

3 2 16

≥

6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

2

+

2

3 2 2

9 2 2

3 2 2

9

≥

⇒P

Để PMin khi a = b = c = 1

8 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng :

2

GIẢI

Ta có :VT =( a b c ) ( b2 c2 a2 ) A B

b c c a a b+ + + b c c a a b+ + = +

2

3

2

A a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a A

⇒ ≥

Trang 4

1

2

a b b c c a

B B

Từ đó tacó VT 3 1 2

≥ + = = Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3

9 Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z ≤3 Chứng minh rằng:

4 625

3xy z4 + +15yz x4 +4+5zx 81y4 +4 ≥ 45 5 xyz.

GIẢI

Bất đẳng thức

⇔ 2 42

x

x + +

2

2 9

4 9

y

y + +

2

2 25

4 25

z

z + ≥ 45

VT ≥ + + 2 + + + )2 ≥

5

2 3

2 2 ( ) 5 3

(

z y x z y x

2 3

) 5 3 (

36 )

5 3 (

9

z y x z

y

Đặt t = 3 (x.3y.5z)2

3

5 3 )

5 3 (

3









 + +

≤ x y z

z y

x do đó t ≤ 1

Điều kiện 0 < t ≤1 XÐ hàm số f(t)= 9t+

t

36t 27t 2 36 t 27

Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=

3

1

; z=

5

1

10 Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1] Chứng minh rằng

GIẢI

Để ý rằng (xy+ − +1) (x y) (= −1 x) (1−y)≥0;

và tương tự ta cũng có 1

1

yz y z

zx z x

+ ≥ +



 + ≥ +



Vì vậy ta có:

Trang 5

3

1 zx+y 1

5 1

5

x y z

xy yz zx yz zx xy

x

yz zx y xy z

z y x

z y y z

≤  − − ÷+

=

11.Cho a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh

2

a

a b a c a b c a c a b

GIẢI

Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên:

a b c

b c a

c a b

+ >



 + >



 + >



a b c a

x y a z x y z x y z y z x z x y

+ = + = = > ⇒ + > + > + >

Vế trái viết lại:

2

a b a c a

VT

a c a b a b c

y z z x x y

Ta có: x y z z x y z( ) 2z x y( ) 2z z

x y z x y

+ > ⇔ + + < + ⇔ >

y z < x y z z x < x y z

2

x y z

y z z x x y x y z

+ +

a

a b a c a b c a c a b

12 Cho hai số dương x y, thỏa mãn: x y+ =5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 2

4

P xy

GIẢI

Cho hai số dương x y, thỏa mãn: x y+ =5

P

−

Trang 6

P bằng 3

2 khi x=1;y=4 Vậy Min P = 3

2

Lưu ý:

Có thể thay y= −5 x sau đó tìm giá trị bé nhất của hàm số 3 5 3 5

( )

g x

−

13 Cho x, y, z ≥0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 16

x y z P

x y z

+ +

= + +

GIẢI

Trước hết ta có: ( )3

3 3

4

x y

x y +

Đặt x + y + z = a Khi đó ( )3 3 ( )3 3 ( )

(với t = z

a, 0≤ ≤t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t∈[ ]0;1 Có

9

f t =  t − −t  f t = ⇔ = ∈t

Lập bảng biến thiên

( )

[ ] 0;1

64 inf

81

t

M t

∈

81 đạt được khi x = y = 4z > 0

14 Chứng minh: (x y z) 1 1 1 12

x y z

+ +  + + ÷≤

  với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn [ ]1;3

GIẢI

1 t 3 t 1 t 3 0 t 4t 3 0 t 4

t

≤ ≤ ↔ − − ≤ ↔ − + ≤ ↔ + ≤

Suy ra : x 3 4 ; y 3 4 ; z 3 4

Q x y z

x y z

→ = + + +  + + ÷≤

3( ) 1 1 1 6 ( ) 1 1 1 12

2

Q

+ +  + + ÷≤ ≤ → + +  + + ÷≤

15.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= −(x 1)ln x.

GIẢI

TXĐ: D=(0;+ ∞) ; y' lnx x 1

x

−

y’= 0 ↔ =x 1 ; y(1) = 0 vìy lnx x 1

x

−

Khi 0 < x < 1 → <y' 0; khi x > 1 → >y' 0

Trang 7

KL: miny = 0↔ =x 1

16 Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1] Chứng minh rằng

GIẢI

Để ý rằng (xy+ − +1) (x y) (= −1 x) (1−y)≥0;

và tương tự ta cũng có 1

1

yz y z

zx z x

+ ≥ +



 + ≥ +



Vì vậy ta có:

3

1 zx+y 1

5 1

5

x y z

xy yz zx yz zx xy

x

yz zx y xy z

z y x

z y y z

≤  − − ÷+

=

vv

17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Giải

P

Vậy GTNN là Pmin = 3

2 khi x = y = z

6 2

18 Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c+ + =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9 c

M = + + + + + + + +

GIẢI

Theo cô – si có 22+2b+2c≥3 23 a b c+ + =6 Tương tự …

Đặt ur=(2 ;3 ; 4 ,a b c) (vr= 2 ;3 ; 4 , wc a b) (uur= 2 ;3 ;4b c a)⇒M = + +ur vr wuur

w 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c

M ≥ + +u vr r uur = + + + + + + + +

Trang 8

Vậy M ≥3 29 Dấu bằng xảy ra khi a b c= = =1

19 Cho x, y, z ≥0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )

3 16

x y z P

x y z

+ +

= + +

GIẢI

Trước hết ta có: ( )3

3 3

4

x y

x y +

Đặt x + y + z = a Khi đó ( )3 3 ( )3 3 ( )

(với t = z

a, 0≤ ≤t 1)

9

f t =  t − −t  f t = ⇔ = ∈t

( )

[ ] 0;1

64 inf

81

t

M t

∈

20.Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

GIẢI

Ta có :

P

= + + + + + (*)

Nhận thấy : x 2 + y 2 – xy ≥ xy ∀ x, y ∈ ¡

Do đó : x 3 + y 3 ≥ xy(x + y) ∀ x, y > 0 hay

2 2

x y

y + x ≥ + ∀ x, y > 0 Tương tự, ta có :

2 2

y z

z + y ≥ + ∀ y, z > 0

2 2

z x

x + z ≥ + ∀ x, z > 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:

P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀ x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

3 Vì vậy, minP = 2

21 Cho x, y, z ≥0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 16

x y z P

x y z

+ +

= + + Trước hết ta có: ( )3

3 3

4

x y

x y +

Đặt x + y + z = a Khi đó ( )3 3 ( )3 3 ( )

Trang 9

(với t = z

a, 0≤ ≤t 1)

9

f t =  t − −t  f t = ⇔ = ∈t

( )

[ ] 0;1

64 inf

81

t

M t

∈

22.Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh: ( 3 3 3)

3 3 3

2

b c c a a b

a b c

* Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3 ≥ a2b + ab2 (*)

Thật vậy: (*) ⇔ (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) ≥ 0

⇔ (a + b)(a - b)2 ≥ 0 đúng

Đẳng thức xẩy ra khi a = b

* Từ (*) ⇒ a3 + b3 ≥ ab(a + b)

b3 + c3 ≥ bc(b + c)

c3 + a3 ≥ ca(c + a)

⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)

* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:

13

a + 3

1

a + 3

1

a ≥ 33

3 3 3

1 1 1

a b c =

3 abc (2)

* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm

Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c

23 Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x2 +y2 +z2 ≤ xyz Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

xy z

z zx

y

y yz

x

x P

+

+ +

xy z

z zx y

y xy

x

P

+

+ +

Vì x;y;z>0, Áp dụng BĐT Côsi ta có:

xy z

z zx

y

y yz

x

x P

2 2









+ +

=

xy zx

yz

2 2

2

4

1







 + +

≤







 + +

=







 + + + + +

≤

xyz

z y x xyz

xy zx yz y

x x z z y

2 2 2 2

1 2

1 1 1 1 1 1 1 4 1

2

1

2









≤

xyz

Trang 10

Dấu bằng xảy ra ⇔ x= y= z=3 Vậy MaxP =

2 1

24 Cho x,y ∈ R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của ( 3 3) ( 2 2)

( 1)( 1)

x y x y P

x y

=

Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có

2 4

t

xy ≤

3 2 (3 2)

1

t t xy t

P

xy t

=

− + Do 3t - 2 > 0 và

2 4

t xy

− ≥ − nên ta có 2

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

t t

P

t

−

− −

−

− +

Xét hàm số

2

4

f t f t

−

− − f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.

t

2 4 +∞

f’(t)

- 0 +

f(t)

8

Do đó min P = (2;min ( )+∞) f t = f(4) = 8 đạt được khi 4 2

25.Cho x > 0, y > 0, x y + = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

Đặt cos ;2 sin2 0;

2

⇒ ∈  ÷  khi đó

T

+

Đặt

2 1

t

2

< < ⇒ < ≤

3 1

t

− −

( )

2 2

3

1

t

−

Trang 11

Vậy min(1; 2 ( ) ( ) 2 2



2

x y = = Hay min T = 2 khi 1

2

x y = = 2

f (t) t 2t 1, t

f '(t) t 2 0 t

f (t) f ( )

= − > ∀ ≥

Vậy : min

27 Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

x y+ + +x z +3 x y x z y z+ + + ≤5 y z+ .

Giải:

Từ giả thiết ta có:

x2 + xy + xz = 3yz ⇔(x + y)(x + z) = 4yz

Đặt a = x + y và b = x + z

Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz

Mặt khác

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2

≤ 2 2 ( )2

2(a +b ) a b − +ab

2 (a b) − +2ab  a b− +ab

2 (y z) − +2yz y z− +4yz

2 (y z) + +4yz y z +

4(y z) y z+ + =2(y z)+ (1)

Ta lại có:

3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)

≤3(y + z)2 (y + z) = 3(y + z)3 (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

30 Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng

1 1 1 1

x y + y z +z x ≤

§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-ab≥ab

Trang 12

⇒ a3 + b3+1≥ (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0

a b 1 ab a b c≤

T¬ng tù ta cã

3 3

c 1 bc a b c

a 1 ca a b c

Céng theo vÕ ta cã

x y + y z +z x

+ + + + + + = 3 3

1

a + b +1+ 3 3

1

c 1

b + + + 3 3

1

a 1

c + +

≤ (a b c1 ) ab bc ca1 1 1

+ +  =(a b c1 ) (c a b+ + =) 1

+ + DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	643,5 KB