toan cao cap a1 ,toass

Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất hai loại sản phẩm.. Hãy tìm mức sản lượng các loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất... Giới hạn phải tìm bằng ?−12... Tìm mứ

ĐỀ SỐ 1, K15, THI NGÀY 24-12-2012

Câu 1

Xét tính liên tục của hàm số sau tại tại 𝑥 = 0:

𝑓 𝑥 =

ln cos2𝑥

𝑥2 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0

0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0

Câu 2

Tính các giới hạn sau:

𝑎) lim 𝑥→0

arcsin𝑥 − 𝑥

𝑥2arctan𝑥 ; 𝑏) lim𝑥→0

1 + 𝑥 1𝑥 𝑒

1 𝑥

Câu 3

Tính các tích phân sau:

𝑎) 8𝑥

3+ 16𝑥

𝑥2+ 4 2 𝑑𝑥 ; 𝑏) cos

3𝑥𝑑𝑥 sin 𝑥

3

−𝜋4

−𝜋2

Câu 4

Tính tích phân suy rộng 𝑥12sin1

𝑥

∞

2 𝜋

𝑑𝑥

Câu 5

Giải phương trình 𝑦′+ 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥2𝑦3

Câu 6

Giải phương trình sai phân 𝑥𝑛+4− 3𝑥𝑛+3+ 3𝑥𝑛+2− 3𝑥𝑛+1+ 2𝑥𝑛 = 5 ∙ 2𝑛+1

Câu 7

Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất hai loại sản phẩm Giả sử tổng chi phí kết hợp là

𝑇𝐶 = 3𝑄12+ 5𝑄22+ 7𝑄1𝑄2 Giá của các loại sản phẩm lần lượt là 230$ và 305$ Hãy tìm mức sản lượng các loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1, NGÀY 24-12-2012

Câu 1 (1 điểm)

lim

𝑥→0𝑓 𝑥 = lim

𝑥→0

ln cos2𝑥

𝑥2 = lim

𝑥→0

ln 1 − sin2𝑥

𝑥→0

− sin2𝑥

𝑥2 = −1 ≠ 𝑓 0 , nên 𝑓 gián đoạn tại 𝑥 = 0

Câu 2 (1+1 điểm)

a) lim

𝑥→0

arcsin 𝑥−𝑥

𝑥 2 arctan 𝑥 = lim

𝑥→0

arcsin 𝑥−𝑥

𝑥 3 =𝐿 lim

𝑥→0

1 1−𝑥2 −1 3𝑥 2 = lim

𝑥→0

1− 1−𝑥 2

3𝑥 2 1−𝑥 2 = lim

𝑥→0

1− 1−𝑥2 3𝑥 2 1−𝑥 2 1+ 1−𝑥 2

= lim 𝑥→0

1

3 1 − 𝑥2 1 + 1 − 𝑥2 =1

6

b) Đây là giới hạn dạng 1∞, nên lim

𝑥→0

1+𝑥 1𝑥

𝑒

1 𝑥

= lim 𝑥→0𝑒

1 𝑥 1+𝑥

1 𝑥

lim 𝑥→0

1 𝑥

1 + 𝑥 1𝑥

𝑒 − 1 = lim𝑥→0

1 + 𝑥 1𝑥𝑒−1− 1

𝑥 = lim𝑥→0

𝑒1𝑥ln 1+𝑥 −1− 1 𝑥

= lim 𝑥→0 𝑒

1

𝑥 𝑥−

𝑥2

2+𝑜 𝑥2 −1− 1

𝑒−𝑥2+

𝑜 𝑥2

𝑥 − 1

−𝑥

2 +

𝑜 𝑥2 𝑥

∙ lim 𝑥→0

−𝑥

2 +

𝑜 𝑥2 𝑥 𝑥

= 1 ∙ lim 𝑥→0

−1

2 +

𝑜 𝑥2

𝑥2 =−1

2 Giới hạn phải tìm bằng 𝑒−12

Cách khác:

lim 𝑥→0ln 1 + 𝑥

1 𝑥 𝑒

1 𝑥

= lim 𝑥→0

1 𝑥

ln 1 + 𝑥

𝑥 − 1 = lim𝑥→0

ln 1 + 𝑥 − 𝑥

𝑥2

=𝐿 lim 𝑥→0

1

1 + 𝑥 − 1 2𝑥 = lim𝑥→0

−1

2 1 + 𝑥 =

−1

2

Câu 3 (1+1 điểm)

𝑎) 8𝑥

3+ 16𝑥

𝑥2+ 4 2 𝑑𝑥 = 4𝑥

2+ 8

𝑥2+ 4 2𝑑 𝑥2+ 4 𝑡=𝑥=2+4 4𝑡 − 8 𝑑𝑡

𝑡2

= 4

𝑡−

8

𝑡2 = 4 ln 𝑡 +8

𝑡+ 𝐶 = 4 ln 𝑥

2+ 4 + 8

𝑥2+ 4+ 𝐶

𝑏) cos

3𝑥𝑑𝑥 sin 𝑥

3

−𝜋

4

−𝜋2

= 1 − sin

2𝑥 𝑑 sin 𝑥 sin 𝑥

3

−𝜋 4

−𝜋2

= 𝑡= sin 𝑥3 1 − 𝑡6 𝑑𝑡3

𝑡

−1 2

6

−1

= 3 𝑡 − 𝑡7 𝑑𝑡

−1 2

6

−1

= 3 𝑡 2

2 −

𝑡8

8 |−1

−1 2

6

= 3 1 2

3

1

2−

1

16 −

1

2−

1

8 =

21

16 23 −

9

8

Câu 4 (1 điểm)

1

𝑥2sin1 𝑥

∞

2 𝜋

𝑑𝑥 =

𝑡=1𝑥

− sin 𝑡 𝑑𝑡 0

𝜋 2

= sin 𝑡 𝑑𝑡

𝜋 2

0

= − cos𝜋

2+ cos 0 = 1

Câu 5 (1 điểm)

 Giả sử 𝑦 ≠ 0 Ta có: 𝑦′+ 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥2𝑦3⟺ 𝑦′𝑦−3+ 𝑥𝑦−2= 𝑒𝑥2

Thay 𝑧 = 𝑦−2⟹ 𝑧′ = −2𝑦′𝑦−3, ta có phương trình vi phân tuyến tính:

1

−2𝑧

′ + 𝑥𝑧 = 𝑒𝑥2 ⟺ 𝑧′− 2𝑥𝑧 = −2𝑒𝑥2 Phương trình này có nghiệm tổng quát là

𝑧 = −2𝑒𝑥2𝑒−2 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒2 𝑥𝑑𝑥 = −2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥2 = −2𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥2

Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là

𝑦2 −2𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥2− 1 = 0 (0,5 điểm)

 Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho (0,5 điểm)

Câu 6 (1,5 điểm)

 Phương trình đặc trưng

4 - 33 + 32 - 3 + 2 = 0  ( - 1)( - 2)(2

+ 1) = 0

có tập nghiệm {1; 2; 𝑖; −𝑖} (0,5 điểm)

 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là

𝑥 𝑛 = 𝐶1+ 𝐶22𝑛+ 𝐶3cos𝑛𝜋

2 + 𝐶4sin𝑛𝜋

2 (0,5 điểm)

 Một nghiệm riêng 𝑥𝑛∗ của x n+4 – 3x n+3 + 3x n+2 – 3x n+1 + 2x n = 102n

có dạng 𝑥𝑛∗ = 𝐴𝑛2𝑛 Thay vào phương trình đã cho rồi giản ước cho 2n

ta có

A[(n+4)24 – 3(n+3)23 + 3(n+3)22 – 3(n+1)2 + 2n] = 10

Cho n = 0  A = 1  𝑥𝑛∗ = 𝑛2𝑛

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

𝑥𝑛 = 𝑥 𝑛+ 𝑥𝑛∗ = 𝐶1+ 𝐶22𝑛+ 𝐶3cos𝑛𝜋

2 + 𝐶4sin𝑛𝜋

2 + 𝑛2𝑛 (0,5 điểm)

Câu 7 (1,5 điểm)

Hàm lợi nhuận của sản phẩm là

Π 𝑄1; 𝑄1 = 230𝑄1+ 305𝑄2− 3𝑄12− 5𝑄22− 7𝑄1𝑄2.(0,5 điểm)

Π𝑄′1 = 230 − 6𝑄1− 7𝑄2

Π𝑄′2 = 305 − 7𝑄1− 10𝑄2 Giải hệ:

230 − 6𝑄1− 7𝑄2= 0

305 − 7𝑄1− 10𝑄2= 0 ,

ta có 𝑄1= 15; 𝑄2= 20

Π𝑄

1

" = −6, Π𝑄

2

" = −10, Π𝑄"1𝑄2 = −7 ⟹ 𝐷 = Π𝑄

1

" Π𝑄

2

" − Π𝑄"1𝑄2 2= 11 (0,5 điểm)

𝐷 > 0, Π"𝑄 < 0 ⟹ Π đạt cực đại tại 𝑄1= 15, 𝑄2 = 20 và tại đó 𝜋 = 4775 (0,5 điểm)

ĐỀ SỐ 2, K15, THI NGÀY 24-12-2012

Câu 1

Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là 𝑃 = 600 − 2𝑄 $ và tổng chi phí là 𝐶 = 0,2𝑄2+ 28𝑄 +

200 & Tìm mức sản xuất 𝑄 để lợi nhuận tối đa, tìm mức giá 𝑃 và lợi nhuận khi đó

Nếu chính quyền đặt thuế 22 $ cho mỗi đơn vị sản phẩm thì lợi nhuận tối đa đạt được với mức giá bao nhiêu?

Câu 2

Tính các giới hạn sau:

𝑎) lim 𝑥→0

cos 𝑥𝑒𝑥 − cos 𝑥𝑒−𝑥

𝑥3 ; 𝑏) lim

𝑥→+∞ 𝑥 + 2𝑥 1𝑥

Câu 3

Tìm cực trị của hàm số

𝑧 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 2𝑦 − 𝑦2 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0)

Câu 4

Tính các tích phân sau:

𝑎) 𝑑𝑥

𝑥 𝑥2− 1; 𝑏)

𝑑𝑥

2 cos 𝑥 + 3

𝜋 2

0

Câu 5

Xét sự hội tụ và tính tích phân suy rộng sau (nếu hội tụ)

𝑑𝑥

𝑥2+ 1 2

∞

0

Câu 6

Giải phương trình 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥3𝑦3

Câu 7

Giải phương trình 𝑦𝑡+2+ 4𝑦𝑡+1+ 3𝑦𝑡 = 16

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2, NGÀY 24-12-2012

Câu 1 (1 điểm)

Hàm lợi nhuận của sản phẩm là

𝜋 𝑄 = 𝑇𝑅 − 𝐶 = 𝑃 ∙ 𝑄 − 0,2𝑄2+ 28𝑄 + 200 = −2,2𝑄2+ 572𝑄 − 200

Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 130 2+ 36980 ≤ 𝜋 130 = 36980, nên với 𝑄 = 130 ta có lợi nhuận tối đa Khi

đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 130 = 340.(0,5 điểm)

Khi tính cả thuế, ta có 𝜋 𝑄 = −2,2𝑄2+ 572𝑄 − 200 − 22𝑄 = −2,2𝑄2+ 550𝑄 − 200

Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 125 2+ 34175 ≤ 𝜋 125 = 34175, nên với 𝑄 = 125 ta có lợi nhuận tối đa Khi

đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 125 = 350.(0,5 điểm)

Câu 2 (1+1 điểm)

1) lim

𝑥→0

cos 𝑥𝑒𝑥 −cos 𝑥𝑒 −𝑥

𝑥→0

−2 sin 𝑥𝑒𝑥 +𝑒−𝑥

2 sin 𝑥𝑒𝑥 −𝑒−𝑥

2

𝑥→0

−2𝑥𝑒𝑥 +𝑒−𝑥

2 𝑥𝑒𝑥 −𝑒−𝑥

2

𝑥 3

=−1

2 lim𝑥→0

𝑒2𝑥 − 𝑒−2𝑥

−1

2 𝑥→0lim

𝑒4𝑥 − 1

𝑥 𝑥→0lim

1

𝑒2𝑥 =−4

2 = −2

2) lim

𝑥→+∞ 𝑥 + 2𝑥 1𝑥 = lim

𝑥→+∞𝑒ln 𝑥+2𝑥 𝑥 =𝐿 lim

𝑥→+∞𝑒1+2𝑥 ln 2𝑥+2𝑥 =𝐿 lim

𝑥→+∞𝑒1+2𝑥 ln 22𝑥 ln 2 2 = lim

𝑥→+∞𝑒

ln 2 2 1 2𝑥+ln 2 = 𝑒ln 2 = 2

Câu 3 (1,5 điểm)

𝑧𝑥′ = 2 − 2𝑥 2𝑦 − 𝑦2 ; 𝑧𝑥′ = 2𝑥 − 𝑥2 2 − 2𝑦 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0)

 𝑧(𝑥; 𝑦) có hai điểm dừng là 𝑀1 1; 1 ; 𝑀2 2; 2

 𝑧𝑥′′ 2 = −2 2𝑦 − 𝑦2 ; 𝑧𝑦′′ 2 = −2 2𝑥 − 𝑥2 ; 𝑧𝑥𝑦′′ = 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦

𝐷 𝑥; 𝑦 = 𝑧𝑥′′ 2𝑧𝑦′′ 2− 𝑧𝑥𝑦′′ 2= 4 2𝑥 − 𝑥2 2𝑦 − 𝑦2 − 2 − 2𝑥 2 2 − 2𝑦 2 (0,5 điểm)

 𝐷 1; 1 = 4 > 0; 𝑧𝑥′′ 2 = −2 < 0 ⟹ hàm số đạt cực đại tại 𝑀1 1; 1 ; 𝑧 1; 1 = 1 (0,5 điểm)

 𝐷 2; 2 = −16 < 0 ⟹ hàm số không đạt cực trị tại 𝑀2 2; 2 (0,5 điểm)

Câu 4 (1+1 điểm)

𝑎) 𝑑𝑥

𝑥 𝑥2− 1=

𝑥𝑑𝑥

𝑥2 𝑥2− 1 =

𝑡= 𝑥 2 −1 𝑡𝑑𝑡

𝑡2+ 1 𝑡=

𝑑𝑡

𝑡2+ 1

= arctan𝑡 + 𝐶 = arctan 𝑥2− 1 + 𝐶

2 cos 𝑥 + 3

𝜋

2

0

=

𝑡=tan𝑥 2

2

1 + 𝑡2

21 − 𝑡2

1 + 𝑡2+ 3

𝑑𝑡 1

0

= 2 𝑑𝑡

𝑡2+ 5𝑑𝑡 1

0

= 2

5arctan

𝑡

5|0

1= 2

5arctan

1

5

Câu 5 (1 điểm)

𝐼 = 𝑑𝑥

𝑥2+ 1=

𝑥

𝑥2+ 1− 𝑥𝑑

1

𝑥2+ 1=

𝑥

𝑥2+ 1+ 2

𝑥2

𝑥2+ 1 2𝑑𝑥

𝑥2+ 1+ 2

𝑥2+ 1 − 1

𝑥2+ 1 2 𝑑𝑥 = 𝑥

𝑥2+ 1+ 2𝐼 − 2

𝑑𝑥

𝑥2+ 1 2

𝑥2+ 1 2 = 𝑥

2 𝑥2+ 1 +

1

2𝐼 =

𝑥

2 𝑥2+ 1 +

1

2arctan𝑥 + 𝐶.(0,5 điểm) 𝑑𝑥

𝑥2+ 1 2

∞

0

= lim 𝑡⟶∞

𝑑𝑥

𝑥2+ 1 2 𝑡

0

= lim 𝑡⟶∞

𝑡

2 𝑡2+ 1 +

1

2arctan𝑡 = 0 +

1 2

𝜋

2=

𝜋

4.(0,5 điểm)

Cách khác:

𝑑𝑥

𝑥2+ 1 2

∞

0

=

tan2𝑡 + 1 2

𝜋 2

0

𝑑 tan 𝑡 = cos2𝑡

𝜋 2

0

𝑑𝑡

1 + cos 2𝑡 2

𝜋 2

0

𝑑𝑡 = 𝑡

2+

sin 2𝑡

4 |0

𝜋

2 =𝜋

4

Câu 6 (1 điểm)

 Giả sử 𝑦 ≠ 0 Ta có: 𝑦′+ 2𝑥𝑦 = 2𝑥3𝑦3⟺ 𝑦′𝑦−3+ 2𝑥𝑦−2= 2𝑥3

Thay 𝑧 = 𝑦−2⟹ 𝑧′ = −2𝑦′𝑦−3, ta có phương trình vi phân tuyến tính:

1

−2𝑧

′+ 2𝑥𝑧 = 2𝑥3⟺ 𝑧′− 4𝑥𝑧 = −4𝑥3 Phương trình này có nghiệm tổng quát là

𝑧 = −4𝑥3𝑒−4 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒4 𝑥𝑑𝑥 = −4𝑥3𝑒−2𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒2𝑥2

= 𝑥2𝑑𝑒−2𝑥2 + 𝐶 𝑒2𝑥2 = 𝑥2𝑒−2𝑥2 − 𝑒−2𝑥2𝑑𝑥2+ 𝐶 𝑒2𝑥2

= 𝑥2𝑒−2𝑥2 +𝑒

−2𝑥 2

2 + 𝐶 𝑒

2𝑥2 = 𝑥2+1

2+ 𝐶𝑒 2𝑥2 Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là

𝑦2 𝑥2+1

2+ 𝐶𝑒

2𝑥2 − 1 = 0 (0,5 điểm)

 Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho (0,5 điểm)

Câu 7 (1,5 điểm)

Phương trình đặc trưng 𝑘2+ 4𝑘 + 3 = 0 có các nghiệm là −1; −3

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là

𝑦 𝑡 = 𝐶1 −1 𝑡+ 𝐶2 −3 𝑡 (0,5 điểm) Một nghiệm riêng của phương trình 𝑦𝑡+2+ 4𝑦𝑡+1+ 3𝑦𝑡 = 16 có dạng 𝑦𝑡∗= 𝐴

Thay vào phương trình này, ta có: 𝐴 + 4𝐴 + 3𝐴 = 16 ⟺ 𝐴 = 2 (0,5 điểm)

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 𝑦𝑡 = 𝑦 𝑡+ 𝑦𝑡∗= 𝐶1 −1 𝑡+ 𝐶2 −3 𝑡+ 2 (0,5 điểm)