Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn tại điểm K KA.. Hạ AH vuông góc với BC.. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x.Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất..
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2016
Bài 1 (5,0 điểm).
a Tính tổng
b Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: y2x2 1 y2
Bài 2 (3,0 điểm).
Cho phương trình x2ax b 1 0 với a, b là tham số.
Tìm giá trị của a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn điều kiện:
9 3 3 3 2 1
x x x x
.
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b c a a c b a b c
Bài 4 (9,0 điểm).
1 Cho đường tròn (O) có đường kính BC =2R và điểm A thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B, C) Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn tại điểm K (KA) Hạ AH vuông góc với BC.
a) Đặt AH =x Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x.Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất.
5
AH
2 Một đường thẳng d thay đổi cắt hai cạnh Ox, Oy của một góc nhọn xOy lần lượt
thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
(Bản hướng dẫn này có 03 trang)
m
1a
2,5
Ta thấy :
2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 1
1
1
a
a a
1,5
Từ đó suy ra
2014
2 2016 2014.2016 1008 1 4061231
0,5
0,5
1b
2,5 Ta có:
( y 2) x 1 y ( y 2) x y 1 (1)
Ta thấy y=2 không phải là nghiệm pt (1) nên y 2 khi đó ta có:
pt
2
1 2
y y
x
y y
1,0
Do 2 ( 2 1 ) ( 2 )
) 2 ( ) 1
2
( y y mà
5 1 3
1 )
2 ( 3 ) 2 ( ) 4 2 (
y y y
y y
y
1,0
Từ đó ta có các cặp nghiệm cần tìm là :
1
; 0
1
; 0
y x
y x
0,5
2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 a2 4(b1) 0 (*) 0,5 Khi đó theo định lý Vi-et, ta có 1 2
1 2 1
Bài toán yêu cầu
9 3 3 3 2 1
x x x x
1 2
3
2 3 2
1
2 1
x
x
x x
(2)
1,0
Từ hệ (2) ta có: 2 2 2
1 2 1 2 4 1 2 3 4( 2) 1
Kết hợp với (1) được
2 1
1 2
a b
1, 3
1, 3
Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm 0,5
3 Đặt: b c a 2 ; x c a b 2 ; y a b c 2z
Trang 3Bài Nội dung Điể
m
Vì trong tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại nên x, y, z >0
và a y z b z x c x y; ;
0,5
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương, ta có :
26
P
P
0,5 1,0 0,5
Dấu “=” xảy ra 3;
2
y x
x
4 3
z
y Hay: 6x4y3z
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 26, đạt được khi 6x4y3z 0,5
4.1
2,0
x O B
A
C
K H
Ta có AH//OK nên :
Mặt khác, ta có :
2 2
AHK
S x R x
(Áp dụng bất đẳng thức Côsi) 1,0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2
2
R
x
Vậy S AHK đạt giá trị lớn nhất là 2
4
R
đạt được khi 2
2
R
x
0,5
4.2
2,0
Theo định lý Pi ta go, ta có :
Do đó AH2HK2 2R2
2
Mà AH2HK2 2R2 hay 2 5 2 2 3
2
AH AH R AH R
Tam giác OAH vuông tại H có 3 3
R
AH OA nên là nửa tam giác đều, suy ra 0
60
AOH
0,5
-Nếu H trên đoạn OB ta có tam giác OAB cân tại O, có ACB 600 nên là tam giác
đều, suy ra ABC 600
Trang 4Bài Nội dung Điể
m
- Nếu H trên đoạn OC thì tương tự ta có: ACB600 ABC300
Vậy ABC 600hoặcABC 300
0,5
x d
M
N
Do nên OM>1 Trên tia Ox lấy điểm D thoả OD=1 thì D nằm giữa hai điểm O, M
Qua D kẻ đường thẳng song song với Oy cắt d tại I
Trên tia Oy lấy điểm E thoả OE=ID
Ta có OEID là hình bình hành
1,0
1
Từ đó ta có :
1
OE
1,0
Khi đó :
Theo giả thiết thì: 1 2 1
Do đó: OE 2
OD Hay OE=2.OD=2
1,0
Vậy E có định
Do D, E cố định nên I cũng cố định Vậy I là điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi