Chuyên đề phương trình mũ

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgaritI PHƯƠNG TRÌNH MŨ A... Nhẩm nghiệm x0.. Chứng minh fx đồng biến hoặc nghịch biến ⇒ xo là nghiệm duy nhất + Đưa phương trình về dạn

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A Lý thuyết:

1.Các công thức

a0 = 1; a–m = 1m

a ; (am)ⁿ = am.n; m na =amn

am.an = am+n; amn

a = am–n am.bm = (ab)m; m m

m

( ) b

b = ; ( )a m ( )b m

2 Hàm số mũ y a= x

Tập xác định hàm số D = R

Đạo hàm y’ = axln a

Nếu a > 1, hàm số luôn đồng biến

Nếu 0 < a < 1, hàm số luôn nghịch biến

3.Phương trình mũ : với 1≠ >a 0: x

a =b (1)

+ Nếu b≤0, phương trình (1) vô nghiệm

+ Nếu b>0, phương trình (1) có nghiệm là x=loga b

4 Cách giải một số phương trình mũ cơ bản :

4.1 Đưa về cùng cơ số : a f x( ) =a g x( ) ⇔ f x( )=g x( )

4.2 Đặt ẩn phụ

a) Dạng 1 :

( )

( ) 0

f x

F a

F t

 ; trong đó F(t) là đa thức theo t

b) Dạng 2 : 2 ( ) ( ) 2 ( )

Chia 2 vế cho b2 ( )f x ,rồi đặt t =

( )

f x a b

 

 ÷

  ,t >0

c) Dạng 3 : Aa f x( )+Bb f x( )+ =C 0 với a.b=1 Đặt t a f x( ) b f x( ) 1

t

4.3 Logarit hóa :

a) Dạng 1: f x( ) g x( ) ( ) ( ) log

a

b) Dạng 2: f x( ) g x( ) 1 ( ) ( ) log 0

a

4.4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a) Tính chất :

- Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên (a;b) thì số nghiệm của phương trình : f(x) = k không nhiều hơn một và f(u) = f(v) ⇔u = v

- Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b)

Nếu f(a) =f (b) thì phương trình : f’(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)

+ Hệ quả :

- Nếu f (x) = 0 có n nghiệm thì phương trình f’(x) = 0 có (n -1) nghiệm

- Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm đến cấp k liên tục trên (a;b)

Nếu f( )k ( ) 0x = có đúng n nghiệm thì phương trình f(k− 1)( ) 0x = có nhiều nhất n+ 1

nghiệm

b) Phương pháp

+ Đưa phương trình về dạng f(x)=m

Nhẩm nghiệm x0

Chứng minh f(x) đồng biến hoặc nghịch biến ⇒ xo là nghiệm duy nhất

+ Đưa phương trình về dạng f(x)=g(x)

Nhẩm nghiệm xo

Chứng minh f(x) đồng biến & g(x) nghịch biến (hoặc f(x) nghịch biến & g(x) đồng biến)

⇒xo là nghiệm duy nhất

+Đưa về dạng f(u)=f(v);

Chứng minh f(x) đồng biến hoặc nghịch biến ⇒ phương trình ⇔ u=v

+Đưa về phương trình f(x)=0

Nhẩm được hai nghiệm x1;x2

Chứng minh f(x) liên tục, f’’>0(hoặc <0) ⇒ f’(x) đồng biến(hoặc nghich biến) ⇒ f’(x)=0 có

không quá một nghiệm ⇒ f(x)=0 có không quá hai nghiệm ⇒pt có hai nghiệm x1; x2

B.Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình mũ sau ( Đưa về cùng cơ số)

1 16−x =82(1 −x)

2 3x− 1=18 2 32x − 2x x+ 1

3 52x+ 1−3.52x− 1=550

4 (0.4)x− 1 =(6, 25)6x− 5

5 5x+ 1− =5x 2x+ 1+2x+ 3

6 1 2 1

4.9x− =3 2 x+

7 2 1 3 2 9 2 3

5

x− x+ = x x

8. 2 9 27

    =

 ÷  ÷

9 3 52 225

x

10.(0.5) (0.5)x+ 7 1 2 − x=2

11 2 5x+ 1 x =200

12 22x2 − 8 =3x2 − 4

13 32 57 0,125.128 173

14 9x+ 1=272x+ 1

15 2x+ 4+2x+ 2 =5x+ 1+3.5x

16

1

5 7 2 (1.5)

3

x x

+

− =  ÷   

17 3

(3 2 2)− x = +3 2 2

2x− − =3x 3x− −2x+

5x+ +6.5x−3.5x− =52

20.

3x+ +3x+ +3x+ =9.5x+5x+ +5x+

x+ x+ = x+ − x+

22. 1 2

2 3 5x x− x− =12 23.

2x− +x =4− x

24 2 6 5

2

2x − −x =16 2

25 2x+2x− 1+2x− 2 = −3x 3x− 1+3x− 2

26 1 1

1

1

8

x

+ −

27

9

28 1 1 2

5

x x− = −x 29.

1 5

2 5x x =0,1.(10 )x−

30.2 x+ 1.2 2 6 =4 x+ 1 31.

2 3

1 (3 3 3 )

81

x x

+

 

=  ÷ 

32.

2

x+ x + −x

3x− + +3x 3x+ =9477

34.4x+ 2−10.3x =2.3x+ 3−11.22x

35.62x+ 3 =2 3x+ 7 3 1x−

36.3 2x− 1 2x− 2 =129 −x

37. 2 4x+ 1 3 2x− 1.83 −x =2 2.0,125

Bài 2: Giải các phương trình mũ sau: (đặt ẩn phụ dạng 1 )

Bài 2.1

1 4x+ 1−6.2x+ 1+ =8 0

2 34x+ 8−4.32x+ 5+27 0= 3.

1 3

25x−6.5x+ + =5 0

4.9x−24.3x− 1+ =15 0

5.21 2 − x−3.2−x+ =1 0

6.16x2 − 1−64.4x2 − 3+ =3 0

7.82x 23x x3 12 0

+

8 22x+ 6+2x+ 7− =17 0

9 8− +x 2.4x+ − =2x 2 0

10.22x− 3−3.2x− 2+ =1 0

2

x

x−

+

=

12.9x2 − 1−36.3x2 − 3+ =3 0

13 32(x+ 1) −82.3x+ =9 0

14 4x+ x2 − 2 −5.2x− + 1 x2 − 2 =6

15 9 x2 − − 2x x −7.3 x2 − − − 2x x 1=2

16

2

2

x x

17 32x2 + + 2x 1−28.3x2 +x+ =9 0

18 (7 2 3)+ x+ +(2 3)x =6

19.

1

+

Bài 2.1

1.31 +x+31 −x =10

2.51 +x2 −51 −x2 =24

3 3x+ 1+18.3−x =29

4 5x− 1+5.0, 2x− 2 =26

5 2x2 −x−22 + −x x2 =3

6.5 x+ − 3 2x−51 2 + − +x x 3 + =4 0

16

x+ −x+ +x −x =

9.

8x+ +8.(0,5) x+3.2x+ =125 24.(0,5)− x

x− x−

11 9sin2x + 9cos2x = 10

12 2sin2x + 5.2cos2x = 7

12.

64 ) 5 125 (

27 5 9

Bài 3 Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 2 )

1.3.25x+2.49x =5.35x

2.49x−35x =25x

3 8x+18x=2.27x

4.2 (2x− 1 x+3 ) 9x− 1 = x− 1

5.4.3 9.2 5.62

x

x− x=

6.3.8x+4.12x−18x−2.27x=0

7.2.22x−9.14x+7.72x =0

8.5.251x+3.101x =2.41x

25x − 9x + 15x =0

10.

Bài 4: Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3 )

1.(2+ 3) (x+ −2 3)x =4

2.(2− 3) (x+ +2 3)x =14

3.( 4− 15) (x+ 4+ 15)x =8

2

5.

6.( 5 + 24 ) (x + 5 − 24 )x = 10

7.( 3 + 5 )x + 16 ( 3 − 5 )x = 2x+3

8.

9.( 7 + 4 3 ) (x − 3 2 − 3 )x + 2 = 0

10.(26 15 3+ ) (x+2 7 4 3+ ) (x−2 2− 3)x=1

Bài 5: Giải các phương trình mũ sau (Logarit hóa )

1 52x− 1=73 −x

2

x

x

=

3 2x2 − 4 =3x− 2

4. 2

3 2x x =1

5 4 3x− 3 x− −x 6 =1

6.3 8 1 36

x

x x+ =

7.5 22 11 50

x

x x

− + =

8.5 2x− 1 2x2 − +x 1=10.8x

2

x− x x =

10.5 8 1 100

x

x x+ =

Bài 6* : Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đơn điệu )

1 3x 4

x

+ =

2. 3x 5 2

x

= −

3 ( 15)x+ =1 4x

4. 3x+2x =5x

5 3x+ + =2x 5x 10x

x+ x + =

x

8 3x 5x 6 2

x

9 1

x

10 2 1 3

x

x

12

2

1 1 2

2

x

−

13. 5x+2x = +3x 4x

14 3x+ =8x 4x+7x

Bài 7 :Tổng hợp

1.4.33x −3x+ 1 = 1−9x

2.5.32x− 1 −7.3x− 1 + 1−6.3x+9x+ 1 =0

3 4.23x −3.2x = 1−22x+2 +24x+2

= +

−

x

5.12.3x +3.15x −5x+ 1 =20

7.32x −(2x+9).3x +9.2x =0

8.x2 −(3−2x).x+2.(1−2x)=0

9 9x+2.(x−2).3x +2x−5=0

10 3.25x− 2 +(3x−10).5x− 2 +3−x=0

11 4x2+x +21 −x2 =2(x+ 1)2 +1

12 2x +3x =1+6x

13 42x+ +x 2 +2x3 =42 + +x 2 +2x3 + − 4x 4

14.

15 8 2+ 5 2 − +x 1−4 5 2 − x +2 5 2 − +x 1=5

16 8.3x+3.2x =24 6+ x

5.75x−9.5 x+ = +9 3x

24x +6.4x −4.6x −24 0=