Lý thuyết phương trình đường thẳng

Lý thuyết Phương trình đường thẳng PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1.. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa : vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu ≠ và giá của song

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa :

vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu ≠ và giá của song song hoặc trùng với ∆

Nhận xét :

– Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k ( k≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

2 Phương trình tham số của đường thẳng

– Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và nhận vectơ = (u1 ; u2) làm vectơ chỉ phương là :

∆ :

-Khi hệ số u1 ≠ 0 thì tỉ số k= được gọi là hệ số góc của đường thẳng

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và có hệ số góc k là:

y – y0 = k(x – x0)

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với chiều

dương của trục Ox

3 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆

nếu ≠ và vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆

Nhận xét:

– Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến

– Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó

4 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng

Trường hợp đặc biết:

+ Nếu a = 0 => y = ; ∆ // Ox

+ Nếu b = 0 => x = ; ∆ // Oy

+ Nếu c = 0 => ax + by = 0 => ∆ đi qua gốc tọa độ

+ Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆ theo đoạn chắn:

+ = 1

5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a1x+b1y + c1 = 0 và a 2+ b2y +c2 = 0

Điểm M0(x0 ;y0) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ hai phương trình:

(1)

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 = ∆2

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2bằng 900 .Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau

thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00 Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900

Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là

Cho hai đường thẳng ∆1 = a1x+b1y + c1 = 0

∆2 = a 2+ b2y +c2 = 00

Đặt =

cos =

Chú ý:

+ ∆1 ⊥ ∆2 <=> n1 ⊥ n2 <=> a1a2+ b1b2 = 0

+ Nếu ∆1 và ∆2 có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì

∆1 ⊥ ∆ 2 <=> k1.k2 = -1

7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax+by + c = 0 và

điểm M0(x0 ;y0).Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆ kí hiệu là (M0 ;∆), được tính bởi công thức

d(M0 ;∆) =

Lý thuyết Phương trình đường tròn

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1.Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R là :

(x –a)2 + (y – b)2 = R2

2 Nhận xét

Phương trình đường tròn (x – a)2

+ (y – b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng

x2+ y2 – 2ax – 2by + c = 0

trong đó c = a2

+ b2 + R2 Ngược lại, phương trình x2

+ y2– 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi

và chỉ khi a2

+ b2 -c > 0 Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R

=

3.Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M0(x0 ;y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b).Gọi ∆ là tiếp tuyến với (C) tại M0

Ta có M0 thuộc ∆ và vectơ = (x0– a ; y0 – b) là vectơ pháp tuyến cuả ∆

Do đó ∆ có phương trình là :

(x0 – a )(x – x0 ) + (y0 – b)(y – y0)

Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn

(x –a)2 + (y – b)2 = R2 tại điểm M0 nằm trên đường tròn

Lý thuyết Đường Elip

ĐƯỜNG ELIP

1 Định nghĩa đường elip

Định nghĩa : Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2

Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng F1M +F2M = 2a không đổi

Các điểm F1 và F2 gọi là tiêu điểm của elip

Khoảng cách F1 F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip

2 Phương trình chính tắc của elip

Cho elip có tiêu điểm F1 và F2 chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(-c ; 0) và F2(c ; 0) Khi đó người ta chứng minh được

M(x ; y) ε elip <=> + = 1 (1)

trong đó: b2

= a2 – c2 Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip

3 Hình dạng của elip

Xét elip (E) có phương trình (1):

a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì các điểm M1(-x ; y) M2(x ;- y) và M3(-x ; -y) cũng thuộc (E)

Vậy (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O

b) Thay y = 0 vào (1) ta có x = ±a suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm A1(-a ; 0) A2(a ;0)

Tương tự thay x = 0 vào (1) ta được y = ±b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm B1(0 ; -b) B2(0 ;b) Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1, B2 gọi là trục nhỏ của elip