Phương trình oxyz PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG cơ bản 182 BTTN ( lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải)

Chuyển hai phương trình về dạng tham số và xét hệ phương trình Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M3; 2;6.. Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có : là VTCP của đường thẳng D, nuura là

T NG BIÊN SO N VÀ T NG H P ỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP ẠN VÀ TỔNG HỢP ỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP ỢP

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Bài tốn 1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

ïï + = +ïỵ

(*)

· Nếu (*) có nghiệm duy nhất (t ; t ' )0 0 thì hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại

( 1 1 0 1 1 0 1 1 0)

A x +a t ; y +b t ;z +c t

· Nếu (*) có vô số nghiệm thì hai đường thẳng d và 1 d trùng nhau2

· Nếu (*) vô nghiệm, khi đó ta xét sự cùng phương của hai véc tơ

+) Nếu uur1¹ k.uuur2 thì d1 và d2 chéo nhau

Ví dụ 1 Trong không gian hệ toạ độ Oxyz,

ïï

ï = ïïỵ

Cách 2: Đường thẳng  có u (2;1; 1)r= - là VTCP

Mặt phẳng (P) có n (1; 2;1)r= - là VTPT

Gọi H là hình chiếu của M lên (P), suy ra cos HMC· =cos u, n( )r r nên ta có

-ïï = +íï

ï =ïïỵ



Vì D thuộc đường thẳng ABÞ D 2 t;1 t; 2t( - +  )Þ CDuuur= -(1 t; t; 2t  )

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P : nr=(1;1;1)

Vì C không thuộc mặt phẳng ( )P nên CD / / P( ) Û n.CDr uuur=0

Ví dụ 2 Trong không gian hệ toạ độ Oxyz,

-D = = Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến D bằng OM

2 Cho hai đường thẳng 1

: y t

ì = +ïï

ïï

ï =ïïỵ

Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: M ( 1;0;0), M (2;0;0)1 - 2

2 Đường thẳng D qua 2 A 2;1;0 có ( ) ur=(2;1;2) VTCP

t 4 M(7; 4; 4)

é = Þê

ê = Þ

Ví dụ 3 Trong không gian hệ toạ độ Oxyz:

Đề thi ĐH Khối B – 2011

2 Cho đường thẳng :x 2 y 1 z 5

1 Ta có D cắt (P) tại I(1;1;1)

Điểm M(x; y;3 x y) (P)- - Ỵ Þ MIuur= -(1 x;1 y; x- + -y 2)

Đường thẳng D có ar= -(1; 2; 1- ) là VTCP

2 Vì MỴ D Þ M( 2 t;1 3t; 5 2t)- + +

-Ta có AB ( 1; 2;1),AM (t;3t; 6 2t)= - - = - - Þ éAB, AMù= +(t 12; t 6; t)- -

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán: M( 2;1; 5)- - và M( 14; 35;19)- -

Ví dụ 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình :

x 2y 2z 1 0- + - = và hai đường thẳng 1

ïỵ

-Khoảng cách từ M đến mp (P) là: d d(M;(P)) a 2b 2c 12 2 2 11b 20

Cách 1: Ta có M M ( 2; 0;uuuuur1 2 - - 4) và [u , ur r1 1]=(12; 6; 6),- - nên

[u , u M Mr r1 1] uuuuur1 2 =- 24 0 24+ + =0

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M

Cách 2: Ta có u (2; 3; 1), u (4; 3; 5)ur1 uur2

không cùng phương nên hai đường thẳng hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau

Chuyển hai phương trình về dạng tham số và xét hệ phương trình

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(3; 2;6)

Góc giữa hai đường thẳng

Mà điểm H  (P) nên 2(2  2t) (1   t) (4   t) 7    0 t  1.

Vậy tọa độ H(0;2; 5).

2 Có hai cách giải.

Cách 1: Lập phương trình mặt phẳng ( )  qua A và ( )    , tọa độ điểm H là giao của ( )  và 

Vì u (1; 1; 2) nên mặt phẳng ( )  qua A và ( )    có phương trình là x  y  2z 11   0.

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Ví dụ 7 Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mp( )a Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có :

là VTCP của đường thẳng D, nuura là VTPT của mp( )a

1 Cách 1 : Thay phương trình của d vào phương trình của ( )  ta có :

3(12 4t) 4(9 3t) 1 t 2+ + + - - - = Û0 23t 69+ = Û =-0 t 3

Vậy d cắt ( )a tại A(0;0; 2)-

Cách 2 : Ta có : uuurd =(4;3;1), nuura =(3;4; 1)- Þ u nuur uurd a =35¹ 0

Vậy d và ( )a cắt nhau

2 Cách 1 : Xét hệ phương trình

Ta thấy hệ này vô nghiệm suy ra d / /( )a

Cách 2 : Ta có : uuurd = -( 3;4; 1), n- uura =(0;1;4)Þ u nuur uurd a =0

Mặt khác điểm M( 10; 4;1) d- Ỵ mà M ( )Ï a Þ d / /( )a

Ví dụ 8 Tính khoảng cách từ A(2;3; 1)- đến đường thẳng :x 3 y 2 z

Lời giải.

Đường thẳng D đi qua B(3; 2;0) và có u (1;3;2)r= là VTCP

Cách 1: Gọi H là hình chiếu của A lên D, suy ra H 3 t; 2 3t; 2t( + + ) Þ AHuuur= +(t 1;3t 1; 2t 1- + )

ïï =- +íï

ï = + ïïỵ

ïï íï

=-ï = +ïïỵ

Ta có d và 1 d cắt nhau 2 Û hệ

2 4t 3 t '

ì + = +ïï

ïï + = íï

ïïỵ

có nghiệm duy nhất

Từ hai phương trình đầu của hệ ta tìm được t t ' 1= = thay vào phương trình thứ ba ta có :

3 (m 1).1 2 2+ - = + Þ m=2

Khi đó tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là : A 8;2;4 ( )

Cách 2 :

Đường thẳng d có VTCP 1 uur1=(2; 4;m 1)- và đi qua M (6; 2;3)1

-Đường thẳng d có VTCP 2 uuur2=(4; 1;2)- và đi qua M (4;0; 2)2

Do đó : éêëu , uur uur1 2ù= +úû (m 7;4m 8; 18), M M- - uuuuur1 2= -( 2;2; 1)

-Ta có d1 và d2 cắt nhau 1 2 1 2

Û = và tọa độ giao điểm là : A 8;2;4 ( )

Ví dụ 10.Cho đường thẳng :x 1 y 2 z 1

- và điểm A(2; 5; 6)-

-1 Tìm tọa độ hình chiếu của A lê đường thẳng D

2 Tìm tọa độ điểm M nằm trên D sao cho AM= 35

Cách 2 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với D

Suy ra phương trình (P) : 2x+ -y 3z 17- =0 Khi đó H=D Ç(P) nên tọa độ của H

là nghiệm của hệ:

· t= Þ0 M(1; 2; 1)-

-· t= Þ2 M(5;0; 7)-

Ví dụ 11 Cho tam giác AIB có A( a 3; 0; 0), B(a 3; 0; 0)- và ·AIB 120 ,a= 0 > Điểm 0 I thuộc trục tung và có tung độ âm Trên đường thẳng qua I song song với trục Oz lấy các điểm C, D sao cho tam giác ABC vuông, tam giác ABD đều và C, D có cao độ dương Tìm tọa độ các điểm

I,C, D

Lời giải.

Tìm tọa độ điểm I

Vì I thuộc trục tung và có tung độ âm nên I(0; t; 0), t<0

Ta có IA( a 3; t; 0), IB(a 3; t; 0)uur- - uur - nên

-ê ë

=-uur =-uuruur uur

uur uur

Vậy điểm I(0;- a; 0)

Đường thẳng qua I và song song với trục Oz có phương trình

ì =ïïïï

D íïï ==- Ỵïïỵ

¡

Tìm tọa độ điểm C

Vì C Ỵ D nên C(0;- a; t), t>0 Ta có CA( a 3; a; t), CB(a 3; a; t).uuur- - uur

-Rõ ràng CA CB= nên tam giác ABC phải vuông tại C

é =ê

=-êuuur uur

Mà t 0> nên C(0;- a; 2a)

Tìm tọa độ điểm D.Vì D Ỵ D nên D(0;- a; t), t>0

Ta có DA( a 3; a; t), DB(a 3; a; t).uuur- - uuur

-Rõ ràng DA=DB nên tam giác ABC đều khi và chỉ khi

é =ê

=-êuuur uuur

Mà t 0> nên D(0;- a; 2 2a)

Vậy các điểm cần tìm là I(0;- a; 0), C(0;- a; 2a), D(0;- a; 2 2a)

Ví dụ 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:

1 Cho hai đường thẳng: 1 2

-ïï

ï = +ïïỵ

¡ Xét vị trí tương đối giữa d và1

d cắt nhau tại I Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc d ,d sao cho tam giác 1 2 AIB cân tại I

và có diện tích bằng 41

42

Lời giải.

1 Đường thẳng d đi qua 1 O 0;0;0 có ( ) uur1=(1;1; 2) là VTCP,

Đường thẳng d2 đi qua A(- 1;0;1) có VTCP u = - 2 ( 2;1;1)

Suy ra OA= -( 1;0;1), u , ué1 2ù= - -( 1; 5;3)Þ éu ;u OA1 2ù = ¹4 0

Do đó d ,d chéo nhau.1 2

1

d đi qua điểm M 3;3;3 có 1( ) uur1=(2;2;1) là VTCP ;

2

d đi qua M ( 5; 2;0)2 - - và có uuur2 =(6;3; 2) là VTCP

Gọi j là góc giữa hai đường thẳng d và 1 d Ta có :2

2 2

2t3

4t3

é

ê ê

êêê

6t7

é

ê =ê

ê=êê

1 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng ( ).a

2 Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng ( ),a đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng ( ).a

íï

ï =ïïỵ

¡

Gọi M=AB ( )Ç a thì M(4 t; t; 0)- và thỏa mãn

3(4 t) 2t 0 4- + - + = Û =0 t 16Þ M( 12; 16; 0)

-Vậy giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng ( )a là M( 12; 16; 0)

-2 Trung điểm của AB là I(2; 2; 0)

Đường thẳng KI qua I và vuông góc với ( ) : 3xa +2y z 4- + =0 có phương trình

Vậy điểm cần tìm là K 1 1 3; ;

Bài tốn 2 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 1: d đi qua điểm M (x ; y ; z )0 0 0 0 và cĩ VTCP ar=(a ;a ;a )1 2 3 :

íï

ïï = +ïỵ

¡

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B: Một VTCP của d là ABuuur

.

Dạng 3: d đi qua điểm M (x ; y ;z )0 0 0 0 và song song với đường thẳng D cho trước:

Vì dPD nên VTCP của D cũng là VTCP của d.

Dạng 4: d đi qua điểm M (x ; y ;z )0 0 0 0 và vuơng gĩc với mặt phẳng ( )P cho trước:

Vì d^( )P nên VTPT của ( )P cũng là VTCP của d.

Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P , ( )Q :

 Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.

– Tìm toạ độ một điểm A dỴ bằng cách giải hệ phương trình (P)

(Q)

ìïïíï

ïỵ (với việc chọn giá trị cho một ẩn)– Tìm một VTCP của d: ar= ëén , nr rP Qùû

 Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đĩ.

Dạng 6: d đi qua điểm M (x ; y ;z )0 0 0 0 và vuơng gĩc với hai đường thẳng d , d1 2:

Vì d^d , d1 ^d2nên một VTCP của d là: ar= ëéa , ar rd1 d2ùû

Dạng 7: d đi qua điểm M (x ; y ;z )0 0 0 0 , vuơng gĩc và cắt đường thẳng D.

 Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của M0 trên đường thẳng D.

0

H

ì Ỵ Dïï

uuuur r

Khi đĩ đường thẳng d là đường thẳng đi qua M , H0 .

 Cách 2: Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua A và vuơng gĩc với d, ( )Q là mặt phẳng đi qua A và chứa d Khi đĩ

d=( )P Ç( )Q

Dạng 8: d đi qua điểm M (x ; y ;z )0 0 0 0 và cắt hai đường thẳng d , d1 2:

 Cách 1: Gọi M1Ỵ d , M1 2Ỵ d2 Từ điều kiện M, M , M1 2 thẳng hàng ta tìm được M , M1 2 Từ đĩ suy ra phương trình đường thẳng d.

 Cách 2: Gọi ( )P =(M ,d )0 1 , ( )Q =(M ,d )0 2 Khi đĩ d =( )P Ç( )Q , do đĩ, một VTCP của d cĩ thể chọn là ar= ëén , nr rP Qùû.

Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng ( )P và cắt cả hai đường thẳng d , d1 2:

Tìm các giao điểm A = d1Ç( )P , B = d2Ç( )P Khi đĩ d chính là đường thẳng AB.

Dạng 10: d song song với D và cắt cả hai đường thẳng d , d1 2:

Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa D và d1, mặt phẳng ( )Q chứa D và d2.

Khi đĩd=( )P Ç( )Q .

Dạng 11: d là đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng d , d1 2 chéo nhau:

 Cách 1: Gọi M d , N d Ỵ 1 Ỵ 2 Từ điều kiện 1

Khi đĩ d=( )P Ç( )Q .

Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng D lên mặt phẳng ( )P :

 Lập phương trình mặt phẳng ( )Q chứa D và vuơng gĩc với mặt phẳng ( )P bằng cách:

– Lấy MỴ D.

– Vì ( )Q chứa D và vuơng gĩc với D nên nrQ=[a , nr rD P].

Khi đĩ d=( )P Ç( )Q .

Dạng 13: d đi qua điểm M, vuơng gĩc với d1và cắt d2:

 Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2.Điều kiện MN^d1, ta tìm được N.

Khi đĩ, d là đường thẳng M, N.

 Cách 2:

– Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M và vuơng gĩc với d1.

– Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa M và d2.

Khi đĩ d=( )P Ç( )Q .

Ví dụ 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:

1 Cho điểm A(1; 2;3) và đường thẳng d :x 1 y z 3

1 Gọi M là giao điểm của đường thẳng D với Ox

Suy ra M(m;0;0)Þ AMuuur=(m 1; 2; 3)- - - , đường thẳng D có a (2;1; 2)r= - là VTCP

Vì AM d^ Þ AM.auuur rÛ m=- Þ1 AMuuur= -( 2; 2; 3)-

-Vậy phương trình đường thẳng D là: x 1 y 2 z 3

D đi qua M 1;0; 1( - ) và vuông góc với hai đường thẳng

Lời giải.

Ta có: d1 có uur1=(5; 8; 3)- - VTCP; d2 có uuur2= -(1; 2;0) là VTCP

Cách 1: Giả sử u (a;b;c)r= là một VTCP của 

Vì D vuông góc với d và 1 d nên2

ì =ï

íï

ï =- +ïïỵ

là một VTCP của D

Suy ra phương trình D là:

x 1 6t

ì = ïï

íï

ï = ïïỵ

-¡

Ví dụ 16 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng D, biết:

1 D đi qua A 1;2;1 đồng thời ( ) D cắt đường thẳng 1

x 1 t

ì = +ïï

ïï = íï

-ï =ïïỵ

và vuông góc với đường thẳng

1 Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và d , khi đó ta có 1 D Ì (P)

Ta có đường thẳng d1 đi qua M(1; 2;0) và có uur1= -(1; 1;1) là VTCP

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng D là: x 1 y 2 z 1

Cách 2: Gọi E= D Ç , suy ra d1 E 1 t;2 t; t( + - ) nên AEuuur= -(t; t; t 1- )

Vì D ^d2 Þ AE.uuuur uur2= Û0 2t t 2(t 1)- - - = Û = Þ0 t 2 AEuuur=(2; 2;1)

-Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng D là: x 1 y 2 z 1

2 Đường thẳng D đi qua 1 C(1;3; 1)- và có vur1=(2; 1;1- ) là VTCP

Đường thẳng D đi qua 2 D( 2;3;4)- và có vuur2= -( 1;1; 3- ) là VTCP

Gọi ( )a là mặt phẳng đi qua B và D , suy ra 1 D Ì a( ) và n1=év , BC1 ù= -( 3; 8; 2- - )

ur ur uuur

là VTPT của ( )a

Gọi ( )b là mặt phẳng đi qua B và D , suy ra 2 D Ì b( ) và n2 =év , BD2 ù=(14;38;8)

Ví dụ 17 Viết phương trình tham số của đường thẳng D, biết:

1 D là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : xa + + -y z 3=0 và ( ) : 2y z 1 0b - - =

2 D là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : xa + - + =y z 3 0 và ( ) : 2x y 5z 4b - + - =0

3 D là hình chiếu vuông góc của d :x 1 y 2 z

1 Để lập phương trình đường thẳng D ta có các cách sau

Cách 1: Ta có nur1=(1;1;1) và nuur2=(0; 2; 1- ) lần lượt là VTPT của ( )a và ( )b

íï

ï = +ïïỵ

¡

2y z 1 0

ì + + - =ïï

Ỵ D Û Ỵ a Ç b Û íï

- - =ïỵ

íï

ï =- +ïïỵ

¡ , đây chính là phương trình tham số của D

Cách 3: Trong hệ (*) cho y= Þ0 z=- 1, x=4 Do đó điểm E(4;0; 1)- Ỵ D

Hay D º ME, từ đó ta lập được phương trình tham số của D là:

2 Để lập phương trình đường thẳng D ta có các cách sau

Cách 1: Ta có A( 1; 1;1), B( 5;6; 4)- - - là hai điểm chung của ( )a và ( )b

Phương trình tham số của

d : y 1 7t , t R

z 1 3t

ì = ïï

íï

ï = +ïïỵ

Cách 2: Ta có nur1=(1;1; 1), n- uur2=(2; 1;5)- lần lượt là VTPT của ( ), ( )a b

Vì d là giao tuyến của ( )a và ( )b nên u=én , n1 2ù=(4; 7; 3)-

r ur uurTừ đó ta lập được phương trình cuả d

3 Để lập phương trình đường thẳng D ta có các cách sau

Đường thẳng d đi qua M(1; 2;0) và có v (1;2; 1)r= - là VTCP

Mặt phẳng ( )a có nr=(1;1;1) là VTPT

Xét hệ phương trình

, giải hệ này ta được x=0, y=0, z 1= , suy ra d và ( )a

cắt nhau tại I(0;0;1) và I Ỵ D

Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với ( )a

của MN , suy ra phương trình MN :x 1 y 2 z

Giải hệ này ta tìm được: x 1, y 4, z 2 N 1 4; ; 2

1 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A(1;- 2;- 5) trên D;

2 Tìm tọa độ điểm A¢ sao cho AA¢=2AH và ba điểm A,A ,H¢ thằng hàng;

3 Tìm tọa độ điểm B¢ đối xứng với điểm B(1; 1; 2)- qua (P)

Lời giải.

1 Đường thẳng D có uuurD=(2; 1;2)- là VTCP

Cách 1: Vì H Ỵ D nên H(1 2t; 1 t; 2t)+ - - Þ AHuuur=(2t; 1 t; 2t 5).- +

Điểm H là hình chiếu của A trên D nên AH.uuuur uurD =0, hay

2.(2t) 1.(1 t) 2(2t 5)- - + + = Û =- Þ0 t 1 H( 1; 0;- - 2)

Vậy điểm cần tìm là H( 1; 0;- - 2)

Cách 2: Gọi ( )a là mặt phẳng qua A(1;- 2;- 5) và vuông góc với D

Ta có một véc tơ pháp tuyến của ( )a là nuura =(2; 1; 2)- nên

( ) : 2x y 2z 6a - + - =0

Điểm H là hình chiếu của A trên D thì H=(P)ÇD Þ H( 1; 0;- - 2)

2 Gọi A (x; y; z).¢

Vì ba điểm A,A ,H¢ thằng hàng và AA¢=2AH nên có hai trường hợp

· AAuuur¢=2AH,uuur khi đó H là trung điểm AA ' nên

-3 Gọi d là đường thẳng đi qua B(1; 1; 2)- và d^(P), khi đó một véc tơ phương của d là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Ta có uuurd=(2; 1; 2)- nên d : x 1 y 1 z 2

Ví dụ 19 Trong không gian Oxyz,

1 Cho mặt phẳng ( ) : 2x 2y z na - + - =0 và đường thẳng :x 1 y 1 z 3

a) Đường thẳng D nằm trong mp( )a

b) Đường thẳng D song song với mp( )a

điểm của chúng

b) Đường thẳng

2 2 m

1 Mặt phẳng ( )a có nr=(2; 2;1- ) là VTPT

Đường thẳng D đi qua A(1; 1;3)- và có ur=(2;1; 2m 1- ) là VTCP

Cách 2: Ta có d / /(P)m Û hệ phương trình sau vô nghiệm:

2 2 2

-ïï - + =ïỵ

Thay ba phương trình đầu vào phương trình cuối ta được: (6m 3)t+ =- 1

Do đó hệ vô nghiệm m 1

Mặt phẳng (P) thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: (P) đi qua A, B song song với CD

Ta có AB ( 3; 1;2), CD ( 2;4;0)uuur= - - uuur= - , suy ra n=éAB,CDù= -( 8; 4; 14)-

r uuur uuur

là VTPT của (P) Phương trình (P): 4x+2y 7z 15+ - =0

Trường hợp 2: (P) đi qua A, B và cắt CD tại I, suy ra I là trung điểm của CD Do đó

Vậy (P) : 4x+2y 7z 15+ - =0 hoặc (P) : 2x 3z 5+ - =0

Ví dụ 21 Cho đường thẳng 1

x 2 y 1 z 1 :

z 1

Lập

phương trình đường thẳng  cắt  1 và cắt  2 đồng thời thỏa mãn:

1  nằm trong mặt phẳng (P) : 2x  3y  z  2  0.

2  song song với đường thẳng d : x 2 y 1 z 3.

3  đi qua điểm M(1;  5;  1).

2 Có nhiều cách giải bài toán này, chẳng hạn:

Cách 1: Tìm một điểm thuộc 

Vì  cắt  1 và song song với d, nên  nằm trong mặt phẳng ( )  chứa  1 và song song với d. Tacó ( )  qua M (2; 1; 1), 1 ( )  có một véc tơ pháp tuyến là n ( )  u , u1 d   ( 2; 1; 5)

nên( ) : 2 x    y  5z  2  0.

Ta có

2

( ) C

Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng 

 là giao tuyến của hai mặt phẳng

- Mặt phẳng ( )  chứa  1 và song song với d.

- Mặt phẳng ( )  chứa  2 và song song với d.

Ta có

2

(Q) F

Ví dụ 22 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết:

1 Đỉnh A(1;- 3; 2), phương trình hai đường trung tuyến:

Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB : x 1 y 3 z 2

Tọa độ điểm C(3; 1; 4)- - Þ AC(2;uuur - 2;- 2)=- 2( 1; 1; 1).

-Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC : x 1 y 3 z 2

-2 Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 2; 7) và vuông góc với BE là 2x+ -y 3z 17+ =0

Ta có C=CF (P)Ç nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

Phương trình mặt phẳng (Q) qua A(1; 2; 7) và vuông góc với CF là (Q) : 2x 3y z 3- + - =0

Ta có B=BF (Q)Ç nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có AH(t 2; 2 2t; t), u (1;uuur - - rBD - 2; 1) nên

BD

AH.u = Û0 1.(t 2) 2.(2 2t) t- - - + = Û =0 t 1

uuur rVậy H(2; 2; 4)

Gọi A¢ đối xứng với A qua BD thì A (1; 2; 5).¢

Đường thẳng BC là đường thẳng BA¢ nên có phương trình là

x 1

ì =ïï

ïï = íï

-ï = +ïïỵ

Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ

C C C

-Phương trình các đường thẳng cần tìm là

ïï = íï

-ï =ïïỵ

-ïï = +íï

ï =ïïỵ

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Acho đường thẳng

d : y 2 3t

z 1 t

ì = ïï

-ïï = +íï

ï = +ïïî

Đường thẳng d đi qua

điểm M và có vectơ chỉ phương auurd

ïï = íï

ï = ïïî

ïï = íï

-ï =- +ïïî

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc D

của đường thẳng đi qua hai điểm A 1; 2;5( - ) và B 3;1;1 ?( )

ïï = +íï

ï = +ïïî

ïï = íï

-ï =- +ïïî

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm

ïï = +íï

ï =ïïî

ïï =íï

ï = +ïïî

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

x 1 2t

d : y t

ì = ïï

-ïï =íï

ï =- +ïïî

ïï = íï

-ï = +ïïî

ïï =- +íï

ï = ïïî

-Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Acho mặt phẳng ( )P : 2x y z 3 0- + - = Phương trình chínhtắc của của đường thẳng D đi qua điểm M(- 2;1;1) và vuông góc với ( )P là

-ïï =- +íï

ï = ïïî

ïï =- +íï

ï = ïïî

-Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Aphương trình đường thẳng Dđi qua điểm A 2; 1;3( - ) và

vuông góc với mặt phẳng (Oxz là.)

ïï = +íï

ï =ïïî

ïï íï

=-ï = +ïïî

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng D đi qua điểm

-Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ x 3 y 2 z 1

ïï = íï

-ï ïïî

ïï = +íï

ï =ïïî

ïï = +íï

ï = ïïî

ïï = íï

-ï = +ïïî

Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x y 2z 1 0+ + - = và đường

-Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )a : x 3y z- + = và 0 ( )b : x y z 4+ - + = = Phương trình tham số của đường thẳng d là0 0

ïï =íï

ï =- +ïïî

ïï =íï

ï = +ïïî

cho đường thẳng D là giao tuyến của

hai mặt phẳng ( )a : x 2y z 1 0- - + = và ( )b : 2x 2y 3z 4+ - - = Phương trình đường thẳng d đi 0qua điểm M 1; 1;0( - ) và song song với đường thẳng D là

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ x 3 y 2 z 1

-ïï = +íï

ï =ïïî

-ïï =- +íï

ï ïïî

( )P : 2x 3y 5z 4- + - = Phương trình đường thẳng 0 D đi qua điểm A(- 2;1; 3 ,- ) song song với ( )P

và vuông góc với trục tung là

ïï =íï

ï =- +ïïî

ïï =íï

ï =- +ïïî

( ) ( )2 ( )2 ( )2

S : x 1- + +y 2 + -z 3 =9 Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu ( )S , song

song với ( )a : 2x 2y z 4+ - - = và vuông góc với đường thẳng 0 :x 1 y 6 z 2

ïï = íï

ï = ïïî

-ïï =- +íï

ï = ïïî

-Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ x 3 y 2 z 1

A 0;1;2 , B - 2; 1; 2 , C 2; 3; 3- - - - Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng

(ABC Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng d )

ïï =- +íï

ï = ïïî

ïï = íï

-ï =- +ïïî

ïï =- +íï

ï = +ïïî

ïï =- +íï

ï =ïïî

ïï = íï

-ï =ïïî

ïï =- +íï

ï = +ïïî

ïï =íï

ï = +ïïî

ïï =íï

ï =- +ïïî

Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ x 3 y 2 z 1

ïï = +íï

ï =- +ïïî

ïï = íï

-ï = +ïïî

-ïï íï

=-ï =- +ïïî

ïï = íï

ï = ïïî

-Câu 31 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

có vectơ pháp tuyến là ar=(2;3; 1- )

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

đi qua điểm M 1;2; 1( - )

íï

ï = ïïî

đi qua điểm M 2;3; 1( - ).

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

đi qua điểm nào ?

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

có phương trình chính tắc là x 1 y 2 z 1

Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mệnh đề nào sau đây là đúng?

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

íï

ï = +ïïî

íï

ï = ïïî

íï

ï = ïïî

íï

ï = +ïïî

Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A 0;1;0 và ( ) B 1;0;1 có( )

phương trình là