PHÉP NGHỊCH đảo và một số ỨNG DỤNG

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, phép vị tự và đồng dạng là các phép biến hình bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Chúng đều biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn. Ngoài các phép dời hình, phép vị tự và đồng dạng, còn một phép biến hình khác với những tính chất rất thú vị. Đó là phép nghịch đảo. Phép nghịch đảo cũng có thể biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn, nhưng có thể biến một đường thẳng thành một đường tròn, còn 1 đường tròn thành một đường thẳng. Đặc biệt hơn là nó bảo toàn góc giữa hai hình. Phép nghịch đảo cũng có một số ứng dụng rất quan trọng trong việc giải các bài toán hình học phẳng.

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

PHẫP NGHỊCH ĐẢO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

I Mở đầu:

Phộp dời hỡnh là phộp biến hỡnh bảo toàn khoảng cỏch giữa hai điểm bất kỡ, phộp

vị tự và đồng dạng là cỏc phộp biến hỡnh bảo toàn tỉ số khoảng cỏch giữa hai điểm bất

kỡ Chỳng đều biến đường thẳng thành đường thẳng, đường trũn thành đường trũn

Ngoài cỏc phộp dời hỡnh, phộp vị tự và đồng dạng, cũn một phộp biến hỡnh khỏc với những tớnh chất rất thỳ vị Đú là phộp nghịch đảo Phộp nghịch đảo cũng cú thể biến đường thẳng thành đường thẳng, đường trũn thành đường trũn, nhưng cú thể biến một đường thẳng thành một đường trũn, cũn 1 đường trũn thành một đường thẳng Đặc biệt hơn là nú bảo toàn gúc giữa hai hỡnh

Phộp nghịch đảo cũng cú một số ứng dụng rất quan trọng trong việc giải cỏc bài toỏn hỡnh học phẳng

II Nội dung chuyờn đề:

A Cỏc khỏi niệm:

1 Định nghĩa:

a) Cho trước một điểm O và một số thực k 0 , với mỗi điểm M khỏc O ta dựng một điểm M’ trờn đường thẳng OM sao cho OM.OM' k (1)

Khi đú ta núi M’ là ảnh của điểm M qua phộp nghịch đảo tõm O phương tớch k (hoặc hệ số k )

Khi M  O thỡ M’ là điểm vụ cực và kớ hiệu  và khi M là điểm vụ cực  thỡ

M’ trựng với O

Kớ hiệu phộp nghịch đảo tõm O, hệ số k biến điểm M thành điểm M’ là:

O,k:M M'

b) Cho một hỡnh H Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phộp nghịch đảo

O k

f , lập thành hỡnh H’ được gọi là ảnh của hỡnh H (hỡnh nghịch đảo của H) và được kớ hiệu: f O , k: H  H’

2 Cỏc khỏi niệm khỏc liờn quan:

●

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

a) Xột phộp nghịch đảo f O, k với k > 0 Đường trũn tõm O, bỏn kớnh R  k

được gọi là đường trũn nghịch đảo thực Nếu k < 0, thỡ đường trũn tõm O bỏn kớnh

k

R  được gọi là đường trũn nghịch đảo ảo

Khi đú, mọi điểm trờn đường trũn nghịch đảo là cỏc điểm bất động đối với phộp nghịch đảo đú

b) Cho hai đường trũn (O 1 ) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B Gọi d1 và d2 lần

lượt là cỏc tiếp tuyến của hai đường trũn tại A Gúc tạo bởi d1 và d2 được gọi là gúc tạo

bởi hai đường trũn (O1) và (O2) Nếu gúc đú vuụng thỡ ta núi hai đường trũn (O1) và

(O2) trực giao (hoặc hai đường trũn vuụng gúc với nhau) tại điểm A

Ta nhận thấy gúc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường trũn tại B bằng gúc đú tại A.

Gúc tạo bởi một đường thẳng và một đường trũn là gúc tạo bởi đường thẳng đú với tiếp tuyến của đường trũn tại điểm chung của chỳng

B Cỏc tớnh chất:

Cho phộp nghịch đảo f O, k với k  0

1 Tớnh chất 1: Phộp nghịch đảo  f O, k là phộp biến đổi 1 - 1

2 Tớnh chất 2: Phộp biến đổi f fO, kfO, k là phộp đồng nhất

3 Tớnh chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua phộp  f O,k thỡ AB

OB OA

k B

A

'

4 Tớnh chất 4: Ảnh của một đường thẳng d đi qua tõm nghịch đảo là đường thẳng d.

5 Tớnh chất 5: Ảnh của một đường thẳng d khụng đi qua tõm nghịch đảo O là một

đường trũn đi qua tõm nghịch đảo O.

6 Tớnh chất 6: Ảnh của một đường trũn (C) đi qua tõm nghịch đảo O là một đường

thẳng d khụng đi qua tõm nghịch đảo O và song song với tiếp tuyến của đường trũn (C) tại O.

7 Tớnh chất 7: Ảnh của đường trũn   khụng đi qua tõm nghịch đảo O là một đường

trũn   ' Đường trũn   ' cũng là ảnh của đường trũn   qua phộp vị tự VO,   với

p

k



 , p là phương tớch của O đối với đường trũn  

8 Tớnh chất 8: Gúc tạo bởi đường thẳng d và đường trũn   cựng đi qua tõm nghịch

đảo O cú số đo bằng gúc tạo bởi ảnh của chỳng qua phộp nghịch đảo đú.

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

9 Tớnh chất 9: Gúc tạo bởi hai đường trũn   và   ' cựng đi qua tõm nghịch đảo O

cú số đo bằng gúc tạo bởi ảnh của chỳng qua phộp nghịch đảo đú

10 Tớnh chất 10: Nếu đường thẳng d và đường trũn   khụng đi qua tõm nghịch đảo

O, thỡ gúc tạo bởi d và   cú số đo bằng gúc tạo bởi ảnh của chỳng qua phộp nghịch đảo đú

11 Tớnh chất 11: Gúc tạo bởi hai đường trũn   và   ' khụng cựng đi qua tõm nghịch

đảo O cú số đo bằng gúc tạo bởi ảnh của chỳng qua phộp nghịch đảo đú.

C Cỏc bài toỏn ỏp dụng:

I Dạng toỏn: Chứng minh cỏc tớnh chất hỡnh học

Bài 1: Cho đa giỏc A1A2 A n nội tiếp đường trũn (C) M là một điểm bất kỡ trờn cung

n

A

A1 (cung khụng chứa đỉnh nào của đa giỏc) Gọi d1,d2, ,d n lần lượt là khoảng cỏch từ M đến cỏc đường thẳng A1A2 , A2A3 , , A n A1 Chứng minh rằng:









1

1

n

i

n

n

d

a

d

a

với a i là độ dài cỏc cạnh A i A i1 A n1 A1

Giải:

Gọi R là bỏn kớnh của đường

trũn (C)

Xột phộp nghịch đảo tõm M

phương tớch k

Khi đú phộp nghịch đảo f M,k

biến đường trũn (C) thành đường

thẳng d khụng đi qua M

Trờn đường thẳng d ta gọi A  i' f A i

1 '

3 ' 2 ' 2 ' 1 ' '

1A n A A A A A n A n

Do đú ta cú i  1 ,n

1 1

1 1

1

1 '

1 '

sin

sin



















i i i

i i

i i i

i i

i i

i i i

i

MA A d

MA MA

MA A d

A A k MA MA

A A k A A

i i

i

i i

i

i i

i A MA

i i A

MA

Rd

a k d

MA A k

d

MA A k

d S

MA A S

2

sin sin

2

sin













an

a1

d

d1

O

M

A1

An

A2

A3

A4

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Thay vào (*) ta cú: 

i i

n

n

Rd

a k Rd

a k

2







1

1

n

i

n

n

d

a d

a

(đpcm)

Bài 2: Cho tam giỏc ABC khụng cõn Đường trũn tõm I nội tiếp tam giỏc ABC tiếp xỳc

với cỏc cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’ Gọi M, N, E lần lượt là giao điểm của cỏc cặp đường thẳng: B’C’ và BC; C’A’ và CA; A’B’ và AB Chứng minh rằng 3 điểm

M, N, E thẳng hàng.

Giải: Gọi (C1 ), (C2) lần lượt là đường trũn

đường kớnh AI và A 1 I

Khi đú: B1C1 là trục đẳng phương của hai

đường trũn (I) và (C1) và; BC là trục đẳng

phương của hai đường trũn (I) và (C2)

Mà BC  B1C1 = M

nờn PM/ C1  PM/ C2

Gọi M’ là giao điểm thứ hai (khỏc I) của

hai đường trũn (C1) và (C2) thỡ MIM’

Ta cú: IM’ AM’ và IM’  A1M’ nờn 3

điểm A, A 1 , M’ thẳng hàng.

Theo định lý Ceva ta cú 3 đường thẳng

AA1, BB1, CC1 đồng quy tại P

Suy ra IM P  ' 900 hay M’ thuộc đường trũn (C) đường kớnh IP

Tương tự nếu gọi

N’ là giao điểm thứ hai của đường trũn (C1) và đường trũn đường kớnh B1I

E’ là giao điểm thứ hai của đường trũn (C1) và đường trũn đường kớnh C1I

thỡ N’ và E’ cũng thuộc đường trũn (C) đường kớnh IP

 IM.IM’ = IN.IN’ = IE.IE’ = R (với R là bỏn kớnh đường trũn đường kớnh IP)

Xột phộp nghịch đảo cực I, phương trỡnh R2 : fI , R2 ta cú:

I , R2

f biến cỏc điểm M’, N’, E’ thành cỏc điểm tương ứng là M, N, E

I , R2

f biến đường trũn (C) đường kớnh IP thành đường thẳng d khụng qua I

P A' I A

B

N

M

B' C'

C

E

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Do cỏc điểm M’, N’, E’ thuộc đường trũn (C) nờn cỏc điểm M, N, E thuộc đường thẳng

d hay M, N, E thẳng hàng.

Bài 3: Cho hai đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc ngoài nhau tại A Một tiếp tuyến của

(O) tại điểm M bất kỡ trờn đường trũn cắt (O’) tại B và C Chứng minh rằng AM là đường phõn giỏc của gúc tạo bởi hai đường thẳng AB và AC.

Giải:

B'

d d'

M'

I

B

A O

O'

M

C

H

Hạ AH BC Xột phộp nghịch đảo cực A, phương tớch k = AH2 : fA , AH2

A , AH2

f biến tiếp tuyến tại M với đường (O) thành tiếp tuyến với đường trũn (I) đường kớnh AH

A , AH2

f : M  M’; B  B’; C  C’ sao cho M’, B’, C’ thuộc (I)

A , AH2

f : (O)  d là tiếp tuyến với (I) tại M’; d  OA

(O’)  d’ qua B’, C’ và d’ O’A

Vỡ d // d’ và M’ là tiếp điểm của tiếp tuyến d với (I)  M B ' 'M C' '

Gọi N là điểm đối xứng với M’ qua I  N (I)  NB 'NC '

 AN là phõn giỏc của gúc BAC  AM là phõn giỏc của gúc BAC

Vậy AM là phõn giỏc của gúc tạo bởi AB và AC.

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Bài 4: (Thi Olympic Bungari - vũng 4 - 1995)

Cho tam giỏc ABC cú chu vi 2p cho trước Cỏc điểm E, F nằm trờn đường thẳng AB sao cho CE = CF = p Chứng minh rằng đường trũn bàng tiếp (k1) ứng với cạnh AB của tam giỏc ABC tiếp xỳc với đường trũn (k2) ngoại tiếp tam giỏc EFC.

Giải:

Vỡ CP = CQ = CE = CF = p nờn suy ra 4 điểm P, Q,

E, F cựng thuộc đường trũn (C, p)

Xột phộp nghịch đảo cực C phương tớch p2 ta cú:

C , p2

f : P  P ; Q  Q

Do đú: f  k1    k1

Mặt khỏc:  

F F fk  EF f

E E f













2

Mà  k1 tiếp xỳc với EF nờn  k1 tiếp xỳc với  k2

Bài 5: Cho hai đường trũn (C1) cú tõm O1 và bỏn kớnh

R1, đường trũn (C2) cú tõm O2 và bỏn kớnh R2 Điểm I

khụng nằm trờn cả hai đường trũn Gọi f là phộp nghịch đảo cực I phương tớch k 0,

 C1 ; f C2

f là cỏc đường trũn ảnh của   C1 ; C2 Đặt:      

2 1

2 2 2 1 2

2 1

2

,

R R

R R d C

2

1O

O

d  Chứng minh rằng:

1 Nếu I đồng thời nằm trong hoặc nằm ngoài cả hai đường trũn   C1 ; C2 thỡ:

   

 C1 , C2   f   C1 , f C2 

2 Nếu I nằm trong một đường trũn và nằm ngoài một đường trũn thỡ

   

 C1 , C2  f   C1 , f C2 

Giải: Gọi f  C1 I1 ,r1; f  C2  I2 ,r2

Khi đú:      

2 1

2 2

2 1

2 2 1 2 1

2

,

r r

r r I I C f C



Vỡ f  C1  I1,r1; f  C2  I2,r2 nờn: I1 V 1 O1 và I2 V p2 O2

k I p

k



k1

k2

O O'

C

Q P

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

2 2 2 1

1

p

k II và IO

p

k

2 2

2 2 /

2

2 1

2 1 /

1 1 IO R và p 2 IO R

Khi đú ta cú:

2 1 1

2 1 2 2

2

1

2

2



















p

k IO p

k II

II I

I

I













2 1

2 2

2 2 2

1

2 1

p p p

IO p

IO k

















2 1

2 2 1

2 2

2 1 2

2

2 2 2 2

1

2 1 1 2

p p

O O IO IO p

R p p

R p k

















2 1

2 2 1

2 2

2 1 2 1 2 2

2 2 2 1

2 1 2 1

2 1 1

p p

O O R R p p p

R p

R p p k













2 1

2 2 1

2 2

2 1 2 2

2 2 2 1

2 1 2

p p

O O R R p

R p

R k

Vỡ I1 V 1 O1 và I2 V p2 O2

k I p

k

 ; f  C1 I1 ,r1; f  C2  I2 ,r2

2 2 1

1

p

k r và R p

k

Do đú:

















2 1

2 2 1

2 2

2 1 2

2 2 2

2

1

2

2

2

1

p p

O O R R k

r k

r

k

I

2 1

2 2

2 1

2 2 1 2 2 2

2 1

2 2 1

p p

R R O O k r r I



   

2 1

2 2

2 1

2 2 1

2 1

2

2 1

2 2

2 1

2 2 1 2

2

,

p p

R R O O r r

k r

r

r r I I C f

C

 



























2 1

2 2

2 1

2 2 1 2 1

2 2 1 1 2 1

2 2

2 1

2 2 1 2 1 2 1

2

1 2

1

p p

R R O O R

R

p r p r r r R

R O O p p

k k r

r

=

2 1

2 2

2 1

2 2 1 2 1

2 1

R R

R R O O p

p

p

=  1  2

2 1

2

1 C , C p

p

p p



Do đú:

1 Nếu I nằm đồng thời ở trong hoặc ở ngoài cả hai đường trũn   C1 ; C2 thỡ 0

2

1p 

p nờn     C1 , C2  f   C1 , f C2 

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

2 Nếu I nằm trong một đường trũn và nằm ngoài một đường trũn thỡ p1p2  0 nờn

   

 C1 , C2  f   C1 , f C2 

Bài 6: Cho hai đường trũn   C1 , C tiếp xỳc với nhau tại A Một đường thẳng 2 l qua

A cắt cỏc đường trũn   C1 , C tương ứng tại 2 C C khỏc A Một đường trũn 1, 2  C qua

1, 2

C C cắt lại hai đường trũn   C1 , C tại 2 B B tương ứng Gọi 1, 2  x là đường trũn

ngoại tiếp tam giỏc AB B Đường trũn 1 2  k tiếp xỳc với đường trũn  x tại A, cắt

  C1 , C lần lượt tại 2 D D khỏc A Chứng minh rằng:1, 2

1 Cỏc điểm C C D D hoặc cựng thuộc một đường trũn hoặc cựng thuộc một1, 2, 1, 2 đường thẳng

2 Cỏc điểm B B D D cựng thuộc một đường trũn khi và chỉ khi 1, 2, 1, 2 AC AC1, 2 lần lượt là đường kớnh của đường trũn   C1 , C tương ứng.2

Giải:

(k)

(x)

(c)

k 2

k 1

D 2

D 1

B 2

B 1

C 2

C 1

A

(x')

(k')

l

C' 2 C' 1

D' 1

D' 2

B' 2 B' 1

Hỡnh 1 Hỡnh 2

1 Xột phộp f là phộp nghịch đảo cực A , phương tớch k 0 thỡ

+) f biến đường trũn    k k thành cỏc đường thẳng 1 , 2 ' '

1, 2

k k tương ứng và ' '

1/ / 2

k k +) f biến đường trũn    x k thành cỏc đường thẳng '; ', x k tương ứng và '/ / ' x k

+) f biến đường thẳng  l thành chớnh nú

Suy ra f biến cỏc điểm B B C C D D tương ứng thành cỏc điểm1, 2, 1, 2, 1, 2

1 ' 1; 2 ' 2; 1 1; 2 2; 1 ' 1;

B  x k B  x k C  l k C  l k D  k k D2'  k' k2'

Do đú tứ giỏc ' ' ' '

1 2 2 1

B B D D là hỡnh bỡnh hành (Hỡnh 2)

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

' ' ' ' ' ' 0

2 1 1 1 1 2 180

B B D B D D

Vỡ C C B B thuộc đường trũn 1, 2, 1; 2  C và A khụng thuộc đường trũn  C

' ' ' '

1, 2, 1; 2

C C B B

 thuộc đường trũn  C' f C    ' ' ' ' ' '

2 1 1 1 2 2

B B D C C D

Từ (1) và (2) suy ra ' ' ' ' ' ' 0

1 1 2 1 2 2 180

C D D C C D  ' ' ' '

1, 2, 1, 2

C C D D

 cựng thuộc một đường trũn  '

3

k

1, 2, 1, 2

C C D D

 hoặc cựng thuộc đường thẳng, hoặc cựng thuộc 1 đường trũn là tạo ảnh của

đường trũn  '

3

k qua phộp nghịch đảo f

2 Ta cú: Cỏc điểm B B D D cựng thuộc một đường trũn1, 2, 1, 2

 Cỏc điểm ' ' ' '

1, 2, ,1 2

B B D D cựng thuộc một đường trũn ' ' ' '

1 2 2 1

B B D D

 là hỡnh chữ nhật

 ' ' ' 0 ' ' ' 0

1 1 2 90 1 2 2 90

     đường thẳng l và đường trũn  '

2

C trực giao với nhau

 đường thẳng l và đường trũn C trực giao với nhau2

 AC AC lần lượt là đường kớnh của đường trũn 1, 2   C1 , C tương ứng.2

Bài 7: Cho đường trũn  O cú đường kớnh AB và một điểm C trờn  O , C A C B,   Tiếp tuyến với  O tại A cắt đường thẳng BC tại M Gọi N là giao điểm của cỏc tiếp tuyến với  O tại B và tại C Đường thẳng AN cắt lại đường trũn  O tại D khỏc A và

cắt đường thẳng BC tại F Đường thẳng qua M , song song với AB cắt đường thẳng

OC tại I Đường thẳng qua N, song song với AB cắt đường thẳng OD tại J Gọi K là

giao điểm của hai đường thẳng MD NC và E là giao điểm của hai đường thẳng , MN IJ ,

1 Chứng minh rằng hai đường trũn MCE và  NDE tiếp xỳc với nhau.

2 Chứng minh rằng K là tõm đường trũn đi qua cỏc điểm , , , C D E F

Giải:

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

1 Gọi P là giao điểm của AM

và NC thỡ PA PM PC

Ta cú OPN vuụng tại O, đường cao OC nờn suy ra

OC CP CN AP BN OB

OB OC BN AP

OA AB BN AM



Suy ra tứ giỏc AMDO nội tiếp đường trũn đường kớnh OM nờn ODM OAM 900

Do đú MD là tiếp tuyến của  O  KC KD

Vỡ OBC ICM và OADJDN nờn suy ra IC IM và JD JN

Mặt khỏc ta cú OM AN tại X và ON BM tại Y nờn F là trực tõm của OMN Gọi E là giao điểm của ' OF và MN thỡ OE'MN Ta chứng minh E' E

Ta cú MA2 MD2 MX MO ME MN MB MC  ' 

Xột phộp nghịch đảo f cực M , phương tớch k MA 2 ta cú: f biến cỏc điểm , B N

thành cỏc điểm , 'C E tương ứng

Suy ra f biến đường thẳng BN thành đường trũn MCE '

Vỡ BN tiếp xỳc với  O tại B và BN AM nờn đường trũn || MCE tiếp xỳc với '  O

tại C và tiếp xỳc với AM tại M Do đú I là tõm đường trũn MCE '

Chứng minh tương tự ta cú J là tõm đường trũn NDE '

Khi đú ta suy ra hai đường trũn MCE và ' NDE tiếp xỳc nhau tại '' E

'

E

 là giao điểm của IJ và MN nờn E'E

Vậy hai đường trũn MCE và  NDE tiếp xỳc với nhau tại  E

2 Vỡ KC là tiếp tuyến chung của  O và  I ; KD là tiếp tuyến chung của  O và  J

nờn ta suy ra P K I/   P K O/   P K J/  , do đú K là tõm đẳng phương của 3 đường trũn

     O , I , J  KC KD KE  Suy ra K là tõm đường trũn ngoại tiếp CDE (1)

P

Y

X

K

E

J

I

F

D

N

M

B O A

C

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Mặt khỏc ta cú MA2 MD2 MX MO ME MN MB MC MF MY    nờn phộp nghịch

đảo f cực M , phương tớch k MA 2 biến cỏc điểm , , ,F C D E tương ứng thành cỏc

điểm , , ,Y B D N

Mà 4 điểm , , ,Y B D N cựng thuộc đường trũn đường kớnh BN nờn 4 điểm , , ,F C D E

cựng thuộc một đường trũn (2)

Từ (1) và (2) suy ra K là tõm đường trũn đi qua 4 điểm , , , F C D E

Bài 8: Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H , ba đường cao là Gọi , , M N P lần lượt là

trung điểm cỏc cạnh BC CA AB Gọi , ,   là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNP Kớ hiệu ', ', 'A B C lần lượt là cỏc giao điểm thứ hai của MH NH PH và , ,   , Chứng minh rằng A A B B C C1 ', 1 ', 1 ' đồng quy tại một điểm X nằm trờn đường thẳng Euler của

tam giỏc ABC

Giải:

Ta kớ hiệu đường trũn qua 3 điểm , ,X Y Z là  XYZ 

Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNP Ta biết rằng   đi qua 9 điểm: , , , , ,

M N P A B C1 1 1 và trung điểm cỏc đoạn AH BH CH , ,

Giả sử là điểm đối xứng với M N P qua , , O

Xột phộp nghịch đảo cực H phương tớch k HM HA 'HN HB 'HP HC '

Phộp nghịch đảo này biến cỏc đường thẳng A A B B C C1 ', 1 ', 1 ' tương ứng thành cỏc đường trũn HMM' , HNN' , HPP , biến đường trũn '   thành chớnh nú và biến đường thẳng Euler của ABC thành chớnh nú