Phép tính tenxơ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị .... Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các phương trình cân bằng, phương trình c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội- Năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Khoa

Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu của tác giả

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả Đào Thị Bích Thảo

MỤC LỤC

TỔNG QUAN 1

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Phép biến đổi tọa độ 5

1.2.1 Hệ tọa độ Đề các 5

1.2.2 Hệ tọa độ cong 7

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 8

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide 14

1.3 Thành phần vật lý của tenxơ 20

1.3.1 Tenxơ hạng nhất 20

1.3.2 Tenxơ hạng hai 21

1.3.3 Khai triển cụ thể 21

1.4 Đạo hàm hiệp biến 23

1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở 23

1.4.2 Kí hiệu Christoffel 25

1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất 31

1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai 32

Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33

2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 33

2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 42

2.3 Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng 48

2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 48

2.3.2 Thành phần biến dạng của vỏ mỏng 49

2.3.3 Phương trình cân bằng 52

2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53

TỔNG QUAN

Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học khác Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các tập véctơ hình học

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng - chuyển vị Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa

độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì vậy trong các bài báo hay các giáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả

Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi của tenxơ Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong

hệ tọa độ cong bất kỳ Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được các phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo Nội dung chính của luận văn bao gồm:

- Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc xác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị ở chương 2

- Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu

Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa

Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ

cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định

Hệ thống kí hiệu

Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới

Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, nếu kí hiệu

Hạng của tenxơ

Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3 phần tử

Quy ước về chỉ số

Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3” Chỉ số như vậy là chỉ số câm nên nó

có thể thay bằng chữ khác

Hệ thống đối xứng

Xét hệ thống hạng hai Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay

Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu

Ví dụ hệ thống Kronecker

0 ,

Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số

Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau

Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3

=

0, 1,

−1,

khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau

Loại tenxơ

Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) được xác định bởi vị trí của chỉ số

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề các

Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc

(Hình 1)

điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác

Véc tơ ⃗ được biểu diễn dưới dạng

Xét điểm Q là lân cận của điểm P

= ⃗ ⃗

Suy ra:

a Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ )

Phép cộng

Nhân với một số

O

Hình 1

⃗ = ( ⃗ ) = ⃗

Nhân vô hướng

Nhân véctơ

⃗ × ⃗ =

Hay viết dưới dạng:

Tích hỗn hợp

Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là ⊗)

b Các phép tính đối với tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương

tự như đối với tenxơ hạng nhất

Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng loại Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ

Phép cộng

Phép trừ

Phép nhân vô hướng

Tích tenxơ

= ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số

trên

1.2.2 Hệ tọa độ cong

của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ cong

Biểu diễn véc tơ ⃗ dưới dạng :

= ⃗ (1.2)

⃗

O

Hình 2

Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ ⃗ được xác định bằng

Phép tính đối với vectơ

Phép cộng, trừ

Tích vô hướng

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ

dạng:

miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị

Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không

Ta có:

Ta kí hiệu :

⃗ = ⃗ ; ⃗ = ⃗ ; ⃗ = ⃗

hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong Trong đó

thức sau

Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô

kính ⃗ của điểm

sẽ được xác định từ biểu thức:

Khai triển cụ thể sẽ được kết quả:

Khai triển cụ thể (1.9)

dưới dạng:

Suy ra:

= ∙ (1.11) Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:

= + +

từ đó suy ra

= ∙ (1.14) Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau

Đối với tenxơ hạng hai Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở

⃗ ; ⃗ ; ⃗ tenxơ hạng 2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến như sau:

= ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗

Suy ra:

Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:

Vậy:

trong đó = ; = ; =

Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được:

Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:

Vậy:

Tương tự đối với tenxơ hạng cao ta có:

Tenxơ kết hợp

Thay (1.21) và ( 1.20) có

⇒ ⃗ = ⃗ ( 1.22)

Hay

⃗ = ⃗ (1.24 )

Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau:

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide

a Tenxơ mêtric hiệp biến

Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là

⃗

Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi

Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau

= ∙ + ∙ + ∙

b Xác định tenxơ mêtric phản biến

Đặt:

Hoặc

Trong đó :

= ⃗ ⃗ = 0 ( ≠ )