MỘT số bài TOÁN về PHƯƠNG TRÌNH TRÊN tập số NGUYÊN

Một số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPT. Một số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPTMột số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPTMột số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPTMột số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPTMột số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPT

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN

Bài 1 Tìm tất cả các cặp các số nguyên thỏa mãn

Lời giải Giả sử là một cặp thỏa mãn

Ta thấy và cũng là một cặp thỏa mãn

Bây giờ ta chỉ xét

Nếu ta có

Nếu ta có là số lẻ Viết lại phương trình đã cho dưới dạng

Vì chỉ có đúng một trong hai số chia hết cho nên và phải xảy ra một trong hai trường hợp sau

1/ Nếu , với là số nguyên dương lẻ

Từ ta có

Suy ra , do vậy Thay vào ta thấy không thỏa mãn

2/ Nếu , với là số nguyên dương lẻ

Từ ta có

Suy ra và Do đó Thay vào ta được , bởi vậy

Thử lại thấy đúng

Vậy các cặp số nguyên phải tìm là

Bài 2 Tìm tất cả các bộ ba các số tự nhiên thỏa mãn

Lời giải Giả sử là một bộ ba thỏa mãn

Nếu là các số lẻ thì là số lẻ, suy ra là số lẻ, vô lý!

Như vậy phải chia hết cho suy ra chia hết cho

Từ phương trình đầu ta có

Với cùng phương pháp ta sẽ chứng minh được là các số tự nhiên chẵn

Bằng quy nạp ta tìm được dãy các bộ ba các số tự nhiên thỏa mãn

với mỗi số tự nhiên Suy ra với mỗi số nguyên dương , cả ba số đều chia hết cho

Vậy bộ ba phải tìm là

Bài 3 Với mỗi số nguyên dương gọi là tập các số nguyên có thể biểu diễn dưới dạng

, với là số nguyên lớn hơn a/ Chứng minh rằng

b/ Tìm

Lời giải.

a/ Nếu ngược lại thì có các số nguyên dương lớn hơn sao cho

nhau Bởi vậy, tồn tại các số nguyên dương sao cho

Ta có

Phép so sánh đơn giản chỉ ra rằng không thể xảy ra

Như vậy

b/ Trên tập các số nguyên dương ta xét hai hàm số

Dễ thấy đây là các hàm số tăng và với mỗi

số nguyên dương , ta có

Suy ra nếu có các số nguyên dương lớn hơn thỏa mãn thì Khi đó

Như vậy giao phải tìm là

Bài 4 Cho là một bộ ba các số nguyên dương thỏa mãn Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên thỏa mãn

Lời giải 1 Từ giả thiết ta có

khác nhau Từ không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

Từ đẳng thức cuối ta có

Bài toán được giải

Lời giải 2 Nếu tồn tại những bộ ba thỏa mãn điều kiện đề bài nhưng không có dạng mong muốn,

ta chọn là một bộ ba như vậy có tổng ba thành phần nhỏ nhất Ta thấy Không mất tính tổng quát ta giả sử

Nếu ta có và ta có thể viết

với Trái với cách chọn bộ ba

Như vậy là

Dễ chứng minh được

Xét bộ ba các số nguyên dương với

Suy ra tồn tại các số nguyên thỏa mãn

Từ đây ta có

Trái với cách chọn bộ ba

Bài toán được giải

Bài 5 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương thỏa mãn phương trình

có nghiệm nguyên dương

Bài 6 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình

có nghiệm nguyên dương.

Bài 7 Tìm tất cả các bộ ba các số tự nhiên thỏa mãn

Bài 8 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình

có nghiệm nguyên dương