Phép nghịch đảo và một số ứng dụng đẹp của nó

Với niềm yêu thích hình học, yêu thích phép nghịch đảo và cácnét đẹp của nó mà tôi đã chọn đề tài Phép nghịch đảo và một sốứng dụng đẹp của nó làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.Nh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn 1

1.1 Giới thiệu phép biến hình 5

1.1.1 Khái niệm hình 5

1.1.2 Khái niệm phép biến hình 6

1.1.3 Tích của hai phép biến hình 6

1.1.4 Phép biến hình đảo ngược 7

1.1.5 Phép biến hình có tính chất đối hợp 7

1.2 Điểm kép, hình kép 7

1.3 Định hướng 8

1.3.1 Định hướng trong mặt phẳng 8

1.3.2 Định hướng trong không gian 10

1.4 Phép vị tự 11

1.5 Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu 11 1.5.1 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn 11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

1.5.2 Trục đẳng phương của hai đường tròn 121.5.3 Hai đường tròn trực giao 121.5.4 Phương tích của một điểm đối với mặt cầu 12

2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 142.2 Một số định lý cơ bản 162.3 Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch

đảo 202.4 Ảnh của mặt phẳng và mặt cầu qua phép nghịch đảo 242.5 Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo 28

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ

lòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội 2, các thầy cô trong tổ bộ môn Hình học cũng như các thầy

cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu

và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học

và khóa luận

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới

ThS Nguyễn Thị Trà, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo giúp đỡ

để tôi có thể hoàn thành khóa luận này

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn nhiều hạn chế

nên bản khoá luận không thể tránh khỏi những sai sót Vì vậy tôi rất

mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy cô và các

bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội,ngày tháng năm 2018

Sinh viên

Khuất Phương Anh

Lời cam đoan

Khóa luận này được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên

cứu của bản thân và sự hướng dẫn của ThS.Nguyễn Thị Trà

Trong khóa luận này tôi có tham khảo các kết quả nghiên cứu của

các nhà khoa học trong và ngoài nước Tôi xin cam đoan kết quả của

khóa luận này là không sao chép từ bất cứ khóa luận nào khác

Hà Nội,ngày tháng năm 2018

Sinh viên

Khuất Phương Anh

Trong chương trình THPT người ta đã đưa vào giảng dạy một sốphép biến hình như phép tịnh tiến, phép vị tự, phép đồng dạng, Tuy nhiên một phép biến hình đặc biệt là phép nghịch đảo thì khôngđược đề cập đến vì nó đòi hỏi nhiều kiến thức chuyên sâu và phức tạp hơn.Khi lên đến bậc đại học thì với nền kiến thức tốt hơn, sinh viênđược giới thiệu và nghiên cứu kĩ về phép nghịch đảo Có rất nhiềubài toán khó giải theo cách thông thường hoặc sử dụng các phépbiến hình bình thường thì lời giải dài và phức tạp, nhưng khi áp dụngphép nghịch đảo vào lời giải thì thu được cách chứng minh rất đẹp

và dễ hiểu Ngoài ra khi rèn luyện các bài toán liên quan đến phépnghịch đảo, người học còn phát triển được tư duy logic và khả năngquan sát trực quan tốt hơn

Với niềm yêu thích hình học, yêu thích phép nghịch đảo và cácnét đẹp của nó mà tôi đã chọn đề tài Phép nghịch đảo và một sốứng dụng đẹp của nó làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.Nhờ có vậy mà tôi có điều kiện và cơ hội để làm quen, tìm hiểu vànghiên cứu nhiều hơn về phép nghịch đảo

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

Bố cục bài khóa luận gồm 3 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phép nghịch đảo

Chương 3: Một số ứng dụng đẹp của phép nghịch đảo

mở rộng nó ra để tiện cho việc diễn đạt các ý kiến Ta sẽ gọi mộttập hợp điểm khác rỗng là một hình.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

1.1.2 Khái niệm phép biến hình

Ta ký hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P Khi đó mỗihình H bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của P và được

ký hiệu là H ⊂ P

Định nghĩa 1.1 Cho một tập hợp bất kỳ P khác rỗng Một song ánh

từ P vào chính nó được gọi là một phép biến hình của tập P

Như vậy cho một phép biến hình f : P −→ P là cho một quy tắc đểbất kỳ điểm M thuộc P , ta tìm được một điểm M0 = f (M ) hoàn toànxác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

1 Nếu M, N là hai điểm bất kỳ phân biệt của P thì f (M ), f (N ) làhai điểm phân biệt của P

2 Với một điểm M0 thuộc P bao giờ cũng có một điểm M thuộc Psao cho f (M ) = M0

Điểm M0 được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M gọi là tạo ảnh của điểm M0 qua phép biến hình

f nói trên Người ta còn nói phép biến hình f biến điểm M thànhđiểm M0 và ta có f (M ) = M0

1.1.3 Tích của hai phép biến hình

Định nghĩa 1.2 Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phépbiến hình liên tiếp nhau Nếu ta dùng một phép biến hình f : P −→ P

để biến một điểm M bất kỳ của P thành một điểm M0 rồi lại dùngtiếp một phép biến hình thứ hai g : P −→ P để biến M0 thành M00

Ta có:

M0 = f (M ); M00 = g(M0)

Khi đó phép biến hình h biến M thành M00 gọi là tích của hai phépbiến hình f và g được ký hiệu h = g.f Ta có:

h(M ) = (g.f )(M ) = M00 = g(M0) = g[f (M )]

Nói chung tích g.f và tích f.g là hai phép biến hình khác nhau

1.1.4 Phép biến hình đảo ngược

Định nghĩa 1.3 Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm Mthành điểm M0 Khi đó phép biến hình biến điểm M0 thành điểm Mgọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã cho

Ký hiệu f−1 là phép biến hình đảo ngược của f và f−1(M0) = M Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f−1

và ta có: f.f−1 = f−1.f = Id (phép đồng nhất)

1.1.5 Phép biến hình có tính chất đối hợp

Định nghĩa 1.4 Cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm M0,sau đó thực hiện tiếp phép biến hình f biến điểm M0 thành điểm M00.Nếu M00 trùng với M thì ta nói phép biến hình f có tính chất đối hợp

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

Định nghĩa 1.6 Hình H được gọi là hình kép đối với một phép biếnhình nào đó nếu ảnh của mỗi điểm trên H cũng nằm trên chính H

1.3 Định hướng

Ở lớp dưới ta thường nói các góc có số đo không vượt quá 360o nhưgóc nhọn, góc vuông, góc bẹt, Tuy nhiên trong thực tế nhiều khichúng ta phải quan niệm góc với nghĩa rộng hơn Ví dụ khi bánh xequay một vòng rưỡi ta nói rằng nó quay một góc 540o, hơn nữa việcquay đó có thể thực hiện theo hai chiều quay khác nhau Cùng vớiviệc định hướng cho đoạn thẳng, đường thẳng, việc định hướng chogóc trong mặt phẳng, không gian sẽ mang lại cho chúng ta nhiều điềuthuận lợi trong việc nghiên cứu hình học cũng như nhiều lĩnh vực khác

a) Góc định hướng giữa hai tia

Định nghĩa 1.7 Cho hai tia Ox và Oy, chọn tia đầu là Ox, tia cuối

là Oy Khi đó góc định hướng giữa hai tia là hình thu được khi quaytia Ox quanh điểm O tới trùng tia Oy

Ký hiệu: (Ox, Oy)

Nhận xét:

Góc định hướng có nhiều giá trị

Góc định hướng dương nếu góc quay theo chiều dương của mặt phẳng

và ngược lại

Nếu chọn α là góc định hướng khi quay tia Ox tới trùng tia Oy, ta

có thể quay thêm một, hai hay một số vòng nữa để tia Ox trùng vớitia Oy Tất cả các giá trị của các góc nói trên đều gọi là các giá trị củagóc định hướng suy rộng (Ox, Oy) Như vậy góc định hướng suy rộng

có vô số giá trị nên được ký hiệu là:

(Ox, Oy) = α + k2π(k ∈ Z)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

b) Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 1.8 Trong mặt phẳng P , cho hai đường thẳng a và b cắtnhau tại điểm O Góc định hướng giữa hai đường thẳng a, b là góc quayđường thẳng a xung quanh điểm O đến trùng đường thẳng b

Ký hiệu: (a, b)

Khác với góc định hướng giữa hai tia, ta nhận thấy rằng khi quayđường thẳng a xung quanh điểm O để đến trùng với b thì cứ quaynửa vòng đường thẳng a lại đến trùng với đường thẳng b một lần.Bởi vậy góc định hướng của hai đường thẳng a, b xác định sai khácmột góc kπ nên được ký hiệu là:

(a, b) = β + kπ(k ∈ Z)

1.3.2 Định hướng trong không gian

Định nghĩa 1.9 Trong không gian cho đường thẳng ∆ đã đượcđịnh hướng Xung quanh ∆ sẽ có hai chiều quay Nếu ta chọn mộtchiều là dương, một chiều là âm thì ta nói rằng ta đã định hướng đượckhông gian

1.4 Phép vị tự

Định nghĩa 1.10 Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số

k 6= 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M0sao cho −−→

OM0 = k.−−→

OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k

Ký hiệu: VOk

Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự

1.5 Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu

1.5.1 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Định nghĩa 1.11 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định Đường thẳng

∆ thay đổi qua M cắt (O) tại hai điểm A và B

Khi đó M A.M B = M O2 − R2= không đổi

Tích M A.M B gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O)

Ký hiệu: PM/(O)

Ta có:

PM/(O) = M A.M B = M O2 − R2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

1.5.2 Trục đẳng phương của hai đường tròn

Định nghĩa 1.12 Cho hai đường tròn (O) và (O0) Quỹ tích nhữngđiểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn (O) và (O0) làmột đường thẳng vuông góc với đường thẳng nối hai tâm của haiđường tròn đó Quỹ tích này được gọi là trục đẳng phương của haiđường tròn (O) và (O0)

1.5.3 Hai đường tròn trực giao

Định nghĩa 1.13 Hai đường tròn được gọi là trực giao với nhautại một điểm chung M của chúng nếu hai tiếp tuyến ở M của haiđường tròn đó vuông góc với nhau

1.5.4 Phương tích của một điểm đối với mặt cầu

Định nghĩa 1.14 Nếu từ một điểm M cố định ta vẽ một cát tuyếnthay đổi cắt mặt cầu (S) bán kính R cho trước ở A và B thì tích

M A.M B là một số không đổi.

Tích số M A.M B được gọi là phương tích điểm M đối với mặt cầu (S)

và được ký hiệu là PM/(S)

Ta có:

PM/(S) = M A.M B = M O2 − R2

Chương 2

Phép nghịch đảo

Trong các phép biến hình, phép nghịch đảo được coi là một phép kháđặc biệt Nó có các tính chất rất thú vị được ứng dụng để giải nhiềubài toán khó Trong chương này chúng ta cùng đi xem xét định nghĩaphép nghịch đảo và các tính chất cơ bản của nó

2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Định nghĩa 2.1 Trong mặt phẳng, cho một điểm O cố định vàmột hằng số k 6= 0 Nếu từ mỗi điểm M của mặt phẳng khác vớiđiểm O, ta tìm được điểm M0 thẳng hàng với hai điểm O và M sao cho

OM OM0 = k (k ∈ R) thì phép biến hình M0 = f (M ) được gọi làmột phép nghịch đảo cực O, phương tích k Ta ký hiệu một phépnghịch đảo như vậy là f (O, k) hoặc N (O, k) hoặc NOk

Tính chất 2.1.1 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp

Thật vậy, gọi M0 là ảnh của M qua phép nghịch đảo f (O, k)

Suy ra OM OM0 = OM0.OM = k

Nghĩa là, nếu M0 = f (M ) thì ta cũng có M = f (M0).

Do đó f.f (M ) = M hay f2 là phép đồng nhất

Tính chất 2.1.2 Nếu hai điểm M và M0 là tương ứng với nhau quaphép nghịch đảo f (O, k) thì M, M0, O thẳng hàng

Điều này hiển nhiên theo định nghĩa

Tính chất 2.1.3 Tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo

f (O, k), với k > 0 là đường tròn tâm O, bán kính √

Với k > 0 thì hai điểm A và A0 là ảnh của A qua phép nghịch đảo

f (O, k) sẽ cùng nằm về một phía đối với điểm O

Với k < 0 thì hai điểm A và A0 là ảnh của A qua phép nghịch đảo

f (O, k) sẽ nằm khác phía đối với điểm O

Hình 2.1:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

2.2 Một số định lý cơ bản

Định lý 2.1 Điều kiện cần và đủ để hai điểm bất kỳ là ảnh củanhau trong phép nghịch đảo f (O, k) là có hai đường tròn đi quahai điểm đó và cùng trực giao với đường tròn nghịch đảo của phépnghịch đảo f (O, k)

Chứng minh

Điều kiện cần:

Gọi (O1), (O2) là hai đường tròn đi qua hai điểm A và A0

Theo tính chất ảnh của một điểm qua phép nghịch đảo, ta có ba điểm

O, A, A0 thẳng hàng và OA.OA0 = k

Ta lại có:

PO/(O1) = OA.OA0 = (

√k)2 = k

Do đó (O1) trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O

Tương tự (O2) cũng trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O

Như vậy, không những ta có hai đường tròn đi qua 2 điểm A, A0 vàtrực giao với đường tròn nghịch đảo mà có hẳn một chùm đường tròntrực giao với đường tròn nghịch đảo.

Điều kiện đủ:

Giả sử hai đường tròn (O1) và (O2) cùng trực giao với đường trònnghịch đảo của phép nghịch đảo f (O, k) (k > 0) và đi qua hai điểm A, A0

Vì đường tròn nghịch đảo trực giao với (O1) và (O2) nên tâm O của

nó nằm trên trục đẳng phương AA0 của (O1) và (O2), nghĩa là ba điểm

O, A, A0 thẳng hàng

Lại có:

OA.OA0 = PO/(O1) = (

√k)2 = k

Suy ra tồn tại phép nghịch đảo f (O, k) : A 7−→ A0

Định lý 2.2 Với mỗi phép nghịch đảo, hai điểm bất kỳ không thẳng hàngvới cực nghịch đảo, và ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó cùngnằm trên một đường tròn

Chứng minh Gọi A, B hai điểm bất kỳ không thẳng hàng và A0, B0 làảnh của chúng qua phép nghịch đảo tâm O, phương tích k

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

Suy ra

\BAA0 + \BB0A0 = 180o

Từ đó ta thấy bốn điểm A, A0, B, B0 cùng thuộc một đường tròn.Định lý 2.3 Nếu phép nghịch đảo f (O, k) biến hai điểm A, B lần lượtthành hai điểm A0, B0 thì A0B0 = |k| AB

OA.OB.Chứng minh T H1: Ba điểm O, A, B không thẳng hàng.(Hình 2.2)

Hình 2.2:

Do điểm A0 = f (O, k)(A) và B0 = f (O, k)(B)

Nên theo định lý 2.2 ta có: ∆OBA v ∆OA0B0

|k|

OA.OB.

Do đó ta được điều phải chứng minh: A0B0 = |k| AB

Suy ra ta được điều phải chứng minh: A0B0 = |k| AB

OA.OB.Định lý 2.4 Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực là một phép vị tự

Chứng minh Giả sử có hai phép nghịch đảo cùng cực O và phươngtích lần lượt là k1 và k2

Gọi A0 = f1(O, k1)(A) và A00 = f2(O, k2)(A0)

Nên suy ra: f2(O, k2).f1(O, k1) = VOk2k1

Vậy tích của hai phép nghịch đảo là một phép vị tự tâm O, tỷ số k2

k1.

Như vậy ta thấy rằng, khi cho một hình F thì hình dạng của ảnh F0không phụ thuộc phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vị trí củacực nghịch đảo

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

Thật vậy, giả sử F1 là ảnh của F qua phép nghịch đảo f1(O, k1) và

F là ảnh của F2 qua phép nghịch đảo f2(O, k2)

Điều này hiển nhiên theo định nghĩa

Định lý 2.6 Ảnh của một đường thẳng không đi qua cực nghịch

đảo là một đường tròn đi qua cực nghịch đảo, ngược lại ảnh của một

đường tròn đi qua cực nghịch đảo là một đường thẳng không đi qua

cực nghịch đảo

Chứng minh Giả sử cho phép nghịch đảo f (O, k) và đường thẳng d

bất kỳ không đi qua điểm O (Hình 2.3)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên đường thẳng d và H0 là

ảnh của H qua f (O, k)

Trên d lấy điểm A bất kỳ và gọi A0 = f (O, k)(A)

Khi đó, ta có AH ⊥ OH và bốn điểm A, A0, H, H0 cùng thuộc một

đường tròn

Suy ra \AA0H = 90o hay điểm A0 nằm trên đường tròn tâm I đường kính OH0

Trên đường tròn (I) lấy điểm A0 bất kỳ, gọi A = f (O, k)(A0).

Khi đó ta có \OA0H0 = 90o và bốn điểm A, A0, H, H0 cùng thuộc mộtđường tròn

Suy ra \AHH0 = 90o hay điểm A thuộc đường thẳng d qua điểm H vàvuông góc với HH0

Dễ thấy đường thẳng d không đi qua điểm O

Vậy qua phép nghịch đảo, đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo

sẽ biến thành đường tròn đi qua cực nghịch đảo và ngược lại

Nhận xét: Điểm I0 là ảnh của tâm I qua phép nghịch đảo f (O, k)chính là điểm đối xứng với O qua đường thẳng d

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

Thật vậy, gọi I0 = f (O, k)(I), H0 = (I) ∩ OI và H = f (O, k)(H0).Khi đó ta có:

OI.OI0 = OH.OH0 = OH.(2.OI)

Suy ra OI0 = 2.OH

Hay điểm I0 là điểm đối xứng của điểm O qua đường thẳng d

Định lý 2.7 Một đường tròn và một đường thẳng thường có thể xem

là ảnh của nhau qua hai phép nghịch đảo, nếu đường thẳng khôngtiếp xúc với đường tròn

Chứng minh

Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không tiếp xúc với (O) (Hình 2.4)

Kẻ đường kính AB của đường tròn O vuông góc với d tại điểm H

Hình 2.4:

Cả hai phép nghịch đảo f (A, k1) và f (B, k2) đều biến đường tròn (O)thành đường thẳng d và ngược lại (theo định lý 2.6)

Trường hợp đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O): (Hình 2.5)

Hình 2.5:

Giả sử đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A (tức là H ≡ B) thì chỉ cómột phép nghịch đảo cực B biến đường thẳng d thành đường tròn (O)

và ngược lại

Định lý 2.8 Ảnh của một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo

là một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo

Hình 2.6:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh

Chứng minh Cho phép nghịch đảo f (O, k1) và đường tròn tâm I

không đi qua điểm O (Hình 2.6)

Trên đường tròn (I) lấy điểm A bất kỳ, gọi điểm A0 là ảnh của A

tâm O, tỷ số λ

Do đó, đường tròn (I0) là ảnh của đường tròn (I) qua phép nghịch đảo f (O, k)

Dễ thấy, đường tròn (I) không đi qua điểm O nên đường tròn (I0) cũng

không đi qua điểm O

2.4 Ảnh của mặt phẳng và mặt cầu qua phép

Điều này hiển nhiên trong định nghĩa.

Định lý 2.10 Ảnh của một mặt phẳng không đi qua cực nghịch đảo

là một mặt cầu qua cực nghịch đảo, ngược lại ảnh của một mặt cầuqua cực nghịch đảo là một mặt phẳng không đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh Giả sử cho phép nghịch đảo f (O, k) và mặt phẳng (P )bất kỳ không đi qua điểm O

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (P ) và H0

là ảnh của điểm H qua f (O, k)

Suy ra OH⊥(P ) Trên (P ) lấy điểm A bất kỳ và gọi A0 là ảnh của Aqua f (O, k)

Khi đó, ta có AH⊥OH và bốn điểm A, A0, H, H0 cùng thuộc mộtmặt cầu

Suy ra \AA0H = 90o hay điểm A0 nằm trên mặt cầu tâm I đường kính OH0

Do đó, khi điểm A chạy trên mặt phẳng (P ) thì điểm A0 chạy trênmặt cầu tâm I đường kính OH0

Ngược lại, cho phép nghịch đảo f (O, k) và mặt cầu tâm I đi quađiểm O

Gọi H0 = (I) ∩ OI và H = f (O, k)(H0)

Trên mặt cầu (I) lấy điểm A0 bất kỳ, gọi A = f (O, k)(A0)

Khi đó, ta có \OA0H0 = 90o và bốn điểm A, A0, H, H0 cùng thuộc mộtmặt cầu

Suy ra \AHH0 = 90o hay điểm A thuộc mặt phẳng (P ) qua điểm H

và vuông góc với HH0

Dễ thấy mặt phẳng (P ) không đi qua điểm O

Vậy qua phép nghịch đảo, mặt phẳng không đi qua cực nghịch đảo sẽ