Phép tính tenxơ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị .... Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các phương trình cân bằng, phương trình c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội- Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Khoa

Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu của tác giả

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả

Đào Thị Bích Thảo

MỤC LỤC

TỔNG QUAN 1

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Phép biến đổi tọa độ 5

1.2.1 Hệ tọa độ Đề các 5

1.2.2 Hệ tọa độ cong 7

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 8

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide 14

1.3 Thành phần vật lý của tenxơ 20

1.3.1 Tenxơ hạng nhất 20

1.3.2 Tenxơ hạng hai 21

1.3.3 Khai triển cụ thể 21

1.4 Đạo hàm hiệp biến 23

1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở 23

1.4.2 Kí hiệu Christoffel 25

1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất 31

1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai 32

Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33

2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 33

2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 42

2.3 Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng 48

2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 48

2.3.2 Thành phần biến dạng của vỏ mỏng 49

2.3.3 Phương trình cân bằng 52

2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53

TỔNG QUAN

Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học khác Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các tập véctơ hình học

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng - chuyển vị Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa

độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì vậy trong các bài báo hay các giáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả

Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi của tenxơ Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong

hệ tọa độ cong bất kỳ Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được các phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo Nội dung chính của luận văn bao gồm:

- Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc xác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị ở chương 2

- Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu

Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, nếu kí hiệu 𝑎𝑖

nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 𝑎𝑖𝑗 biểu thị 1 trong 9 phần tử

𝑎11, 𝑎12,𝑎13, 𝑎21 ,𝑎22, 𝑎23 ,𝑎31 , 𝑎32 ,𝑎33

Hạng của tenxơ

Hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ số trong kí hiệu tenxơ Như𝑎𝑖 phụ thuộc vào một chỉ số nên 𝑎𝑖 là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử 𝑎𝑖𝑗 phụ thuộc vào 2 chỉ số(𝑖, 𝑗) nên𝑎𝑖𝑗 là hệ thống hạng 2 bao gồm 32 = 9 phần tử

Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu

mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống 𝑎𝑖𝑗 là hệ thống phản đối xứng

−1,

khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3

khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

Cụ thể:𝑒123 = 𝑒231 = 𝑒312 = 1 ,

𝑒132 = 𝑒213 = 𝑒321 = −1,

Cách thành phần còn lại của 𝑒𝑖𝑗𝑘 = 0

Loại tenxơ

Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số

Hệ thống hạng hai𝑎𝑖𝑗 gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai

Hệ thống hạng hai𝑎𝑖𝑗 gọi là tenxơ phản biến hạng hai

Hệ thống hạng hai𝑎𝑗𝑖 gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2 Phép biến đổi tọa độ

1.2.1 Hệ tọa độ Đềcác

Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc

𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 với véc tơ cơ sở 𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3(Hình 1)

𝑅 = 𝑅 (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác

Véc tơ 𝑅 được biểu diễn dưới dạng

𝑅 = 𝑦1𝑒 1+ 𝑦2𝑒 2 + 𝑦3𝑒 3 = 𝑦𝑖𝑒 𝑖 𝑖 = 1,2,3 (1.1) Xét điểm Q là lân cận của điểm P

𝑃𝑄 = 𝑑𝑅 = 𝑑 𝑦𝑖𝑒 𝑖 = 𝑦𝑖𝑑𝑒 𝑖 + 𝑒 𝑖𝑑𝑦𝑖 = 𝑒 𝑖𝑑𝑦𝑖 (𝑑𝑜𝑑𝑒 𝑖 = 0)

𝑑𝑠2 là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của 𝑃𝑄

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑅 𝑑𝑅 = 𝑒 𝑖𝑑𝑦𝑖 𝑒 𝑖𝑑𝑦𝑖

= 𝑒 𝑖 𝑒 𝑗𝑑𝑦𝑖𝑑𝑦𝑗

Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở 𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3 là các véctơ đơn vị và trực giao nên tích vô hướng𝑒 𝑖 𝑒 𝑗=0 nếu 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑒 𝑖 𝑒 𝑗 = 1 nếu 𝑖 = 𝑗 nên 𝑒 𝑖 𝑒 𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 Suy ra:

𝑑𝑠2 = 𝑒 𝑖 𝑒 𝑗𝑑𝑦𝑖𝑑𝑦𝑗 = 𝛿𝑖𝑗𝑑𝑦𝑖𝑑𝑦𝑗 = 𝑑𝑦𝑖𝑑𝑦𝑖 = 𝑑𝑦1 2 + 𝑑𝑦2 2 + 𝑑𝑦3 2

a Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ)

Xét một hệ thống𝑎 có các thành phần 𝑎𝑖 trong hệ cơ sở 𝑒 𝑖

Phép cộng

𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑖𝑒 𝑖 + 𝑏𝑖𝑒 𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 𝑒 𝑖 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑒 1 + 𝑎2+ 𝑏2 𝑒 2 + 𝑎3 + 𝑏3 𝑒 3 Nhân với một số

𝜆𝑎 = 𝜆 𝑎𝑖𝑒 𝑖 = 𝜆𝑎𝑖𝑒 𝑖 = 𝜆𝑎1𝑒 1 + 𝜆𝑎2𝑒 2 + 𝜆𝑎3𝑒 3 Nhân vô hướng

𝑎 𝑏 = 𝑎𝑖𝑒 𝑖 𝑏𝑗𝑒 𝑗 = 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑒 𝑖 𝑒 𝑗 = 𝑎𝑖𝑏𝑗𝛿𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑏𝑖 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3 Nhân véctơ

𝑎 ⨂𝑏 = 𝑎𝑖𝑒 𝑖 ⊗ 𝑏𝑗𝑒 𝑗 = 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑒 𝑖⨂𝑒 𝑗

= 𝑎1𝑏1𝑒 1⨂𝑒 1 + 𝑎1𝑏2𝑒 1⨂𝑒 2+ 𝑎1𝑏3𝑒 1⨂𝑒 3 + 𝑎2𝑏1𝑒 2⨂𝑒 1 + 𝑎2𝑏2𝑒 2⨂𝑒 2 +𝑎2𝑏3𝑒 2⨂𝑒 3 + 𝑎3𝑏1𝑒 3⨂𝑒 1+ 𝑎3𝑏2𝑒 3⨂𝑒 2 + 𝑎3𝑏3𝑒 3⨂𝑒 3

b Các phép tính đối với tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao

Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương

tự như đối với tenxơ hạng nhất

Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng loại Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ

Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : 𝔸 = 𝑎𝑖𝑗𝑒 𝑖𝑒 𝑗

Phép cộng

𝑎𝑖𝑗𝑒 𝑖𝑒 𝑗 + 𝑏𝑖𝑗𝑒 𝑖𝑒 𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 𝑒 𝑖𝑒 𝑗

Phép trừ

𝑎𝑖𝑗𝑒 𝑖𝑒 𝑗 − 𝑏𝑖𝑗𝑒 𝑖𝑒 𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 𝑒 𝑖𝑒 𝑗 Phép nhân vô hướng

𝑎𝑖𝑗𝑒 𝑖𝑒 𝑗 𝑏𝑘𝑒 𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑘𝑒 𝑖 𝑒 𝑗 𝑒 𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑘𝑒 𝑖𝛿𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑗𝑒 𝑖

𝑎𝑖𝑗𝑒 𝑖𝑒 𝑗 𝑏𝑘𝑙𝑒 𝑘𝑒 𝑙 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑘𝑙𝑒 𝑖𝑒 𝑙 𝑒 𝑗 𝑒 𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑘𝑙𝑒 𝑖𝑒 𝑙𝛿𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑗𝑙𝑒 𝑖𝑒 𝑙 Tích tenxơ

𝑎𝑖𝑗𝑒 𝑖𝑒 𝑗 ⊗ 𝑏𝑘𝑙𝑒 𝑘𝑒 𝑙 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑘𝑙𝑒 𝑖𝑒 𝑗 ⊗ 𝑒 𝑘𝑒 𝑙 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑘𝑙𝑒 𝑖𝑒 𝑗𝑒 𝑘𝑒 𝑙 Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số

Biểu diễn véc tơ𝑅 dưới dạng :

𝑅 = 𝑥1𝑔 1 + 𝑥2𝑔 2 + 𝑥3𝑔 3 = 𝑥𝑖𝑔 𝑖 (1.2)Lấy điểm 𝑄 𝑥𝑖 + 𝑑𝑥𝑖 là lân cận của điểm 𝑃 𝑥𝑖

𝑃𝑄 = 𝑑𝑅 = 𝑔 𝑖𝑑𝑥𝑖

Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ𝑃𝑄 được xác định bằng

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑅 𝑑𝑅 = 𝑔 𝑖𝑑𝑥𝑖𝑔 𝑗𝑑𝑥𝑗 = 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗 = 𝑔𝑖𝑗𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗 Trong đó 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗

Phép tính đối với vectơ

Cho hai véctơ𝑎 = 𝑎𝑖𝑔 𝑖 = 𝑎𝑖𝑔 𝑖 và𝑏 = 𝑏𝑖𝑔 𝑖 = 𝑏𝑖𝑔 𝑖

Phép cộng, trừ

𝑎 ± 𝑏 = 𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖 𝑔 𝑖 = 𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖 𝑔 𝑖 Tích vô hướng

𝑎 𝑏 = 𝑎𝑖𝑔 𝑖 𝑏𝑗𝑔 𝑗 = 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑔𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑔 𝑖 𝑏𝑗𝑔 𝑗 = 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑔𝑖𝑗

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ

Bán kính𝑅 của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác 𝑂, 𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3 biểu diễn dưới dạng:

𝑂𝑃 = 𝑅 = 𝑦𝑖𝑒 𝑖 = 𝑦1𝑒 1 + 𝑦2𝑒 2 + 𝑦3𝑒 3 Với các véc tơ cơ sở 𝑒 𝑖 là không đổi

Trong tọa độ cong𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 bất kỳ, các biến 𝑥𝑖 liên hệ với tọa đồ Đề các 𝑦𝑖 trong miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị

𝑥𝑖 = 𝑓𝑖 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 và 𝑦𝑖 = 𝜑𝑖 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không

𝑖

𝜕𝑥𝑘 ;𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑦𝑗là nghịch đảo của nhau

Ta kí hiệu :

hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong Trong đó

𝑔 1 là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ 𝑥1;

𝑔 2 là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ 𝑥2;

𝑔 3 là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ 𝑥3

Cùng với hệ véctơ cơ sở𝑔 𝑖, ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến𝑔 𝑖 liên hệ theo hệ thức sau

Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô cùng nhỏ từ𝑃 𝑥𝑖 tới điểm 𝑄 𝑥𝑖 + 𝑑𝑥𝑖 cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán kính 𝑅 của điểm 𝑃

𝑃𝑄 ≈ 𝑑𝑅 = 𝜕𝑅

𝜕𝑥1𝑑𝑥1 + 𝜕𝑅

𝜕𝑥2𝑑𝑥2 + 𝜕𝑅

𝜕𝑥3𝑑𝑥3

= 𝑔 1𝑑𝑥1 + 𝑔 2𝑑𝑥2 + 𝑔 3𝑑𝑥3 = 𝑔 𝑖𝑑𝑥𝑖 Vậy véctơ 𝑅 được biểu diễn dưới dạng: 𝑅 = 𝑥𝑖𝑔 𝑖

Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3sang hệ tọa độ cong khác 𝑥′ 1; 𝑥′ 2; 𝑥′ 3

Khai triển cụ thể sẽ đƣợc kết quả:

𝑎 = 𝑎𝑖𝑔 𝑖 = 𝑎𝑗𝑔 𝑗 Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ𝑎 không đổi Biểu diễn𝑎 với các thành phần phản biến

𝑎′ 𝑖 = 𝑎𝑚 𝜕𝑥

′ 𝑖

𝜕𝑥𝑚 ∙ (1.11) Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:

Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:

𝔸 = 𝑎𝑖𝑗𝑔 𝑖𝑔 𝑗 = 𝑎𝑖𝑗𝑔 𝑖𝑔 𝑗 = 𝑎𝑗𝑖𝑔 𝑖𝑔 𝑗 Trong đó 𝑎𝑖𝑗 là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ

𝑎𝑖𝑗 là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ

𝑎𝑗𝑖 là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở

Do các véc tơ 𝑔 𝑖; 𝑔 𝑗 đều là các véctơ cơ sở nên véctơ𝑔 𝑖 có thể biểu diễn thông qua

hệ véctơ cơ sở 𝑔 𝑗 và ngƣợc lại

Thay (1.21) và ( 1.20) có

𝑔11 = 𝛼1 Làm tương tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với𝑔 2

𝑔 1 𝑔 2 = 𝛼1𝑔 1 𝑔 2 + 𝛼2𝑔 2 𝑔 2 + 𝛼3𝑔 3 𝑔 2

⇔ 𝑔12 = 𝛼2 Tương tự tính được 𝑔13 = 𝛼3

Thay các 𝛼1; 𝛼2; 𝛼3 vào ( 1.19) suy ra

𝑔 1 = 𝑔11𝑔 1 + 𝑔12𝑔 2 + 𝑔13𝑔 3 ⇒ 𝑔 𝑖 = 𝑔𝑖𝑚𝑔 𝑚 ( 1.22) Ngược lại véc tơ 𝑔 𝑖 có thể biểu diễn qua các cơ sở𝑔 𝑗 Ví dụ

𝑔 1 = 𝛽1𝑔 1 + 𝛽2𝑔 2 + 𝛽3𝑔 3 ( 1.23) Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với𝑔 1 sẽ được

𝑔 𝑖 = 𝑔𝑖𝑛 𝑔 𝑛 (1.24 )

Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau:

𝑔 𝑖 = 𝑔𝑖𝑚𝑔 𝑚 ( phép nâng chỉ số)

𝑔 𝑖 = 𝑔𝑖𝑛 𝑔 𝑛 ( phép hạ chỉ số)

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide

a Tenxơ mêtric hiệp biến

Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi 𝑑𝑠2 là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là 𝑃𝑄

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑅 𝑑𝑅 = 𝑒 𝑑𝑦𝑖 𝑖 𝑒 𝑑𝑦𝑗 𝑗

= 𝑒 𝑒𝑖 𝑑𝑦𝑗 𝑖𝑑𝑦𝑗 = 𝛿𝑖𝑗𝑑𝑦𝑖𝑑𝑦𝑗 1.25 = 𝑑𝑦1 2 + 𝑑𝑦2 2 + 𝑑𝑦3 2 Xét trong tọa độ cong 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑅 𝑑𝑅 = 𝑔 𝑖𝑑𝑥𝑖𝑔 𝑗𝑑𝑥𝑗

= 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗 = 𝑔𝑖𝑗𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗 ( 1.26) Trong đó 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong

Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi

b Xác định tenxơ mêtric phản biến

Hệ véctơ cơ sở phản biến 𝑔 𝑖 liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức

𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝛿𝑗𝑖 - tenxơ Kronecker Với hệ cơ sở 𝑔 𝑖, 𝑔 𝑖, 𝑔 𝑖 đã biết ta xác định đƣợc

𝑔 = 𝑔 1 𝑔 2 × 𝑔 3 hay 𝑔 = 𝐷𝑒𝑡 𝑔𝑖𝑗 Đặt:

𝑔 = 𝑔 1 𝑔 2 × 𝑔 3 = 1

𝑔 Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao (𝑔 1 ⊥ 𝑔 2, 𝑔 3 ; 𝑔 1 ⊥ 𝑔 2; 𝑔 3 ), các véc tơ cơ

Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính𝑔11𝑔11 ta đƣợc:

𝑔11𝑔11 = 𝑔 1 𝑔 1 𝑔 1 𝑔 1 = 𝑔 1 1 𝑔 1 = 1

⇒ 𝑔11 = 1

𝑔11Thực hiện tương tự ta cũng nhận được

𝑔 2 = −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 0 , (1.32)

𝑔 3 = 0,0,1 Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa

𝑦1 = 𝑥1𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥3 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 ,

𝑦2 = 𝑥1𝑠𝑖𝑛𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥3 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 ,

𝑦3 = 𝑥1𝑐𝑜𝑠𝑥3 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑔 1 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑔 2 = −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 , 0 (1.34)

𝑔 3 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 , 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 , −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cầu

Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao, 𝑔 , 𝑔𝑖 trùng nhau về hướng, khác nhau về độ 𝑖

lớn nên các véc tơ 𝑒 , 𝑒𝑖∗ trùng nhau Vậy 𝑎𝑖∗ 𝑖 𝑔𝑖𝑖 = 𝑎𝑖 𝑔𝑖𝑖 = 𝑎𝑖∗

Ta gọi 𝑎𝑖∗ là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất

Kí hiệu:

𝑔𝑖𝑖 = 1

𝑔𝑖𝑖 = 𝐴𝑖2,

𝐴𝑖 gọi là hệ số Lamé Thành phần vật lý của véctơ 𝑎 có dạng :

𝑎𝑖𝑗∗là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai

Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ

Tổng kết lại ta có bảng giá trị sau:

Tọa độ trụ 𝒓, 𝝋, 𝒛 (Hình 3) Tọa độ cầu 𝒓, 𝜽, 𝝋 (Hình 4)

1.4 Đạo hàm hiệp biến

1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở

Sử dụng công thức (1.3) thu đƣợc đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở

𝜕𝑔 𝑖

𝜕𝑥𝑗 = 𝑔 𝑖,𝑗 = 𝑅 ,𝑖𝑗

Ta biểu thị 𝑔 𝑖,𝑗 qua các véctơ cơ sở nhƣ sau :

𝑔 𝑖,𝑗 = Γ𝑖𝑗𝑟𝑔 𝑟 = Γ𝑖𝑗𝑠𝑔 𝑠 = Γ𝑖𝑗𝑠𝑔𝑟𝑠𝑔 𝑟 (1.39) Vậy : Γ𝑖𝑗𝑟 = Γ𝑖𝑗𝑠𝑔𝑟𝑠 (1.40)

Các đại lƣợngΓ𝑖𝑗𝑟, Γ𝑖𝑗𝑠là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2

Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ

Nhân 2 vế của (1.41) với𝑔 1 Do hệ cong trực giao nên𝑔 1 𝑔 2 = 𝑔 1 𝑔 3 = 0, nên

𝑔 1𝑒 1 = 𝛼𝑔 1𝑔 1 = 𝛼 Suy ra:

1

𝜕𝑥1𝑒 12 =𝜕𝑦

1

𝜕𝑥1 , Tiến hành tương tự, ta nhân lần lượt hai vế của (1.41) với𝑔 2, 𝑔 3 sẽ thu được

Γ𝑖𝑗𝑠 =1

2 𝑔𝑖𝑠,𝑗 + 𝑔𝑗𝑠 ,𝑖 − 𝑔𝑖𝑗 ,𝑠 (1.47) Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến

Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức (1.22):

𝑔 𝑖 = 𝑔𝑖𝑚𝑔 𝑚suy ra

𝑔 ,𝑗𝑖 = 𝑔,𝑗𝑖𝑚 𝑔 𝑚 + 𝑔𝑖𝑚 𝑔 𝑚 ,𝑗 (1.48) Trong đó: 𝑔 𝑚 = 𝑔𝑚𝑠𝑔 𝑠 ; 𝑔 𝑚 ,𝑗 = Γ𝑚𝑗𝑠 𝑔 𝑠 (1.49)

Thay (1.49) vào (1.48), (1.48) trở thành:

𝑔 ,𝑗𝑖 = 𝑔,𝑗𝑖𝑚 𝑔𝑚𝑠𝑔 𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 Γ𝑚𝑗𝑠 𝑔 𝑠 = 𝑔 𝑠 𝑔,𝑗𝑖𝑚 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 Γ𝑚𝑗𝑠 (1.50) Xét tổng 𝑔,𝑗𝑖𝑚 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 Γ𝑚𝑗𝑠 + Γ𝑗𝑠𝑖 = 𝑔,𝑗𝑖𝑚 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 Γ𝑚𝑗𝑠 + 𝑔𝑖𝑚Γ𝑗𝑠𝑚

= 𝑔,𝑗𝑖𝑚 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 Γ𝑚𝑗𝑠 + Γ𝑗𝑠𝑚 (1.51) Với:

𝑔,𝑗𝑖𝑚 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 Γ𝑚𝑗𝑠 + Γ𝑗𝑠𝑖 = 𝑔,𝑗𝑖𝑚 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 𝑔𝑚𝑠 ,𝑗

= 𝑔𝑖𝑚 𝑔𝑚𝑠 ,𝑗 = 𝑔𝑠𝑖 ,𝑗 Lại có:

Biểu thức (1.54) là biểu thức xác định thành phần của đạo hàm véctơ cơ sở phản biến

b Biểu thức liên hệ giữa các thành phần Γ và đạo hàm của véctơ cơ sở

𝜕𝑥𝑠 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 ,𝑠 Vậy tổng hợp 3 biểu thức trên ta đƣợc kết quả nhƣ sau:

Γ𝑖𝑗𝑠 = Γ𝑗𝑖𝑠 = 𝑔 𝑖,𝑗 𝑔 𝑠 = 𝑔 𝑗 ,𝑖 𝑔 𝑠 ,

Γ𝑖𝑗𝑟 = Γ𝑗𝑖𝑟 = 𝑔 𝑟 𝑔 𝑖,𝑗 = 𝑔 𝑟 𝑔 𝑗 ,𝑖 , 1.55

Γ𝑖𝑠𝑗 + Γ𝑗𝑠𝑖 = 𝑔𝑖𝑗 ,𝑠 Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc các véctơ cơ sở𝑒 𝑖 không đổi,𝑦𝑖 ≡ 𝑥𝑖

Trong hệ tọa độ cong trực giao, với 𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠 thì 𝑔 𝑖 ⊥ 𝑔 𝑗 ⊥ 𝑔 𝑠

Suy ra 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑗𝑠 = 𝑔𝑖𝑠 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠

Thay vào công thức (1.47) suy ra: Γ𝑖𝑗𝑠 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠 ≠ 𝑖 (1.57)

ThayΓ𝑖𝑗𝑠 = 0 vào biểu thức (1.40) suy raΓ𝑖𝑗𝑠 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠 ≠ 𝑖