b Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.. Bài 6: 4 điểm Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài đường tròn.. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn B, C là các tiếp điểm.. AD cắt O tạ
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ DUYÊN HẢI
MÔN TOÁN − KHỐI 9 NĂM HỌC 2015 − 2016
Thời gian: 150 phút(không tính thời gian phát đề) ĐỀ:
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: : 1 2
1
B
xy
a) Rút gọn B
b) Tìm giá trị của B khi 2
x
c) Tìm giá trị lớn nhất của B
Bài 2: (4 điểm)
a) giải phương trình: x 4 1 x 1 2 x
b) Giải hệ phương trình:
8 x 6 y 3z 42(3)
x y z
x y z
Bài 3: (4 điểm)
Cho phương trình x2 − (3m + 1)x + 2m2 +m − 1 = 0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = x12 + x22 − 3x1x2
Bài 4: (2 điểm) Giải bất phương trình: 2 1 2
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BB' Chứng minh rằng:
Tổng bình phương ba cạnh của tam giác bằng CB'2 + 2AB'2 + 3BB'2
Bài 6: (4 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các
tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D AD cắt (O) tại điểm thứ hai
E, I là trung điểm của DE Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt
BE tại K
a) Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh ICB IDK
c) Chứng minh H là trung điểm của DK
Hết
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 9 NĂM HỌC 2015-2016
Bài
1
a) Điều kiện xy ≠ 1; y ≠ − 1; x ≥ 0
2 : 1
1
B
xy
:
.
2
1
x y x y y x x y x y y x xy x y xy
x
x
0,5
0,5
0,5 0,5
2
2 2 3 2
4 2 3 1 3
2 3
Do đó 2 1 3 2 3 1
1 4 2 3 5 2 3
0,5 0,5
x B
Vì x ≥ 0
2 1
0 1
x x
Do đó B lớn nhất khi B = 1 tại x = 1
0,5 0,5
Bài
2
a) PT đã cho tương đương
2 2
2
2 2
2
1 2 0
1
2
0 0
7 2
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
Vậy pt đã cho có nghiệm x=0
0,5
0,5
0,5
0,5
b)
8 x 6 y 3z 42(3)
x y z
x y z
Trang 3biểu thị z theo x và y từ pt (1): z = 12 – 2x + y
thế z vào pt(2) và pt(3) ta được:
3 4 5(12 2 ) 17
8 6 3(12 2 ) 42
Thế x = 3; y = -4 vào biểu thức z = 12 – 2x + y ta được z = 2
Vậy hpt có nghiệm là (x;y;z) = (3; -4; 2)
0,5
0,5 0,5 0,5
Bài
3
x2 − (3m + 1)x + 2m2 +m − 1 = 0
a) Ta có: 3m 12 4 2 m2 m 1
m2 2m 5 m 12 4 0 với mọi m
Vậy pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
0,5 1
0,5 b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình
Ta có: A = x12 + x22 − 3x1x2
= (x1+ x2)2 − 5x1x2
2 2 2 2 3 1 5 2 1 6 1 25 25 2 4 4 m m m m m m Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 25 4 khi 1 0 1 2 2 m hay m 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 Biểu thức vế trái có nghĩa khi x 2;x 1 Ta có 2 1 2 1 2 2 0 2 1 2 1 ( 2)( 1) ( 2)( 1) 2( 2)( 1) 0 ( 2)( 1) 8 2 4 0 0 ( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1)( 4) 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Lập bảng xét dấu x -2 1 4
x + 2 x - 1 x – 4 VT - 0 + + +
- - 0 + +
- - - 0 +
- 0 + 0 - 0 + Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -2 hoặc 1 < x < 4
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,5
0,25
Trang 45
Ta có ABC cân tại A nên AB = AC
do đó AB2 = AC2 = AB'2 + BB'2
BC2 = BB'2 + CB'2
AB2 + AC2 + BC2 = 2AB2 + BC2
= 2AB'2 + 2BB'2 + BB'2 + CB'2
= 2AB'2 + 3BB'2 + CB'2
Vậy
AB2 + AC2 + BC2 = CB'2 + 2AB'2 + 3BB'2
0,25 0,25 0,5 0,5 0,5
Bài
6
Hình vẽ đúng cho 0,5
a) B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn:
Ta có I là trung điểm của ED nên OI ED
OID 90 hay 0 OIA 90 0
Ta lại có OBA 90 0 (AB là tiếp tuyến)
OCA 90 0 (AC là tiếp tuyến)
I, B, C cùng nhìn OA dưới một góc vuông nên B, O, I, C cùng
thuộc một đường tròn đường kính OA
0,25 0,25 0,25
0,25
b) ICB IDK
Do DK BO nên DK // AB
BAI IDK (đồng vị)
mà BAI ICB (góc nội tiếp cùng chắn IB)
Vậy ICB IDK
0,25 0,25 0,25 0,25
c) H là trung điểm của KD
Theo câu a) ta có ABC AIC (góc nội tiếp cùng chắn AC)
hay ABC DIC
mà ABC DHC ( đồng vị)
DIC DHC
I H cùng nhìn BC dưới một góc không đổi nên DHIC nội tiếp
HID HCD
HCD BED (góc nội tiếp cùng chắn BD)
HID BED
BE // HI ( cặp góc đồng vị bằng nhau)
mà IE = ID (gt) HK = HD
Vậy H là trung điểm của KD
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
* Mọi cách làm khác đúng vẫn cho đủ số điểm
B' A
I
H K
M O
B
C
A
