phương trình vi phân

; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phươn

Trang 3

Tìm phương trình đường cong thoả mãn và cắt trục Oy tại 7

Lời giải:

,từ giả thiết thì nên

Đó là đường cong có phương trình

5)

Dung dịch glucose được truyền theo đường tĩnh mạch vào máu với vận tốc

không đổi r Khi glucose được đưa vào, nó chuyển thành các chất khác và bị đẩy khỏi máu với vận tốc tỷ lệ thuận với nồng độ tại thời điểm đó Như vậy, mô hìnhbiểu diễn nồng độ của dung dịch glucose trong máu là , trong đó k là hằng số dương.Giả sử nồng độ tại thời

điểm là Xác định nồng độ tại thời điểm tuỳ ý bằng cách giải PTVP nói trên

Giả sử rằng , tìm giới hạn và diễn giải đáp án của bạn

→∞

Trang 4

tại thời điểm t (đo theo năm), dung lượng cực đại được ước lượng bởi và

KC e

=

+

Trang 5

Trong mô hình sinh trưởng theo mùa, một hàm tuần hoàn theo thời gian được

đề nghị để tính đến những biến đổi có tính mùa vụ liên quan đến vận tốc sinh trưởng Những biến đổi ấy có thể, chẳng hạn, gây ra do những thay đổi có tính chất mùa vụ về nguồn thức ăn.Tìm nghiệm của mô hình sinh trưởng theo mùa , trong đó k, r và

r

Trang 7

nghiệm của phương trình , ngoài ra thỏa mãn phương trình nên

là nghiệm kì dị của phương trình

Trang 8

đó không phải là phương trình vi phân

tuyến tính Xong đó là phương trình Becnuli nên có thể đưa phương trình về phương trình vi phân tuyến tính bằng cách đặt

Trang 10

đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,

nên nghiệm được xác định

e.

;

Lời giải:

coi đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp

một,nên nghiệm được xác định

2

dy 2xy x

Trang 12

Những nhà tâm lý quan tâm đến lý luận học tập khảo sát đường cong học.

Đường cong học là đồ thị của hàm số P(t), hiệu quả của một ai đó học một kỹ năng được coi là hàm của thời gian huấn luyện t Đạo hàm thể hiện vận tốc mà tại đó hiệu suất học được nâng lên

a.

Bạn nghĩ P tăng lên nhanh nhất khi nào? Điều gì xảy ra với khi t tăng lên? Giải thích

Lời giải:

P tăng lên nhanh nhất khi thời gian huấn luyện ít nhất

Khi t tăng, tức là thời gian huấn luyện tăng lên dẫn đến giảm đi

b.

Nếu M là mức cực đại của hiệu quả mà người học có khả năng đạt được,giải

thích tại sao PTVP , k là hằng số dương là mô hình hợp lý cho việc học

dP dt

dP k(M P)

Trang 13

Khi thì

c.

Giải PTVP để tìm ra một biểu thức của P(t).Dùng lời giải của bạn để vẽ đồ thị

đường cong học.Giới hạn của biểu thức này là gì?

tlim P tlim (M Ce− ) M

3 2

Trang 14

đặt ta được đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,

c.

;

Lời giải:

đặt ta được đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,

Trang 15

;

Lời giải:

coi

đặt đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,

z e = ∫ C + ∫ 4sin 2ye−∫ dy ⇔ = z e C 8 sin ye − ∫ − d( sin y) −

Trang 16

Lời giải:

đặt

đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định

14)

Một vật khối lượng m rơi xuống từ trạng thái nghỉ và chúng ta giả sử rằng sức

cản không khí tỷ lệ thuận với vận tốc của vật Nếu S(t) là khoảng cách rơi được sau t giây thì vận

tốc là và gia tốc là Nếu g là gia tốc trọng trường thì lực hướng xuống dưới

tác động lên vật là , trong đó c là hằng số dương, Định luật Newton thứ hai dần đến

Trang 17

Khi vật không rơi tức ,từ ta có

Tìm các quỹ đạo trực giao của họ các đường cong Vẽ một vài

đường của mỗi họ trên cùng một hệ trục

Lời giải:

Quỹ đạo trực giao của họ các đường cong là quỹ tích của tọa độ khúc tâm của chính

đường cong đó,và tọa độ đó được xác định

c

= − ⇒

ct m

Trang 18

nên không phụ thuộc đường lấy tích phân

Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định

2 2

(x y )dx 2xydy

0 x

2 2

(x y )dx 2xydy

0 x

x y

2 2

Trang 19

Lời giải:

Nhận thấy là PTVP toàn phần vì

c.

;

Lời giải:

Trang 20

Lời giải:

Nhận thấy là PTVP toàn phần vì

Trang 21

;

Lời giải:

Nhận thấy là PTVP toàn phần

b.

;

Lời giải:

khi đó thừa số tích phân

.Ta được là PTVP toàn phần

(1 x y)dx

(y x)dy 0 x

Trang 22

d.

;

»

2 2 AB

(1 x y)dx

(y x)dy x

Trang 23

khi đó thừa số tích phân

Ta được là PTVP toàn phần

nên không phụ thuộc đường lấy tích phâ

(sin y x )dx sin 2ydy

x x

Trang 24

C C

= +  ÷ + − +

⇒ Cy (1 C )ln 1 xC Cx D = + 2 + − +

Trang 26

1 2

y (C = + C x)e y (0) ′ = − 1,5; y(0) 1 =

Trang 27

nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu:

Trang 29

Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình

thuần nhất

nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình

ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

c.

;

Lời giải:

Phương trình đặc trưng

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình

ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

Trang 30

;

Lời giải:

nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào

phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của

phương trình đã cho

e.

Lời giải:

nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay

vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng

quát của phương trình đã cho

Trang 31

có dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được

nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

y*= x(ax b)cos x x(cx d)sin x + + +

[ 4cx 2a 2d cos x + + ] + − [ 4ax 2c 2b sin x (x 2)cos x + − ] = + ⇔

Trang 32

Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào

phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

Nghiệm riêng của phương trình có dạng

thay vào phương trình và rút gọn ta được

Nghiệm riêng của phương trình

nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

y ′′ − 3y e cos x = y*= (a cos x bsin x)e + x

(2b 3a)cos x (2a 3b)sin x cos x − − + =

Trang 36

thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã

cho

Cách 2:

Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì

được xác định bởi hệ phương trình

Trang 37

Cách 1

thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

Cách 2:

Trang 38

nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

Cách 2:

Trang 39

Cách 2:

Trang 40

được xác định bởi hệ phương trình:

Trang 41

Cách 2:

Trang 42

Lời giải:

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

b.

;

Lời giải:

phương trình có nghiệm riêng

phương trình có nghiệm riêng dạng ,thay vào phương trình

y*= (ax b)cos x (cx d)sin x + + +

(2ax 2b 2a 2c)sin x ( 2cx 2d 2a 2c)cos x x cos x + − − + − − − + =

Trang 43

nghiệm tổng quát của phương trình :

c.

;

Lời giải:

phương trình có nghiệm riêng

phương trình có nghiệm riêng dạng ,thay vào phương trình

và rút gọn ta được

Với điều kiện ta có được Khi đó nghiệm riêng tương

Trang 44

Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và

Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút

6Bcos3x 6Asin 3x 6cos3x − = ⇒ = A 0;B 1 =

Trang 45

Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào

phương trình và rút gọn

Nghiệm riêng của phương trình có nghiệm riêng

nghiệm tổng quát của phương trình

g.

Lời giải:

Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút

gọn

nghiệm tổng quát của phương trình

Với điều kiện ta có được (XEM LẠI Đ/K)

y(0) 1, y ( / 2) 1 = ′ π =

Trang 46

Tìm nghiệm tổng quát của PT

Lời giải:

Phương trình đặc trưng có các nghiệm

Từ ta có hai nghiệm riêng

Trang 47

Trang 48

−

′ = C2 ex

2x

′ = −

Trang 49

d.

;

Lời giải:

Trang 50

Trang 51

x

Trang 52

Lời giải:

thay vào phương trình và rút gọn

Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát

và nghiệm riêng của phương trình là

Phương trình có nghiệm tổng quát

c.

Lời giải:

thay vào phương trình và rút gọn

Trang 53

Phương trình có nghiệm tổng quát

2

x y(x) C cos(ln x) C sin(ln x)

Trang 54

thay vào phương trình và rút gọn .

nghiệm tổng quát của phương trình theo t :

30)

Dùng phép đổi biến giải phương trình:

Lời giải:

Đặt khi đó và thay vào phương trình và rút gọn

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	849,03 KB