Tính điều khiển được hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

Tính điều khiển được hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

Đại học thái nguyên TRƯỜNG đại học SƯ phạm

Luận văn Thạc sỹ toán học

Người hướng dẫn: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG

Thái Nguyên - 2008

Môc lôc

Trang

Lêi nãi ®Çu 1

Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng mới được phát triển khoảng 50 năm trở lại đây Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học giải quyết những vấn đề định tính và giải số các hệ thống điều khiển Rất nhiều bài toán trong khoa học, công nghệ, kỹ thuật và kinh tế được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứa tham số điều khiển và cần đến những công cụ toán học

để tìm ra lời giải

Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyết điều khiển hệ thống là lý thuyết điều khiển được, tức là tìm một chiến lược điều khiển sao cho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái này sang một trạng thái khác Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác như bài toán tồn tại điều khiển tối ưu, bài toán ổn định và ổn định hóa, bài toán quan sát được,…

Mặc dù lý thuyết điều khiển đã được hình thành cách đây khoảng 50 năm, nhưng nhiều bài toán và vấn đề về điều khiển như: điều khiển được hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính dừng và không dừng có hạn chế trên biến điều khiển, điều khiển được hệ phương trình vi phân và sai phân ẩn tuyến tính có chậm, những bài toán liên quan giữa điều khiển được, quan sát được và ổn định hoá, …, hiện nay vẫn còn mang tính thời sự và được rất nhiều nhà toán học trên thế giới cũng như trong nước quan tâm

Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ rất lâu, khoảng 200 năm trở lại đây Tuy nhiên lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình

vi phân đại số tuyến tính lại mới được thật sự quan tâm trong vòng 40 năm trở lại đây Phương trình vi phân đại số tuyến tính có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường, ví dụ: ma trận hệ số là ma trận suy biến, không có tính chất “nhân quả” giữa đầu vào và đầu ra,…, làm cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan trở nên phức tạp nhưng lại rất hấp dẫn Hiện nay, mặc dù đã có nhiều cố gắng khảo sát những tính chất đặc biệt ấy, nhưng việc

nghiên cứu hệ phương trình vi phân suy biến vẫn còn là thời sự, bởi còn rất nhiều câu hỏi chưa được giải đáp

Mục đích của luận văn này là trình bày các kết quả mở rộng tiêu chuẩn điều khiển được của các hệ điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân thường – tiêu chuẩn Kalman – cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dừng và không dừng Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống từ đơn giản đến phức tạp,

từ phương trình vi phân đại số tuyến tính dừng đến phương trình vi phân đại số tuyến tính không dừng Tiêu chuẩn điều khiển được dạng Kalman được đặc trưng thông qua tiêu chuẩn về hạng của ma trận hệ số Thống nhất đi theo hướng nghiên cứu đó, trước tiên luận văn trình bày tiêu chuẩn điều khiển được mở rộng cho hệ phương trình vi phân đại số thông qua ma trận hệ số của các hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính dừng và sau đó là cho hệ mô tả bởi hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính không dừng Các tiêu chuẩn điều khiển được này nói chung phức tạp hơn rất nhiều so với tiêu chuẩn Kalman

Nội dung của luận văn gồm hai chương:

Chương 1 nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số

hằng

Mục 1 chương 1 trình bày hai cách tiếp cận hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính nhằm nghiên cứu tính chất tập nghiệm của phương trình dạng

Ex t( ) Ax t( ) Bu t( )

trong đó E là ma trận nói chung suy biến

Cách tiếp cận thứ nhất là thông qua cặp ma trận chính quy để đưa phương trình trên về hệ:

Cách tiếp cận thứ hai nhằm nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của phương trình

vi phân với hệ số hằng thông qua ma trận cơ sở Mục này giới thiệu khái niệm toán tử hiệu chỉnh, nghiệm của phương trình vi phân đại số được tìm thông qua

toán tử hiệu chỉnh Công thức nghiệm này cho thấy rõ hơn sự khác biệt của phương trình vi phân suy biến so với phương trình vi phân thường, ngoài ra việc tìm ra cấu trúc tập nghiệm còn nhằm áp dụng vào việc nghiên cứu tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân tuyến tính được trình bày ở mục 2

Mục 2 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng theo [6], trong đó tiêu chuẩn điều khiển được là mở rộng của tiêu chuẩn hạng Kalman

Chương 2 nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm và tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính có hệ số biến thiên

Mục 1 của chương 2 trình bày tính giải được của phương trình vi phân tuyến tính không dừng theo cuốn sách [7] Bằng cách tác động toán tử hiệu chỉnh trái vào phương trình vi phân ẩn, ta có thể đưa phương trình từ phức tạp về đơn giản

để dễ nghiên cứu hơn

Mục 2 của chương 2 trình bày tính điều khiển được hệ phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên theo [9] Thống nhất với mục 1, mục 2 cũng dùng toán

tử hiệu chỉnh trái để đưa việc nghiên cứu tiêu chuẩn điều khiển được hệ suy biến không dừng về nghiên cứu hệ đơn giản hơn

Mặc dù luận văn chủ yếu là trình bày lại các kết quả trong [6], [7], [8], [9], nhưng chúng tôi cố gắng thể hiện những lao động của mình trong quá trình đọc, nghiên cứu và mở rộng các kết quả ấy cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Thí dụ: Mục 1.1 chương 1 trình bày công thức nghiệm tường minh của phương trình vi phân tuyến tính không dừng với ma trận luỹ linh là kết quả của tác giả, đã được báo cáo tại Hội nghị nghiên cứu khoa học sau đại học do Đại học

Sư phạm Thái Nguyên tổ chức (Thái Nguyên, tháng 7-2008) và được đăng trong [3] Chúng tôi cũng cố gắng chi tiết hóa hoặc tìm ra những cách chứng minh khác với cách chứng minh trong [6], [7], [8], [9] Trong toàn bộ luận văn, chúng tôi cố gắng diễn giải những định lý, bổ đề một cách dễ hiểu nhất Chúng tôi hy vọng rằng, luận văn cho thấy rõ hơn sự phát triển trong nghiên cứu tiêu chuẩn điều khiển được hệ phương trình vi phân từ đơn giản đến phức tạp, từ phương trình vi phân thường đến phương trình vi phân ẩn suy biến với hệ số biến thiên

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS – TS Tạ Duy Phượng Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy

Tác giả xin cám ơn chân thành tới Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, nơi tác giả đã nhận được một học vấn sau đại học căn bản

Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thông, ủng

hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học Cao học và viết luận văn

Thái Nguyên, ngày 18 tháng 9 năm 2008 Tác giả

Vi Diệu Minh

Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG

§1 TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG

1.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận lũy linh

Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng

¡ và thỏa mãn phương trình (1.1.1.1) hầu khắp nơi (là nghiệm của phương trình

vi phân (1.1.1.1)); B t( ) là ma trận cấp n2´ m và u t( ) là vectơ hàm m chiều Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau (xem [3])

Bổ đề 1.1

Giả sử B t( ) và u t( ) tương ứng là ma trận hàm và vectơ hàm có các thành phần là

các hàm khả vi liên tục đến cấp h , trong đó h là bậc của ma trận lũy linh N Khi

ấy với mọi 1£ k £ h ta có

1

1 0

k

k i

Như vậy, công thức (1.1.1.2) đúng với s = 1, 2, 3

Giả sử công thức (1.1.1.2) đúng với mọi s £ k < h Ta sẽ chứng minh nó đúng với s = k + 1 Thật vậy, theo qui nạp ta có

1

1 0

k

k i

Vậy theo nguyên lý qui nạp, công thức (1.1.1.2) được chứng minh

Từ Bổ đề 1.1 ta có công thức nghiệm sau đây của hệ (1.1.1.1)

Mệnh đề 1.1 ([3])

Giả sử B t( ) là ma trận hàm và u t( ) vectơ hàm có các thành phần là các hàm khả

vi liên tục đến cấp h Khi ấy nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính suy

biến (1.1.1.1) được tính theo công thức

1

( ) 0

( ) ( ) ( )

h

k k k

1 0

Cộng vế với vế các đẳng thức này và để ý đến tính chất lũy linh của ma trận N ,

tức là N h = 0, sau khi nhóm các số hạng ở hai vế, ta được

1

( ) 0

h

k k k

x t N Bu t (1.1.1.5)

-nên ta có ngay công thức (1.1.1.5)

1.2 Công thức nghiệm của phương trình vi phân đại số tuyến tính có điều khiển

Trong mục này ta sẽ đưa ra công thức nghiệm cho phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng

Ex t( ) Ax t( ) ( ) ( )B t u t (1.1.2.1)

trong đó ma trận E nói chung suy biến ( det Ecó thể bằng 0)

Định nghĩa 1.2

Cặp ma trận E A , n n được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức 

sao cho E A 0 hoặc đa thức sE A 0

Bổ đề 1.2 (Bổ đề 1-2.2, [6], trang 7)

Cặp ma trận (E A, ) là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không suy

biến P và Q sao cho

1 00

n

I QEP

N ,

1 2

0

0 n

A QAP

Bổ đề 1.2 chỉ ra rằng với giả thiết chính quy của cặp ma trận (E A, ), hệ

(1.1.2.1) có thể viết dưới dạng sau:

( ) ( ) ( ) ( ), (1.1.2.2 )( ) ( ) ( ) ( ) (1.1.2.2 )

x t A x t B t u t a

Nx t x t B t u t b



Thật vậy, do (E A, ) là cặp ma trận chính qui nên tồn tại các ma trận không suy

biến P và Q sao cho

1 00

n

I QEP

N ,

1 2

0

0 n

A QAP

I

Nhân hai vế của (1.1.2.1) về bên trái với ma trận không suy biến Q ta được

( ) ( ) ( ) ( )

QEx t QAx t QB t u t Đặt x t( ) = Px t%( ) hay 1

1 1

2

( ) ( ) ( ) ( )

00

( )( )

( )

x t

x t

x t của (1.1.2.2) tính được tường minh theo công

thức (1.1.2.4a) và (1.1.2.4b) Ta nói nghiệm (1.1.2.4) tương ứng với điều khiển

u t Đây cũng là một trong những điểm khác biệt giữa phương trình vi phân

thường và phương trình vi phân đại số

0

h

k k k

x t N Bu t

Đối với hệ phương trình vi phân đại số (1.1.2.1), ta cũng có một cách tiếp cận khác thông qua ma trận cơ sở để nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm Dưới đây chúng tôi trình bày cách tiếp cận này theo [7]

1.3 Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận cơ sở 1.3.1 Hệ phương trình vi phân đại số với ma trận cơ sở

Một cách tự nhiên, hệ phương trình vi phân đại số được hiểu là hệ

và vectơ có số chiều tương ứng

Hệ trên gồm một phương trình vi phân thường và một ràng buộc đại số (một phương trình không chứa đạo hàm của các ẩn x x1, 2)

các phần tử bằng 0 là I và 0 mà không chỉ rõ số chiều của các ma trận

Với cách đặt trên, hệ (1.1.3.1), (1.1.3.2) có thể viết được dưới dạng:

Ex Ax f (1.1.3.3) hay

Ex Ax f (1.1.3.4)

Nhận xét 1.3.1

Trong các tài liệu, hệ phương trình vi phân đại số thường được đồng nhất với hệ

(1.1.3.4) Tuy nhiên, cách viết (1.1.3.1), (1.1.3.2) chỉ đòi hỏi là x1 có đạo hàm

Cách viết (1.1.3.4) đòi hỏi là x có đạo hàm, tức là toàn bộ các tọa độ, hay x2

cũng phải có đạo hàm Từ đó ta thấy, (1.1.3.3) và (1.1.3.4) nói chung là khác nhau

Dưới đây, để phù hợp với các tài liệu, ta vẫn gọi hệ (1.1.3.3), (1.1.3.4), trong đó

ma trận E có thể suy biến ( det E có thể bằng 0) là hệ phương trình vi phân đại

số Dạng đặc biệt (1.1.3.1)-(1.1.3.2) được gọi là dạng nửa hiển (nửa hiển) của hệ

phương trình vi phân đại số

Nhận xét 1.3.2

Nói chung ma trận E và ma trận A trong (1.1.3.3) và (1.1.3.4) không nhất thiết

phải là ma trận vuông, nhưng chúng phải có cùng kích thước Thí dụ, nếu n

x 

và ma trận A có số chiều là m n thì E cũng phải có số chiều là m n , còn f

phải là một vectơ có số chiều là m 1

i i i

(1.1.3.7), 0,1, 2, , (1.1.3.8)

Giả sử x t( ) là nghiệm của (1.1.3.5)-(1.1.3.6) Nhân (1.1.3.5) với E , ta được:

i i i

Nhân (1.1.3.6) với A, ta được:

i i i

0

i i i

( )

1

i i

dx t

f t f t

c dt

hay

( ) 1

1

( ) 2

dx t

f t c f t dt

(1.1.3.5’)

Hệ (1.1.3.6) có dạng

( ) 1

1

i i

0

( ) 2

Hơn nữa, thay x t( ) là nghiệm của (1.1.3.5’) (hay (1.1.3.6’)) vào (1.1.3.3’), ta thấy

(1.1.3.3’) thỏa mãn với mọi hàm giải tích f t( )

Phương trình ma trận này vô nghiệm Vậy hệ (1.1.3.7), (1.1.3.8) (với E và A đã

cho trong thí dụ này) là vô nghiệm

1.3.2 Hệ phương trình xác định ma trận cơ sở

Trong Bổ đề 1.3.1 ta đã chọn C C C0, 1, 2, thoả mãn hệ (1.1.3.7) - (1.1.3.8) mà chưa nói đến sự tồn tại của hệ ma trận cơ sở này Định lý dưới đây trả lời câu hỏi

đó

Định lý 1.3.2

Giả sử hệ

0 1 0 1

Cũng có nghĩa là Định lý 1.3.2 được chứng minh

Ta sẽ chứng minh (1.1.3.20)-(1.1.3.21) bằng phương pháp quy nạp toán học

Với i 2 công thức (1.1.3.14) cho

C2 C EC1 1 (1.1.3.21) Nhân hai vế với E ta được

2

EC EC EC EC (1.1.3.22) Với i 3 công thức (1.1.3.14) cho

3 ( 1) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1

C C E C C E C (1.1.3.23) Nhân hai vế với A ta được:

3 ( 1 ) 1

C A C E C A

Mà theo (1.1.3.17) và (1.1.3.17’) thì C A1 C E0 I và C EC0 1 C AC1 1 C1 Theo (1.1.3.18) ta có

Ta chứng minh điều này cũng đúng với i k 1

Thật vậy, với i k 1 thì theo (1.1.3.14) ta có:

C A C EC A C AC E

Từ (1.1.3.12) và (1.1.3.25) với i 1, ta có (1.1.3.28) và (1.1.3.29):

1 1 1 1 1

;

AC1 (AC1)2 (AC1)3 ( 1) (i 1 AC1)i

Công thức (1.1.3.31) được chứng minh

1.3.3 Cặp ma trận chính quy

Định nghĩa 1.3.3

Cặp ma trận ( , )E A được gọi là chính quy nếu tồn tại một số (thực hoặc phức )

sao cho det(A E) 0

Nhận xét

1, Nếu sao cho det(A E) 0 thì tồn tại vô số có tính chất ấy

2, ( , );( , )E A A E là chính quy hay không chính quy đồng thời vì

det(A E) det (E A) ( ) det(n E A),

trong đó n là cấp của ma trận

Nếu cặp ma trận ( , )E A là chính quy thì (xem [10]) tồn tại hai ma trận không suy

biến P Q, sao cho:

;

E PEQ A PAQ (1.3.3.1)

Hoàn toàn tương tự:

1.3.4 Tính duy nhất của ma trận cơ sở

Ta đã thấy ở trên, nếu( , )E A là cặp ma trận chính quy với chỉ số k 0 thì các

ma trận cơ sở C i được xác định bởi hệ sau:

0 1 0 1

N I

S

  

Tương tự ta có: C AC i 0 0

1 0

Vế phải của (i) và (ii) là trùng nhau do (1.3.5.8) trong Bổ đề 1.3.5.1, nghĩa là Bổ

đề 1.3.5.2 và Bổ đề 1.3.5.3 cho cùng một công thức biểu diễn nghiệm của (1.3.5.11)

x I C A R f Kết hợp với (*) ta suy ra công thức biểu diễn nghiệm của (1.3.5.11):

Khi ấy, cần hiểu nghiệm của (1.3.5.15) và (1.3.516) như là nghiệm chung (hoặc nghiệm riêng)

1.3.6 Nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số

Xét hệ phương trình vi phân đại số

d (Ex t( )) Ax t( ) f t( ), 0 t T

với cặp ma trận E A, là chính qui, tức là det E A 0

Tính chính qui của cặp ma trận E A, cho phép áp dụng Định lý 1.3.5.1 nhờ

i i

Bây giờ ta xét bài toán Cauchy của hệ (1.3.6.1), tức là tìm nghiệm của phương trình (1.3.6.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) a

Ta có thể thấy vectơ a nói chung không thể bất kì Thật vậy, thay x(0) a vào (1.3.6.2), ta có

i t i

Điều kiện (1.3.6.4) được gọi là điều kiện tương thích (của điều kiện ban đầu và

phương trình đã cho)

§2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI

Giả thiết rằng, điều khiển chấp nhận được đầu vào 1

( ) h p

u t C , trong đó h 1

p

C là lớp hàm khả vi liên tục h 1 lần Từ mục 1.2, ta biết rằng khi t 0, nghiệm của

hệ (1.2.2) là:

h

k k k

Viết lại hệ (1.2.2) trong dạng hệ thống con chậm-nhanh, ta có:

(2) Các mệnh đề sau là tương đương:

(2a) Hệ con nhanh (1.2.2b) là điều khiển được hoàn toàn

(2b) rank B NB2 2 N h 1B2 n2;

(2c) rank N B2 n2;

(2d) rank E B n