Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân phức

Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ MINH TÂM

NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ

LỚP PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - năm 2010

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ MINH TÂM

NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - Năm 2010

Mở Đầu

Lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna đ-ợc đánh giá là một trong những thành tựu sâu sắc của toán học trong thế kỷ hai m-ơi Đ-ợc hình thành từ những năm đầu của thế kỷ, lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ những công trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học

Vào năm 1925, Nevanlinna đã phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất phát điểm là công thức nổi tiếng Jensen Lý thuyết có nội dung chủ yếu là định lý cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ 2 và quan hệ số khuyết

Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng:

Ch-ơng I: Trình bày cơ sở lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna

Ch-ơng II: Trình bày một số kết quả về nghiệm toàn cục của ph-ơng trình

vi phân phức dựa trên bài báo nghiệm toàn cục của một số lớp ph-ơng trình vi phân phức của tác giả Ping Li

Kết quả của luận văn:

Cho P(f) là đa thức vi phân đối với f và nó có đạo hàm ( với hàm nhỏ của f coi nh- là hệ số) có bậc không lớn hơn n - 1 , p 1 , p 2 là 2 hàm nhỏ của ez và

1, 2

  là 2 hằng số khác không Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị của

Nevanlinna để tìm ra nghiệm toàn cục siêu việt của ph-ơng trình vi phân phi tuyến tính trong không gian phức:

Thầy, Thầy không chỉ h-ớng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Thầy còn thông cảm, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học tr-ờng Đại học S- phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học và luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr-ờng cao đẳng Công Nghệ và Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa KHCB, gia đình, bạn bè đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

Học viên

L-u Thị Minh Tâm

Ch-ơng I Cơ sở lý thuyết Nevanlinna

1.1 Hàm phân hình

1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi là điểm bất th-ờng cô lập của hàm f(z)

nếu hàm f(z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính điểm đó

1.1.2 Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a của hàm f(z) đ-ợc gọi là

cực điểm của f(z) nếu lim  

z a f z

  

1.1.3 Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức  đ-ợc gọi là hàm nguyên

Nh- vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất th-ờng hữu hạn

1.1.4 Định nghĩa: Hàm f(z) đ-ợc gọi là hàm phân hình trong miền

D   nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bất th-ờng là

zD f z có thể biểu diễn đ-ợc d-ới dạng th-ơng của hai hàm chỉnh hình

1.1.5 Định nghĩa: Điểm z 0 gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) nếu trong lân cận của z 0 , hàm  

nhau Đồng thời, nếu z 0 là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) thì z 0 là cực điểm cấp

m+1 của hàm f’(z)

*Nhận xét: Hàm f(z) không có quá đếm đ-ợc các cực điểm trên D

1.1.7 Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình trong  , điều kiện cần và đủ để

f(z) không có các điểm bất th-ờng khác ngoài cực điểm là f(z) là hàm hữu tỷ

1.2 Định lý cơ bản thứ nhất

1.2.1 Công thức Poisson-Jensen

Định lý: Giả sử f z  0là một hàm phân hình trong hình tròn

z Rvới0   R Giả sử a  1, 2, Mlà các không điểm, mỗi không điểm

đ-ợc kể một số lần bằng bội của nó, b v (v = 1,2,…N) là các cực điểm của f trong hình tròn đó, mỗi cực điểm đ-ợc kể một số lần bằng bội của nó Khi đó nếu

Do f(z) không có không điểm và cực điểm trong hình tròn nên hàm log f(z)

chỉnh hình trong hình tròn đó Theo định lý Cauchy ta có:

* Tr-ờng hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm bên trong

z R, nh-ng có hữu hạn không điểm và cực điểm c j trên biên

R

  Với   0 nhỏ tùy ý, ta đặt:

D   z  R   Uj   cj   

Gọi D là chu tuyến của D và  là các cung lõm vào trên D bao gồm

những phần trên đ-ờng tròn   R cùng với các phần lõm vào của đ-ờng tròn

nhỏ bán kính  và tâm là các không điểm hoặc cực điểm f(z) trên   R Giả

sử z  rei trong miền z  R, tồn tại  đủ nhỏ sao cho z  D Khi đó:

2 2 2

Giả sử z 0 là một không điểm hay cực điểm của f(z) trên   R và  là

cung tròn ứng với z 0 trên D Khi đó trên 0,

1 log 0

đ-ợc công thức (1.3) trong tr-ờng hợp này và từ đó suy ra (1.1)

*Tr-ờng hợp 3 Bây giờ ta xét tr-ờng hợp tổng quát, tức là f(z) có các

không điểm và các cực điểm trong z R đặt:

1 2

Hiển nhiên     không có không điểm hoặc cực điểm trong z R Nh-

vậy chúng ta có thể áp dụng công thức (1.1a) cho hàm     Hơn thế nữa,

0

2 2 2

Thay log  z vào (1.5) ta thu đ-ợc kết quả

*ý nghĩa: Công thức Poisson-Jensen chỉ ra rằng, nếu biết giá trị của

modulus f(z) trên biên, các cực điểm, không điểm của hàm f(z) trong z  R, thì

ta có thể tìm đ-ợc giá trị của modulus f(z) bên trong đĩa z R

Khi z = 0 ta đ-ợc hệ quả quan trọng hay đ-ợc sử dụng về sau:

* Hệ quả : Trong những giả thiết của định lý, đồng thời nếu f z     0,

thì khi z = 0 trong định lý (1.2.1) ta thu đ-ợc công thức Jensen

ord f m > 0 nếu z 0 là không điểm cấp m , bằng 0 nếu f(z) chỉnh hình,

khác 0 tại z 0 , bằng – m nếu z 0 là cực điểm cấp m

Với ký hiệu trên công thức Poisson-Jensen có thể viết d-ới dạng:

Phần này trình bày khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc tr-ng và các

tính chất của chúng Tr-ớc hết ta định nghĩa:

R r

Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm N(R,f) Giả sử n(t,f) là số cực điểm của hàm

f(z) trong hình tròn z  t; r 1 ,r 2 , … r N là môdun của các cực điểm b 1 ,b 2 ,…,b N

( mỗi cực điểm đ-ợc tính một số lần bằng bậc của nó) Khi đó ta có:

Giá trị m R f , là hàm xấp xỉ độ lớn trung bình của log f z trên   z  R

trong đó f là lớn Giá trị N R f , có quan hệ với cực điểm Hàm T R f đ-ợc  , gọi là hàm đặc tr-ng Nevanlinna của hàm phân hình f z , có vai trò quan trọng chủ yếu trong lý thuyết của hàm phân hình

v v

áp dụng các bất đẳng thức trên cho hàm phân hình f1 z , , f p z và sử

dụng (1.7) chúng ta thu đ-ợc các bất đẳng thức sau:

v v

v v

v v

Trong tr-ờng hợp đặc biệt khi p 2, f z1  f z   , f2 z a = constant, ta

suy ra T r f  ,  a   T r f  ,   log a  log 2 Và từ đó chúng ta có thể thay

thế f + a, f bởi f, f ’ a và a bởi - a, suy ra:

trong đó:  a R,  log a log 2.

Ta th-ờng dùng định lý cơ bản thứ nhất d-ới dạng:

Hàm xấp xỉ:  

2 0

Nh- vậy, nếu f nhận c¯ng nhiều giá trị “gần a” ( tức l¯ f  Rei a nhỏ, thì

hàm m càng lớn Có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm

“ đo độ lớn của tập nghiệm phương trình f z a ” v¯ độ lớn tập hợp tại đó f(z) nhận giá trị gần bằng a Trong khi đó, vế phải của đẳng thức trong định lý cơ bản

có thể xem là không phụ thuộc a ( sai khác một đại l-ợng giới nội) Vì thế, định

lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng, hàm phân hình f(z) “ nhận mỗi giá trị a ( và giá trị “gần a “) một số lần như nhau” Đây l¯ một tương tự của định lý cơ b°n của

đại số Hàm đặc tr-ng Nevanlinna, về ý nghĩa nào đó, có thể xem nh- đặc tr-ng cho “ cấp tăng” của một h¯m phân hình

nghiệm của ph-ơng trình f z a trong z  R Với mỗi giá trị của a, tổng của

hai số hạng này có thể xem là không phụ thuộc vào a

Giả sử p > q Khi đó f z     khi z , nh- vậy khi a hữu hạn m(r,a) = 0

với mọi r > r 0 nào đó Ph-ơng trình f(z) = a có p nghiệm sao cho

Trong tr-ờng hợp này, m(r, a) là bị chặn khi r  ngoại trừ một giá trị

của a là f   Nếu ph-ơng trình f(z) = a có nghiệm bội  tại  với

f z e e   với i

z re Khi đó

log f z log f re i log e r ir  loge r  ,

1 log 2

p p

1 log log 2

1

21

21

1.2.4.2 Hệ quả 1: Hàm đặc tr-ng Nevanlinna T(r,f) là một hàm lồi tăng

của logr với 0 < r <R

Chứng minh:

Ta thấy rằng N r e , ihiển nhiên là hàm tăng, lồi của logr nên ta suy ra

hàm T(r,f) cũng có tính chất nh- vậy và hệ quả đ-ợc chứng minh Trong tr-ờng

hợp này chúng ta có:

1.3 Định lý cơ bản thứ hai

1.3.1 Giới thiệu

Trong mục tr-ớc chúng ta đã định nghĩa hàm đặc tr-ng Nevanlinna và có

đ-ợc định lý: với mỗi số phức a, m R a  ,   N R a  ,   T R    O   1 Từ đó

chúng ta cũng thấy rằng tổng m + N có thể xem là độc lập với a Đó chính là kết

quả của định lý thứ nhất Định lý cơ bản thứ hai sẽ cho ta thấy rằng trong tr-ờng

hợp tổng quát số hạng N(R,a) chiếm -u thế trong tổng m + N và thêm nữa trong N(R,a) chúng ta không thể làm giảm tổng đó nhiều nếu các nghiệm bội đ-ợc tính

một lần Từ kết quả này cũng suy ra định lý Picard, nói rằng hàm phân hình nhận mọi giá trị, trừ ra cùng lắm là hai giá trị

Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna đ-ợc suy từ định lý sau,đ-ợc gọi là bất đẳng thức cơ bản

Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trong z  r Giả sử a 1 ,

a 2 ,….a q là các số phức hữu hạn riêng biệt,   0và a a v  với

Trong tæng trªn nÕu b v lµ cùc ®iÓm béi k th× ®-îc tÝnh k lÇn Gi¶ sö b1, ,b N

lµ c¸c cùc ph©n biÖt cña f(z) víi cÊp lÇn l-ît lµ: k1, ,k N XÐt t¹i ®iÓm b v ta thÊy

khai triÓn cña f(z) sÏ cã d¹ng:  

 v  v

k k v

'

v

k k v

R k

b



N r f

Chúng ta sẽ ký hiệu N r f ,  ,T r f t-ơng ứng thay cho , 

0 0

L-ợng   a đ-ợc gọi là số khuyết của giá trị a,   a gọi là bậc của bội

Bây giờ chúng ta chứng minh một kết quả cơ sở của lý thuyết Nevanlinna ,

định lý sau đây gọi là định lý quan hệ số khuyết

1.3.4.1 Định lý

Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trong z  R0 Khi đó tập hợp các giá trị của a mà    a  0cùng lắm là đếm đ-ợc, đồng thời ta có:

Giả sử f có cực điểm cấp k tại a v , khi đó:

Do đó a v sẽ có cực điểm cấp k + 1 của f’

Giả sử b vv;  1, p là các cực điểm phân biệt của hàm f , với bội t-ơng ứng

  đ-ợc tính tại những điểm là không điểm của f’

nh-ng không phải là nghiệm của ph-ơng trình f z a v , v = 1,…,q Chú ý rằng

a



    

Do q bất kỳ nên định lý đ-ợc chứng minh xong

Định lý sau là hệ quả trực tiếp của quan hệ số khuyết

1.3.4.2 Định lý Picard

Giả sử f(z) là hàm phân hình, không nhận 3 giá trị 0,1,  Khi đó f

là hàm hằng

a ; điều này mâu

thuẫn với quan hệ số khuyết Vậy f(z) phải là hàm hằng

1.4 Một số ứng dụng của các định lý cơ bản

1.4.1 Các ví dụ

Ví dụ 1: Giả sử f z    a vô nghiệm Khi đó ta có N r a ,  0, r suy

ra   a 1 Chẳng hạn: f  ez  f   0  1

Ví dụ 2: Giả sử có N r a   ,  o T r f   ,       a  1( số khuyết bằng

1 khi số nghiệm của ph-ơng trình quá ít so với cấp số tăng của nó)

Ví dụ 3: Giả sử f là hàm nguyên, khi đó f không có cực điểm nên

    , do đó    a1     a2       2 nên với tất cả các

giá trị a khác a ; a ph-ơng trình f(z) = a đều phải có nghiệm đơn Ví dụ nh-

chúng ta xét hàm f(z) = sinz, với a 1 = 1; a 2 = -1 ta thấy: khi sin z   1 thì

(sinz)’ = cosz = 0 nh- thế có nghĩa là các ph-ơng trình sinz = a 1 ; sinz = a 2 đều gồm toàn nghiệm bội Nếu     1     1

trình sinz = a sẽ có nghiệm đơn với mọi a khác  1

Ví dụ 4: Tr-ớc hết ta định nghĩa: Giá trị a đ-ợc gọi là bội ít nhất

m m nếu các nghiệm của ph-ơng trình f(z) = a bội lớn hơn hoặc bằng m

Giả sử f(z) là hàm phân hình và giả sử   av là tập hợp các giá trị bội ít nhất

  Nh- vậy ta thấy rằng đối với

hàm phân hình có nhiều nhất 4 giá trị a mà nghiệm của ph-ơng trình f(z) = a

có bội lớn hơn hoặc bằng 2

+) Trong tr-ờng hợp có 4 giá trị của a thỏa mãn, khi đó m v = 2 Ví dụ cụ thể

của hàm loại này chính là hàm elliptic Weiestrass

+) Trong tr-ờng hợp có 3 giá trị của a thỏa mãn, do:

(2;2;m) (2;3;3) (2;3;4) (2;3;5)

(2;3;6) (2;4;4) (3;3;3)

Tr-ờng hợp (2;2;m) tồn tại và ví dụ cụ thể về nó là hàm f(z) là sinz; cosz

Với f z     1 gồm toàn nghiệm bội 2 và f z   Trong các tr-ờng hợp

khác, vấn đề nói chung là rất khó và đã đ-ợc nhiều nhà toán học nghiên cứu và cho kêt quả trong tr-ờng hợp tổng quát ( Christoffel-Schwarz, Lê Văn Thiêm,…)

1.4.2 Định lý 5 điểm của Nevanlinna

Giả sử rằng f z1   , f2 2 là các hàm phân hình trên Nếu tồn tại 5

điểm a1,a2,a3,a4,a sao cho: 5

Ef1  aj  Ef2   aj ;   j 1, ,5

Khi đó hoặc f 1 và f 2 là hằng số hoặc f1  f2

Chứng minh: Ta giả sử rằng f 1 , f 2 là các hàm không đồng thời là các hàm hằng và cũng không đồng nhất với nhau Gọi a1,a2,a3,a4,a là các số phức 5phân biệt sao cho: Ef1   aj  Ef2   aj ;   j 1, ,5 Khi đó:

+) Giả sử một trong hai hàm f 1 , f 2 là hàm hằng, không mất tính tổng quát ta

giả sử f 1 = const, khi đó f 1 khác ít nhất 4 giá trị trong 5 giá trị aj ( j =1,…,5)

không mất tính tổng quát ta có thể giả sử các giá trị đó là: a1,a2,a3,a nh- 4

Ta thấy rằng, nếu z là nghiệm chung của các ph-ơng trình f 1 = a; f 2 = a thì

z là nghiệm của ph-ơng trình f 1 ’ f 2 = 0, nên suy ra:

Nghịch ảnh của 5 điểm đủ đảm bảo xác định một hàm phân hình Số 5 đó

là tốt nhất và không thể thay thế bởi số nhỏ hơn Ví dụ nh- hàm sau:

Xét hàm f e g z; ez với các điểm a1 0;a2 1;a3  1;a4  ; Thấy

Ch-ơng II Nghiệm toàn cục của ph-ơng trình vi phân 2.1 Giới thiệu

Bằng cách sử dụng lý thuyết Nevanlinna chúng ta tìm ra nghiệm toàn cục

siêu việt của ph-ơng trình vi phân phi tuyến tính trong không gian phức nh- sau :

    1 2

n

Trong đó p 1 , p 2 là 2 hàm nhỏ của ez và  1, 2 là 2 hằng số khác không với

một vài điều kiện, và P(f) là đa thức vi phân đối với f và nó có đạo hàm ( với hàm nhỏ của f coi nh- là hệ số) có bậc không lớn hơn n - 1

Chúng ta gọi hàm phân hình a(z) là hàm nhỏ f(z) nếu T(r,a) = S(r,f) Cho P(f) là đa thức vi phân của f , và f , với hệ số là hàm nhỏ của f A là tập hợp tất

[5,12,13] Đặc biệt trong [13] đã chỉ ra rằng 4f 3 + 3f’’ = -sin 3z có đúng 3

nghiệm toàn cục khác hằng số :

2.3.1 Bổ đề 1: ( Xem bổ đề [2,3] của Clunie) Giả sử f(z) là phân hình

và siêu việt trong mặt phẳng và:

2.4.1 Định lý A: Cho n 4 là một số nguyên, và P(f) là một đa thức vi phân đối với f có bậc  n ’ 3, p 1 , p 2 là 2 đa thức khác 0, 1và 2là 2 hằng số

không có nghiệm nguyên siêu việt

2.4.2 Định lý B: Cho n  3 là một số nguyên, và P(f) là một đa thức vi phân đối với f có bậc  n ’ 3, b(z) là hàm phân hình, và , c 1 , c 2 là 3 hằng số khác 0 Khi đó ph-ơng trình vi phân

f n z P f   b z c e1 z c e2 z,

không có nghiệm nguyên siêu việt thỏa mãn T(r,b) = S(r, f)

Đó là giả thiết trong [10] về kết luận của định lý A còn đúng khi bậc của

ph-ơng trình vi phân P(f) là n ’ 2 hoặc n ’ 1 Sau đây chúng ta sẽ chứng minh

các kết quả cho sự hoàn thiện của định lý A và B

2.4.3 Định lý 1: Cho n 2 là số nguyên d-ơng Cho f là hàm nguyên siêu việt, P(f) là một đa thức vi phân đối với f có bậc  n ’ 1 Nếu





 (2.3)