nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường

trình bày về nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường

CHUaNG 2

NGHlltM TUAN HoAN CUA PHUONG TRINH

VI PHAN TmJONG 2.1 Dfnh ly chinh :

La"y 1=[0, 1], va f: I x RD~ RD,

thoa nhii'ng di~u ki~n caratheodory, va ky hi~u IxI la chu§:nEuclide cua

x E RD,va (x, y) la tich va htidng cua x va y.

Trong chtiang nay, chung ta se chung minh st! t6n tC;ii nghi~m cho bai tmin.

(2.1)

{

x1(t)= f(t,x(t)) , tElx(o) = x (1)

nhii'ng nghi~m nay se dtiqc gQila 1 tu~n hoan.

Chung ta ky hi~u X la khang gian con cua C (1, RD)ma nhung ph~n tll'cua no thoa di~u ki~n thu hai trong (2.1) vdi chu§:nd~u thtiong dung la

Lx = Nx

ngoai fa, tll slj ma ta trong chuang 1,

KerL ={x E dam L : xCi)=x(o), Vt E I} = ImP

IrnL ={z EZ : fZ(I)dl = o} =KerQ

d day Px =x(o), Qx = fz(t)dt

I

VI the'L la anh x'] Fredholm vdi chi sO'zero va do tinh chat 1.5, ta co

N la L - hoan loan lien tl;lCtrong X

Ta c~n m(>tb6 d€ d€ chung minh slj t6n t'].inghi~m

B6 d~ 2.1 :

Cho r > 0 va V E Cl(Rn, R), thoa man

V' (x) * 0, vdi I xI = r

?

d day V' la gradient cua V, va Iffy

G : X ~ Z, duQcxac dinh bdi(Gx) (t) = - V' (x(t)), tEl

va H =L - G, vdi X, Z va L duQCxac dinh nhutren

Vdi Q duQc xac dtnh d ireD

Thl H la L - hoan toaD lien tl;lcireD X x I

Ne'u (x, A) E X x I, saG cho H (x, A)= 0, thl x la lien wc tuy~t d6i 1 - tu~n

hoan va

Vi v~y x(t) =x(o), '\it E I, bdi vi

x'(o) = -AV'(x(o))- (1- A)fV'(x(s))ds

IBdi (2.2), x(o) thoa phudng trlnh V'(x(o)) = 0

f)i~u nay guy ra ding

\xlo =Ix(o)\"* rTheo tinh chit bit bi~n d6ng luau cua ly thuy~t b~c, ta co :

DL(H,B(r)) = DL(H(.,l),B(r)) = DL(H(.,O), B(r))

= DL(L - QG,B(r)) Nhung QG : X~ ImQ, vai

(i) co mQt V E C1 (Rn, R+), vdi :

Vex) ~ + 00, ne'u I xI ~ 00

va a ELI (I, R+), thoa man

(2.3) (V' (x),f(t,x») saCt)

Vdi mQi x ERn, mQi tEl

(ii) T6n t~i r > 0 va W E C1 (Rn \ B(r), R), sao cho

(V' (x), w' (x» > 0VdimQix, Ixl ~r,va

ChUng mink .

Ta mu6n ap dl,lng dinh 19 (1.17) vdi

F =L - N va H =L - Gnhtt trong b6 d~ (2.1) va tinh cha't cQng tinh, cling vdi V' (x) "*0, cho IDQi

x E Rn vdi IxI ~ r .

H eCL(B(p») vdi mQip ~ r

£)gu tien chung ta chI ra ding nhii'ng nghi~m 1 - tugn hoan cua hQnhii'ng phu'dng trlnh

x' (t) =- (1 - A) V' (x(t» + Af (t, x(t», tEl, AE10,1[ la mQt ti~n bich~n

Ne'u di~u nay kh6ng Kay fa, se co mQt day (An)nEN*vdi An E ]O,l[

vamQt day (xn)n EN*, vdi IXnlo2 n va xn la mQtnghi~m 1 - tu~n hoan cua

(2.5): x~(t)=-(l-An)V'(Xn(t))+Anf(t,xn(t)), tEl, n EN*

Ngoai fa, vdi m6i tEl, n E N*, dung di~u ki~n (i)

(d/dt) V (Xn(t))=(V'(Xn(t)),X~(t))

= -(1- An).IV'(xn (t))12+ An(V' (Xn(t)), f( t, xn (t))) :s;aCt)

Md fQng Xnva a fa R bdi 1 - tu~n llOan, ta du'Qc vdi m6i T E R vam6i t E [T, T + 1]

v( xn (t)):S;V(xn (T)) + Jfr a(s)ds

Do tinh 1 - tu~n hoan cua Xn,di~u nay suy fa ding

(2.6) max V( Xn(t)) :s;mill V( xn (t)) + Ilal!l

va bdi di~u ki~n (i)

V(Xn(tn))~oo n€u n ~oo

Ngoai fa bdi (2.6)

mill V(xn(t))~ 00 n€u n ~ 00tEl

Hoan loan tu'dng tt,I'suy fa ding

minlxn(t)1 ~ 00ne"u n ~ 00tEl

La'y nl E N* sao cho, voi m6i n ~ nl

minlxn (t)j ~ rtEl

Bi~u sail duQc suy ra tti' (2.5)

di~u nay mall thu~n

VI v~y nhG'ng nghi~m cua hQ nhG'ngphuong trlnh 1a ti~n bi ch~n, vOiti~n bi ch~n duQc ky hi~u bdi p Chung ta co th€ chQn p sao chop ~ r

Bay gio dung b6 d~ (2.1), gia dinh (i) va tinh cha't (1.15), chung ta co

IDL(H,B(p))! =IDo(V', V(p)~ = 1

Va bdi dinh 1y (1.17), dinh 1y duQc chung minh

Binb Iy 2.2' :

Gia sa nhG'ng di~u ki~n san day Kay ra

(i') T6n t~i V cl (Rn, Rr), voi

Vex) ~ + 00 ne'u I xI ~ 00

Vaa ELl (I, R+) sao cho

(2.3') (V' (x), f(t, x)) ~ -aCt)

voi mQi x ERn, mQi tEl

(ii') T6n t~i r > 0 va W E Cl (Rn\B(r), R), saG cho

. (V'(x), Wi(x)) > 0-, voi mQi x, Ix! ~rva

f(W'(x(t)),f(t,x(t)))dt?:: 0I

V ai mQi X : 1 ~ Rn lien t~c tuỹt d6i 1 - tuftn hÕlllvai minlx(t)l?::r

tEl

ChUng minh

D6i bĩn, bftng cach d~t t=1- T

Vai mQi tEl co TEL

Luc niiy(2.3') vii (2.4') trd thiinh

(2.3 ') (- V'(x(1- T)),f(l- T,x(l- T)))?::-ăl- T)

~ (V'(x(1- T)),f(l- T,x(l- T))) ~ ăl- T)SI( -W'(x(1- T)), f(l- T, x(l- T))) d(1- T) ?::0(2.4 )

Bftng cach d6i bĩn mQt Iftnnua 1- T ='t

Ta co (2.3') vii (2.4') trd thiinh

(V'(x('t) ),f( 't,x( 't))) ~ ắt)

f(W'(X('t)),f('t,X('t))}t't ~ 0I

Ap d~ng dinh 19 (2.2), dinh 19 duQc chung minh

2.2 Ung d\lng cua dinh Iy 2.2

Trong phftn niiy, chung ta se cho mQt viii ung d~ng thu vi cua djnh 192.2, vai sl;l'll;l'achQn d~c bĩt Ung d~ng dftu lien Iii cho phuong trinh vohuang (n = I).

(2.7) J f( t,y(t) )dt = 0

I

Chung minh

* Di~u kit%nc~n :

Ta Iffy Y Hi mQt nghit%mcua (2.1), suy fa

J f(t, yet))dt = J y' (t)dt = y(l) - yea) = 0

Bdi VI Vex) ~ + 00 ne'u I xI ~ 00

Vaa ELI (I, R+), saG cho

Dung tinh don di~u khong tang cua f(t,.), ta co a.e tEl,

x(t) f(t, x(t)) s x(t) f(t, yet))Suy fa

fX(t).f( t, x(t») dt s fx(t) .f(t, yet) )dt

I x(t)1 Ix(t)!

S:I: ff(t,y(t))dt=OI

1 x Nhu'ng la'y w(x) =2 12 u 2 du

xW'(x) = ~

Suy fa

1WEe (R \B(r), R)

V'(x) W'(x) = (Ixl+It 1:(°,vdi Ix I ~r

Vex) = (2) r u2 + 1 du aCt)= !f(t,O)1

Bdi vi Vex) ~ + 00 ne'u I xI ~ 00 va a ELI (I, R+)

Ta dung tinh don di~u khong giam cua f(t,.), a.e t E I,

xCi) f(t, xCi»~~ xCi) f(t, yet)

Suy ra

JX(t).f(t,X(t))dt;::: JX(t) f(t,y(t))dtIX(t)1 I IX(t)1

;::::t Jf(t,y(t))dt=OI

1 x2 _!

Nhu'ng la'y W(x) =2 £2 u 2du

W' (x) = x(t)

IX(t)1 1

Thl bai loan (2.1) co it nha't mQt nghi<%m

Vdi mQi x E Rn, a.e tEL

Do d6 di8u ki~n (i) cua dinh 1y (2.2) thoa man:

Do d6 di8u ki~n (ii) cua dinh 1y (2.2) thoaman

V~y bai tmin (2.1) co it nha't mQt nghi~m

H~ qua 2.2' :

Gia su t6n tq.i r > 0 va a ELI (I, R+), sao cho

(2.8') (Xf(t,X))2-a(t)(lxI2 +1), a.et E1, va mQi x ERn, va

(2.9') f(X(t),f(t,x(0))dt20, vdi mQi x E domL

I

minjx( 012 rtel

Thl bai tmin (2.1) co it nha't mQt nghi~m

Do do di~u ki~n (i') cua dinh 1y (2.2') thoa man

M~t khac W E C1 (Rn \ B(r), R)

(V'(x), W'(x» = (x(lxI2+ It ,X)> 0

Do do di~u ki~n (ii') cua dinh 1y (2.2') thoa man.

V~y bai tmin (2.1) co it nha't mQt nghi~m

H~ qua 2.3:

Gia sa co r > 0 sao cho

(2.10) (x, f(t, x)) ~ 0, a.e tEl va mQi x E Rn

g(t, x) = + -1:1)x+r(t'I:10, neu I x I ;:: rBdi sl,txay dl,tng tren, g cling thoa nhii'ng di~u ki~n caratheodory nhtt

f va trung voi f tren I xI ~ r

Ngoai fa, neu a ELI (I, R+) thoa man

I f(t, x) I ~ aCt), a.e tEl va mQi x ERn, ydi I xI ~ r, thl

(x, g(t,x)) ~ aCt) (lxf + 1), vdi mQi x E Ro, a et E I

Do do di~u ki~n (2.8) cua h~ qua (2.2) thoa man cho g

Neu x E domL thoa man minlx(t)1~ r.

telTaco

(2.11)

(x(t),g( t,x(t»)) = -( 1-lx~t)Jlx(tf + (x(t), f(1, Ix~t)1 X(t)] J

( 1-~Ix(t)!Jlx(t)12~O

~-La'y tich phan tren I, di~u ki~n (2.9) ~ua h~ qua (2.2) thoa man cho g

va bai loan.

(2.12)

{

x1(t) = g(t,x(t») ,t EIx(o) = x(1)

Co it nha't mQt nghi~m Ta chung minh nghi~m x nay thoa man

Ix(t)\~ r ,tEl

. Neu chung minh duQc di~u ki~n nay, thl nghi~m cua (2.12) cling la nghi~m cua (2.1).

Neil x la mQtnghi~m cua (2.12), thl bai (2.11)

Ta co a.e tEl sac cho I x (t)I > r

(2.13)

G)(d/ dtJlx(tJl2=(x(tJ,g{ t,x(t)))

~ _

( 1- ~Ix(t)1)lx(t)12~ 0

Do do nghi~m nay khong th~ la 1 - tuftn bean va thoa man Ix(t) I >

r vdi ffiQitEL Suy ra co mQt t' E I thoa man I x (t') I ~ r

Neu ba't d£ng thuc tren khong xay ra vdi mQi t' E I, co t" E I, t":;et'

ma Ix (t") I> r

Md fQng x vdi 1 - tugn hO~lllfa mQt anh x~ lien wc tfen R, ta co th€gilt sli' ding t" E [t', t'+l].

Bdi tinh lien tt;1c,co mQt khoang md ]ti, t2[ c ] t', t' + 1 [ thoa mant" E ] ti, t2 [, Ix(t) I> f, vdi t E ] tl, t2[ va I x(tl) I =I X(t2)I = r

a.e t E I va mQi x E RDvdi IxI = r

Thl bai loan (2.1) co it nhfft mQtnghi~m

Chung minh

Ta dinh nghla K: I x RD-+ RD

f(t,x) , ne'u Ix!::;rget, x) =~

(

r

r J

I-Ix! x+f t,!x( , ne'u Ixl;:::r

Bdi s1;1'xay d1;1'ngnhu tren, g cling thoa man nhii'ng di~u ki~nCaratheodory nhuf va trung vdi f tren I xI ::;r

Ne'u a E Ll(I, 14) thoa man If(t, x) I ;:::- aCt)

a.e t E I va mQi x E RD~vdi I x I::;r, thl

(x,g(t,x));::: -a(t{lxI2 + 1), vdi mQi x E RD,a.e tEl

Do do di~u ki~n (2.8') cua h~ qua (2.3') thoa man cho g Ne'u

x E domL thoa man minlx(t)12 r

co it nha't mQt nghi~m

Ta chung minh nghi~m x nay thoa man Ix(t) I ~ r , tEL Ne'u chung minh dl1qcdi~u nay, thl nghi~m cua (2.12') cling la nghi~m cua (2.1), di~u nay se k€t thuc dl1qcchung minh.

Ne'u x Ia mQt nghi~m cua (2.12'), thl bdi (2.11') ta co a.e tEl sao cho x(t) > r.

(2.13 ')

G)( d I dt~x(t)12 =(x(t),g( t,x(t))) ~ (1-lx~t)I)X(t)12 > 0

Do do nghi~m tren khong th~ Ia 1 - tu§n hoan va thoa man Ix(t) I> r

vdi mQitEL Tdi day chung minh hoan loan tu'dngtv nhl1h~ qua (2.3).

H~ qua da dl1qcchung minh.

2.3 Dng d~ng cho nhilng ham Vectd.

Ta se cho d day mQtung d\lng cua dinh ly (2.3) de'n phudng phap cua nhung ham co huang.

Gia sa f thoa man nhung di~u kit%nduQcma ta d phgn dinh ly chinh

(2 16) Vex) ~ + 00 ne'u I xI ~ 00

thl bai loan (2 1) co it nha'"tmQt nghit%m

Chung minh

Bdi nhung di~u kit%ncaratheodory va tinh lien t\lC cua V' t6n t~i

a E L 1(1,R+) saD cho a.e t E I va mQi x vai IxI ~ r

Do do di~u kit%n(i) cua dinh ly (2.2) thoa man, vai nhung anh x~

V va a vila duQcxac dinh nhutren.

N6u x E domL thoa man mill I x(t) 12 r

tEldung (2 15), ta co a.e tEl

(V'(x(t)), f(t,x(t))) ~ 0,

Suy ra f(V'X(t)),f(t,X(t)}lt~O,

IL1y w(x) =Vex), suy ra

f(W'(x(t)),f(t,x(t)))dt~O va (V'(x),W'(x))>O,I

nhu v~y, di~u ki~n (ii) cua dinh ly (2.2) xay fa, vai r duQc giai thi~u trongdinh nghla Do do theo bai tmln (2.3), tinh ch1t duQc chung minh

Tinh cha't 2.1' Gia sli' ding phudng trlnh (2 14) co mQt ham co

huang V thoa man

V' (x) :;to0 vai I xI 2 r(2.17) Vex) ~ - 00 n6uI xI ~ 00

Vai mQix E domL, mill I x (t)I ~ r Dung dinh 192.2'

Chung ta co, bai tmin (2.1) co it nhclt m(>tnghi~m

Tinh cha't 2.2 : Gia stYding phuong trlnh (2.18) co m(>tham g6m co

huang V, thoa man

Bdi nhung di~u ki~n Caratheodory va tinh lien we cua V' t6n t~i

a ELI (I, R+) sao cho, a.e t E I, mQi x, vai I xI :::;r chung ta co,

IV' (x) 1.1 f (t, x) I ~ - aCt),ngoai ra dung (2.19) (V'(x), f(t, x) ~ 0 chung ta co a.e t E I va mQi x E Rll,

La'y W(x) =Vex), suy fa (V'(x), W'(x) > 0

f(W'(x(t)).f(t,x(t)))dt ~ 0,I

Vdi f duQc giOi thi~u tfong dinh nghla, di~u ki~n (ii') cua dinh 1:9(2.2') xay fa V~y (2.1) co it nha't ffiQtnghi~ffi

Tinh cha't 2.2': aia sa ding phudng trlnh (2.18) co ffiQtham gftn cohuang V, thoa man

(2.21) (V'(x), f(t,x)) ~ a (t),

a.e tEl, va mQi XE Rn, va

Ilimsup(V'(x),f (t,x) ),dt<O

I Ixl~ooThl bai tmin (2 1) co it nha't mQt nghi~m

(2 22)

ChUng mink

Sa d\lng (2.22) va b6 d~ Fatou's chung ta co

limsup J(V'(x),f(t,x))dt < 0 ,Ix! ~ 00 I

Va VIv~y co r> 0 sao cho V' (x) *0, mQi x ERn, vdi I xI ~f

do do, di~u ki~n (i) cua dinh ly 2.2 Kay fa vdi f ,V va a nhu' (J tren Bay giG,chung ta chung to di~u ki~n (ii) cua dinh ly 2.2 Kay fa vdi f nay va W =v Ne"udi~u nay khong Kay fa, se t6n t~i mQt day (xn) neN*, V di Xn E domL

va mill IKit) I ~ n, thoa man

tel

f (V'(xn (t)), f( 1,xn (t)):fit > 0 , n E N*

IDung b6 d~ Fatou's, di~u nay suy fa dug

fa V~y (2.1) co it nha't ffiQtnghi~m

Tinh cha't 2 3'

Gia sa ding t6n t~i V E Cl (Rn, R+), vdi

V (x) ~ + 00 khi I x I ~ 00,

Vaa E L 1(1,R+) sao cho

(2 21 ') (V'(x), f (t, x) ~ - aCt),

a.e tEl, va mQi XE Rn, va

Slim inf(V'(x), f(t, x))dt > 0Ixl~oo

IThl bai tmln (2 1) co it nhilt m9t nghi~m

Va vl v~y co f > 0 sao cho V'(x) "*0, mQix ERn, voi I xI~ f, di~uki~n (i') cua dinh 19 2 2' thoa man,voi f, v va a nhu' d tfen Bay gio, chung

ta chung to di~u ki~n (ii') cua dinh ly (2 2') Kay fa

Lily W =V, BAng phan chung, gia sa di~u ki~n (ii') cua dinh ly 2.2'khong Kay fa, se t6n t~i m9t day (xn) n E N*' voi Xn E domL vaminlxn(t)1 ~ n, thoa man

tEl

S(V'(xn(t»),f(t,Xn(t»)}1t<O, ~ EN*

IDimg b6 d~ Fatou's,

Slim inf(V'( xn (t) ),f( t,xn (t) ))dt:s; 0, n~oo

Icho \xn (t)\~ 00 voi m6i tEl,

Slim inf(V' (x),f(t,x) )dt:s; 0,

I Ixl~oomall thuftn voi (2 22') V~y (2.1) co it nhilt m9t nghi~m.

Bay giC1,n~u chung ta, lily n = 1, thl di~u ki~n (2.22) (lan lu'QtIf! (2.22'), co th~ thay bdi di~u ki~n y~u hdn (2.22")

(2.24') Jlim inf (x,f(t, x)) ~

I Ixl~oo Ixl1+d dt > °)

bdi VI (V' (x), fer, x)) =

( 1+: ' f(t, X)J

,Ixl +c

Va, khi n =1, di~u ki~n (2 22") (1~n lu'Qt(2.22"')) tu'dng du'dngVai

fer, x) ~ bet) khi x > 0 va f (t, x) ;?:- bet) khi x < 0 l~n l11Qt

fer, x) ;?:- bet) khi x > 0 va fer, x) ~ bet) khi x < 0), va di~u ki~n

(2.24"), (1~n lu'Qt (2 24"') tudng dudng vai fF+(t)dt <0 < fL(t)dt

Bay giO gia sa r~ng f(t, x) =bet, x) + get), vdi gEL 1(1, Ril) va

h : I x Ril ~ Ril thoa nhii'ng di6u kit%ncaratheodory va saG cho, vdi mQtdE] 0, 1], a.e tEl va mQi x E Rn ta co bet, sx) =Sdh (t, x) vdi mQi s ~ O.Trong truong hQp nay, nhii'ng di6u kit%nva (2 23') ca hai d6u thoa man.rvl~t khac dung d thuftn nha't duong cua h, di6u kit%n(2 24), (2.24') trdthanh

(2.25')

fsup (y,h( t,y ))dt < 0,

rIY\=l

f inf (y,h(t,y))dt> o r\yl=l

la chu§:n logarit I-L(A(t))cua A(t) : duQc xac dinh bdi

I-L(A(t))=lirn h -1(11+ hA(t)I-1)

h +O+

Ky hit%uyet) la ma tr~n co ban chinh cua phuong trlnh (2.27), chung

t6i co IY(l)!~ exp JI-L(A(t) )dt,

Vi v~y, chung ta chI xet phudng trlnh (2.26) trong truong hQp d~cbi<$tvai n = 1, (phudng trlnh vo huang).

Chung toi co ke't qml: di~u ki<$ncftn va du d~ phudng trlnh (2.26) comQt nghi<$m 1 tuftn hoan, vai m6i gEL 1(I, R), la

fA(t)dt *0I

ChUng mink

Gia sa (2 26) co mQt nghi<$m 1 tuftn hoan, vai m6i gEL 1 (1, R), thl

theo tren, ta co di~u ki<$n(2.25) ho~c (2.25') xay fa, nghla la fA(t)dt * 0,

Idff chung minh duQc di~u ki<$ncftn Bay giG, chung minh di~u ki<$nduo

Gia sa fA(t)dt *0 thl ta co di~u ki<$n(2 25) ho~c (2.25') xay fa,

Inghla la phudng trlnh (2.26) co mQt nghi<$m 1 tuftn hoan, dinh 19 dff duQcchung minh

Dinh nghza 2 3 :

MQt t~p ma bi ch~n G c RDduQc la mQtt~p bien ng~t cho phudng

trlnh (2.1) ne'u m6i u E a G, co mQtVuc1 (RD,R) sao cho nhii'ng di~u ki<$n

?

sail xay ra

(i) G C {v ERll:VU(V)< o}

(ii) Vu(u)= 0

(iii) Vai m6i tEl (Vu'(u),f(t,u»)* o.

Bay giC1gia sa G c RDla ffiQtt~p con IDa, bi ch~n, va 16i sao cho 0 E

G, thl vai m6i u E a G, co it nha't mQt n(u) E RD \ {a} sao cho (n(u), u) *0

va (2.28) : G c {v E RD: (sign (n(u),u)(n(u), v = u) < O} n(u) nay

duQc gQila mQtphap tuye'n cua aG t~i di~m u, va d~c bi<$thdn la mQtphap

tuye'n trang, phap tuye'n ngoai tudng ung (n(u), u) < 0, (n(u), u) > o.

Tinh cha't 2 5 : Cho G c Rn la mQt t~p md bi ch~n, 16i sac cho

0 E G, gia sa ding vai m6i U E 8 G, m6i tEl, sac cho (n(u), f(t,u) )*-0 vailieU) la phap Vectd cua 8G t(}.iu thl G la mQt t~p bien ng~t cho (2.1)

ChUng mink

Vai m6i u E 8G, chung ta dinh nghla Vu E C1 (Rn, R), bdi

Vu(v)=(sign(n(u),u)) (n(u), v-u)

Ta se ki~m tra ca 3 di~u ki~n cua dinh nghla 2.3 xay ra

Gia sa co mQtham co huang ng~t cho (2.1) la W sac cho

va ta dinh nghia G eRn, bdi

(2.30) G = {v ERn:lw(v)1< y}

{v ERn:-y < w(v) < y}

Bdi st! dinh ghia cua y va (2.29) suy ra G la mQtt~p con rod, bi ch~n cua Rn, sac cho B(p) c G, va

ne'u Well) Yne'u Well) = - YThl VuE c1 (Rn, R)

Ta ki~m tra hai dieu ki~n d~u cua dinh nghla (2.3)

Voi mQi v E G, guy ra - y < Well)< y rhea dinh nghla cua Vu,

ta co Vu(v) < O

Do do dieu ki~n (i) duQc ki~m tra

Vu(u)=y-y=O

Do do dieu ki~n (ii) duQc ki~m tra

Ne'utEl va u ERn, I U I ~ P voi S E I

Taco Iw(x(s))1 ~ y=Iw(u)\

Tli 2.15), guyra

(w'(u),f(t,u)) < 0 Bdi dinh nghla cua Vu,guy fa

(V~ (u), fer, U)) =I;0

Do d6 dieu ki~n (iii) dff du<;Jcki~m tra

V~y tfnh cha't duQc chung minh

*) Tli day v~ gall, ta giii slYf la ham 1 - tu~n hoan rhea t

f (1,.)

f(O,.) =