chinh phục bài tập tích phân

Nó xuất hiện nhằm đáp ứng các nhu cầu về đo đạc diện tích cũng như tính toán thiên văn… Làm việc với Lượng Giác, chúng ta sẽ làm việc với góc và tính chất của góc.. Trong phần Lượng Giác

LƯỢNG GIÁC

Có thể nói rằng, Lượng Giác là một thành phần xuất hiện khá sớm trong lịch sử Toán Học Nó xuất hiện nhằm đáp ứng các nhu cầu về đo đạc diện tích cũng như tính toán thiên văn… Làm việc với Lượng Giác, chúng ta sẽ làm việc với góc và tính chất của góc Sự biến đổi qua lại theo tính chất giữa các góc sẽ tạo thành một hệ linh hoạt thống nhất

Trong phần Lượng Giác này, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày theo các phần:

CHƯƠNG I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác Bài 2: Giá trị Lượng Giác của một cung

Bài 3: Công thức Lượng Giác

Bài 4: Hệ thức lượng trong Tam Giác

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Hàm số lượng giác

Bài 2: Phương trình Lượng Giác cơ bản

Bài 3: Các phương pháp giải phương trình lượng giác

Bài 4: Phương trình Lượng Giác có điều kiện

ĐỌC THÊM: TẢN MẠN VỀ LƯỢNG GIÁC

Chương I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Trong chương này, kiến thức được trình bày chủ yếu nói về các tính chất biến đổi qua lại giữa các góc nói chung và các góc trong tam giác nói riêng Riêng về tam giác, ngoài sự biến hóa giữa các góc, chúng

ta còn làm việc với các yếu tố về cạnh cũng như diện tích và chu vi

Chúng tôi đã trình bày bố cục chương này theo các phần:

Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác Bài 2: Giá trị Lượng Giác của một cung

Bài 3: Công thức Lượng Giác

Bài 4: Hệ thức lượng trong Tam Giác

Trong mỗi bài, các kiểu bài tập sẽ được đưa ra dần dần theo mức độ như Tính toán thông thường, chứng minh, rút gọn, các kiểu bài tập nâng cao Nắm tốt phần này, chúng ta có thể hiểu được thế nào là LƯỢNG GIÁC

Trước khi vào các phần cụ thể, chúng ta hãy cùng đọc câu chuyện dưới đây và suy ngẫm nhé…

HAI ANH EM

Có hai anh em nhà nọ cùng làm việc trên một nông trại của gia đình Người anh đã lập gia đình, còn người em vẫn còn độc thân Mỗi khi kết thúc một ngày làm việc mệt nhọc, hai anh em lại chia đều những gì mình đã làm được trong ngày, cả phần lúa gạo cũng như lợi nhuận

Một ngày nọ, người em bỗng nghĩ thầm trong bụng: “Thật không công bằng khi chia đôi mọi thứ với anh Mình chỉ có một thân một mình, có cần gì nhiều đâu cơ chứ!” Nghĩ thế, nên từ đó trở đi,

cứ mỗi tối, anh lại lấy bớt phần thóc của mình, băng qua cánh đồng nhỏ giữa hai nhà và đổ vào kho thóc của người anh

Trong khi ấy, người anh cũng thầm nghĩ trong lòng: “Thật không công bằng khi mình chia đều mọi thứ với em Mình đã có vợ, có con, không còn phải lo lắng điều gì nữa, còn em mình chỉ có một mình, đâu có ai để lo cho tương lai” Và thế là người anh, vào mỗi tối, cũng lấy bớt phần thóc của mình

và đổ vào kho của người em

Cả hai anh em đều rất ngạc nhiên khi lượng thóc của mình vẫn không vơi đi chút nào so với trước đó Rồi một tối nọ, cả hai anh em va phải nhau trong lúc thực hiện kế hoạch của mình Và họ đã hiểu ra mọi chuyện Bỏ rơi bao thóc trên tay, hai anh em xúc động ôm chầm lấy nhau…

Chính những điều chúng ta cho đi sẽ là những gì chúng ta nhận lại !

I - GÓC LƯỢNG GIÁC – CUNG LƯỢNG GIÁC

1 Đơn vị đo góc lượng giác

Độ dài cung tròn α (rad) trên đường tròn bán kính R là: l = R.α

2 Khái niệm Góc Lượng Giác

Cho xOy� , tia Oz di động quay quanh O Khi Oz xuất phát từ Ox và dừng ở Oy thì Oz quét được một góc lượng

giác (Ox; Oy)

Sđ(Ox; Oy) = α + k2π (k ∈ ℤ)

sđ(Ox; Oy) = a0+ k 3600 (k ∈ ℤ)

⇒ a0= α rad

3 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Gắn xOy� vào đường tròn tâm O; khi đó giả sử Ox, Oy, Oz cắt đường tròn (O) tại lần lượt A, B và M

Khi Oz quay quanh O từ Ox đến Oy để tạo nên góc gọi là góc lượng giác (Ox; Oy) thì điểm M di chuyển trên

đường tròn (O) từ A đến B để tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B, ký hiệu AB

sđAB = sđ(Ox; Oy) = � α + k2π (k ∈ ℤ)

a0+ k 3600 (k ∈ ℤ)

α là góc đại diện Để xác định một góc, cung lượng giác trên đường tròn lượng giác, ta cần xác định góc α

4 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác.

Đường tròn lượng giác là đường tròn có bán kính bằng 1, có chỉ ra 1 điểm đầu cho mọi cung lượng giác và

1 chiều đi gọi là chiều dương

BT1 : Cho M là điểm cuối của cung định hướng AM Xác định số đo cung định hướng AM

B1: Tìm số đọ cung AM (lớn hoặc nhỏ)

B2: Kết hợp chiều đi từ A đến M và số đo cung AB để suy ra giá trị lượng giác để suy ra giá trị lượng giác α

B3 : Số đo cung định hướng AM bằng α + k2π

BT2 : Cho cung lượng giác định hướng AM có số đo α + k2π

n cho trước; tìm M là điểm cuối

B1: Từ k2π

n : Đường tròn bị chia thành n điểm Có nghĩa là sẽ có N điểm cuối M cách đều nhau trên đường

tròn Nên n điểm đó sẽ tạo thành một n giác đều

B2: Để xác định, ta chỉ cần thay n giá trị k vào biểu thức để tìm ra n điểm cuối

• Chú ý: 2 cung có số đo là α và α + k2π thì có cùng điểm đầu và điểm cuối.

II - GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

1 Định nghĩa giá trị lượng giác của cung α

Định nghĩa: Cho α ∈ ℝ Khi đó ∃ duy nhất một điểm M thuộc

đường tròn lượng giác sao cho số đo cung định hướng AM bằng

α Trên mặt phẳng Oxy, điểm M có tọa độ M(xm; ym) với:

ym = sin α ; xm= cos α

Nếu xm ≠ 0 ⇔ �M ≠ BM ≠ B′ thì cos α gọi là tan α sin α

⇒ tan α =cos α sin α �α ≠π2 + k2π, k ∈ ℤ�

Nếu ym ≠ 0 ⇔ �M ≠ AM ≠ A′ thì cos αsin α gọi là cot α

⇒ cot α =cos αsin α (α ≠ kπ, k ∈ ℤ)

Hệ quả:

−1 ≤ xm; ym ≤ 1 ⇒ −1 ≤ sin α ; cos α ≤ 1

sin α = sin(α + k2π) ; cos α = cos(α + k2π)

2 Giá tr ị lượng giác của một số cung – góc đặc biệt

Các em tham khảo sách giáo khoa

⇒ sin2α + cos2α + 2 sin α cos α = m2⇒ A =m22 − 1

B = sin3α + cos3α = (sin α + cos α)3− 3 sin α cos α (sin α + cos α)

Có D = sin4α + cos4α = (sin2α + cos2α)2− 2 sin2α cos2α = 1 − 2m2

Bài 3: Cho tan α + cot α = m Tính:

E = tan2α + cot2α

F = tan3α + cot3α

Lời giải:

Ta có E = (tan α + cot α)2− 2 tan α cot α = m2− 2 �α ≠ kπ2 ; k ∈ ℤ�

F = (tan α + cot α)3− 3 tan α cot α (tan α + cot α) = m3− 3m �α ≠ kπ2 ; k ∈ ℤ�

Bài 4: Cho tan α = 2 Tính:

M =cos3α + cos α sincos3α − sin23α − sin αα

Lời giải:

Ta có tan α = 2 ⇒cos α = 2 ⇒ sin α = 2 cos α sin α �α ≠π2 + kπ; k ∈ ℤ�

Khi đó ta có:

M =cos3α + cos α sincos3α − sin23α − sin αα =cos3α + cos α 4 coscos3α − 8 cos2α − 2 cos α3α

=cos3α + 4 cos3α − 2 cos α (sin−7 cos3α 2α + cos2α)=cos3α + 4 cos−7 cos3α − 2 cos α 5 cos3α 2α

= −−7 cos5 cos33αα = −57

Bình luận: Nhận thấy với những biểu thức mà có độ lệch bậc giữa các hạng tử với nhau là bội số của

2, chúng ta có thể nhân thêm một lượng lũy thừa của (sin2α + cos2α) để thực hiện cân bằng bậc

Ngoài cách biến đổi về một ẩn sin hoặc cos như trên, vì biểu thức M đã cho là dưới dạng đẳng cấp, nên ta còn có thể đưa về một ẩn là tan hoặc cot như sau:

P = 5 sin6α − 8 cos8α = 5 sin6α (sin2α + cos2α) − 8 cos8α

= cos8α �5cossin88αα + 5cossin66αα − 8� =(tan2α + 1)1 4(5 tan8α + 5 tan6α − 8)

�1 + 12�4

�254+253− 8� =2344.−11324 = −11381

Bài 6: Chứng minh:

a) sin2α + tan2α =cos12α − cos2α

b) coscot22α − tanα − sin22αα = sin2α cos2α

c) (1 + cot2α) � 1cos2α − 1�

1 + tan2α = 1

d) 1 −1 + cotsin2α2α −1 + tancos2α2α = sin α cos α

e) �1 +cos α + tan α1 � �1 −cos α + tan α1 � = 2 tan α

f) �1 +1 − cos α1 + cos α� �1 +1 + cos α1 − cos α� =sin12α

Lời giải:

a) Ta có:

VT = sin2α + tan2α = (sin2α − 1) + (1 − tan2α) = − cos2α + 1

cos2α = VP Vậy đẳng thức được chứng minh

b) Ta có:

VT =coscot22α − tanα − sin22αα =(cos2α − sin2α)(cos2α + sin2α)

cos2αsin2α −sin

2αcos2α

= coscos44α − sinα − sin44αα

=tan2α + tantan2α + 12α cot2α=tantan22α + 1α + 1 = 1 = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

cos3αsin α + cos α

= 1 −sinsin α + cos α = 1 −3α + cos3α (sin2α + sin α cos α + cos2α) = sin α + cos α = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

e) Ta có:

VT = �1 + 1

cos α + tan α� �1 −

1cos α + tan α� = (1 + tan α)2−

1cos2α

= tan2α + 2 tan α + 1 − (1 + tan2α) = 2 tan α = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

4sin2α = VP Vậy đẳng thức được chứng minh

Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào α:

A = 3(sin8α − cos8α) + 4(cos6α − 2 sin6α) + 6 sin4α

B = (1 + cot α) sin3α + (1 + tan3α) cos3α − sin α − cos α

Lời giải:

A = 3(sin8α − cos8α) + 4(cos6α − 2 sin6α) + 6 sin4α

= 3(sin4α + cos4α)(sin4α − cos4α) + 4 cos6α − 8 sin6α + 6 sin4α (sin2α + cos2α)

= 3(sin4α + cos4α)(sin2α − cos2α) + 4 cos6α − 8 sin6α + 6 sin4α (sin2α + cos2α)

= 3 sin6α − 3 cos6α − 3 sin4α cos2α + 3 sin2α cos4α + 4 cos6α + 6 sin6α + 6 sin4α cos2α

= sin6α + cos6α + 3 sin4α cos2α + 3 sin2α cos4α

= (sin2α + cos2α)3= 1

Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào α

B = (1 + cot α) sin3α + (1 + tan3α) cos3α − sin α − cos α

= �1 +cos αsin α� sin3α + �1 +cos αsin α� cos3α − sin α − cos α

= sin3α + cos3α + sin2α cos α + sin α cos2α − sin α − cos α

= sin α (sin2α + cos2α) + cos α (cos2α + sin2α) − sin α − cos α

= sin α + cos α − sin α − cos α = 0

Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào α

Bài 8: Rút gọn:

A =cossin22α + sinα + cos22α tanα cot22αα

B = 1 − cos2α + 3 sin2α −tan4 tan2α + 1 2α

C =cossin22α + tanα − cot22α − 1 α + 1

Lời giải:

A =cossin22α + sinα + cos22α tanα cot22αα =cossin22α (1 + tanα (1 + cot22α)α) =cossin22αα cossin22αα = tan4α

B = 1 − cos2α + 3 sin2α −tan4 tan2α + 1 2α

= sin2α + cos2α − cos2α + 3 sin2α − 4 tan2α cos2α

= 4 sin2α − 4 sin2α = 0

C =cossin22α + tanα − cot22α − 1 =α + 1 cos

2α − cossin22α + 1αsin2α + sincos22αα − 1

=

sin2α cos2α + sin2α − cos2α

sin2αsin2α cos2α + sin2α − cos2α

=cossin22α = cotα 2α

Bài 9: Cho ∆ABC Chứng minh các hệ thức:

tanA + B − 2C2 = tanπ − 3C2 = tan �π2 −32 C� = cot32 C

Trước khi sang phần tiếp theo, các em dành chút thời gian suy ngẫm câu chuyện sau nhé…

III - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Công th ức cộng

Cho a, b ∈ ℝ, ta có các công thức sau:

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b (1) cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b (2) sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (3) sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b (4) tan(a + b) =1 − tan a tan b tan a + tan b (5) tan(a − b) = tan a − tan b

1 + tan a tan b (6) Các công thức (5) và (6) cần đi kèm điều kiện xác định tương ứng vần thiết cho tan và cot cũng như các mẫu số trong công thức

=sin 102 sin 200 cos 100 0 =2 sin(10sin 100 cos 100+ 1000)=4(sin 10sin 1000 cos 10 cos 1000)= 4

Ta có:

sin5π12 = sin�π6 +π4� = sinπ6 cosπ4 + cosπ6 sinπ4 =√2 + √64

tan7π12 = tan�π3 +π4� = tan π3 + tanπ4

1 − tan π3.tanπ4

=1 + √3

1 − √3cos π

Bình luận: Mục đích của các bài tập tính toán này là đưa góc lượng giác về biểu diễn theo các góc đặc biệt trên đường tròn lượng giác Ngoài ra cần vận dụng các công thức lượng giác đã có sẵn để biến đổi linh hoạt giữa các biểu thức lượng giác

√10 �0 < b <

π

2� Tính a + b

b) Cho �tan(a + b) = 5tan(a − b) = 3 Tính tan 2a ; tan 2b

tan 2a = tan[(a + b) + (a − b)] = tan(a + b) + tan(a − b)

1 − tan(a + b) tan(a − b) = −

4

7 tan 2b = tan[(a + b) − (a − b)] =1 + tan(a + b) tan(a − b) =tan(a + b) − tan(a − b) 18

2 Công thức bội

2.1 Công thức nhân đôi

Trong các công thức (1), (3), (5) của phần I, nếu cho a = b thì ta sẽ thu được:

cos 2a = cos2a − sin2a (7) = 2 cos2a − 1 (7a) = 1 − 2 sin2a (7b)

sin 2a = 2 sin a cos a (8) tan 2a = 2 tan a

1 − tan2a (9)

1 Công thức hạ bậc:

Từ các công thức (7a), (7b); ta có:

cos2a =1 + cos 2a2sin2a =1 − cos 2a2

2 Công thức nhân ba:

cos 3a = 4 cos3a − 3 cos a (10) sin 3a = 3 sin a − 4 sin3a (11)

Ví dụ:

Chứng minh các đẳng thức:

a) 1 − 2 sin2a

2 cot �π4 + a�.cos2�π4 − a�= 1

b) 1 + cos a + cos 2a + cos 3a2 cos2a + cos a − 1 = 2 cos a

c) cos3a − cos 3acos a +sin3a + sin 3asin a = 3

d) sin4a + 2 sin a cos a − costan 2a − 1 4a= cos 2a

Lời giải:

a) Ta có:

2 cot �π4 + a� cos2�π4 − a� = 2 tan �π2 −�π4 + a�� cos2�π4 − a�

= 2 tan �π4 − a� cos2�π4 − a� = 2 sin �π4 − a� cos �π4 − a� = sin �π2 − 2a� = cos 2a

⇒ VT =1 − 2 sincos 2a2a= 1 = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

b) Ta có:

VT =1 + cos a + cos 2a + cos 3a2 cos2a + cos a − 1

=1 + cos a + 2 cos2 cos22a − 1 + 4 cosa + cos a − 13a − 3 cos a=4 cos(cos a + 1)(2 cos a − 1) 3a + 2 cos2a − 2 cos a

=2 cos a (2 cos a − 1)(cos a + 1)(cos a + 1)(2 cos a − 1) = 2 cos a = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

c) Ta có:

VT =cos3a − cos 3acos a +sin3a + sin 3asin a

=cos3a − 4 cos3a + 3 cos a

sin3a + 3 sin a − 4 sin3a

sin a

=3 cos a − 3 coscos a 3a+3 sin a − 3 sinsin a 3a

= 3 − 3 cos2a + 3 − 3 sin2a = 6 − 3(sin2a + cos2a) = 3 = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

Vậy đẳng thức được chứng minh

3 Công thức biến đổi giữa tổng và tích

3.1 Công thức biến đổi tích thành tổng

Từ các công thức (1), (2), (3), (4), ta có:

cos a cos b =12[cos(a + b) + cos(a − b)] (12) sin a sin b = −12[cos(a + b) − cos(a − b)] (13) sin a cos b =12[sin(a + b) + sin(a − b)] (14) 3.2 Công thức biến đổi tổng thành tích

Từ các công thức cộng, bằng cách đặt �a + b = ma − b = n ⇒ �a =

m + n2

b =m − n2

Ta rút ra các công thức sau:

cos m + cos n = 2 cosm + n2 cosm − n2 (15) cos m − cos n = −2 sinm + n2 sinm − n2 (16) sin m + sin n = 2 sinm + n2 cosm − n2 (17) sin m − sin n = −2 cosm + n2 sinm − n2 (18) tan m + tan n = sin(m + n)

cos m cos n (19) tan m − tan n =cos m cos n sin(m − n) (20) BAI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 : Rút gọn:

A =cos a + cos 3a + cos 5a sin a + sin 3a + sin 5a

B = (1 + 2 cos 2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a) sin a

C =cos a − sin a − cos 3a + sin 3a 2(sin 2a + 2 cos2a − 1)

D = sin2(a + b) − sin2a − sin2b

sin2(a + b) − cos2a − cos2b

Lời giải:

Ta có:

A =cos a + cos 3a + cos 5a =sin a + sin 3a + sin 5a cos 3a + 2 cos 3a cos 2a sin 3a + 2 sin 3a cos 2a

=cos 3a sin 3a 1 + 2 cos 2a1 + 2 cos 2a = tan 3a

B = (1 + 2 cos 2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a) sin a

= sin a + 2 sin a cos 2a + 2 sin a cos 4a + 2 sin a cos 6a

= sin a + (sin 3a − sin a) + (sin 5a − sin 3a) + (sin 7a − sin 5a) = sin 7a

C = 2(sin 2a + 2 cos2a − 1)

cos a − sin a − cos 3a + sin 3a =

2(sin 2a + cos 2a)(cos a − cos 3a) + (sin 3a − sin a)

=2 sin 2a sin a + 2 cos 2a sin a =2(sin 2a + cos 2a) 2 sin a (sin 2a + cos 2a) =2(sin 2a + cos 2a) sin a 1

D = sin2(a + b) − sin2a − sin2b

sin2(a + b) − cos2a − cos2b

= (sin2a cos2b − sin2a) + (cos2a sin2b − sin2b)

(sin2a cos2b − cos2b) + (cos2a sin2b − cos2a)

=sincos22a (cosb (sin22b − 1) + sina − 1) + cos22b (cosa (sin22b − 1) a − 1)

=− cos− sin22b cosa sin22b − sina − cos22b sina cos22ab = tan2a tan2b

Bình luận: Với những bài toán rút gọn, chứng minh Lượng Giác nói chung, ta cần để ý diễn biến góc

để đưa về các góc lượng giác giống nhau Đặc biệt với dạng toán của phần B, khi gặp tổng của các biểu thức

có góc lượng giác biến đổi quy luật, ta thường sẽ giải quyết bằng việc nhân thêm một lượng tương ứng vào

để có thể áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng nhằm tạo ra các biểu thức có khả năng khử nhau Bài 2:

a) Cho � 0 < a <

π2tan a = 2 − √3 Tính a

b) Cho � 0 < a <

π2cos a =√6 + √24 Tính a

A = cos2π7 + cos4π7 + cos6π7

B =2 sin 101 0− 2 sin 700

C = cos 270− cos 630

D = tan 90− tan 270− tan 630+ tan 810

Lời giải:

A = cos2π7 + cos4π7 + cos6π7

⇔ A sin2π7 = sin2π7 cos2π7 + sin2π7 cos4π7 + sin2π7 cos6π7

⇔ A sin2π7 =12�sin4π7 + sin 0� +12�sin6π7 − sin2π7� +12�sin8π7 − sin4π7�

⇔ A sin2π7 =12�sin6π7 + sin8π7� −12 sin2π7

⇔ A sin2π7 = − sin π cosπ7 −12 sin2π7 ⇔ A = −12

B =2 sin 101 0− 2 sin 700 =1 − 4 sin 102 sin 100 sin 700 0

=1 + 2(cos 802 sin 100− cos 600 0)=cos 80cos 8000 = 1

C = cos 270− cos 630 = 2 sin 900 sin 360= 2 sin 360

Ta có: sin 180 = cos 720= 2 cos236 − 1 = 2(1 − 2 sin2180)2− 1

⇔ sin 180= 8 sin4180− 8 sin2180+ 1