Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

GIA ĐÌNH LOVEBOOKCHINH PHỤC BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Sách dành cho:  Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016  Học sinh lớp

LOVEBOOK.VN

Lời chúc & kí tặng

Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook

Sách gốc phải có chữ ký của tác giả hoặc của thành viên Lovebook Bất kể cuốn sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!

Đặng Thùy Trâm

Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà bằng cả con tim của mình nữa!

Lương Văn Thùy

LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ

đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất!

Bản quyền thuộc về Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp

Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ hình thức hoặc phương tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của công ty

GIA ĐÌNH LOVEBOOK

CHINH PHỤC BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

OXYZ

Sách dành cho:

 Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)

 Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA

 Học sinh mất gốc Toán, học kém Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp và kĩ năng giải toán Toán

 Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)

 Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông

 Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán

 Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị, sáng

tạo và độc đáo

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NHÀ XUẤN BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

16 Hàng Chuối – Hai Bà Trưng – Hà Nội Điện thoại: Biên tập – Chế bản: (04) 39714896;

Quản lý xuất bản: (043) 9728806; Tổng biên tập: (04) 397 15011

Fax: (04) 39729436

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc – Tổng biên tập: TS PHẠM THỊ TRÂM

Biên tập: LÊ THỊ THANH HOA

Chế bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP Trình bày bìa: NGUYỄN SƠN TÙNG

Sửa bản in: LƯƠNG VĂN THÙY – NGUYỄN THỊ CHIÊN – TĂNG HẢI TUÂN

Đối tác liên kết xuất bản:

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP

Địa chỉ: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội

Số xuất bản: 2639 – 2015/CXB,IPH/7 - 324/ĐHQGHN, ngày 14/09/2015

Quyết định xuất bản số: 560 LK-TN/ QĐ – NXBĐHQGHN, ngày 01/10/2015

In xong và nộp lưu chiểu năm 2015

Chinh phục hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

I- GIỚI THIỆU CHUNG

II- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH

III- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN

1 NGUYỄN ANH VĂN

- Sinh ngày: 1-9-1995

- Quê quán: Hoàng Mai, tỉnh Nghệ An

- Sở Thích: Nấu ăn, một mình nghe Nhạc Trịnh

- Học Vấn: Bác Sỹ Đa Khoa - Trường Đại Học Y

Để gió cuốn đi, để gió cuốn đi

Phương chấm sống: Cần cù bù thông minh

2 HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH

- Sinh ngày: 30/04/1997

- Quê quán: Ứng Hòa, Hà Nội

- Sở thích: Nghe nhạc, xem phim, đọc sách

- Học vấn: lớp Chất lượng cao sư phạm toán Khoa Toán Tin

ĐH sư phạm Hà Nội

- Facebook:

- Phương châm sống: Hãy sống như ngày mai phải chết

NGUYỄN ANH VĂN – LÊ PHƯƠNG ANH

LÊ HOÀNG NAM – NGUYỄN THÀNH ĐẠT

HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH

𝐅𝟏

(T9/2015)

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH

Chinh phục hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

3 LÊ HOÀNG NAM

- Câu nói ưa thích: "There are two ways to live your life - one

is as though nothing is a miracle, the other is as though

everything is a miracle." - Albert Einstein

- Phương châm sống: "Cái gì cũng có cái giá của nó"

- Quê quán: Thanh Oai Hà Nội

- Sở thích: đọc sách, xem anime và running man

- Học vấn: Khoa Toán tin Đại học Sư phạm Hà Nội

- Facebook: https://www.facebook.com/phuonganh510

- Câu nói ưa thích:

Khi gió nổi lên,chúng ta phải tiếp tục sống

Le vent se lève, il faut tenter de vivre

- Phương châm sống: YOLO – You only live once

LỜI MỞ ĐẦU

Các bạn cảm thấy:

 Hoang mang khi lần đầu tiếp xúc với các kiến thức về hình giải tích Oxyz?

 Kiến thức về hình giải tích Oxyz nói chung và hình giải tích nói riêng khá là phức tạp và rộng, hơn nữa các dạng bài trong đề thi khác xa với kiến thức trong SGK

 Không hình dung được phương pháp, ý tưởng làm một bài hình giải tích Oxyz?

 Giá như có cuốn sách với đầy đủ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu

để mình có thể tự tin học?

 …

Nếu bạn gặp phải những vấn đề trên, chắc chắn Chinh phục hình học giải tích Oxyz là cuốn

sách DÀNH CHO BẠN!!!!

Trong cuốn sách này bạn sẽ:

1 Thử thách bản thân với hàng loạt bài tập được các tác giả chọn lọc kĩ càng

Các bài tập trong cuốn sách đều là những bài tập điển hình và quen thuộc nhất trong các

đề thi Ngoài các ví dụ giúp các bạn định hình dạng toán, cuốn sách còn bao hàm rất nhiều bài tập tự luyện có đáp án, giúp các bạn có một kĩ năng làm bài tốt phục vụ cho kì thi sắp tới

2 Tiếp cận các nội dung, phương pháp giải bài toán một cách tối ưu nhất

Các phương pháp và nội dung trong cuốn sách đều là các phương pháp được chọn lọc kĩ càng, đồng thời được trình bày cẩn thận và rõ ràng với lời hướng dẫn chi tiết… Cuốn sách dễ hiểu, dễ học ngay cả với những bạn mới bắt đầu tiếp xúc với hình giải tích Oxyz

3 Được hỗ trợ trực tuyến ngay khi cầm trên tay cuốn sách

Nếu có khúc mắc trong quá trình sử dụng sách, bạn có thể hỏi trực tiếp đội ngũ tác giả

trên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách của nhà sách: vedu.vn/forums/

Cuốn sách là tập hợp những kinh nghiệm, kiến thức về hình học giải tích Oxyz của các tác giả; là quá trình làm việc nghiêm túc, miệt mài của các tác giả Cuốn sách cũng là tâm huyết của đội ngũ tác giả với mong muốn bạn đọc có thể đạt được kết quả tốt nhất, chinh phục được bài toán hình giải tích Oxyz trong đề thi THPT Quốc gia sắp tới

Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách nhưng cuốn sách chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi sai sót vì thời gian và kiến thức còn hạn chế Chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp về nội dung của cuốn sách từ các bạn học sinh, sinh viên, các thầy cô giáo để những lần tái bản tiếp theo cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn

Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ

o Thư điện tử: gopy.lovebook.vn@gmail.com

o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/

Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!!

LỜI CẢM ƠN

Chúng tôi xin được gửi những lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cha mẹ - những người có ơn sinh thành và nuôi dưỡng chúng tôi, dạy bảo chúng tôi nên người Gia đình luôn là điểm tựa vững chắc giúp chúng tôi vươn đến những thành công như ngày hôm nay

Chúng tôi cũng xin gửi những lời tri ân sâu sắc đến những người thầy, người cô đã dạy dỗ chúng tôi suốt những năm học vừa qua, những người truyền đạt cho chúng tôi không chỉ về những kiến thức mà còn về những hiểu biết, kĩ năng về cuộc sống

Tiếp đến chúng tôi xin được cảm ơn các anh em bạn bè cũng như các anh em trong mái nhà chung LOVEBOOK, các anh em đã luôn giúp đỡ, ủng hộ chúng tôi mọi lúc mọi nơi, giúp chúng tôi có động lực để hoàn tất ước mơ có một sản phẩm “tinh thần” của cuộc đời

Cuối cùng, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến anh Lương Văn Thùy – Giám đốc VEDU – và NHÀ SÁCH LOVEBOOK đã luôn ủng hộ, động viên và hướng dẫn chúng tôi trong quá trình hoàn thành cuốn sách

Một lần nữa, chúng tôi xin chân thành cảm ơn!!!

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

1 Bạn nên học theo thứ tự các chủ đề

Cuốn sách này khác với các cuốn sách khác, tác giả khuyên các bạn nên ĐỌC THẬT KĨ ĐÁP ÁN vì đáp án trong cuốn sách sẽ trình bày và phân tích các sai lầm mà các bạn sẽ hay gặp phải cũng như phần bình luận, mở rộng thêm bài toán đó Các bạn không nên lướt qua đáp án vì đáp án chính là một trong những phần thú vị và giá trị nhất của cuốn sách

2 Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì?

Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!!

- Hỏi bạn bè cùng lớp Học thầy không tày học bạn

- Hỏi thầy cô giáo trên lớp

- Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng

- Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử

dụng sách của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/

3 Ghi chú, đánh dấu

Trong quá trình đọc cuốn sách, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào những phần kiến thức

mà bạn hay quên, còn nhầm lẫn, những bài toán mà các bạn làm sai và những phần mà bạn thấy quan trọng Trước khi thi 2 tháng, bạn nên đọc lại toàn bộ cuốn sách vì cuốn sách đã tổng hợp toàn bộ những thứ bạn cần về phần Hình giải tích Oxyz, đặc biệt bạn cần xem lại những phần mình đã đánh dấu bằng bút màu trước đây để tránh việc lặp lại sai lầm khi bước vào kì thi chính thức

4 Kết hợp với bộ đề

Trong quá trình sử dụng sách, để đạt được hiệu quả cao nhất, tốt nhất bạn nên có một bộ

đề để luyện tập Vì sao lại thế ?

Các bài tập tự luyện bên dưới sau mỗi chuyên đều là các bài tập cùng dạng đã trình bày nhằm củng cố kiến thức dạng bài tập đó Do đó, để có thể nhớ lâu và có kĩ năng tư duy tổng hợp các kiến thức, các chuyên đề với nhau thì cần phải có một bộ đề để làm

Khi làm đề mà có nhiều phần chưa học, hãy làm những phần mình đã học rồi chứ không nên để đến lúc học xong hết chương trình rồi mới làm

Ví dụ bạn đọc hết cuốn sách này, hãy cứ bỏ đề ra và đặt bút làm, làm hết tất cả các câu thuộc phần Oxyz

Bạn sợ thiếu đề? Bạn yên tâm rằng, Lovebook có 80 bộ đề nằm trong 2 tập của bộ sách Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán với đáp án và lời giải chi tiết cho bạn.

MỤC LỤC

Chuyên đề 1: Hệ trục tọa độ trong không gian và công cụ giải toán 13

4 Biểu thức tọa độ các phép toán trên vectơ 15

5 Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ hai điểm mút 17

5 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng 32

2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 34

3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu 35

2 Tìm điểm thuộc mặt phẳng kèm điều kiện phụ 64

3 Tìm điểm thuộc đường thẳng kèm điều kiện phụ 79

2 Tích có hướng của hai vectơ ứng dụng trong mặt phẳng 119

1 Bài tập viết phương trình đường thẳng cơ bản 172

2 Vị trí tương đối của đường thẳng so với mặt phẳng 177

3 Vị trí tương đối của đường thẳng so với đường thẳng 184

III Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng 232

IV Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng 255

Trước khi bắt đầu chính thức trải nghiệm cuốn sách, anh chị Lovebook xin gửi tặng các em câu chuyện:

Bài học từ câu chuyện “Tái ông thất mã”

Một câu chuyện của Trung Quốc về một nông dân Bình tĩnh

“Một ông lão ở gần biên giới giáp với nước Hồ phía Bắc nước Tàu, gần Trường thành, có nuôi một con ngựa Một hôm con của ông lão dẫn ngựa ra gần biên giới cho ăn cỏ, vì lơ đễnh nên con ngựa vọt chạy qua nước Hồ mất dạng Những người trong xóm nghe tin đến chia buồn với ông lão

Ông lão là người thông hiểu việc đời nên rất bình tỉnh nói:

– Biết đâu con ngựa chạy mất ấy đem lại điều tốt cho tôi

Vài tháng sau, con ngựa chạy mất ấy quay trở về, dẫn theo một con ngựa của nước Hồ, cao lớn và mạnh mẽ Người trong xóm hay tin liền đến chúc mừng ông lão, và nhắc lại lời ông lão đã nói trước đây

Ông lão không có vẻ gì vui mừng, nói:

– Biết đâu việc được ngựa Hồ nầy sẽ dẫn đến tai họa cho tôi

Con trai của ông lão rất thích cưỡi ngựa, thấy con ngựa Hồ cao lớn mạnh mẽ thì thích lắm, liền nhảy lên lưng cỡi

nó chạy đi Con ngựa Hồ chưa thuần nết nên nhảy loạn lên Có lần con ông lão không cẩn thận để ngựa Hồ hất xuống, té gãy xương đùi, khiến con ông lão bị què chân, tật nguyền

Người trong xóm vội đến chia buồn với ông lão, thật không ngờ con ngựa không tốn tiền mua nầy lại gây ra tai họa cho con trai của ông lão như thế

Ông lão thản nhiên nói:

– Xin các vị chớ lo lắng cho tôi, con tôi bị ngã gãy chân, tuy bất hạnh đó, nhưng biết đâu nhờ họa nầy mà được phúc

Một năm sau, nước Hồ kéo quân sang xâm lấn Trung nguyên Các trai tráng trong vùng biên giới đều phải sung vào quân ngũ chống ngăn giặc Hồ Quân Hồ thiện chiến, đánh tan đạo quân mới gọi nhập ngũ, các trai tráng đều

tử trận, riêng con trai ông lão vì bị què chân nên miễn đi lính, được sống sót ở gia đình.”

Người đời sau lập ra thành ngữ: Tái ông thất mã, an tri họa phúc Nghĩa là: ông lão ở biên giới mất ngựa, biết đâu

Chinh phục hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

I- GIỚI THIỆU CHUNG

II- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH

III- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN

1 NGUYỄN ANH VĂN

- Sinh ngày: 1-9-1995

- Quê quán: Hoàng Mai, tỉnh Nghệ An

- Sở Thích: Nấu ăn, một mình nghe Nhạc Trịnh

- Học Vấn: Bác Sỹ Đa Khoa - Trường Đại Học Y

Để gió cuốn đi, để gió cuốn đi

Phương chấm sống: Cần cù bù thông minh

2 HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH

- Sinh ngày: 30/04/1997

- Quê quán: Ứng Hòa, Hà Nội

- Sở thích: Nghe nhạc, xem phim, đọc sách

- Học vấn: lớp Chất lượng cao sư phạm toán Khoa Toán Tin

ĐH sư phạm Hà Nội

- Facebook:

- Phương châm sống: Hãy sống như ngày mai phải chết

NGUYỄN ANH VĂN – LÊ PHƯƠNG ANH

LÊ HOÀNG NAM – NGUYỄN THÀNH ĐẠT

HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH

𝐅𝟏

(T9/2015)

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH

Chinh phục hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

3 LÊ HOÀNG NAM

- Câu nói ưa thích: "There are two ways to live your life - one

is as though nothing is a miracle, the other is as though

everything is a miracle." - Albert Einstein

- Phương châm sống: "Cái gì cũng có cái giá của nó"

- Quê quán: Thanh Oai Hà Nội

- Sở thích: đọc sách, xem anime và running man

- Học vấn: Khoa Toán tin Đại học Sư phạm Hà Nội

- Facebook: https://www.facebook.com/phuonganh510

- Câu nói ưa thích:

Khi gió nổi lên,chúng ta phải tiếp tục sống

Le vent se lève, il faut tenter de vivre

- Phương châm sống: YOLO – You only live once

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

LOVEBOOK.VN | 13

Chuyên đề I: Hệ trục tọa độ trong không gian và công cụ giải toán

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Hệ tọa độ trong không gian

1 Hệ trục tọa độ trong không gian

Chúng ta đang sống trong một không gian ba chiều (3D), có sự tới lui, sang phải sang trái, lên xuống Tất cả những vật xung quanh chúng ta đều là 3D, ví như quyển sách bạn đang cầm có chiều cao, chiều rộng

và bề dày nhất định, và quan trọng hơn hết là nếu bạn muốn đo kích cỡ của quyển sách, bạn phải dùng thước kẻ và đo theo những hướng vuông góc với nhau, ba kích cỡ đó giúp ta xác định hình dạng cuốn sách Hãy tưởng tượng ta đặt ba cái thước kẻ để đo ba kích thước của quyển sách từ một điểm bất kì trên gáy sách hay đơn giản là dựng quyển sách lên và nhìn vào góc sách, ta sẽ thấy được hình dạng của một “hệ trục tọa độ trong không gian”

Trong không gian hệ gồm ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz đôi một vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian

Gọi i, j, k lần lượt là ba vectơ đơn vị (vectơ đơn vị là vectơ có độ lớn bằng 1 và cùng hướng với chiều dương của các trục tọa độ) trên ba trục Ox, Oy, Oz

Điểm O gọi là gốc tọa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung, trục Oz gọi là trục cao Các mặt phẳng chứa hai trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ, ta kí hiệu chúng lần lượt là (Oxy), (Oyz) và (Ozx)

dù không định nghĩa được một điểm, nhưng ta có thể hình dung ra một điểm nhờ vào vị trí của điểm đó trong hệ trục tọa độ, ta gọi đó là tọa độ một điểm trong không gian và luôn được biểu diễn bởi bộ ba số đặt trong dấu ngoặc tròn x;y;z 

Với mọi điểm M, tồn tại duy nhất bộ ba số x;y;z sao cho OM xi yj zk   

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

LOVEBOOK.VN | 14

Ta gọi bộ ba số x;y;z là tọa độ của điểm M 

Kí hiệu: M x;y;z hay   Mx;y;z 

Như vậy: M x;y;z OM xi yj zk  

Nếu điểm M có tọa độ là x;y;z thì x được gọi 

là hoành độ, y được gọi là tung độ, z được gọi là

cao độ của điểm M

Ví dụ: OM 3i 4j 2k   M 3;4;2  

Việc xác định tọa độ M ta làm tương tự như xác

định tọa độ điểm trong hình học phẳng Ban đầu

ta hạ các đường vuông góc từ M xuống các trục:

MK Oz, MN xOy , sau đó tiếp tục hạ NI Ox,NJ Oy  ta sẽ được MI Ox, MJ Oy. Ta được tọa độ điểm M là x OI, y OJ, z OK

Điểm M thuộc mặt phẳng  Oxy có z 0 , tức là M x;y;0  

Điểm M thuộc mặt phẳng  Oyz có x 0 , tức là M 0;y;z  

Điểm M thuộc mặt phẳng  Oxz có y 0 , tức là M x;0;z  

3 Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị i, j,k trên các trục, với mọi vectơ u tồn tại duy nhất bộ

ba số x;y;z sao cho u xi yj zk    Ta gọi bộ ba số x;y;z là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxyz 

Kí hiệu: u x;y;z hoặc   ux;y;z 

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

LOVEBOOK.VN | 15

4 Biểu thức tọa độ các phép toán trên vectơ

a) Tổng, hiệu của hai vectơ Tích của một vectơ với một số

Cho hai vectơ u x ;y ;z ,v x ;y ;z , ta có:  1 1 1  2 2 2

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

Gọi tọa độ điểm M làMx ;y ;zM M M

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có AG 2AM

Nhận xét: Khi gặp bài toán liên quan tới tìm điểm, ta nên gọi tọa độ điểm đó theo ẩn, sau đó dựa vào dữ kiện

đề bài để lập ra các phương trình, hệ phương trình thể hiện mối liên hệ giữa các ẩn

Ví dụ 2 Cho hai vectơ u m 1;3;2 n ,v 2;3k;7       Tìm m, n, k biết u v 

c) Hai vectơ cùng phương

Cho hai vectơ u x ;y ;z ,v x ;y ;z , hai vectơ u và v được gọi là cùng phương (nghĩa là hai vectơ có  1 1 1  2 2 2

giá song song hoặc trùng nhau) khi và chỉ khi tồn tại số thực k, k 0 sao cho u kv, hay 11 22  

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

( hệ phương trình vô nghiệm do k không thể đồng thời bằng ba giá trị)

Do đó không tồn tại k để hai vectơ a và b cùng phương, nên điều giả sử là sai

Vậy hai vectơ a và b không cùng phương

Cách 2: (Sử dụng chú ý)

Vì 1 3

7 2 nên hai vectơ a và b không cùng phương

Nhận xét: Trong giải bài tập, cách 2 cho phương pháp thử nhanh hơn, nhưng không phải trường hợp nào cũng có thể áp dụng cách 2 Ví dụ: cho u0; 1;0 , v  0;2;0, khi đó ta không thể ghi vì0 1

Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng

Nếu k 0,  u và v cùng hướng

Nếu k 0,  u và v ngược hướng

Hệ quả:

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực k khác 0 sao cho AB kAC 

 Đây là một hệ quả quan trọng , từ hệ quả ta có thể suy ra cách chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng hay chứng minh ba điểm A, B, C lập thành một tam giác, ta chỉ cần chứng minh không tồn tại số thực

k để AB kAC

5 Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ hai điểm mút

Định lí Cho hai điểmA x ;y ;z ,B x ;y ;z , ta có:  A A A  B B B

 B A B A B A

AB x x ;y y ;z zNhận xét:

- Ta nhớ rằng phải ‘lấy tọa độ điểm sau trừ tọa độ điểm trước’

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

LOVEBOOK.VN | 18

- Bản chất của công thức này suy ra từ quy tắc ba điểm của phép hiệu hai vectơ

Với ba điểm O, A, B ta có AB OB OA  

 A A A

A x ;y ;z OAx ;y ;zA A A, B x ;y ;z B B BOBx ;y ;z , B B B

từ đó thay vào công thức AB OB OA  ta được ABxBx ;yA By ;zA BzA

Khoảng cách giữa hai điểm

ChoA x ;y ;z ,B x ;y ;z , khoảng cách giữa hai điểm A, B là:  1 1 1  2 2 2

AB AB  x x  y y  z zTọa độ của các điểm đặc biệt

- Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k: k 1 :     

- Cho tam giác ABC với tọa độ ba điểm: A x ;y ;z ,B x ;y ;z , A A A  B B B C x ;y ;z  C C C

Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: G xA xB x yC; A yB y zC; A zB zC

- Cho tứ diện ABCD với tọa độ bốn đỉnh A x ;y ;z ,B x ;y ;z , A A A  B B B C x ;y ;z , C C C D x ;y ;z  D D D

Trọng tâm G của tứ diện ABCD có tọa độ là: G xA xB xC xD;yA yB yC yD;zA zB zC zD

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có A 1;1; 2 ,   B 3;1;6 ,  C 1;1; 1 ,   G là trọng tâm tam giác, M là trung điểm

BC Tính các vectơ sau: AB, AG, AM, từ đó thấy rằng AG2AM

3Lời giải:

Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có G 1 3 1 1 1 1 2 6 1; ; G 1;1;1 

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C lập thành một tam giác

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

d) Tính chu vi tam giác ABC

  nên hai vectơ AB, AC không cùng phương, do đó ba điểm A, B, C lập thành một tam giác

b) G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có G 1 5 1 2 1 1 3 0 0; ; G 5 4; ;1

6 Tích vô hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vectơ u và v được xác định như sau:

 

u.v u v cos u, v với u,v 0 

Trong đó: u , v là độ lớn của hai vectơ u và v

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

- Ta có thể nhớ nhanh công thức  1 là ‘’cos bằng tích vô hướng chia tích độ dài’’

- Công thức thứ 2 rất ‘’ít gặp’’ trong các dạng bài tập và được suy ra từ công thức 1

Đặc biệt:u v u.v 0 cos u, v  0 x x1 2y y1 2z z1 20

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

Tìm vectơ u biết rằng vectơ u thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau u.a 42 , u.b 54, u.c 18

Định hướng: Khi gặp những dạng bài tìm vectơ hay tìm điểm, trước hết ta phải gọi điểm và vectơ đó theo

ẩn, sau đó sử dụng những dữ kiện đề bài để lập các phương trình, hệ phương trình giải ra ẩn Những dạng bài này sẽ giúp chúng ta ghi nhớ công thức và biết cách ứng dụng công thức vào bài tập

Lời giải:

Gọi tọa độ của vectơ ux;y;z

Theo giả thiết ta có

Ví dụ 3 Tìm vectơ u biết rằng vectơ u vuông góc với hai vectơ a1; 2;1 ,b0; 1;5  và thỏa mãn u.c 9 với c2; 2;1  

Vậy tọa độ vectơ cần tìm làu9;5;1

Ví dụ 4 Tính góc tạo bởi hai vectơ u và v biết rằng:

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz Your dreams – Our mission

7 Tích có hướng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ: u x y z 1; ;1 1 ,v x y z2; ;2 2

Tích có hướng của hai vectơ uvà v là một vectơ ncó tọa độ được xác định như sau: