Số phức với các phép dời hình trong mặt phẳng

Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng vàcác tính chất hình học, từ đó dùng số phức để giải toán hình học.. Trên cơ sởkhai thác việc biểu diễn bằng số phức các

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 3

Chương 1 Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình 4

§1 Mặt phẳng phức 4

1 E  C 4

2 Đường thẳng trong mặt phẳng phức 4

3 Đường tròn trong mặt phẳng phức 5

4 Phép biến đổi afin trong mặt phẳng phức 5

§2 Phép dời hình loại 1 6

1 Phép tịnh tiến 6

2 Phép quay 9

3 Phép dời hình loại 1 15

§3 Phép dời hình loại 2 17

1 Đối xứng trục 17

2 Đối xứng trượt 22

3 Phép dời hình loại 2 23

§4 Phép dời hình 24

1 Dời hình loại 1, loại 2 là các phép biến đổi afin 24

2 Các biến đổi afin bảo toàn khoảng cách 25

§5 Một số bài toán hình học phẳng 26

Chương 2 Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình 35

1 Bài toán chứng minh 35

2 Bài toán quỹ tích 39

3 Bài toán dựng hình 42

4 Một số bài toán thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế 45

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo 52

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long

- Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Đoành, Đại học ThăngLong Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hướng dẫn, người đãđưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu giúp tôihoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Thăng Long, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, độngviên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập Đặc biệt, tôi xin chân thànhcảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Thăng Long đã cho chúng tôi được lĩnhhội kiến thức trực tiếp từ các thầy giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấpViệt Nam hiện nay

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và các bạn trong lớp Cao học ToánK3 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn

Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng vàcác tính chất hình học, từ đó dùng số phức để giải toán hình học Trên cơ sởkhai thác việc biểu diễn bằng số phức các điểm, vec tơ ta sẽ lập các phươngtrình dạng phức của đường thẳng, đường tròn, các tính chất thẳng hàng của bađiểm, tính chất song song, vuông góc của hai đường thẳng và các biểu thứcdạng phức của các phép biến hình, dời hình Xuất phát từ quan điểm xem sốphức là công cụ nghiên cứu các đối tượng, tính chất hình học và cụ thể hơn là

nghiên cứu các phép dời hình chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Số phức với các phép dời hình trong mặt phẳng”.

Mục đích chính của luận văn là hệ thống các kiến thức cơ bản về sốphức Tổng hợp, phân tích các kiến thức giúp học sinh thấy được ý nghĩaquan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán Hình họcphẳng nói riêng Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng sốphức vào giải toán hình học

Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1 Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình

Chương 2 Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình

Do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nênchắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rấtmong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luậnvăn này

Chương I Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình

Khi M có tọa độ (x, y) đối với hệ tọa độ Oxy thì vectơ OM cũng có tọa

độ (x, y), nên đã nói M có tọa vị z thì cũng nói vectơ OM có tọa độ vị z và

viết OM (z)

Cho OM (z), OP (w) Số thực 1 w w

của hai số phức z, w và kí hiệu là (z, w), nó chính là OM OP  . Số thực

 , w 1( w w)

2

Ta có: (z, w) = z w cos(4 ),  arg ,z  arg w

của gốc O lên đường thẳng

Phương trình đường thẳng có thể viết dưới dạng:

Ta có mọi song ánh f: E  E bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm

là một biến đổi afin

Biến đổi afin ( )f z zz bảo toàn hướng khi và chỉ khi

   và đảo hướng khi và chỉ khi   

Vậy biểu thức tọa vị của phép tịnh tiến T v là z’ = z +  (  là tọa vị

của véc tơ tịnh tiến v)

2.1.2 Tính chất

a Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng vàkhông làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó

c Phép tịnh tiến:

+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

+ Biến một tia thành một tia

+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó

+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó

+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó

+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó

Hình 1.1 x

y

M' M

O

v 

2.1.3 Chứng minh một số tính chất

Cho T v là một phép tịnh tiến có biểu thức tọa vị là z’ = z + 

(  là tọa vị của véc tơ tịnh tiến v )

* T v biến một đường thẳng thành một đường thẳng.

- Trường hợp đường thẳng  có phương trình là:

Vì '  1, ' '  +  ’=  ( +  -   ) +  +  -  

=   +   -  +  +  -   =   + 

= 0

Nên z’ = ' ' z +  ’ là phương trình của một đường thẳng

Vậy phép tịnh tiến T v biến đường thẳng  thành đường thẳng ' cóphương trình là z’ = ' ' z +  ’ (với  ’= ,  ’= +  -   )

- Khi đường thẳng  có phương trình là z = z +  (trong đó  

Vậy T v biến đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến v thành chínhđường thẳng đó.

* T v biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.

Cho đường tròn (C1) có phương trình là

z z’ +  z + 1 1 z+ p1 = 0 ( p1  ) (C1) có tâm có tọa vị là z0 = -1, bán kính R1  1 1 p1

Ảnh của đường tròn (C1)qua T v

Nên z’z’ + z’ + 2 z’ 2 + p2 = 0 là phương trình của một đường tròn.Vậy phép tịnh tiến T v biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C2) cóphương trình là z’z’ + z’ + 2 z’2 + p2 = 0 (2=1 -  , p2=   -   -1

Hình 1.2

a) Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b) Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng vàkhông làm thay đổi thứ tự của chúng

c) Phép quay Q A

+ Biến đường thẳng  thành đường thẳng ’ và (,’)=

+ Biến một tia thành một tia

+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó

+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó

+ Biến một tam giác thành tam giác bằng nó

+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó

d) Phép quay Q A có tâm A là điểm kép duy nhất

2.2.3 Chứng minh một số tính chất

Cho phép quay Q A có biểu thức tọa vị là

z' = p (z-a) + a (a là tọa vị của A, argp =  , p  )1

* Q A biến một đường thẳng thành một đường thẳng

+ Cho đường thẳng  có phương trình là

M' M



Suy ra 'z ' 'z ' là phương trình của một đường thẳng.

Vậy Q A biến đường thẳng  thành đường thẳng ’ có phương trình là

biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó

Cho đường tròn C1 có phương trình là zz z 1z1 p10 (p1 )Khi đó ảnh của C1 qua Q A là đường C1’ có phương trình là

Từ đó suy ra z'z'+z'β '+z'β '+p ' = 0 là phương trình của một đường tròn.1 1 1

Vậy Q A biến đường tròn C1 thành đường tròn C1’ có phương trình là:

* Phép quay Q A có A là điểm kép duy nhất

Giả sử Q A: A(a) A’(a’)

Vậy A là điểm kép duy nhất

2.2.4 Định lý 1: Tích của phép tịnh tiến và phép quay là 1 phép quay

 T Q v ( , )J :z z'z(1 )z0  là phép quay với cùng góc quay

 và tâm quay J2 (z2) trong đó: 2 0 1

* Định lý 2: Tích của 2 phép quay khác tâm là phép quay hoặc tịnh tiến

Cho Q( , )J11 xác định bởi z z' 1 1(z z J z 1), ( );1 1 1 arg 1

Nếu   1 2 1 (khi và chỉ khi 12 2k) thì tích đó là phép tịnh tiếnvới vectơ tịnh tiến có tọa vị (1 2)(z2  z1).

Nếu   2 1 1 thì tích đó là phép quay với góc quay 12 và tâmquay J z trong đó:0( )0

Do đó công thức z  z'z ,  1 xác định mọi phép tịnh tiến

và mọi phép quay trong mặt phẳng Những biến đổi afin

z z z   là các biến đổi bảo tồn hướng, bảo tồn khoảng cách

- Định nghĩa: Biến đổi z'z,  1 được gọi là phép dời hìnhloại 1 của mặt phẳng.

3.2 Các tính chất của phép dời hình loại 1

Tập hợp các phép dời hình loại 1 của mặt phẳng làm thành 1 nhóm (đốivới phép toán hợp thành các ánh xạ) gọi là nhóm dời hình loại 1

- Biến đổi đồng nhất của mặt phẳng, kí hiệu Id, xác định bởi z  z'z

=  2 1z( 2 1 2)

mà rõ ràng  2 1 2 1 1

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.

a) Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

b) Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳnghàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng

c) Phép đối xứng trục:

+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

+ Biến một tia thành một tia

+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó

+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó

+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó

+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó

d) Phép đối xứng trục là phép biến hình có tính chất đối hợp

3.1.3 Chứng minh một số tính chất

Cho phép đối xứng trục Đd có biểu thức tọa vị là

z’ = z  1,   0(d là đường thẳng có phương tình là z = z,  1,   0)

* Phép Đ d biến một đường thẳng thành một đường thẳng

Cho đường thẳng  có phương trình là

z z      

Nên 'z ' 'z ' là phương trình của một đường thẳng.

Vậy Đd biến đường thẳng  thành đường thẳng ’ có phương trình là

Cho đường tròn  có phương trình là zzzz p0 (p ).

 là đường tròn có tâm có tọa vị zo = -  , có bán kính R=    p

Ảnh cuả đường tròn  qua Đd là đường ' có phương trình là

 là hình chiếu vuông góc của H lên 1 2

b Khi    ; 1 2 1   1 2 1 thì Đ2 Đ1 là một phép quay tâm J (điểmbất động duy nhất của tích): J    và quay góc quay có số đo1 2

Ta có Đ T v T v Đ khi và chỉ khi v có phương 

Thật vậy: Giả sử Đ xác định bởi z z' u z

Vậy T v Đ = Đ T v khi và chỉ khi u v v



hay uv uv 0 hay u v  Do đó ,,  0 u v  cùng phương tức là v cóphương 

 Định nghĩa: Tích của phép đối xứng trục Đ với một phép tịnh tiến

T v theo vectơ v có phương  gọi là một phép đối xứng trượt (

f T D  D T  trục  với vectơ trượt v

thì  là thành phần vuông góc với  của 

còn v là thành phần song song với  của 

 Biến đổi xác định bởi z z'z , 1 là 1 phép đối xứngtrượt

phần vuông góc với u của  và gọi ( )v v là thành phần cùng phương với u

của  thì công thức trên có thể viết dưới dạng z z' u z v

- Đường thẳng được bất biến qua đối xứng trượt f T v Đ = Đ T v

(tức f(d) = d) Khi v  0 buộc phải là  vì nếu d song song với  (không cắt

) thì dễ thấy d và f(d) nằm trong 2 nửa mặt phẳng khác nhau bờ , còn nếu dcắt  tại đúng một điểm thì điểm đó phải là điểm bất động của f mà theo tínhchất trên thì khi v  0, f không có điểm bất động, còn rõ ràng f() = 

- Trục  của phép đối xứng trượt f đi qua trung điểm mọi đoạn Mf(M)(M tuỳ ý trong mặt phẳng) và là đường thẳng bất biến bảo tồn hướng duy nhấtcủa f

- Phép đối xứng trượt f T v Đ = Đ T v có tính chất đối hợp tức

I và loại II.

z z z  1; z z'z ;  1 chính là tập hợpcác phép dời hình

Ta sẽ chứng minh điều nói trên ở trường phổ thông bằng cách dùng sốphức

a Phép dời hình bảo toàn tính thẳng hàng của bộ ba trên

Thật vậy: Nếu A, B, C thẳng hàng thì các ảnh của nó qua phép dời hìnhA', B', C' thoả mãn A' B' + B' C' = A'C' nên thẳng hàng

Phép biến đổi của mặt phẳng bảo toàn sự thẳng hàng của các bộ bađiểm là phép biến đổi afin do đó được xác định bởi công thức:

Tức là dời hình loại I hoặc dời hình loại II

Chứng minh : Cho M (z), M0 (z0) cách nhau một khoảng R

Khi đó z = z0 + R ei Ta có f (M) cách f (M0) một khoảng R có nghĩa:

§5 Một số bài toán hình học phẳng giải bằng cách dùng số phức

và biểu thức số phức của phép dời hình.

Bài toán 1: Dùng biểu diễn hình học của số phức để chứng minh: Tổng

bình phương độ dài hai đường chéo của một hình bình hành bằng tổng bìnhphương dài bốn cạnh của nó

Giải: Chọn hệ tọa độ Oxy có Ox trùng với tia OA0, coi A0A1 An - 1 là

E0E1 En-1, trong đó E k( ),k klà căn bậc n của đơn vị,

Bài toán 5: Cho tam giác ABC Dựng bên ngoài tam giác các hình

vuông ABC1C2, BCA1A2, CAB1B2 và gọi C', A', B' lần lượt là tâm của chúng.Gọi M là trung điểm của BC Gọi P là trung điểm của B1C1 Chứng minh:

2

b) AA'B C' ' , AA'B C' '

c) Tam giác MB'C' là tam giác vuông cân đỉnh M

d) Trọng tâm tam giác A'B'C' trùng với trọng tâm tam giác ABC

b) Trung điểm M của BC có tọa vị 1 

BCA1A2 có được do quay B quanh M góc

2

 nên A' có tọa vị ' trong đó

Vậy MB' = MC' và MB'  MC'.

d) Dễ thấy ' ''    nên trọng tâm hai tam giác A'B'C' vàABC trùng nhau

Bài tập 6: Cho tam giác ABC Dựng bên ngoài tam giác đó các tam

giác đều cạnh BC, CA, AB và gọi trọng tâm của tam giác đó lần lượt là A', B',C' Chứng minh rằng A'B'C' là tam giác đều và trọng tâm của A'B'C' trùng vớitrọng tâm tam giác ABC (bài toán Napôlêon)

Gọi 1 là toạ vị của A1 thì: 1 (cos sin )( )

Vậy A'B'C' là tam giác đều

Cũng dễ thấy ' ''    Vậy trọng tâm hai tam giác

Bài 7: Cho hình vuông ABCD tâm O, trên AB và BC lấy E và F sao cho

Bài 8 Cho tam giác ABC, gọi E, F, G, lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC, CA.Từ một điểm K bất kỳ ta lần lượt dựng các điểm M đối xứng với

K qua tâm E, điểm N đối xứng với M qua tâm F, điểm P đối xứng với N quatâm G Chứng minh rằng A là trung điểm của KP

Lời giải

Giả sử điểm A có tọa vị là a

Giả sử điểm B có tọa vị là b

Giả sử điểm C có tọa vị là c

Giả sử điểm K có tọa vị là z k

E là trung điểm của AB E có tọa vị là

Chương 2 Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình

- Phương pháp giải toán hình học phẳng bằng cách dùng phép biến hình làphương pháp vận dụng tính chất của các phép biến hình vào việc khảo sát tínhchất hình học của các hình, tính toán các đại lượng hình học, tìm quỹ tích vàdựng hình

- Cách nhận biết các bài toán có khả năng giải được bằng phương pháp biếnhình ( không phải bài toán nào cũng có thể giải bằng cách dùng phép biếnhình)

- Kỹ thuật vận dụng phép biến hình giải toán

1 Bài toán chứng minh

Bài 1: Trong mặt phẳng cho n điểm J1, J2, , Jn (n  3) Hãy tìm dãyđiểm A0, A1, , An-1 trong mặt phẳng sao cho Jk là trung điểm của đoạn thẳng

k k

Giải: Gọi ĐJ k là phép đối xứng tâm Jk thì A0 là điểm bất động của phépbiến hình:

và khi biết A0 thì dễ dàng dựng được A1, A2, , An-1

Nếu n lẻ, f là phép đối xứng tâm nên có đúng một điểm bất động, vậy

có đúng một dãy điểm A0, A1, , An - 1

Ta có thể dựng điểm đầu tiên A0 như sau:

Lấy một điểm B0 tuỳ ý của mặt phẳng, dựng f B( )0 khi đó A0 là trung

điểm của đoạn thẳng B f B0 ( )0 .

Nhận xét: - J là trung điểm của k A A k1 k  A k1,A k là ảnh của nhauqua phép đối xứng tâm J k

- Theo cách dựng ảnh của một điểm dễ thấy A là điểm cố0định của f

Bài 2:

Trong mặt phẳng định hướng cho tam giác A1A2A3 và điểm P0 Đặt

3

s s

A A với mọi s 4 rồi xét dãy điểm (P0, P1, P2, ) xác định bởi Pk+1 là

ảnh của Pk qua phép quay tâm Ak + 1 với góc quay 2

3

 (k = 0, 1, 2, )

Giả sử P1986 = P0, hãy chứng minh A1A2A3 là tam giác đều.

Giải: Để cho gọn ta kí hiệu fk +1 là phép quay tâm Ak+1 góc quay 2

3



vecto v nào đó, nên f 666 là phép tịnh tiến theo vecto 662v Vì tích có điểmbất động P0 nên 662v  0 hay v  0

A1A2A3 là tam giác đều

Bài 3: f là một phép dời hình tuỳ ý của mặt phẳng Chứng minh:

b) f D f. J  1là một phép dời hình loại một khác biến đổi đồng nhất (vìnếu f D f .j  1 Id

 thì D J f 1 f Id(vô lí), giữ bất động điểm f(J) nên là phép