Số phức với phép dời hình trong mặt phẳng

V y tr ng tâm hai tam giác trùng nhau... Vì tích có đi m.

1

M c l c

Trang bìa ph 1

B n cam đoan 2

L i c m n 3

M đ u 4

Ch ng 1 Dùng s ph c nghiên c u phép d i hình 5

1.1 M t ph ng ph c 5

1.2 Phép d i hình lo i 1 7

1.3 Phép d i hình lo i 2 18

1.4 Phép d i hình 25

1.5 M t s bài toán hình h c ph ng 27

Ch ng 2 Gi i bƠi toán b ng cách dùng phép d i hình 36

2.1 Bài toán ch ng minh 36

2.2 Bài toán qu tích 41

2.3 Bài toán d ng hình 45

2.4 M t s bài toán b i d ng h c sinh gi i qu c gia và qu c t 48

K t lu n 55

TƠi li u tham kh o 56

L i cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên c u c a riêng tôi và đ c s

h ng d n c a TS Nguy n V n oành Các n i dung nghiên c u, k t qu trong đ tài này là trung th c và ch a công b d i b t k hình th c nào tr c đây Nh ng s li u trong các b ng bi u ph c v cho vi c phân tích, nh n xét, đánh giá đ c chính tác gi thu th p t các ngu n khác nhau có ghi rõ trong

ph n tài li u tham kh o

Hà N i, ngày 02 tháng 5 n m 2016

Tác gi

u Th Di u

3

L i c m n

Lu n v n đ c th c hi n và hoàn thành t i tr ng i h c Th ng Long

- Hà N i d i s h ng d n c a TS.Nguy n V n oành, i h c Th ng Long Tôi xin bày t lòng bi t n chân thành đ n th y h ng d n, ng i đã

đ a ra đ tài và t n tình h ng d n trong su t quá trình nghiên c u giúp tôi hoàn thành lu n v n

Tôi c ng xin bày t lòng c m n sâu s c t i các th y cô giáo c a tr ng

i h c Th ng Long, nh ng ng i đã t n tình gi ng d y và khích l , đ ng viên tôi v t qua nh ng khó kh n trong h c t p c bi t, tôi xin chân thành

c m n Ban lãnh đ o tr ng i h c Th ng Long đã cho chúng tôi đ c l nh

h i ki n th c tr c ti p t các th y giáo đ u ngành trong l nh v c toán s c p

Vi t Nam hi n nay

Cu i cùng, tôi xin c m n gia đình và các b n trong l p Cao h c Toán K3 đã đ ng viên giúp đ tôi trong quá trình h c t p và làm lu n v n

M đ u

S ph c ra đ i do yêu c u c a vi c m r ng t p h p s th c khi gi i ph ng trình, nh ng l i tìm th y nh ng ng d ng r ng rãi trong hình h c, c h c, v t

lý và các ngành k thu t khác i v i h c sinh b c THPT thì s ph c là n i dung còn m i m , v i th i l ng không nhi u, h c sinh m i hi u đ c nh ng

ki n th c r t c b n c a s ph c, vi c khai thác các ng d ng c a s ph c còn

h n ch

Trong hình h c có th s d ng s ph c đ bi u di n các đ i t ng và các tính ch t hình h c, t đó dùng s ph c đ gi i toán hình h c Trên c s khai thác vi c bi u di n b ng s ph c các đi m, vec t ta s l p các ph ng trình d ng ph c c a đ ng th ng, đ ng tròn, các tính ch t th ng hàng c a ba

đi m, tính ch t song song, vuông góc c a hai đ ng th ng và các bi u th c

d ng ph c c a các phép bi n hình, d i hình Xu t phát t quan đi m xem s

ph c là công c nghiên c u các đ i t ng, tính ch t hình h c và c th h n là nghiên c u các phép d i hình tôi ch n nghiên c u đ tài "S ph c v i các phép d i hình trong m t ph ng”

Do s hi u bi t c a b n thân và khuôn kh c a lu n v n th c s , nên

ch c r ng trong quá trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, tôi r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a các Th y Cô và đ c gi quan tâm đ n lu n

v n này

5

1 1 M t ph ng ph c

1.1.1 Trong m t ph ng E đã cho m t h t a đ - các vuông góc

xoy thì m i đi m M c a E hoàn toàn đ c xác đ nh b i t a đ (x, y) c a nó Khi đó s ph c z x yi  đ c g i là t a v c a M, vi t M (z) và E đ c g i

là m t ph ng ph c (ta đã đ ng nh t m i đi m c a E v i m t s ph c)

Khi M có t a đ (x, y) đ i v i h t a đ Oxy thì vect OM c ng có t a

đ (x, y), nên đã nói M có t a v z thì c ng nói vect OM có t a v z và vi t

O M P th ng hàng  z, w 01.1.2 M i đ ng th ng trong m t ph ng ph c đ c xác đ nh b i

Ph ng trình đ ng th ng có th vi t d i d ng:

        0, Cho đ ng th ng d có ph ng trình: zz ho c

0

    và đi m M (z 0) Khi đó M' (z'0) là đi m đ i x ng v i M qua d thì '

V i  ’= 



 ,  ’= + -  =  +-  

Trong m t ph ng P đã đ c đ nh h ng Cho m t đi m A c đ nh và

m t góc đ nh h ng  sai khác 2k M t phỨp quay tâm A v i góc quay 

là m t phỨp bi n hình bi n đi m A thành chính nó và bi n đi m M thành đi m M’ sao cho AM = AM’ và (AM AM, ')

Ta ký hi u (AM AM, ') là góc đ nh h ng mà tia đ u là AM, tia cu i

a) Phép quay b o t n kho ng cách gi a hai đi m b t k

b) Phép quay bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và không làm thay đ i th t c a chúng

c) Phép quay QA

+ Bi n đ ng th ng  thành đ ng th ng  ’ và ( , ’)=

+ Bi n m t tia thành m t tia + Bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng có đ dài b ng nó + Bi n m t góc thành m t góc có s đo b ng nó

+ Bi n m t tam giác thành tam giác b ng nó + Bi n m t đ ng tròn thành m t đ ng tròn b ng nó d) Phép quay QA có tâm A là đi m kép duy nh t

M'

M



Hình 1.2.2.3a

z z  có th vi t thành z' z0 (zz0) t c là f là phép quay tâm J(z0), góc quay có s đo arg

=  2 1z(  2 1  2)

mà rõ ràng  2 1   2 1  1

c) Phép đ i x ng tr c:

+ Bi n m t đ ng th ng thành m t đ ng th ng

+ Bi n m t tia thành m t tia

+ Bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng có đ dài b ng nó

+ Bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó

22



Hình 1.3.1.4

23

V y v2H H1 2 (v hình h c r t hi n nhiên), H1 là đi m tùy ý thu c

1, H2

 là hình chi u vuông góc c a H1 lên 2

b Khi  1 2 1;  1 2 1 thì 2 1 là m t phép quay tâm J (đi m

b t đ ng duy nh t c a tích): J    1 2và quay góc quay có s đo

c t  t i đúng m t đi m thì đi m đó ph i là đi m b t đ ng c a f mà theo tính

ch t trên thì khi v0, f không có đi m b t đ ng, còn rõ ràng f() = 

- Tr c  c a phép đ i x ng tr t f đi qua trung đi m m i đo n Mf(M) (M tu ý trong m t ph ng) và là đ ng th ng b t bi n b o t n h ng duy nh t

c a f

- Phép đ i x ng tr t f Tv  =  Tv có tính ch t đ i h p t c 2

M  f N N  f N ta luôn có ( ', ')d M N d M N( , ) ngh a là bi n đ i c a

m t ph ng b o t n kho ng cách gi a các đi m

4.1.2 tr ng ph thông ta g i bi n đ i c a m t ph ng b o t n kho ng cách là phép d i hình và ch ng minh r ng m i phép d i hình là tích

c a không quá ba phép đ i x ng tr c Nh v y t p h p các phép d i hình lo i

I và lo i II

z z z   1; z z'  z ;    chính là t p h p 1các phép d i hình

Ta s ch ng minh đi u nói trên tr ng ph thông b ng cách dùng s

ph c

a Phép d i hình b o toàn tính th ng hàng c a b ba đi m

Th t v y: N u A, B, C th ng hàng thì các nh c a nó qua phép d i hình A', B', C' tho mãn A' B' + B' C' = A'C' nên th ng hàng

z z

z z

   1'

BƠi toán 1: Dùng bi u di n hình h c c a s ph c đ ch ng minh: T ng

bình ph ng đ dài hai đ ng chéo c a m t hình bình hành b ng t ng bình

ki

Gi i: Coi A0,A1, , An-1 đ nh h ng thu n thì Ak có t a v R trong k

= 1  1 1 2

kR

k k

k

n

  , trong đó  OA OM0, 

BƠi toán 5: Cho tam giác ABC D ng bên ngoài tam giác các hình

vuông ABC1C2, BCA1A2, CAB1B2 và g i C', A', B' l n l t là tâm c a chúng

G i M là trung đi m c a BC G i P là trung đi m c a B1C1 Ch ng minh:

2

AP  BC , AP BC

b) AA'B C' ' , AA'B C' ' c) Tam giác MB'C' là tam giác vuông cân đ nh M d) Tr ng tâm tam giác A'B'C' trùng v i tr ng tâm tam giác ABC

33

BƠi toán 6: Cho tam giác ABC D ng bên ngoài tam giác đó các tam

giác đ u c nh BC, CA, AB và g i tr ng tâm c a tam giác đó l n l t là A', B', C' Ch ng minh r ng A'B'C' là tam giác đ u và tr ng tâm c a A'B'C' trùng v i

tr ng tâm tam giác ABC (bài toán Napôlêon)

Do đó tr ng tâm A' c a tam giác A1BC có t a v 1

A B góc

3



V y A'B'C' là tam giác đ u

C ng d th y '         ' ' V y tr ng tâm hai tam giác trùng nhau

BƠi toán 7 Cho tam giác ABC, g i E, F, G, l n l t là trung đi m c a các

c nh AB, BC, CA.T m t đi m K b t k ta l n l t d ng các đi m M đ i

x ng v i K qua tâm E, đi m N đ i x ng v i M qua tâm F, đi m P đ i x ng

v i N qua tâm G Ch ng minh r ng A là trung đi m c a KP

L i gi i

Gi s đi m A có t a v là a

CH NG II GI I BÀI TOÁN B NG CÁCH DỐNG

PHÉP D I HÌNH

- Các bài toán hình h c ph ng đ u có th gi i đ c ch c n ki n th c hình h c thu c các l p trung h c c s , nh ng đã đ c chúng ta gi i l i theo quan đi m bi n hình Nh v y trong vi c kh o sát tính ch t c a các hình hình

h c thì ngoài ph ng pháp t ng h p, ph ng pháp t a đ , ph ng pháp vecto

mà chúng ta đã bi t và đã s d ng còn có ph ng pháp bi n hình ó là v n

d ng tính ch t c a các phép bi n hình th ng g p nh d i hình, đ ng

d ng…vào vi c kh o sát tính ch t hình h c c a các hình, tính toán các đ i

l ng hình h c, tìm t p h p đi m (qu tích) và gi i c toán d ng hình

- Mu n nh n bi t đ c m t bài toán hình h c nào đó có kh n ng gi i

đ c b ng ph ng pháp d i hình bao g m t nh ti n, đ i x ng tâm, đ i x ng

tr c, quay thì tr c h t chúng ta ph i xem xét, phân tích n i dung bài toán đ tìm ra y u t nào trong đó có m i liên h đáng chú ý đ n m t phép bi n hình

c th , sau đó v n d ng các tính ch t c a phép bi n hình này đ tìm ra l i gi i hay đáp s c a bài toán đ c xét

2.1 BƠi toán ch ng minh BƠi 1:

Trong m t ph ng cho n đi m J1, J2, , Jn (n  3) Hãy tìm dãy đi m A0,

A1, , An-1 trong m t ph ng sao cho Jk là trung đi m c a đo n th ng

37

và khi bi t A0 thì d dàng d ng đ c A1, A2, , An-1

N u n l , f là phép đ i x ng tâm nên có đúng m t đi m b t đ ng, v y

có đúng m t dãy đi m A0, A1, , An - 1

Ta có th d ng đi m đ u tiên A0 nh sau:

L y m t đi m B0 tu ý c a m t ph ng, d ng f B( 0) khi đó A0 là trung

đi m c a đo n th ng B f B0 ( 0)

N u n ch n thì , 2( 1 2 3 4 n1 0

v

f T v J J J J  J  J )

Do đó khi v0 thì f không có đi m b t đ ng nào, t c không có dãy

đi m nào tho mãn, còn n u v0 thì m i đi m c a m t ph ng đ u b t đ ng,

t c A0tu ý ta đ u d ng đ c dãy đi m A0, A1, , An-1 tho mãn đ bài

Nh n xét: - Jk là trung đi m c a A Ak1 k Ak1,Ak là nh c a nhau qua phép đ i x ng tâm Jk

- Theo cách d ng nh c a m t đi m d th y A0 là đi m c đ nh c a f

f là phép t nh ti n theo vecto 662v Vì tích có đi m

h p ph i là phép đ i x ng tâm v i tâm f(J) nên 1

, J

f  Q , J  AB  A B ' '

- N u AA BB ', ' không cùng ph ng

, J

Trung đi m c a AA' và BB' không trùng nhau thì có f là phép đ i x ng

tr t tr c  đi qua hai trung đi m c a AA' và BB'

41

V y DF = CE

2 2 BƠi toán qu tích

BƠi 1:

Cho hai đi m B, C c đ nh trên đ ng tròn (O; R) và m t đi m A thay

đ i trên đ ng tròn đó Tìm qu tích tr c tâm H c a tam giác ABC

- N u BC là đ ng kính thì tr c tâm H c a tam giác ABC chính là A

K t lu n: Qu tích đi m H là đ ng tròn tâm O', bán kính R là nh c a đ ng

tròn (O; R) qua phép t nh ti n theo véct

 v các đ ng vuông góc PR, PQ v i các c nh vuông AB, AC ( RAB,

QAC) Tìm qu tích trung đi m M c a đo n th ng RQ

Gi i:

Khi PC thì ND là trung đi m c nh BC

Khi P thay đ i trên c nh huy n BC thì N c ng thay đ i trên đo n th ng

BƠi 5: Cho ba đi m A, B, C c đ nh trên đ ng tròn (O) và đi m M

thay đ i trên (O) G i M1 đ i x ng v i M qua A, M2đ i x ng M1 qua B, M3

2 M

3

M

D

45

AD//M1M3 và 1 3 

1

1 2

Ta có BC là đ ng trung bình c a  M M M 1 2 3 BC//M1M3 và BC= 1 3  

D: M  M3 đi m M ch y trên đ ng tròn (O)

nên đi m M3 ch y trên đ ng tròn (O')

V i (O') là nh c a đ ng tròn (O) qua phép đ i x ng tâm D

V y qu tích các đi m M3là đ ng tròn (O')

2.3 BƠi toán d ng hình

BƠi 1:

Cho đ ng th ng d, hai đi m A và B cùng phía b d Tìm trên d hai

đi m M, N sao cho MN = m cho tr c và AM = BN

+ Ch ng minh: MN = m, NB = NA' = MA

+ Bi n lu n: A'B vuông góc v i d bài toán vô nghi m

d

A'B không vuông góc v i d thì bài toán có 1 nghi m hình

BƠi 2:

Cho hai đi m A và B khác phía b là đ ng th ng d Hãy d ng đi m

M trên d đ d là phân giác c a AMB

n u AH = BI thì bài toán vô nghi m

C

Bi n lu n: Tùy thu c vào s giao đi m c a d' và đ ng tròn (O) ta có

K đ ng cao BK c a tam giác ABC

K đ ng th ng Bxsao cho các góc đ nh h ng (BA, BC) và (Bx BK , )

b ng nhau Ta có DBC DAB DBK DBx (phép quay góc 2 (BA, BC) quanh B)

Ta c n ch ng minh ( , ) 2 ( ,d A H  d O BC) hay AH2OA0 trong đó d là

ký hi u kho ng cách và A0 là trung đi m canh BC Nh ng c hai đo n th ng

Trong m t ph ng cho 2 tam giác ABC, ADE có các góc đ nh chung A

bù nhau, đ ng th i ABAD AB,  AD AC, AE AC,  AE và hai tam giác

đó không còn đi m chung nào khác ngoài đ nh A

O’ O

Ch ng minh r ng đ ng th ng ch a trung tuy n xu t phát t đ nh chung A

c a tam giác này ch a đ ng cao h t A c a tam giác kia

f: P  D sao cho v i m i ba đi m th ng hàng A, B, C ba đ ng th ng f(A), f(B), f(C) song song ho c đ ng quy

Gi i:

Ta kh ng đ nh không t n t i m t phép bi n hình nào nh th

Gi s ng c l i, t n t i phép bi n hình f tho mãn đi u ki n đ bài

Tr c tiên, ta đ ý r ng ngh ch nh A, B, C c a ba đ ng th ng song song

ho c đ ng quy d1, d2, d3 ph i th ng hàng Th t v y, n u không th , thì m i

đi m M b t kì trên ba đ ng th ng AB, BC, CA, ta có đ ng th ng f(M) s song song ho c đ ng quy v i d1, d2, d3 Lúc đó, m i đi m n m trên đ ng

th ng xác đ nh b i hai đi m nh th (t c là nh đi m M) c ng cho nh qua f

là đ ng th ng song song ho c đ ng quy v i d1, d2, d3 Suy ra t t c các đi m

c a m t ph ng đ u có nh là đ ng th ng song song ho c đ ng quy v i d1, d2,

d3, đi u này mâu thu n

Bây gi , cho hai h đ ng th ng (P1) và (P2) khác nhau, theo nh n xét trên, ngh ch nh c a các đ ng th ng thu c (P1) (t ng ng, (P2)) đ u n m trên m t đ ng th ng l1 (t ng ng, l2)

Ta ph i có l1 // l2, do hai h (P1) và (P2) không có chung đ ng th ng nào

Ti p theo, xét m t chùm (Q) các đ ng th ng đ ng quy, các đ ng

th ng c a (Q) có ngh ch nh là các đi m n m trên đ ng th ng m (không c n song song l1) B t kì đ ng th ng m0 nào song song v i m c ng cho t ng

ng v i m t chùm đ ng th ng đ ng quy mà đi m đ ng quy khác v i đi m

c a chùm (Q) (đ ý, n u m0 cho t ng ng v i m t h đ ng th ng song song thì m c ng v y) Tuy nhiên, t n t i m t đ ng th ng đi qua hai đi m nào đó

51

c a m và m0, mà ngh ch nh c a nó là m t đi m n m trên c m và m0, đi u này mâu thu n, suy ra đi u ph i ch ng minh

BƠi 4: ( ng d ng PhỨp đ i x ng qua tâm, C ng hòa Cezch, 2000)

Tìm t t c các t giác l i ABCD tho mãn đi u ki n: T n t i m t đi m

E n m bên trong t c giác sao cho b t kì đ ng th ng qua E và c t AB, CD nào c ng chia t giác ABCD thành hai h n có di n tích b ng nhau

Gi i:

T giác ABCD có tính ch t nh đ bài n u và ch n u AB //CD Th t v y:

*Gi s ABCD là t giác tho đi u ki n đ bài Lúc đó, g i X1, X2, X3

là ba đi m n m trên c nh AB sao cho AX1 < AX2 < AX3 và ba đ ng th ng

EX1, EX2, EX3 c t c nh CD l n l t t i ba đi m Y1, Y2, Y3 Vì ABCD là t c giác l i nên CY1 < CY2 < CY3 Ta có:

* o l i, gi s ABCD là t giác l i tu ý có AB // CD G i M1 và M2

l n l t là trung đi m AB và CD, ta ch n E là trung đi m đo n th ng M1M2

thì E có tính ch t nêu đ bài Th t v y, xét m t đ ng th ng qua E b t kì,

mi n là nó c t AB và CD t i hai đi m t ng ng, X và Y Xét phép đ i x ng qua E, nh c a đ ng th ng AB là đ ng th ng CD, do đó, nh c a đo n

th ng XM1 là đo n th ng YM2 Suy ra XM1 = YM2 và AX + DY = BX + CY

Nh v y, các t giác AXYD và BXYC (m i t giác là hình thang ho c hình bình hành) có cùng chi u cao và cùng đ dài t ng hai đáy, nên có di n tích

b ng nhau Ta có đi u ph i ch ng minh

BƠi 5: ( ng d ng phỨp quay, c ng hòa Cezch, 1999)

Trong m t ph ng, cho góc nh n APX Hãy ch ra cách d ng m t hình vuông ABCD sao cho P n m trên c nh BC và P n m trên phân giác c a góc BAQ, v i Q là giao đi m c a tia PX v i CD

Gi i:

Xét phép quay 900, tâm A, qua phép quay này, B

bi n thành D G i P', C', D'

l n l t là nh c a P, C, D

' 90PAP

  nên AP' là phân giác góc QAD' Nh

v y, P' có cùng kho ng cách

đ n hai đ ng th ng AD' và

AQ, kho ng cách này b ng

c nh s c a hình vuông ABCD, và c ng b ng đ ng cao AD trong tam giác AQP'