Luận văn Thạc sĩ: Số phức với các phép dời hình trong mặt phẳng

Luận văn thực hiện với các mục tiêu: hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức, tổng hợp, phân tích các kiến thức giúp học sinh thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán Hình học phẳng nói riêng, từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán hình học. Mời các bạn cùng tham khảo.

1

Mục lục

Trang bìa phụ 1

Bản cam đoan 2

Lời cảm ơn 3

Mở đầu 4

Chương 1 Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình 5

1.1 Mặt phẳng phức 5

1.2 Phép dời hình loại 1 7

1.3 Phép dời hình loại 2 18

1.4 Phép dời hình 25

1.5 Một số bài toán hình học phẳng 27

Chương 2 Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình 36

2.1 Bài toán chứng minh 36

2.2 Bài toán quỹ tích 41

2.3 Bài toán dựng hình 45

2.4 Một số bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và quốc tế 48

Kết luận 55

Tài liệu tham khảo 56

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và được sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Đoành Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây Những số liệu trong các bảng biểu phục vụ cho việc phân tích, nhận xét, đánh giá được chính tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có ghi rõ trong phần tài liệu tham khảo

Hà Nội, ngày 02 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Đậu Thị Diệu

3

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long

- Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Đoành, Đại học Thăng Long Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hướng dẫn, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu giúp tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Thăng Long, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Thăng Long đã cho chúng tôi được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầy giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán K3 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn

Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và các tính chất hình học, từ đó dùng số phức để giải toán hình học Trên cơ sở khai thác việc biểu diễn bằng số phức các điểm, vec tơ ta sẽ lập các phương trình dạng phức của đường thẳng, đường tròn, các tính chất thẳng hàng của ba điểm, tính chất song song, vuông góc của hai đường thẳng và các biểu thức dạng phức của các phép biến hình, dời hình Xuất phát từ quan điểm xem số phức là công cụ nghiên cứu các đối tượng, tính chất hình học và cụ thể hơn là

nghiên cứu các phép dời hình tôi chọn nghiên cứu đề tài "Số phức với các phép dời hình trong mặt phẳng”

Mục đích chính của luận văn là hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức Tổng hợp, phân tích các kiến thức giúp học sinh thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán Hình học phẳng nói riêng Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán hình học

Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1 Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình Chương 2 Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình

Do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận văn này

5

CHƯƠNG I DÙNG SỐ PHỨC NGHIÊN CỨU PHÉP DỜI HÌNH

1.1 Mặt phẳng phức

1.1.1 Trong mặt phẳng E đã cho một hệ tọa độ Đề - các vuông góc

xoy thì mỗi điểm M của E hoàn toàn được xác định bởi tọa độ (x, y) của nó

Khi đó số phức z x yi  được gọi là tọa vị của M, viết M (z) và E được gọi

là mặt phẳng phức (ta đã đồng nhất mỗi điểm của E với một số phức)

Khi M có tọa độ (x, y) đối với hệ tọa độ Oxy thì vectơ OM cũng có tọa

độ (x, y), nên đã nói M có tọa vị z thì cũng nói vectơ OM có tọa vị z và viết

z  z z được gọi là tích lệch của hai số phức z, w

Ta có: (z, w) = z w cos(  ),  arg ,z  arg w

Phương trình đường thẳng có thể viết dưới dạng:

z z  nếu d có phương trình: z z còn '

z z

    nếu d có phương trình 0

Ta có mọi song ánh f: E  E bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm

là một biến đổi afin

Biến đổi afin f z( )zz bảo toàn hướng khi và chỉ khi

   và đảo hướng khi và chỉ khi   

a Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó

c Phép tịnh tiến:

+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

+ Biến một tia thành một tia

+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó

+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó

+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó

+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó

1.2.1.3 Chứng minh một số tính chất

Cho T là một phép tịnh tiến có biểu thức tọa vị là z’ = z + v 

( là tọa vị của véc tơ tịnh tiến v )

*

v

T biến một đường thẳng thành một đường thẳng

- Trường hợp đường thẳng  có phương trình là:

- Khi đường thẳng  có phương trình là z = z +  (trong đó  



 ) (tức  là đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến v) thì

Với  ’= 



9

Khi đó ' có phương trình là z’ = ' 'z +  Suy ra  '

Vậy T biến đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến v v thành chính đường thẳng đó

* T biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó v

Cho đường tròn (C1) có phương trình là

z z’ + 1z + 1 z + p1 = 0 ( p1  ) (C1) có tâm có tọa vị là z0 = -1, bán kính R1  1 1p1

Ảnh của đường tròn (C1) qua T v

Vậy phép tịnh tiến T biến đường tròn (C v 1) thành đường tròn (C2) có

phương trình là z’ z ’ + z’2 + z ’2 + p2 = 0 (2=1 -  , p2=   - 1 - 1

a) Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b) Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng

c) Phép quay Q A

+ Biến đường thẳng  thành đường thẳng ’ và (,’)=

+ Biến một tia thành một tia + Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó + Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó

+ Biến một tam giác thành tam giác bằng nó + Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó d) Phép quay Q A có tâm A là điểm kép duy nhất

1.2.2.3 Chứng minh một số tính chất

Cho phép quay Q A có biểu thức tọa vị là

z' = p (z-a) + a (a là tọa vị của A, argp = , p 1)

* Q A biến một đường thẳng thành một đường thẳng

+ Cho đường thẳng  có phương trình là

M'

M



Hình 1.2.2.3a

Suy ra z'' 'z ' là phương trình của một đường thẳng

Vậy Q A biến đường thẳng  thành đường thẳng ’ có phương trình là

* Q A biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó

Cho đường tròn C1 có phương trình là z zz1z1 p1 0 (p1 )

Khi đó ảnh của C1 qua Q A là đường C1’ có phương trình là

Từ đó suy ra z'z'+z'β '+z'β '+p ' = 0 1 1 1 là phương trình của một đường tròn

Vậy Q A biến đường tròn C1 thành đường tròn C1’ có phương trình là:

* Phép quay Q A có A là điểm kép duy nhất

Giả sử Q A: A(a)A’(a’)

a p a a a p a a A A

Vậy A là điểm kép duy nhất

1.2.2.4 Định lý 1: Tích của phép tịnh tiến và phép quay là 1 phép quay

T Q  z z z  z  là phép quay với cùng góc quay

 và tâm quay J2 (z2) trong đó: 2 0 1

Nếu  1 2 1 (khi và chỉ khi  1 2 2k) thì tích đó là phép tịnh tiến với vectơ tịnh tiến có tọa vị (12)(z2 z1)

Nếu  2 1 1 thì tích đó là phép quay với góc quay    1 2 và tâm quay J z0( )0 trong đó:

Do đó công thức z z'z ,  1 xác định mọi phép tịnh tiến

và mọi phép quay trong mặt phẳng Những biến đổi afin

z z z   là các biến đổi bảo tồn hướng, bảo tồn khoảng cách

- Định nghĩa: Biến đổi 'z z,  1 được gọi là phép dời hình loại 1 của mặt phẳng

1.2.3.2 Các tính chất của phép dời hình loại 1

Tập hợp các phép dời hình loại 1 của mặt phẳng làm thành 1 nhóm (đối với phép toán hợp thành các ánh xạ) gọi là nhóm dời hình loại 1

- Biến đổi đồng nhất của mặt phẳng, kí hiệu Id, xác định bởi z z'z

=  2 1z(  2 1  2)

mà rõ ràng  2 1  2 1 1

làm đường trung trực được gọi là phép đối xứng trục d

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng

a) Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b) Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng

c) Phép đối xứng trục:

+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

+ Biến một tia thành một tia

+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó

+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó

+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó

+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó

d) Phép đối xứng trục là phép biến hình có tính chất đối hợp

1.3.1.3 Chứng minh một số tính chất

Cho phép đối xứng trục Đd có biểu thức tọa vị là

z’ = z  1,   0

(d là đường thẳng có phương tình là z = z , 1,   0)

* Phép Đ d biến một đường thẳng thành một đường thẳng

Cho đường thẳng  có phương trình là

Nên z'' 'z ' là phương trình của một đường thẳng

Vậy Đd biến đường thẳng  thành đường thẳng ’ có phương trình là

* Đ d biến một đường tròn thành đường tròn bằng nó

Cho đường tròn  có phương trình là z zzz p 0 (p )

 là đường tròn có tâm có tọa vị zo = - , có bán kính R=    p

23

Vậy v2H H1 2 (về hình học rất hiển nhiên), H1 là điểm tùy ý thuộc

1, H2

 là hình chiếu vuông góc của H1 lên 2

b Khi  1 2 1;  1 2 1 thì Đ 2 Đ  1 là một phép quay tâm J (điểm bất động duy nhất của tích): J    1 2và quay góc quay có số đo

Ta có Đ T v T v Đ khi và chỉ khi v có phương 

Thật vậy: Giả sử Đ xác định bởi z z' u z

u 

  , u, 0;

v

T xác định bởi z  z' z v thì T v.Đ xác định bởi: ' u

 Định nghĩa: Tích của phép đối xứng trục Đ với một phép tịnh tiến

T v theo vectơ v có phương  gọi là một phép đối xứng trượt ( f T D v  D T )v trục  với vectơ trượt v

 Công thức của đối xứng trượt: z z' u z v

Kí hiệu    ( ); ( ); ( )v v thì  là thành phần vuông góc với  của 

còn v là thành phần song song với  của 

 Biến đổi xác định bởi z z' z , 1 là 1 phép đối xứng trượt

Thật vậy, lấy u0 mà u

u  và gọi u u( ), ( )  và gọi  ( )là thành phần vuông góc với u của  và gọi v v( ) là thành phần cùng phương với u

của  thì công thức trên có thể viết dưới dạng z z' u z v

- Đường thẳng được bất biến qua đối xứng trượt f T v Đ = Đ T v

(tức f(d) = d) Khi v0 buộc phải là  vì nếu d song song với  (không cắt

) thì dễ thấy d và f(d) nằm trong 2 nửa mặt phẳng khác nhau bờ , còn nếu d cắt  tại đúng một điểm thì điểm đó phải là điểm bất động của f mà theo tính chất trên thì khi v0, f không có điểm bất động, còn rõ ràng f() = 

- Trục  của phép đối xứng trượt f đi qua trung điểm mọi đoạn Mf(M) (M tuỳ ý trong mặt phẳng) và là đường thẳng bất biến bảo tồn hướng duy nhất của f

- Phép đối xứng trượt f T v Đ = Đ T v có tính chất đối hợp tức

của không quá ba phép đối xứng trục Như vậy tập hợp các phép dời hình loại

I và loại II

z z z  1; z z' z ;  1 chính là tập hợp các phép dời hình

Ta sẽ chứng minh điều nói trên ở trường phổ thông bằng cách dùng số phức

a Phép dời hình bảo toàn tính thẳng hàng của bộ ba điểm

Thật vậy: Nếu A, B, C thẳng hàng thì các ảnh của nó qua phép dời hình A', B', C' thoả mãn A' B' + B' C' = A'C' nên thẳng hàng

Phép biến đổi của mặt phẳng bảo toàn sự thẳng hàng của các bộ ba điểm là phép biến đổi afin do đó được xác định bởi công thức:

Chứng minh : Cho M (z), M0 (z0) cách nhau một khoảng R Khi đó z = z0 + R ei  Ta có f (M) cách f (M0) một khoảng R có nghĩa:

1.5 Một số bài toán hình học phẳng giải bằng cách dùng số phức

và biểu thức số phức của phép dời hình

Bài toán 1: Dùng biểu diễn hình học của số phức để chứng minh: Tổng

bình phương độ dài hai đường chéo của một hình bình hành bằng tổng bình phương dài bốn cạnh của nó

Giải

Lấy một đỉnh của hình bình hành làm gốc O, hai đỉnh kề với nó có tọa

vị z1 và z2thì đỉnh thứ tư có tọa vị là z1z2

Ta cần chứng minh:

Giải: Chọn hệ tọa độ Oxy có Ox trùng với tia OA0, coi A0A1 An - 1 là

E0E1 En-1, trong đó E k( ), k klà căn bậc n của đơn vị,

Bài toán 3: Trong mặt phẳng cho đa giác đơn A0A1 An - 1 Xét các

vectơ u u1, 2, ,u n mà u vuông góc với j A A j1 j (coi A n A0)và u j  A A j1 j ,

Bài toán 4: Cho A0, A1, , An-1 là đa giác đều nội tiếp trong đường

tròn tâm O, bán kính R, M là một điểm thuộc đường tròn

MA MA   MA b) Tính MA MA0 1 MA n1

Giải: Coi A0,A1, , An-1 định hướng thuận thì Ak có tọa vị Rk trong

= 1  1 1 2

k k

k

n

  , trong đó  OA OM0, 

Bài toán 5: Cho tam giác ABC Dựng bên ngoài tam giác các hình

vuông ABC1C2, BCA1A2, CAB1B2 và gọi C', A', B' lần lượt là tâm của chúng Gọi M là trung điểm của BC Gọi P là trung điểm của B1C1 Chứng minh:

2

AP BC , APBC b) AA'B C' ' , AA'B C' ' c) Tam giác MB'C' là tam giác vuông cân đỉnh M d) Trọng tâm tam giác A'B'C' trùng với trọng tâm tam giác ABC

b) Trung điểm M của BC có tọa vị 1 

2   Tâm A' của hình vuông

BCA1A2 có được do quay B quanh M góc

33

Bài toán 6: Cho tam giác ABC Dựng bên ngoài tam giác đó các tam

giác đều cạnh BC, CA, AB và gọi trọng tâm của tam giác đó lần lượt là A', B', C' Chứng minh rằng A'B'C' là tam giác đều và trọng tâm của A'B'C' trùng với trọng tâm tam giác ABC (bài toán Napôlêon)

C C'

Do đó trọng tâm A' của tam giác A1BC có tọa vị 1

Vậy A'B'C' là tam giác đều

Cũng dễ thấy '         ' ' Vậy trọng tâm hai tam giác trùng nhau

Bài toán 7 Cho tam giác ABC, gọi E, F, G, lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, BC, CA.Từ một điểm K bất kỳ ta lần lượt dựng các điểm M đối xứng với K qua tâm E, điểm N đối xứng với M qua tâm F, điểm P đối xứng với N qua tâm G Chứng minh rằng A là trung điểm của KP

Lời giải

Giả sử điểm A có tọa vị là a

35

Giả sử điểm B có tọa vị là b

Giả sử điểm C có tọa vị là c

Giả sử điểm K có tọa vị là z k

E là trung điểm của AB E có tọa vị là

Ta có K có to ̣a vi ̣ là z k, P có to ̣a vi ̣ là 2az k

 Trung điểm của KP có to ̣a vi ̣ là 2

CHƯƠNG II GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH DÙNG

PHÉP DỜI HÌNH

- Các bài toán hình học phẳng đều có thể giải được chỉ cần kiến thức hình học thuộc các lớp trung học cơ sở, nhưng đã được chúng ta giải lại theo quan điểm biến hình Như vậy trong việc khảo sát tính chất của các hình hình học thì ngoài phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp vecto

mà chúng ta đã biết và đã sử dụng còn có phương pháp biến hình Đó là vận dụng tính chất của các phép biến hình thường gặp như dời hình, đồng dạng…vào việc khảo sát tính chất hình học của các hình, tính toán các đại lượng hình học, tìm tập hợp điểm (quỹ tích) và giải cả toán dựng hình

- Muốn nhận biết được một bài toán hình học nào đó có khả năng giải được bằng phương pháp dời hình bao gồm tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục, quay thì trước hết chúng ta phải xem xét, phân tích nội dung bài toán để tìm ra yếu tố nào trong đó có mối liên hệ đáng chú ý đến một phép biến hình

cụ thể, sau đó vận dụng các tính chất của phép biến hình này để tìm ra lời giải hay đáp số của bài toán được xét

2.1 Bài toán chứng minh Bài 1:

Trong mặt phẳng cho n điểm J1, J2, , Jn (n  3) Hãy tìm dãy điểm A0, A1, , An-1 trong mặt phẳng sao cho Jk là trung điểm của đoạn thẳng