Bộ đề THPT quốc gia môn toán và lời giải chi tiết

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ I đến mặt phẳng SCD.. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ I đến mặt phẳng SCD... Gọi S là tập hợp các tập con củaA.Tính số p

Trang 1

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam

Môn: Toán; ĐỀ SỐ 06/50 Ngày thi : 08/02/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học –

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4− 2mx2+2m − 1 (1).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1.

bên SA = 3a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I là giao điểm của AC và BD Tính thể

tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).

Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;1;2) và B(1;-‐-1;1),

đường thẳng d : x − 1 = y−1 = z +1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song

với d Tính khoảng cách từ d đến mặt phẳng (P).

Câu 7 (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho đường thẳng d : 6x + 8y +11= 0 Viết

phương trình đường tròn (T) có tâm I bán kính bằng 2 và cắt Ox, Oy,MN lần lượt theo các đoạn thẳng AB,CD,MN thoả mãn S =1;AB =CD (x >0)

Trang 2

-‐ ‐ ‐-HẾT-‐ ‐ ‐-PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4− 2mx2+2m − 1 (1).

⎝

⎜

⎠ 5⎟⎟

2 Cho điểm I ⎜⎜0;− 8⎟⎟ Tìm m để (1) có 3 điểm cực trị A,B,C và IA = IB = IC.

Để (1) có ba điểm cực trị khi y’ có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0.

Khi đó toạ độ ba điểm cực trị là A(0;2m −1), B ( − m;−(m −1)2),C ( m; −(m −1)2)

Do A thuộc Oy; B,C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A và có trục đối xứng Oy Vì I

thuộc Oy nên IB = IC Vậy theo yêu cầu bài toán ta chỉ cần:

Câu 2(4,0 điểm) Giải các phương trình

⎝⎜

⎠ 4⎟⎟

b) 62x−x +2 = 22x−x +2.32x−x .

⎛

⎝⎜

⎞ 4⎠⎟⎟

4 ⎠ =1− sinx ⇔ sinx(cosx−sin x) = cosx−sin x

cos x cos x(sin x + cos x) cosx

⇔ cosx−sin x ( ) ⎡ ⎢ ⎢ sin x − 1 ⎤

⎣cos x(sin x + cos x) cosx⎦ ⎥ ⎥= 0 .

⇔ − cos x −sin x = 0 ⇔ cosx = sin x ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + kπ

Vậy nghiệm của phương trình là x = π +kπ,k ∈!

4 b) Phương trình tương đương với:

Trang 3

3

x − 23

Chú ý Tổng quát xếp xen kẽ n học sinh Nam và n học sinh Nữ có 2.(n!)2cách.

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có AD = CD = a, AB = 2a, B!AD = A!DC = 900 Cạnh

bên SA = 3a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I là giao điểm của AC và BD Tính thể

tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).

Trang 4

Vì vậy d(I ;(SCD )) = 1 d(A;(SCD )) = AH =

a

10

Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;1;2) và B(1;-‐-1;1),

đường thẳng d : x − 1 = y−1 = z +1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song

Câu 7 (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho đường thẳng d : 6x + 8y +11= 0 Viết

phương trình đường tròn (T) có tâm I bán kính bằng 2 và cắt Ox, Oy,MN lần lượt theo các đoạnthẳng AB,CD,MN thoả mãn S =1;AB =CD (x >0)

Theo giả thiết: (T) có bán kính R = 2 Ta có: AB = 2 R2− d2(I ;Ox );CD = 2 R2− d2(I ;Oy)

Do AB = CD ⇒ d(I ;Ox ) = d(I ;Oy) ⇒ ⎡ I(a;a)

Trang 5

5

IMN 2

S = 1 MN d(I ;d) = d(I ;d) 2−d2(I ;d ) =1 ⇔ d(I ;d) =1

⇔ 11−2a 10

21 22

y

8t2+8t (t −1)(t − 2) =12t +1+7( t − 1 + t − 2) Đặt a = t − 1 + t − 2 = 2t − 3 + 2 (t −1)(t − 2) ≥ 2t − 3 ≥ 1 ; và

Ta có 4t ≥8 ⇒ 1+ 7a ≥8 ⇔8a2−7a−1≤0 ⇔−1 ≤a ≤1

Mặt khác a ≥1⇒ a =1 ⇔t = 2 ⇔ x = 2y Thay vào phương trình đầu của hệ ta được:

4 y2= y(y +3) ⇔ y ⎡4y y − y −3⎤ = 0

.

⇔ y( y −1)(4y +3 y +3) = 0 ⇔ y =1(y >0) ⇒ x = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2;1)

Trang 6

C hú ý. Để giải phương trình 8t2+8t (t −1)(t − 2) =12t +1+7( t − 1 + t − 2) ta có thể sử

dụng phương pháp hàm số hoặc liên hợp.

Câu 9 (1,0 điểm). Cho x,y,z là các số thực thoả mãn x2+ y2+ z2 = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Dấu bằng đạt tại x =1;y = 0;z = − 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 23/12 đạt tại (x; y; z) = (1;0;−1) hoặc các hoán vị.

Chú ý Với bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối tư duy ban đầu là phá dấu trị tuyệt đối (điều

này xuất phát từ tính đối xứng của bài toán hoặc dựa vào điều kiện giả thiết cho sẵn) Việc đánh giá (x-‐-z) theo các đại lượng đối xứng dựa vào điều kiện bài toán và đánh giá hay sử dụng:

2

(x − z)2= ⎡(x − y) +(y − z)⎤ ≤ 2⎡(x − y)2+(y − z)2⎤

Trang 7

Môn: Toán; ĐỀ SỐ 07/50

Ngày thi : 11/02/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Liên hệ đăng ký khoá học –

Câu 1 (2,0 điểm).Cho hàm số y = x3− ( m + 2)x2+(2m +1)x − 1 (1).

2 Gọi A là giao điểm của (1) với Oy Viết phương trình tiếp tuyến của (1) tại A và cách điểmB(1;2) một khoảng bằng 2

Câu 4 (1,0 điểm).

a) Trong các số phức z thoả mãn z = 1 Tìm số phức z để 1+ z + 3 1 − z đạt giá trị lớn nhất.

b) Cho tập A gồm n phần tử phân biệt trong đó có phần tử x Gọi S là tập hợp các tập con củaA.Tính số phần tử của S, lấy ra ngẫu nhiên một phần tử từ S tính xác suất để phần tử đó có chứa x

Câu 5 (1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, B!AC = 1200 Gọi I là trung điểm cạnh

AB, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của đoạn CI; góc giữa SA

và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặtphẳng (SBC)

Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(3;w2;3), B(w5;10;w1)

và mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z − 1 = 0 Chứng minh A,B nằm khác phía với mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB = 4 14

⎝⎜ 5 5⎠

⎜⎜⎛ ⎟⎟⎟⎟⎞

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có B 21; 3 Phương

trình tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x + 2y − 7 = 0 Đường phân

giác ngoài của góc A cắt BC kéo dài tại điểm E(9;3) Tìm toạ độ các đỉnh A,C biết A có tung độ dương

Câu 8 (1,0 điểm).Giải bất phương trình (x − 3 + 2 − x )3+ 2 − x +32x − 1 +3x ≥ 4

Câu 9 (1,0 điểm).Cho x,y,z là các số thực thoả mãn x + y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 cosx + 3cos y + 3cosz

−3.max{cosx , cos y , cosz}

lllHẾTlll

Trang 8

PHÂN TÍCH – BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN

Câu 1 (2,0 điểm).Cho hàm số y = x3− ( m + 2)x2+(2m +1)x − 1 (1).

2 Gọi A là giao điểm của (1) với Oy Viết phương trình tiếp tuyến của (1) tại A và cách điểmB(1;2) một khoảng bằng 2

1 Học sinh tự làm

2 Ta có A(0;−1) Tiếp tuyến của (1) tại A có dạng: d : y = (2m +1)x − 1

Theo giả thiết ta có:

(2m+1).1−1−2 (2m +1)2+(−1)2

Trang 9

Vậy yêu cầu bài toán tương đương với: m2+ 4 = 4 ⇔m2+ 4 =16 ⇒ m = 2 3

Vậy giá trị cần tìm của tham số là m = 2 3

Câu 3 (1,0 điểm) Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 1

3

e x +2; y = 0;x = 0;x = 3ln 2.Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay S quanh trục hoành

( 3 e x +2)2 0

a) Trong các số phức z thoả mãn z = 1 Tìm số phức z để 1+ z + 3 1 − z đạt giá trị lớn nhất.

b) Cho tập A gồm n phần tử phân biệt trong đó có phần tử x Gọi S là tập hợp các tập con củaA.Tính số phần tử của S, lấy ra ngẫu nhiên một phần tử từ S tính xác suất để phần tử đó có chứa x

354

5

35

Trang 10

∑

Vì vậy tổng số phần tử của S là C k = 2n

+) Ta tìm số tập con của A chứa phần tử x

Số tập con không chứa phần tử x chính là số tập con của tập hợp A\{x } Tập hợp này có (nw1) phần tử

Vậy số tập con của nó bằng 2n−1

Vì vậy số tập con của A chứa phần tử x là 2n − 2n−1 = 2n−1

n−1

2n 2

Vậy xác suất cần tính là P =2 = 1

Câu 6(1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, B!AC = 1200 Gọi I là trung điểm cạnh

AB, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của đoạn CI; góc giữa SA

và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặtphẳng (SBC)

ABC

Ta có: S = 1 AB.AC sin1200 = a

Gọi D là giao điểm của AH với BC; M là trung điểm cạnh

BC Do tam giác ABC cân tại A nên AM vuông góc với BC

2

3

Sử dụng định lý hàm số Côsin cho tam giác ACI ta có:

CI = AI2+ AC2− 2AI AC cos1200

a24

Trang 11

Tam giác vuông SHK có 1 = 1 +

1 = 16 + 64 ⇒ HI = 3a 37

148 37

Vì vậy d(A;(SBC )) = 4.3a 37 = 3a 37

Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(3;w2;3), B(w5;10;w1)

và mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z − 1 = 0 Chứng minh A,B nằm khác phía với mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB = 4 14

Thay toạ độ của A,B vào mặt phẳng (P) ta được:(2.3−2 + 2.3−1)(2.(−5) +10 + 2.(−1))< 0

Vì vậy A,B nằm khác phía với (P) (đpcm)

⎝⎜ 5

⎛

⎞ 5⎟⎟⎠

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có B ⎜⎜21; 3⎟⎟ Phương

trình tiếp tuyến của tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x + 2 y − 7 = 0 Đường

phân giác ngoài của góc A cắt BC kéo dài tại điểm E(9;3) Tìm toạ độ các đỉnh A,C biết A cótung độ dương

Đường thẳng BC đi qua điểm B,E có phương trình là x − 2y − 3 = 0

Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến và đường thẳng BC

⎩⎪⎪x+ 2y −7 = 0 ⎩⎪⎪y =1

Toạ độ của F là nghiệm của hệ phương trình x − 2 y − 3 = 0 ⇔ x = 5 ⇒ F(5;1).

Gọi D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC

Xét tam giác ADF có FA = FD bởi vì

F!AD = F!AC +C!AD;F!DA= A!BC + B!AD;

F!AC = B!AD;C!AD = B!AD

Tức tam giác FAD cân tại F

AD,AE là hai phân giác góc A nên vuông góc Vì vậy

tam giác ADE là tam giác vuông có FA = FD nên F là

trung điểm đoạn ED

Vì F là trung điểm của ED nên D(1;w1)

!!!" !!!"

Gọi A ( 7 − 2a;a),a > 0 là điểm thuộc tiếp tuyến AD = (2a − 6 ; − a −1), AE = (2a + 2;−a + 3)

Trang 12

Vậy toạ độ hai đỉnh cần tìm là A(1;3),C (−15;−9)

Câu 8 (1,0 điểm).Giải bất phương trình (x − 3 + 2 − x )3+ 2 − x +32x − 1 +3x ≥ 4

Điều kiện: x ≤ 2

Bất phương trình tương đương với:

(x − 3 + 2 − x )3+(x − 3 + 2 − x ) ≥ ( 1 − 2x )+31− 2x (1) Xét hàm số f (a) = a3+atrên R ta có f '(a) = 3a2+1> 0,∀a∈!

Vì vậy f(a) đồng biến, do đó (1) ⇔ f (x −3+ 2− x ) ≥ f (31− 2x ) ⇔ x −3+ 2− x ≥31− 2x

Kết hợp với điều kiện bài toán ta có 1≤ x ≤ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ⎡1;2⎤.⎣⎢ ⎦⎥

Chú ý Ta có thể giải bằng cách khác sau đây:

Trang 13

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ⎡1;2⎤.

Câu 9 (1,0 điểm).Cho x,y,z là các số thực thoả mãn x + y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 cosx + 3cos y + 3cosz

−3.max{cosx , cos y , cosz}

Do vai trò của x,y,z như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử

cosz = max{cosx , cos y , cosz}

Trang 14

Môn: Toán; ĐỀ SỐ 08/50 Ngày thi : 15/02/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học – – Chi tiết: www.mathlinks.vn

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x +1 (1)

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = ln(1+ x )− x − x trên đoạn [0;1].

a) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z + 2i + z −2i = 0

b) Có hai hộp đựng bút, hộp thứ nhất đựng 4 bút đen và 6 bút xanh; hộp thứ hai đựng 5 bút đen và 8 bút xanh Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra hai chiếc bút, tính xác suất để lấy được hai cặp bút khác màu.

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB = a,AD = AA' = 2a Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm đoạn thẳng BC Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BD’.

Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;1;-‐-2), B(1;-‐-1;11) và

đường thẳng d : x + 3 = y +1 = z − 1 Chứng minh d và AB chéo nhau Tìm toạ độ điểm M

trên d sao cho MA = MB

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp

đường tròn (C ) : x2+(y −5)2= 50 Giả sử A(-‐-5;10) và đường cao kẻ từ C của tam giác ABC cắt

⎝⎜

5 5 ⎠⎟⎟

đường tròn (C) tại điểm thứ hai N ⎜⎜− 17 ;− 6 ⎟⎟ Tìm toạ độ các đỉnh B,C.

Câu 8 (1,0 điểm) Giải phương trình x + 8x − 2x2− 2 = 3

Trang 15

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x +1 (1)

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ x2

− 4x + 3 − x − 3 dx

0

2

Trang 16

a) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z + 2i + z −2i = 0

b) Có hai hộp đựng bút, hộp thứ nhất đựng 4 bút đen và 6 bút xanh; hộp thứ hai đựng 5 bút đen và 8 bút xanh Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra hai chiếc bút, tính xác suất để lấy được hai cặp bút khác màu.

Chú ý Ta có thể làm nhanh như sau:

z −2i z + 2i (z −2i)(z + 2i)

z + 2i + z −2i = 0⇔ (z +2i)(z +2i)+(z −2i)(z −2i) = 0

Lấy tuỳ ý ra 2 chiếc bút từ hộp thứ hai có C = 78 cách.13

Vậy có 45×78 = 3510 cách lấy ra hai bút từ mỗi hộp

Ta tìm số cách lấy được hai cặp bút khác màu:

+) Lấy ra từ hộp thứ nhất cặp bút màu đen, hộp thứ hai cặp bút màu xanh có

Trang 17

1 1 1 1

một bút đen có C C C C = 960 cách.

4 6 5 8Vậy tất cả có 168+150+960=1278 cách.

3510 195

Vậy xác suất cần tính là P = 1278 = 71.

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB = a,AD = AA' = 2a Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm đoạn thẳng BC Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BD’.

Gọi H là trung điểm cạnh BC, ta có A' H ⊥ (ABCD) Tam giác ABH có AH = AB 2 +BH 2 = a2 + a2 = a 2

Tam giác vuông A’AH có

Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;1;-‐-2), B(1;-‐-1;11) và

đường thẳng d : x + 3 = y +1 = z −1 Chứng minh d và AB chéo nhau Tìm toạ độ điểm M

Ta có ⎢u,AB ⎥= (28;−26;−4) ⇒ ⎢u,AB ⎥.AC = 28.4− 26.2+4.3 =72 ≠ 0

Vì vậy d và AB chéo nhau.

⎧⎪x =−3+ 2t

⎪⎪

⎩⎪⎪z=1+ t +) Đường thẳng d : ⎨⎪y =−1+ 2t ⇒ M (−3+ 2t;−1+ 2t;1+ t)

Trang 18

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp

đường tròn (C ) : x2+(y −5)2= 50 Giả sử A(-‐-5;10) và đường cao kẻ từ C của tam giác ABC cắt

5

⎝⎜

⎠ 5⎟⎟

đường tròn (C) tại điểm thứ hai N ⎜⎜− 17 ;− 6 ⎟⎟ Tìm toạ độ các đỉnh B,C.

Đường tròn (C) có tâm I(0;5).

Gọi M là giao điểm thứ hai của AI với (C) ta có I là trung điểm đoạn AM nên M(5;0) Do tam giác ABC cân nên M là điểm chính giữa cung BC (không chứa A).

Ta có: M!AB = N!CB (cùng phụ với góc A!BC).

Nên B là điểm chính giữa của cung MN Vì vậy IB vuông góc với MN.

Chú ý M,N khác phía với AB nên trường hợp này loại.

Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ x + y −5 = 0 ⇔ x = 4 ⇒ E(4;1)

Vì E là trung điểm của BC nên C(7;4).

Vậy toạ độ các điểm cần tìm là B(-‐-1;2) và C(7;4).

Câu 8 (1,0 điểm) Giải phương trình x + 8x − 2x2

Vì vậy dấu bằng xảy ra ⇔ x =1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

5

Trang 19

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Cách 2: Phương trình tương đương với: 6 − x2

⎝⎜⎜

1 ⎞ ⎟

⎠⎟

⎟⎟ 1

.

Tương tự ta có:

6

Trang 20

Vì vậy f(t) đồng biến trên ⎡ 3;+∞

Vì vậy P ≥ f (t ) ≥ f ( 3) = 3( 3 −1) Dấu bằng đạt tại x = y = z

2

7

Trang 21

Môn: Toán; ĐỀ SỐ 09/50

Ngày thi : 16/02/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 2

2 Tìm m để (1) có ba điểm cực trị đều nằm trên các trục toạ độ

với d1,d2 và cách điểm A một khoảng bằng 3

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x 2 + y2 = 9 Đường tròn (T) có tâm I, bán kính bằng 4 và (C) cắt (T) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tứ giác OAIB có diện tích bằng 12 ( với O là gốc toạ độ) Viết phương trình đường tròn (T), biết I

của biểu thức P = (a+b) − 16

(ab−1)(a −b)2 (a+b)2(ab−1) + 2 a +b

m m HẾTm m

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	2,74 MB