50 bộ đề thi thử THPT quốc gia môn toán có lời giải chi tiết của thầy đặng thành nam (phần 2)

Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A0;7, tâm đường tròn nội tiếp là điểm I0;1.. Viết phương trình đường thẳng d cắt tia Ox , vuông góc với đường thẳng AB, song

Trang 2

Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam

Môn: Toán; ĐỀ SỐ 26/50

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202 – Chi tiết: www.mathlinks.vn

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4− m2x2+ 3 (1) , với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2

2 Tìm m để hàm số (1) có cực tiểu, cực đại lần lượt là y1, y2thoả mãn y1+ y2= 2

Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 2x 8x +1 + x2+ 8 ≥ 6x x + 3

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = (3x5+ ln x)dx

1

2

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tam giác ABD đều cạnh a, AA' = a Hình chiếu

vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và A’C’

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A(0;7), tâm đường tròn nội tiếp là điểm I(0;1) Gọi E là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC Tìm toạ độ các đỉnh

B,C biết AH = 7HE và B có hoành độ âm

Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z +1 = 0 và

hai điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B và vuông góc với (P) Viết phương trình đường thẳng d cắt tia Ox , vuông góc với đường thẳng AB, song song với mặt phẳng (P)

và cách (P) một khoảng bằng 3

Câu 9 (0,5 điểm) Có 3 lô sản phẩm A,B,C chuẩn bị nhập vào kho Mỗi lô có 100 sản phẩm gồm sản phẩm loại I và sản phẩm loại II Số sản phẩm loại I trong mỗi lô A,B,C lần lượt là 50,60,70 Người phụ trách nhập kho lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô A,B,C ra một sản phẩm để kiểm tra, nếu có ít nhất 2 trong 3 sản phẩm lấy ra để kiểm tra là sản phẩm loại I thì 3 lô hàng A,B,C được nhập kho Tính xác suất để 3

lô hàng A,B,C được nhập kho

Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực thoả mãn a,b,c∈ 1

Trang 3

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4− m2x2+ 3 (1) , với m là tham số thực

3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2

4 Tìm m để hàm số (1) có cực tiểu, cực đại lần lượt là y1, y2thoả mãn y1+ y2= 2

1 Học sinh tự giải

2 Ta có: y' = 4x3− 2m2x; y'= 0 ⇔

x= 0

x2= m22

4 = 2 ⇔ m2= 16 ⇔ m = 4(t / m);m = −4(t / m) Vậy m= 2 là giá trị cần tìm

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Giải phương trình cos2x + cos x − 4 = sin x cos x − 4sin x

b) Tìm số phức z thoả mãn (z −1)(z + 2) = −1+ 3i

a) Phương trình tương đương với:

sin2x − 4sin x + sin x cos x − cos x + 3 = 0 ⇔ sin2

x − sin x − 3sin x + 3+ sin x cos x − cos x = 0

⇔ (sin x −1)(sin x − 3+ cos x) = 0 ⇔ sin x= 1

sin x + cos x = 3(VN)

⎡

⎣

b) Phương trình tương đương với: z2+ z − 2 = −1+ 3i ⇔ z2+ z = 1+ 3i ⇔ z2+ z − (1+ 3i) = 0

Δz = 1+ 4(1+ 3i) = 5 +12i = (3+ 2i)2⇒ z = −1− (3+ 2i)

⎧

⎨

x2− y2= 8log3[(x + y −1)(x − y +1)]= 2

Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y)= (3;1)

Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 2x 8x +1 + x2+ 8 ≥ 6x x + 3

Điều kiện: x≥ 0

Trang 4

Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình S= 1{ }

Cách 2: Ta đánh giá như sau:

Trang 5

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tam giác ABD đều cạnh a, AA' = a Hình chiếu

vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và A’C’

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A(0;7), tâm đường tròn nội tiếp là điểm I(0;1) Gọi E là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC Tìm toạ độ các đỉnh

B,C biết AH = 7HE và B có hoành độ âm

+) Đường thẳng AE đi qua A,I chính là trục Oy

Theo tính chất đường phân giác ta có:

AE BE

Đường thẳng BC đi qua E và vuông góc với Oy nên có phương trình là y+1 = 0

Gọi B(b;-1) thuộc BC, với b âm Ta có: E là trung điểm BC nên C(-b;-1)

Do H là trực tâm tam giác ABC nên:

BH! "!!.AC! "!!

= 0 ⇔ −b2+ 8 = 0 ⇔ b = −2 2(do b < 0) ⇒ B(−2 2;−1),C(2 2;−1)

Trang 6

Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z +1 = 0 và

hai điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B và vuông góc với (P) Viết phương trình đường thẳng d cắt tia Ox , vuông góc với đường thẳng AB, song song với mặt phẳng (P)

lô hàng A,B,C được nhập kho

Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra kiểm tra từ lô A là loại I, ta có: P(A) = 0,5;P(A) = 0,5

Gọi B là biến cố sản phẩm lấy ra kiểm từ lô B là loại I, ta có: P(B) = 0,6;P(B) = 0,4

Gọi C là biến cố sản phẩm lấy ra kiểm tra từ lô C là loại I, ta có: P(C) = 0,7;P(C) = 0,3

Gọi X là biến cố lấy ra ngẫu nhiên mỗi lô một sản phẩm và được ít nhất 2 sản phẩm loại I

Ta có: X = A.B.C + A.B.C + A.B.C + AB.C

Ta có:

P(X) = P(A.B.C + A.B.C + A.B.C + AB.C)

= P(A.B.C) + P(A.B.C) + P(A.B.C) + P(AB.C)

= P(A).P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C)

Trang 7

a + b ab((a + b)2− c2)= a + b − c.

2ab (a + b)2 ≤ a + b − c

Trang 16

Ngày thi : 18/04/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = (x−1)(x2− x +1− m) (1), với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 2

2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Cho x thoả mãn

π

2< x < 2πvà cot(x + π3) = − 3 Tính giá trị của biểu thức M = sin(x + π6)+ cosx

b) Cho số phức z =1−2i Tính môđun của số phức

w = z− 25 z2

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình

log12

(x2+ 3x + 2) = −1

Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình (x2+ 2x +1) x2+ x +1 ≥ x3+ 4x2+ 2x −1

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình thang cân ABCD (AB //CD) Gọi

H,I lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên các đường thẳng AC,CD Giả sử M,N lần lượt là trung

điểm của AD,HI Viết phương trình đường thẳng AB biết M (1;−2),N (3;4) và đỉnh B nằm trên đường thẳng x + y−9= 0,

cos ABM! = 2

5

Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;1;0) và hai mặt phẳng

(P) : x + y−5= 0;(Q) : y + z+3 = 0 Viết phương trình đường thẳng Δlà giao tuyến của (P) và (Q) Tìm

toạ độ điểm M thuộc mặt (P) sao cho AM ⊥ Δ và đường thẳng AM cắt mặt phẳng (Q) tại N thoả mãn

A là trung điểm MN

Câu 9 (0,5 điểm) Trong một kỳ thi người ta bố trí 32 thí sinh vào một phòng học gồm 8 bàn học song song với nhau, mỗi bàn học xếp 4 thí sinh Trong 32 thí sinh này có 16 thí sinh nhóm I và 16 thí sinh nhóm II Tính xác suất để bất kỳ hai học sinh ngồi cạnh nhau cũng như ngồi đối diện trên và dưới với nhau thuộc 2 nhóm khác nhau

Câu 10 (1,0 điểm). Với x là số thực thoả mãn 0 ≤ x ≤1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 17

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = (x−1)(x2− x +1− m) (1), với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 2

2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

2< x < 2π và cot(x + π3) = − 3 Tính giá trị của biểu thức M = sin(x + π6)+ cosx

b) Cho số phức z =1−2i Tính môđun của số phức

Vậy nghiệm phương trình x = 0;x = −3

Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình (x2+ 2x +1) x2+ x +1 ≥ x3+ 4x2+ 2x −1

Bất phương trình đã cho tương đương với:

(x +1)2 x2+ x +1 ≥ x3+ 4x2+ 2x −1⇔ (x2+ x +1+ x) x2+ x +1 ≥ (x + 3)(x2+ x +1)−2(x + 2)

đặt t = x2+ x +1 > 0, bất phương trình trở thành:

Trang 18

+) Tứ giác ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a, nên là hình thoi Gọi O

là giao điểm AC,BD

Hai tam giác SAC và ABC bằng nhau vì có chung AC,

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) thì do SA = SCnên HA = HC

Suy ra H thuộc đường trung trực của AC, tức H thuộc BD

Tam giác SBD vuông ta có:

+) Do AB//(SCD) nên d(A;(SCD)) = d(B;(SCD)) (1)

Tam giác vuông SBH ta có:

Trang 19

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình thang cân ABCD (AB //CD) Gọi

H,I lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên các đường thẳng AC,CD Giả sử M,N lần lượt là trung

điểm của AD,HI Viết phương trình đường thẳng AB biết M (1;−2),N (3;4) và đỉnh B nằm trên đường thẳng x + y−9= 0,

cos ABM! = 2

5 Xét tam giác ABD và HBI có:

+ ABD ! = HCI ! = HBI!

+ ADB ! = ACB ! = HIB! Suy ra tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI (g.g)

Ta có BM,BN lần lượt là hai trung tuyến của tam giác ABD, HBI do đó:

BM

BH (1)

Lại có ABM ! = HBN ! ⇒ MBN ! = ABH! (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABH đồng dạng với tam giác MBN

Do đó MNB ! = AHB! = 900, hay MN vuông góc NB

+) Ta có: MN! "!!! = (2;6) //(1;3) , đường thẳng BN đi qua N và nhận (1;3) làm vtpt nên có phương trình

5 ⇔ 5(a + b)2= 8(a2+ b2)⇔ 3a2−10ab + 3b2= 0 ⇔

a = 3b

a=b3

+) TH2: Nếu b = 3a chọn a =1,b = 3⇒ AB : x +3y−15= 0(loại do trùng với BN)

Kết luận: Vậy đường thẳng AB là 3x + y−21= 0

Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;1;0) và hai mặt phẳng

(P) : x + y−5= 0;(Q) : y + z+3 = 0 Viết phương trình đường thẳng Δlà giao tuyến của (P) và (Q) Tìm

toạ độ điểm M thuộc mặt (P) sao cho AM ⊥ Δ và đường thẳng AM cắt mặt phẳng (Q) tại N thoả mãn

Trang 20

Không gian mẫu là số cách xếp 32 thí sinh vào 32 vị trí có

Nhóm II

(6) Nhóm I

(7) Nhóm II

(8) Nhóm I (9)

Nhóm I

(10) Nhóm II

(11) Nhóm I

(12) Nhóm II (13)

Nhóm II

Nhóm I Nhóm II Nhóm I

(17) Nhóm I

(18) Nhóm II

(19) Nhóm I

(20) Nhóm II Nhóm II Nhóm I Nhóm II Nhóm I (25)

Nhóm I

(26) Nhóm II

(27) Nhóm I

(28) Nhóm II (29)

Nhóm II

(30) Nhóm I

(31) Nhóm II

(32) Nhóm I +) Để tìm số phần tử của A, ta miêu tả cách xếp thoả mãn

Đánh số vị trí từ 1 đến 32, xuất phát từ vị trí số 1, vị trí này có thể là thí sinh nhóm I hoặc thí sinh nhóm

II nên có 2 cách

Ta có cách xếp thoả mãn như sau:

+) Nếu vị trí số 1, xếp thí sinh nhóm I thì ta xếp 16 thí sinh nhóm I vào các vị trí như bảng bên dưới và xếp 16 thí sinh nhóm II vào các vị trí như bảng biên dưới do vậy có 16!.16! cách xếp

+) Tương tự nếu vị trí số 1, xếp thí sinh nhóm II thì có 16!.16! cách xếp

Vậy có tất cả 2.(16!)2cách xếp thoả mãn, vì vậy ΩA = 2.(16!)2

Trang 22

KHOÁ GIẢI ĐỀ THPT QUỐC GIA THẦY ĐẶNG THÀNH NAM

Ngày thi : 20/04/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4+ 4x2− 5

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k= −12

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Cho 2 số thực a,b thoả mãn tan a = 2,tanb = 3 Tính giá trị biểu thức M = sin(a + b)

cos(a − b) + 2cosa.cosb b) Tìm số phức z thoả mãn z2 = 4 và 2z + 4

1− i là số thuần ảo

Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình 2.9x−1> 3( 2)2 x−1

Câu 4(1,0 điểm) Giải phương trình 2

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Gọi M,N lần lượt

là trung điểm của AB,CD Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thoả mãn

HN! "!! = −3HM! "!!! Tính thể tích khối chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD biết góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có phương trình đường

chéo AC là 5x + y + 4 = 0 , trực tâm tam giác ABC là điểm H −23

7 ;

157

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟và G⎛⎝⎜−23; 4⎞⎠⎟là điểm thuộc

đoạn BD thoả mãn GB = 2GD Tìm toạ độ các đỉnh hình bình hành ABCD

Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với trục toạ độ Oxyz cho điểm M(1;-1;2) và mặt phẳng

(P) : x − y + 2z − 6 = 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P)

Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M

Câu 9 (0,5 điểm). Một hộp đựng 16 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 8; 5 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 5; 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3 Lấy ngẫu nhiên

ra 3 viên bi, tính xác suất để lấy được 3 viên bi vừa khác màu vừa khác số

Câu 10 (1,0 điểm). Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn xy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 1

x3+ y3+ 1

y3+ z3+ 1

z3+ x3+15

4 (x +1)(y +1)(z +1)

Trang 23

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4+ 4x2− 5

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k= −12

1− i là số thuần ảo

a) Ta có: M = sin a.cosb + sinb.cosa

cos a.cosb + sina.sinb + 2cosa.cosb=

Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình 2.9x−1> 3( 2)2 x−1

Bất phương trình tương đương với:

Nhận thấy x= 0 không là nghiệm của phương trình,

+) Xét x ≠ 0 , khi đó x2− x +1 − (1− x) ≠ 0 , nhân cả hai vế phương trình với: x2− x +1 − (1− x) ta

được:

x2( x2− x +1 +1)= 2 x( 2− x +1 −1+ x)⇔ x( 2− 2) x2− x +1 = 2x − x2− 2

Trang 24

Đối chiếu với x ≠ 0 chỉ nhận nghiệm x = 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 1

Cách 2: Phương trình đã cho tương đương với: 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 1

Câu 5 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = e x ln(3e x+1) , trục

5

3t+1)dt1

Vậy S=56

3 ln 2− 4 (đvdt)

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Gọi M,N lần lượt

Trang 25

HN! "!! = −3HM! "!!! Tính thể tích khối chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD biết góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600

(hình 29.1)

+) Gọi I là tâm hình vuông ABCD

Theo giả thiết HN! "!! = −3HM! "!!! nên H là trung điểm đoạn

+) Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD thì IJ//SH, đặt IJ = x > 0

TH1: Nếu J,S cùng phía với mặt phẳng (ABCD) (hình 29.1)

Trong tam giác vuông JIC có : R2= JC2= JI2+ IC2= x2+a2

Diện tích mặt cầu S= 4πR2= 4π.7a

2

12 = 7πa2

3 (đvdt)

Trang 26

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có phương trình

đường chéo AC là 5x + y + 4 = 0 , trực tâm tam giác ABC là điểm H −23

7 ;

157

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟và G −23; 4

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟là điểm

thuộc đoạn BD thoả mãn GB = 2GD Tìm toạ độ các đỉnh hình bình hành ABCD

+) Đường cao BH đi qua H và vuông góc với AC có phương trình là

x+237

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ −5 y−

157

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =0⇔ x − 5y +14 = 0 +) Gọi B(5b-14;b) thuộc BH, gọi I là tâm hình bình hành ABCD

Kết luận: Vậy A( −1;1), B(−4;2),C(−2;6), D(1;5) hoặc A(−2;6), B(−4;2),C(−1;1), D(1;5)

(P) : x − y + 2z − 6 = 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P)

Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M

+) Vì d vuông góc với (P) nên nhận véc tơ pháp tuyến của (P) làm véc tơ chỉ phương, u d

trên đường thẳng d, do đó I(1+ t;−1− t;2 + 2t)

Vậy phương trình mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2= 6

Câu 9 (0,5 điểm). Một hộp đựng 16 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 8; 5 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 5; 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3 Lấy ngẫu nhiên

ra 3 viên bi, tính xác suất để lấy được 3 viên bi vừa khác màu vừa khác số

Trang 27

+) Gọi A là biến cố lấy được 3 viên bi vừa khác màu vừa khác số, ta tìm số phần tử của A ta mô tả cách

lấy 3 bi thoả mãn bài toán Để đơn giản ta ký hiệu X= 1,2,3,4,5,6,7,8{ }

+) Trước tiên ta lấy ra 1 viên bi màu vàng từ 3 viên bi vàng có C31 cách, viên bi lấy ra này có số là i

+) Lấy tiếp 1 viên bi màu đỏ từ 5 viên bi đỏ có đánh số là k thoả mãn k ∈X\{6, 7,8,i}có C41cách

+) Cuối cùng lấy 1 viên bi màu xanh từ 8 viên bi xanh có đánh số là j thoả mãn j ∈X\{ }i, k có C61cách

Vậy số cách lấy thoả mãn là C31.C41.C61= 72 ⇒ ΩA = 72

Bài số 01 Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số

từ 1 đến 5, có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3 Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp đó Tính xác suất để ba viên bi được lấy ra vừa khác màu vừa khác số

Đ/s: P= ΩA

27

220

Bài số 02 Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số

từ 1 đến 5, có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3 Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp đó Tính xác suất để hai viên bi được lấy ra vừa khác màu vừa khác số

(y+z

2)3

+) Với x = y = 1,z = 0 thì P bằng 35/2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 35/2

Bình luận: Bằng cách tương tự ta chứng minh được các bất đẳng thức:

Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn xy + yz + zx > 0 , ta có

Trang 28

x3+ y3+ 1

y3+ z3+ 1

z3+ x3≥ 20

(x + y + z)3,1

x4+ y4+ 1

y4+ z4 + 1

z4+ x4 ≥ 40

(x + y + z)4,1

x5+ y5 + 1

y5+ z5 + 1

z5+ x5 ≥ 80

(x + y + z)5Đây là cách chứng minh tổng quát do dạng toán này, với mỗi trường hợp nhỏ ta có cách chứng minh bằng AM –GM khác nhau:

Trang 29

Môn: Toán; ĐỀ SỐ 30/50 Ngày thi : 22/04/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4− 2x2−1 có đồ thị (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0;-1)

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Cho số thực a thoả mãn cos 4a=1

3 Tính giá trị biểu thức M = sin6

a+ cos6

a+1

4

b) Tính môđun của số phức z thoả mãn z2+ 2z −1 = 0

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 1

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = 4a, AD = 2a Hình

chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm E thuộc đoạn AB thoả mãn

AB = 4AE,SE = a 3,SD = 2a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường

thẳng BD,SC

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2+ y2− 6x + 2y + 6 = 0 và điểm

A(1;3) Một đường thẳng d đi qua A, gọi B,C là giao điểm của d và đường tròn (C) Lập phương trình

đường thẳng d sao cho AB + AC nhỏ nhất

Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2−10x − 2y − 6z +10 = 0 Chứng minh (S) và (P) không có điểm chung Tìm toạ độ

điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho từ M kẻ được tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại điểm N thoả mãn

2 + b + (c − a)2

2 + c + (a − b)2

2

Trang 30

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4− 2x2−1 có đồ thị (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0;-1)

1 Học sinh tự giải

2 Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, đi qua điểm M(0;-1), phương trình tiếp tuyến là: y = kx −1

+) Ta có hệ phương trình: x

4− 2x2−1 = kx −1 4x3− 4x = k

a) Cho số thực a thoả mãn cos 4a=1

3 Tính giá trị biểu thức M = sin6a+ cos6a+1

b) Theo bài ra, ta có: (z+1)2= 2 ⇒ z = −1± 2i ⇒ z = 12+ ( 2)2 = 3

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 1

2log 2(x+ 3) +1 = 3log8(8x) Điều kiện: x> 0 Phương trình tương đương với:

log2(x+ 3) +1 = log2(8x)⇔ log2[2(x+ 3)]= log2(8x) ⇔ 2(x + 3) = 8x ⇔ x = 1(t / m)

Vậy phương trình có nghiệm x= 1

Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình (x +1)(y +1)(xy + 4) = 20

Trang 31

Kết luận: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y)= (1;1)

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = x(1 + sin x)

cos2x dx

0

π 4

− (tan x + 1

cos x )dx

0

π 3

cos x

0

π 3

1− sin2x

0

π 3

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = 4a, AD = 2a Hình

chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm E thuộc đoạn AB thoả mãn

AB = 4AE,SE = a 3,SD = 2a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường

thẳng BD,SC

Tam giác vuông SDE có:

DE = SD2− SE2 = 8a2− 3a2 = a 5 Tam giác ADE có AD2+ AE2= DE2= 5a2nên vuông tại A

Trang 32

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2+ y2− 6x + 2y + 6 = 0 và điểm

A(1;3) Một đường thẳng d đi qua A, gọi B,C là giao điểm của d và đường tròn (C) Lập phương trình

đường thẳng d sao cho AB + AC nhỏ nhất

+) Đường tròn (C) có tâm I(3;-1), bán kính R= 2

+) Giả sử AC ≥ AB , và gọi D là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A

Xét tam giác ACD và ADB có:

A !(chung);C! = D!(cung chan BD")

Suy ra tam giác ACD đồng dạng với tam giác ADB

12+ 22+ 22 = 6 > R nên (S) và (P) không có điểm chung

+) Do MN tiếp xúc với (S) nên IN vuông góc với MN hay tam giác IMN vuông tại N, ta có:

IM2= IN2+ MN2= 52+11 = 36 ⇒ IM = 6 = d(I;(P))

Do đó M là hình chiếu vuông góc của I trên (P)

+) Đường thẳng IM vuông góc với (P) nên nhận (1;2;2) làm vtcp nên có pt là:

Trang 33

Thay x,y,z từ phương trình của IM và phương trình của (P) ta được:

Bình luận Chú ý khai triển (a + b) ncó tất cả n+1 số hạng

Câu 10 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn min a;b;c{ }≤ 1

4và a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + (b − c)2

Trang 34

Môn: Toán; ĐỀ SỐ 31/50 Ngày thi : 24/04/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số

y = 2

x−3

x +1 có đồ thị là (H)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có tung độ bằng 1

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 3 2x−x2+ 34x−2x2 +1= 4

Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình

x +1 , trục hoành, các đường thẳng x = 0,x =1quay xung quanh trục hoành

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thoả mãn HC

! "!!

= 2HB! "!! Góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC)

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :(x−1)2+ (y − 2)2= 5 Một điểm

A nằm ngoài đường tròn (C) kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC đến (C) với B,C là các tiếp điểm Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết tam giác ABC có trực tâm H nằm trên (C) và đỉnh A có hoành độ dương và nằm trên

đường thẳng d : x − y −1 = 0

(P) : 2x−2y + z−20 = 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P)

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, bán kính bằng 5 và cắt (P) theo một đường tròn có chu vi bằng 6π

Câu 9 (0,5 điểm). Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 Lấy ngẫu nhiên một số từ M, tính xác suất để được một số chia hết cho 3

Câu 10 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực thoả mãn (b−3)(c−3) ≠ 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Trang 35

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số

y = 2

x−3

x +1 có đồ thị là (H)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có tung độ bằng 1

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 3 2x−x2+ 34x−2x2+1= 4

Phương trình tương đương với:

Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình

Trang 36

Bất phương trình tương đương với:

26x− 5 2x +19 −3 2x +

174

2x + 1 2x≤−2

Trang 37

Theo giả thiết B là trung điểm của HC

Tam giác vuông HCD có:

HD = HC2+CD2= 4a2+ a2= a 5

+) Có HD là hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SD và (ABCD) bằng góc SDH!= 450 Tam giác vuông SHD có SH = HD.tan 450= a 5

Vì vậy AH//BD, do đó AH ⊥ AC(1), lại có AC ⊥ SH (2) Từ (1),(2) suy ra AC ⊥ (SAH)

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :(x−1)2+ (y − 2)2= 5 Một điểm

A nằm ngoài đường tròn (C) kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC đến (C) với B,C là các tiếp điểm Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết tam giác ABC có trực tâm H nằm trên (C) và đỉnh A có hoành độ dương và nằm trên

đường thẳng d : x − y −1 = 0

+) Đường tròn (C) có tâm I(1;2), bán kính R= 5 +) Vì tam giác ABC cân tại A nên H thuộc AI, mặt khác H thuộc đường tròn (C) nên H trùng với giao điểm của đoạn AI với đường tròn (C)

Ta có: H là điểm chính giữa cung BC, do đó ABH ! = HBC! , tức H là tâm nội tiếp tam giác ABC

Vì H vừa là trực tâm và là tâm nội tiếp tam giác ABC nên tam giác ABC đều

Do đó: BAI! = 1

2BAC! = 300⇒ AI = IB

sin 300 = 2 5 +) Vậy toạ độ điểm A thoả mãn hệ: x − y −1 = 0

Trang 38

(P) : 2x−2y + z−20 = 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P)

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, bán kính bằng 5 và cắt (P) theo một đường tròn có chu vi bằng 6π

+) Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận vtpt của (P) làm vtcp, do đó

+) Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên I(1+ 2t;−2−2t;1+t)

Bán kính đường tròn giao tuyến: 2πr = 6π ⇒ r = 3 ⇒ d(I;(P)) = R2−r2= 52−32= 4

Câu 9 (0,5 điểm). Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 Lấy ngẫu nhiên một số từ M, tính xác suất để được một số chia hết cho 3

Không gian mẫu là số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0, có

Ω = A9

3= 504 Gọi A là biến cố lấy được một số chia hết cho 3

Để tìm số phần tử của A ta tìm số các số tự nhiên thuộc M chia hết cho 3

Để đơn giản ta chia tập hợp các số từ 1 đến 9 thành 3 nhóm;

Nhóm 1 gồm các số chia hết cho 3 (3,6,9); nhóm 2 gồm các số chia cho 3 dư 1 (1;4;7); nhóm 3 gồm các số chia cho 3 dư 2 (2;5;8)

Một số thuộc M chia hết cho 3 nếu

14

Trang 39

Câu 10 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực thoả mãn (b−3)(c−3) ≠ 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

IC.GC c.mc ) , trong đó G là trọng tâm tam giác ABC và ma,mb,mctưng ứng là

độ dài đường trung tuyến kẻ từ A,B,C

+) Sử dụng bất đẳng thức AM –GM cho hai số thực không âm ta có:

Định dạng
Số trang	149
Dung lượng	34,14 MB