Chuyên đề 7 và 8 hình không gian

Phương pháp tỉ số thể tích Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó: Gọi S là diện tích của đa giác H và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt

CHUYÊN ĐỀ 7 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Quan hệ song song và vuông góc trong không gian:

(Q) d

(P)

a

Cho đường thẳng a song song mp(P) Mọi mặt phẳng qua a và cắt mp(P) theo giao tuyến d thì d song song a

/ /( )

/ / ( ) ( )

a

b

(P)

Cho hai đương thẳng song song a và b

Mọi mặt phẳng qua a và mặt phẳng qua b nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d thì

d song song a và b

/ / b (P)

/ / / / (Q)

( ) ( )

a a

d a b b

(P)

b a

d

Đường thẳng d vuông góc vơi mp(P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp(P)

Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc mp(P)

(Q)

d

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc nhau khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia

( ) ( ) ( )

O d'

d

a )

Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ hơn

90o

'/ /

( , ) ( ', ) '

a

)

Góc giữa đương thẳng và mặt phẳng là góc nhỏ hơn 90o

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng

)

Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhỏ hơn 90oGóc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm

 ( ), (Q) P     a b ,

(P)

(Q) (R)

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

d A  , (P)   AH

a

(P) H

A Khoảng cách giữa đường thẳng song song với

mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng

d a P  , ( )   d A P  , ( )   AH

(P) H

A

(Q)

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

A (P)

d

a d' H

A (P)

TH2: Nếu a, d không vuông góc Cách 1:

- Xác định mp(P) chứa a và song song d

- Tìm hình chiếu d’ của d lên mp(P), d’ cắt a tại A

- Từ A hạ AH vuông góc d khi đó AH chính là đoạn vuông chung của a và d

Cách 2:

- Xác định được hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc nhau chứa a và d

- Giao tuyến b của 2 mp(P) và mp(Q) cắt

a tại A, hạ AH vuông góc d

- Khi đó AH là đoạn vuông chung

Thể tích

Thể tích hình chóp có đáy là đa giác lồi bất kì:

1 3

Phương pháp tỉ số thể tích

Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB,

SC lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó:

Gọi S là diện tích của đa giác H và S’ là diện

tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P)

Các tính chất và định lý về hình học phẳng thường được sử dụng:

Tam giác:

Tính chất trọng tâm:

Nếu G là trọng tâm tam giác thì G chia các

trung tuyến theo tỉ lệ 1:2

Tính chất đường trung bình:

Định lí: M là trung điểm cạnh AB, N là trung

điểm cạnh AC thì MN song song và bằng một

Định lí: M là trung điểm AB, N trên cạnh AC

nếu MN song song AB thì N là trung điểm

Tam giác đều cạnh a

- O là tâm của tam giác ABC : là trọng tâm,

trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm

đường tròn nội tiếp

- Chiều cao của tam giác đều: 3

a

O A

Tam giác cân: AB  AC B, C

- Đường trung tuyến từ đỉnh cân đồng thời

là đường cao và là đường phân giác

- Tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn

nội tiếp nằm trên AM

a

b h

a

b h

Hình bình hành

- Có các cặp cạnh đối song song và

bằng nhau

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung

điểm của mỗi đường

- Diện tích S h a

O a

Hình thoi

- Có các cạnh bằng nhau

- Có 2 đường chéo vuông góc và

cắt nhau tại trung điểm của mỗi

' '' '' '

- Trong không gian:

Tương tự như trong mặt phẳng Cho 2

B' B

A' A

a

b

c

Các bài toán về thể tích và góc:

Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

Phương pháp chung:

- Xác định hình chiếu H của S lên mặt

phẳng đáy

- Khi đó góc giữa cạnh bên bất kì là góc

giữa cạnh đó và hình chiếu của nó

Ví dụ: SB với mặt phẳng đáy chính là

D

C B S

- Kẻ SM vuông góc giao tuyến suy ra HM

cũng vuông góc giao tuyến

- Khi đó góc giữa mặt bên và mặt đáy

chính là góc SMH

A

D

C B S

M

- Nếu SA vuông góc đáy thì A là hình

chiếu của S lên mặt phẳng đáy

- Nếu hình chóp đều hoặc có cách cặp cạnh

bên bằng nhau thì tâm O của đáy chính

là hình chiếu của S

- Sử dụng góc lượng giác trong tam giác

vuông để tính đường cao

Các bài toán về thể tích:

Dạng toán cơ bản để lấy 0,5 điểm trong đề thi

Các em cần xác định được góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy :

Bước 1 : Xác định hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng đáy

Bước 2 : Góc giữa cạnh bên và đáy : ta nối hình chiếu và giao điểm cạnh bên và

đáy Góc giữa mặt bên và đáy : từ hình chiếu hạ vuông góc với giao tuyến của mặt bên và mặt phẳng đáy

Sử dụng các công thức về cạnh và góc để tính độ dài cạnh và diện tích

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA vuông góc đáy các

cạnh AB=a, BC=2a Tính thể tích khối chóp trong các trường hợp sau :

a) SB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60o

b) Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45o

b) Hạ AH vuông góc BC ta suy ra SH vuông góc

BC ( Định lý 3 đường vuông góc) Khi đó góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc giữa hai đường thẳng SH và AH:  SHA45o

Áp dụng định lý về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC :

2 3

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có O là giao điểm AC và BD, SO=2a Tính thể tích

khối chóp S.ABCD trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 45o

b) Các mặt bên tạo với mặt đáy một góc 45o

a) Ta có S.ABCD là hình chóp đều nên:

SA=SB=SC=SD suy ra SO vuông góc đáy Suy ra O là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy Các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 45o

Ta có: SAOSBOSCOSDO 45o Suy ra: AOSO.tan 45o 2aAC2AO4a

Suy ra SM vuông góc AD (Đ.lý 3 đường v.góc) Suy ra góc giữa mặt bên (SAD) và mặt đáy là góc giữa SM và MO  SMO45o

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Mặt phẳng

(A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60o Tính theo a thể tích lăng trụ

Giải:

C

B' A'

C'

M

Ta có ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên AA’

vuông góc mặt phẳng (ABC) suy ra A là hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC)

Từ A hạ AM vuông góc BC suy ra M là trung điểm BC ( Do ABC là tam giác đều)

Suy ra góc giữa mp(A’BC) và mp(ABC) là góc giữa A’M và AM  AMA'60o

C' H

Ta có H là hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) nên suy ra A’H vuông góc mp(ABC) Suy ra góc giữa A’C và mp(ABC) là góc giữa A’C và HC  A CH' 60o

Tam giác ABC vuông tại C nên ta có :

1

23

1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB=BC=a, SA

vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:

a SB bằng 2a

b SC tạo với đáy một góc 45o

c Mp(SBC) tạo với đáy một góc 45o

2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB=AC=a, SA

vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:

a SB tạo với đáy một góc 45o, khi đó SBC là tam giác gì ?

b Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o

3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp trong các thường hợp sau:

a SB tạo với đáy một góc 60o

b Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o

4 Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài các cạnh đáy bằng a Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:

a Cạnh bên có độ dài bằng a 3

b Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60o

c Các mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60o

5 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a, đỉnh S cách đều 3 điểm A, B,

C Gọi O là tâm của tam giác ABC, chứng minh rằng SO vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:

a SA tạo với đáy một góc 30o

b Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o

6 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABa ABC, 60o, SA vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:

a SB tạo với đáy một góc 60o

b Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o

7 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, ABa BAC, 60o, hình chiếu của đỉnh S trên mp(ABC) là trung điểm của AC Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:

a Cạnh SA có độ dài bằng 2a

b Cạnh SB tạo với đáy một góc 60o

c Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o

d Mp(SBC) tạo với đáy một góc 45o

8 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại đỉnh A, SA=SB=SC Có

, AC 2a

ABa  , tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau :

a Tam giác SAB là tam giác đều

b Cạnh SA tạo với đáy một góc 60o

c Mp(SBC) tạo với đáy một góc 30o

9 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mp(SAB) vuông góc đáy và SAB

là tam giác cân tại S Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau :

a SC tạo với đáy một góc 60o

b Mp(SAC) tạo với đáy một góc 45o

10 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, M là trung điểm BC Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trung điểm AM, mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích hình chóp

11 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A AB=AC=a, tam giác SBC đều

và tạo vơi mặt phẳng đáy một góc 60o Tính thể tích hình chóp

12 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm H nằm trên AB sao cho

AH2BH và SH vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau :

a Tam giác SAC cân tại C

b SAC tạo với đáy một góc 60o

13 Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o, SBC là tam giác vuông cân tại S và SB=SC=a Tính thể tích hình chóp

14 Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc  , SAB là tam giác đều cạnh a và ABC là tam giác cân tại C Tính thể tích hình chóp theo a và 

15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:

a SC tạo với đáy một góc 60o

b Mp(SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o

c Mp(SCD) tạo với đáy một góc 60o

16 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có cạnh ABa, ACa 3 SA vuông góc đáy tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:

a SC tạo với đáy một góc 30o

b Mp(SCD) tạo với đáy một góc 45o

17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, đỉnh S cách đều các đỉnh A, B,

C, D Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:

a Mặt bên tạo với đáy một góc 45o

b Góc giữa mp(SAB) và mp(SCD) là 30o

18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC 120o có SA=SC, SB=SD Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích hình chóp

19 Cho hình chóp S.ACBD có đáy là hình chữ nhật AB=2AC=2a, SA=SB=SC=SD

Mp(SAB) vuông góc mp(SAC) Tính thể tích hình chóp

20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có BAC 30o, SAB là tam giác đều cạnh a Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau :

a SD tạo với đáy một góc 60o

b Mp(SAD) tạo với đáy một góc 60o

21 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC 30o cạnh bên AA’=a Mp(ABC’) tạo với đáy một góc 60o Tính diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ

22 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại A, AA’=AB=AC=a

Mp(A’BC) tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích lăng trụ

23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính thể tích :

a Hình chóp A’.ABCD

b Khối đa diện A’B’C’.ABCD

24 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, A’ cách đều 3 đỉnh tam giác ABC Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp :

a Cạnh bên tạo với đáy một góc 60o

b Mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 60o

25 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2BC Hình chiếu của A’ lên mp(ABC) là trung điểm cạnh AC và AA’=2a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau :

a Mp(A’BC) tạo với đáy một góc 45o

b Mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 45o

26 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, các cạnh bên hợp với đáy một góc 60o Hình chiếu của đỉnh A’ lên mp(ABCD) nằm trên cạnh AC, AA’=2a Tính thể tích hình hộp trong các trường hợp sau :

a Cạnh AC=2a và mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 60o

3

chop chop dinh day day dinh day

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc đáy

và SA=a Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Kẻ AM vuông góc BC suy ra M là trung điểm BC

Và góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc giữa SM

và AM SMA45oSuy ra

Bài toán liên quan khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

1 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ S đến mp(ABC)

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD 3

2

a

 hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD)

3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC 30o, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

4 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB, góc giữa A’C và mặt đáy bằng 60o

Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC’A’)

5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

6 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, ADa 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và

BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 60o Tính thể tích khối lăng trụ đã chó và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a

7 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA’a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C

8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,

120o

BAD  , M là trung điểm cạnh BC và SMA45o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

9 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AD vuông cân, A’C a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a

10 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC) Biết SB2a 3 và SBC30o Tính thể tích khối chớp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

11 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)

12 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AC=a, ACB 60o Đường thẳng B’C tạo với mặt phẳng (ACC’A’) một góc 30o Tính thể tích lăng trụ theo a và khoảng cách giữa điểm C’ và mặt phẳng (AB’C)

Các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích :

13 Cho tình chóp S.ABC có AB, AC, SA đôi một vuông góc M, N lần lượt là trung điểm

SB và SC Tính:

a Thể tích hình chóp S.AMN biết AB=AC=SA=a

b Mp(AMN) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó

14 Cho hình chóp S.ABC có điểm M là trung điểm SA Mặt phẳng qua M và song song mp(ABC) cắt SB tại N, SC tại P Tính:

a Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.ABC

b Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.AMN

15 Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC tại C’, cắt SB tại B’ chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích giữa 2 phần đó

16 Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng (P) qua SG và song song với AB chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó

17 Cho tứ diện đều ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm trên cạnh SA sao cho SN=3NA Mp(NGB) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần

b Điểm N trên cạnh BD và BD=3BN, mặt phẳng qua N và vuông góc CD chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó

19 Cho hình chóp S.ABC có điểm M trên SA sao cho AM=2SM, N trên SB sao cho

BN=2SN Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chí khối chóp thành 2 phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành, M là trung điểm SB Mặt phẳng qua

AM là song song với BC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó

21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là điểm trên cạnh SB Mặt phẳng qua AM và song song BD chia hình chóp thành 2 phần Tính tỉ số thể tích giữa hai phần

đó trong các TH sau:

a SM=2MB

b M là trung điểm SB

22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có AD//BC, mặt phẳng qua AD song song

BC cắt SB tại M, cắt SC tại N chia hình chóp thành hai phần bằng nhau Tính tỉ số SM

SB

23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (P) qua AB cắt SC, SD tại

M và N chia hình chóp thành hai phần bằng nhau Tính tỉ số SM

SC

24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB,

SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính tỉ số thể tích của S.AB’C’D’ và S.ABCD

25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SA=a Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB tại B’, SC tại C’, SD tại D’ Tính tỉ số thể tích giữa hai hình chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD

26 Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành M, N, P lần lượt là trung điểm AB,

AD, SC Chứng minh mp(MNP) chia hình chóp thành hai phần bằng nhau

27 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều a, SA vuông góc đáy và SA=2a M là trung điểm SB Mặt phẳng qua AM song song BC cắt SC tại N Tính thể tích hình chóp S.AMN và khoảng cách từ A đến mp(SBC)

28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SB tạo với đáy một góc 45o Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB tại B’, SC tại C’, SD tại D’ Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’và:

a Khoảng cách từ S đến mp(AB’C’D’)

b Khoảng cách từ B’ đến mp(SAC)

29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA vuông góc đáy SA=AB=a, AC=2a Điểm M là trung điểm SA và N trên SB thõa mãn SN=2NB, mặt phẳng (P) qua MN và song song AD cắt SC tại P, SD tại Q

a Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được chia bởi mp(P) Từ đó suy ra thể tích S.NMPQ

b Tính khoảng cách từ C đến mp(MNPQ)

30 Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a Điểm C’ là trung điểm SC, mặt phẳng qua AM và song song BD cắt SB tại B’, SD tại D’ Tính thể tích khối đa diện B’C’D’.ABCD và khoảng cách từ giao điểm O của AC và BD đến mp(AB’C’D’)

Các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

31 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB Góc giữa đường thẳng

SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

32 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC)

và (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm

AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

và SHa 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

34 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại

A, AB a, ACa 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’

35 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

BÀI TOÁN TỔNG HỢP

VD 1 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc ABC 60 o Hình chiếu

vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD, biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60 o Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

và mặt đáy (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ trọng tâm G của mp(SAB) đến mp(SCD)

Đáp số: 3    

2 39 , ,

VD 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của S

lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Cạnh SD tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SBC) Đáp số: 3    

VD 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S,

hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD Gọi M là trung điểm của AB Biết rằng SA=2 3a và đường thẳng SC tạo với đáy một góc o

30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC)

VD 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M,N và P lần lượt là trung

điểm các cạnh AB, AD và DC Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết SH ABCD ,SH a 3  Tính thể tích khối chóp S.HDC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP)

VD 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB=2a, BD= 3AC , mặt bên SAB là

tam giác cân dỉnh A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm

H của AI Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và

VD 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 4a, góc ABC 60  0, H là hình

chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) là trung điểm của OA, góc giữa mp(SCD) và đáy (ABCD) bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc tạo bởi OA và (SCD)

12 3, cos ,( )

4

VD 8 Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D / / / / có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA /  a , hình

chiếu vuông góc của A / trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm I của AB Gọi K là trung điểm của BC Tính theo a thể tích khối chóp A IKD / và khoảng cách từ I đến A KD / 

VD 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, tam giác SAC có SA a, 

SC a 3  và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

và tính cosin góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABC)

VD 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

VD 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, tam giác SBC vuông tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (SBC) một góc 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa hai (SBD) và (ABCD) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SG

VD 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB  a, AD  2a, BAD  60 0, SC

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , SA hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 450

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

VD 13 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB  2BC  2a, SA vuông góc với

(ABCD), góc giữa (ABCD) và SC bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM với AC, M trung điểm của BC

VD 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , biết AB a,AD   2a , M là điểm

trên cạnh AB sao cho MA = 2MB , tam giác SMO cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD Biết mặt bên (SBC) hợp với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 600

Tính thể tích khối chóp S.AMOD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CD theo a

VD 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA vuông góc với đáy ABCD , biết

AB a,AD a 3   , góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

vuông góc của C' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C'G

VD 18 Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại C, AB = 2a, cạnh bên AA' a 3 

Đỉnh B' có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 600

Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABB'A')

Đáp số: 3 3 3, cos 3

a

VD 19 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cóAB a,BC 2a,   0

ABC 60  , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC)

Đáp số: 3  

'.

2 51 , ,( ' )

A ABC

VD 20 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông tại AAB a, BC 2a   Hình chiếu vuông goác

của A' trên mp(ABC) trùng với trung điểm của AC.Góc giữa 2 mp (BCC'B') và (ABC) bẳng

600.Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA' và BC

VD 21 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giácABC vuông tạiC.Mlà trung điểm của A'C'

Biết AC a,BC a 3 ; mặt phẳng (ABC') hợp với mặt phẳng (ABC) góc 60 0 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách AM và BC' theo a

VD 22 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a (a > 0)

.Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AB.Góc của đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC) có số đo bằng 450

Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’, A’C

Đáp số: 3  

' ' '

2 3 , ;

3

ABC A B C

a

V a d BB A C   

VD 23 Cho hình lăng trụ ABC / / /

A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A và góc o

ABC  30 Biết M

là trung điểm của AB, tam giác /

MA C đều có cạnh a và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC / / /

A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC,BB /

VD 24 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' , BB' = a góc giữa BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tam

giác ABC vuông tại C , 0

BAC 60  Hình chiếu vuông góc của B' trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích tứ diện A'ABC và khoảng cách giữa AC và BB' theo a Đáp số: 3  

VD 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên

mặt phẳng đáy là trung điểm H của AB Đường trung tuyến AM của tam giác ACD có độ dài bằng a 3

2 , góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 30 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Đáp số: 3 3, 3

VD 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và tính thể tích , diện tích mặt cầu đó

VD 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , AB 2a,AD 2a 3   , các cạnh

bên bằng nhau và bằng 3a , gọi M trung điểm của OC Tính thể tích khối chóp S.ABMD và diện tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SOCD

VD 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bến SAB là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABCD ?

VD 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , góc ABC = 60 , SA = SB = SC , chiều cao

của hình chóp là a , góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60 Tính thể tích S.ABCD Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACB , S.ACD Tính khoảng cách từ D đến (SBC)

VD 32 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC = 60 SA vuông góc với

ABCD , góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60o

Tính thể tích khối chóp S.ABCD Xác định tâm

và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC , SABD , SBCD

VD 34 (A – 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 3a

SD 2

 , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Đáp số: 3    

2 , ,

VD 35 (B – 2014) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng

(ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng đáy bằng 60 0 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ điểm B đến (ACC'A').

VD 36 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B' C' có AA' a 2 , đường thẳng B ' C tạo với mặt phẳng

ABB' A' một góc 45 o Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC

VD 37 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tam giác ABC là tam giác vuông tại A có

AB a,  BC  2a Gọi M trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của A' trên mp(ABC) là trung điểm của AM Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC'A') bằng 600 Tính thể tích lăng trụ

và khoảng cách giữa hai đường thẳng B'M và AC

VD 38 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết AB 2a,AC 2a 3   Gọi I

trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn AI, biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của hai đường thẳng SB và AC

VD 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a,AD   2a, có SA vuông góc

với đáy ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SB Biết khoảng cách giữa SB và

VD 41 Cho hình trụ có đáy là hình tròn tâm O và O ' Gọi A, B là hai điểm lần lượt thuộc hai đường

tròn (O) và (O ') Dựng đường sinh BB' Biết thể tích của hình trụ là a3

6 Tính bán kính đáy và đường cao của hình trụ

VD 42 Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a.Tính

diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đó Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc 0

60 Tính diện tích thiết diện được tạo nên

VD 43 Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình

nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO 30  0 , SAB 60  0 Tính diện tích xung quanh hình nón

Đáp số: 2

3.

xq

S  a

VD 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, biết AD  DC a  ,

AB 2AD  , mặt bên SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SA và BC

VD 45 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  2a, BC  4a Hình

chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của AC Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC

 Bước 1: Ráp trục tọa độ vào bài toán hình không gian

 Bước 2: Suy ra tọa độ của các đỉnh, các điểm trên hệ trục vừa ghép

 Bước 3: Tùy vào yêu cầu của bài toán ta viết thêm phương trình đường thẳng, phương

 Ta thường ghép trục để tính khoảng cách và góc trong bài toán hình không gian

II Các bài toán ghép trục thường gặp và cách suy ra tọa độ của các đỉnh

Các bài toán thường gặp Cách ghép trục