Đề thi thử THPT môn Toán 2016 đề 2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m=1.. Giải các phương trình, hệ phương trình sau 1.. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng A1B1C1 thuộc đường thẳng B1C1.. Tín

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 LỚP 12

NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=x3−3(m+1)x2 +9x−m, với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m=1

2 Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1− =x2 2

Câu II(3 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau

1 1 3 cos+ x+cos 2x−2 cos 3x=4 sin sin 2x x

3

4

1 log

x x

x

−

3

3

x y x y y





n n n

S

−

−

Câu IV(1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a , góc tạo bởi cạnh

bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1

và B1C1 theo a

Câu V(1 điểm) Tính giới hạn

3 2 2 2

4

x

L

x

→

=

−

Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C1) :x2+y2 =13và đường tròn (C2) : (x−6)2+y2 =25 cắt nhau tại A(2; 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và lần lượt cắt (C1), (C )2 theo hai dây cung phân biệt có độ dài bằng nhau

Câu VII( 1 điểm) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn điều kiện a b c+ + =1 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 3 1 1 1

P

ab bc ca

=  −  −  − 

-Hết -

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam ĐÁP ÁN KHẢO SÁT TOÁN LẦN 1, LỚP 12, NĂM HỌC 2015_2016

Cho hàm số y=x3−3(m+1)x2 +9x−m, với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m=1

Với m=1 ta được y=x3−6x2+9x−1

*TXĐ: D=ℝ

0,25

* Sự biến thiên của hàm số

Giới hạn tại vô cực

lim

lim

x

x

y

y

→−∞

→+∞

= −∞

= +∞

Chiều biến thiên

) 3 4 ( 3 9 12 3 '= x2− x+ = x2 − x+

y

0

3

x y

x

=



=



0,25

Bảng biến thiên

x −∞ 1 3 +∞

'

y + 0 - 0 +

y 3 +∞

−∞ -1

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞,1) và (3,+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng(1, 3)

Hàm số đạt cực đại tại x=1 và y CD = y(1)=3;

Hàm số đạt cực tiểu tại x=3 và y CT =y(3)=−1

0,25

Câu I.1

(1 đ)

* Đồ thị

( Tìm được các điểm đặc biệt và vẽ đúng dạng đồ thị)

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

f x ( ) = x ( ( ⋅ x ⋅ x-6 ⋅ x ⋅ x ) +9 ⋅ x ) -1

0,25

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1− =x2 2

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 ⇔Phương trình y'=0 có hai nghiệm

pb là x1, x2 ⇔ Pt x2 −2(m+1)x+3=0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

2

' ( 1) 3 0

(1)

m m m

 > − +

< − −



0,25

Với ĐK (1), theo định lý Viet ta có: x1+x2 =2(m+1);x1x2 =3

2

2

4 1 12 4

m

2

( 1) 4 3 (2) 1

m m m

= −



=



0,25

Câu I.2

(1 đ)

Từ (1) và (2) ta được: 3

1

m m

= −



 =

 TMYCBT

0,25

Câu

Giải phương trình 1 3 cos+ x+cos 2x−2 cos 3x=4 sin sin 2x x(1)

(1)⇔ +1 3 cosx+cos 2x−2 cos 2( x+x)=4 sin sin 2x x

0,25

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

⇔1 3 cos+ x+cos 2x−2 cos cos 2( x x−sin sin 2x x)=4 sin sin 2x x

⇔1 3 cos+ x+cos 2x−2 cos cos 2( x x+sin sin 2x x)=0

⇔1 3 cos+ x+cos 2x−2 cosx= ⇔0 1 cos+ x+cos 2x=0 0,25 ⇔ 2

2 cos x+cosx =0

⇔

cos 0

1 cos

2

x

x

=







0,25

II.1

(1 đ)

2 2 3

k



= +



∈



 = ± +



Giải phương trình ( 3 ) 9

3

4

1 log

x x

x

−

ĐKXĐ:

0

3 (*) 1 9

x x

x



 >



≠





 ≠



0,25

Với ĐK (*), ta có :

log 9 1 log

x

−

1

x

−

0,25

Đặt: t=log3x( ĐK: 1 (**)

2

t t

≠





≠ −

Khi đó phương trình (2) trở thành:

2

1

1

4

t t

t

t t

 ≠

= −



⇔ =

0,25

Câu

II.2

(1 đ)

1 3 81

x

x



=



⇒



=



0,25

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

So sánh điều kiện được 2 nghiệm 1; 81

3

x= x=

Giải hệ phương trình

3

x y x y y







2

x y x

≥





≥

Đặt a x y

= +







(ĐK: b≥0)

Thay vào phương trình (2) ta được:

2

4

4 (3)

a b

⇔ = +

0,25

Ta có: (1)⇔ y3+ =y ( x− +2 1)3+( x− +2 1)

Xét hàm số: f t( )= +t3 t đồng biến trên ℝ

Do đó ta có: y= x− +2 1 (4)

0,25

Câu

II.3

(1 đ)

Từ (3) và (4) ta được:

⇔

3 2

x y



− = −





− = −



=



=



Kết hợp với điều kiện (*), ta được: 3

2

x y

=





=

 là nghiệm của hệ phương trình đã cho

0,25

Câu III

1

n n n

S

−

−

0,25

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

Ta có

1 1

1 !

+ +

+

Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được: ( )

2 2

+ +

=

0,25

Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có

( )

1

n n

n n

+

+

0,25

( )

1

1

1

n n

n

−

Vậy

n S

−

=

0,25

Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a , góc tạo bởi

cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 0 Hình chiếu H của điểm A trên mặt

phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính thể tích khối lăng trụ

ABC.A 1 B 1 C 1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và B 1 C 1 theo a

Do AH ⊥(A1B1C1) nên góc AA H là góc giữa AA1 1 và (A1B1C1), theo giả thiết

thì góc AA H bằng 301 0

0,25

Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA H =301 0

2

a AH

ABC A B C A B C

a

0,25

Câu IV

(1 đ)

Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA H =301 0

2

3

1

a H

C

C1

B1

K

H

A1

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

giác A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B1C1 và

2

3

1

a H

A = nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác AH ⊥B1C1 nên B1C1 ⊥(AA1H)

Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và

B1C1

0,25

Ta có AA1.HK = A1H.AH

4

3

1

AA

AH H A

Tính giới hạn

3 2 2 2

4

x

L

x

→

=

−

3 2 2

2

lim

4

x

L

x

→

=

−

0,25

2

2

1 lim

( 2)( 6 2) 1

16

x

→

−

=

= −

0,25

2 3

1 lim

1 12

x

→

=

=

0,25

Câu V

(1 đ)

7 48

L

Câu VI

(1 đ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C1) :x2+y2 =13và

đường tròn (C2) : (x−6)2+y2 =25 cắt nhau tại A(2; 3) Viết phương trình

đường thẳng đi qua A và lần lượt cắt (C1), (C )2 theo hai dây cung phân biệt

có độ dài bằng nhau

Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C1) và (C2) lần lượt là M và

N

Gọi M x y( ; ) 2 2

1

(C) x y 13

∈ ⇒ + = (1)

0,25

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

Vì A là trung điểm của MN nên N(4−x; 6−y)

2

(C ) (2 x) (6 y) 25

0,25

Từ (1) và (2) ta có hệ

2 2

2 3

6 5

x y

x

y

 =





=





⇔

 =





⇒ M( 17

5

−

; 6

5)

0,25

Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình: x−3y+ =7 0 0,25

Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn điều kiện a b c+ + =1 Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 3 1 1 1

P

ab bc ca

=  −  −  − 

Đặt A=P3

Ta có:

A

0,25

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân có :

2

2

ab

≥

Tương tự có: (1 ) (1 )(1 )

1

2

(1 ) (1 )(1 )

1

2

0,25

Do đó

2

8

A

     

0,25

Câu

VII

(1 đ)

Mà:

3 3 3

0,25

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

Do đó min P = 8 đạt được khi a = b = c = 1

3