Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC.. Chọn ngẩu nhiên một số từ A.. Tính xác suất để số được chọn có các chữ số khác chữ số 0 và tổng các chữ số là
Trang 1
www.DeThiThuDaiHoc.Com
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (THPT QG) NĂM 2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số y =x3 −3x2 +1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số
b) Tìm m để phương trình x3 −3x2 +1=m có ba nghiệm thực phân biệt
Câu 2.(1 điểm)
a) Giải phương trình: sin2x+4cos( π −x)=0
b) Tính môđun của số phức z biết
2
3 1
2
i
i
+
+
−
Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: log25 x+log5x−2=0
= + +
= +
−
− +
3 2 2
3
3
1 1
3
y xy y x x
x
y y
y x
0
5
cos 1
π
Câu 6.(1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=2a,AC=a,AA’ = 3a
Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC
Câu 7.(1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường tròn
10
2
2 +y =
x ,đỉnh C thuộc đường thẳng x+2y−1=0.Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên AC Biết rằng
các điểm N
−
5
1
; 5
3 ,P(1;1) lần lượt là trung điểm của AM ,CD đồng thời B có hoành độ dương,C có tung độ âm.Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
4
15 4 2
2 2
2 + y +z −x− y+ z− =
mặt phẳng (P):2x−y+2z+13=0.Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ( )S Viết phương trình mặt phẳng (Q)
song song với mặt phẳng (P) đồng thời tiếp xúc với ( )S
Câu 9.(0,5 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ các chữ số
0,1,2,3,4,5,6 Chọn ngẩu nhiên một số từ A Tính xác suất để số được chọn có các chữ số khác chữ số 0 và tổng các chữ số là 8
Câu 10.(1 điểm) Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: log2a+log8b3 +log32c5 =0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
2
1
1 1
1 1
1
c b
a
P
+
+ +
+ +
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 2DeThiThuDaiHoc.Com
Đ ÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Môn: TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm 4 trang)
a (1,0 điểm)
+) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:y'=3x2 −6x,y'=0⇔ x=0∨x=2
Giới hạn:
xlim y
→+∞ = +∞ ,
xlim y
→−∞ = −∞
0,25
Bảng biến thiên:
+∞
−∞
+∞
−∞
Hàm số đồng biến trên các khoảng(−∞;0) và (2;+∞),nghịch biến trên khoảng ( )0;2
Hàm số đạt cực đại tại x=0,y CĐ =1,hàm số đạt cực tiểu tại x=2,y CT =−3
0,25
+) Đồ thị
Đồ thị hàm số đi qua các điểm
(0;1),(1;-1),(2;-3)
Đồ thị đối xứng qua điểm I ( 1; -1)
0,25
b (1,0 điểm)
Số nghiệm của phương trình x3 −3x2 +1=m chính là số giao điểm của đồ thị ( )C với đường
1
(2,0
đ iểm)
Từ đồ thị suy ra phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi −3≺ m≺1 0,5
a (0,5 điểm)
2
(1,0
Trang 3=1 i − vậy z = 12+ − ( 1)2 = 2 0,25
3 (0,5 điểm)
Đk: x>0,Pt log52 x+log5 x−2=0⇔(log5x−1)(log5 x+2)=0 0,25
3
(0,5
đ iểm)
) ( 25 1
5 2
log
1 log
5
5
TM x
x x
x
=
=
⇔
−
=
=
⇔
0,25
Đk: x≠0
Ta có x3+x2y+xy2 =3y3 ⇔(x−y) (x2 +2xy+3y2)=0⇔(x−y)( [x+y)2 +2y2]=0
0
≠
=
⇔ x y do [ (x+y)2 +2y2]=0⇔ x= y=0không thỏa mản
0,5
Với x = ≠ y 0 từ phương trình đầu ta có ( x+3− x)( 1−x+1)=1 ,x∈(0;1]
Khi đó ( x+3− x)( 1−x+1)=1⇔3( 1−x+1) (= x+3+ x) (*) 0,25
4
(1,0
đ iểm)
Ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình (*)
Với 0< x<1 thì 3 ( 1 x − + > 1 ) 3 còn ( x+3+ x)<3 nên (*) vô nghiệm.Vây (*) có
nghiệm duy nhất là x=1 từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = ( ) 1;1
0,25
Ta có I =∫2( + x)dx
0
5
cos 1
π
=∫2 +∫ 0 2
0
5
cos
xdx
Trong đó:
2 0 2
2
0
π π
π
=
=
0
2
0
2
0
2 2 4
5
cos sin 1 cos
cos cos
xdx x
xdx x
5
(1,0
đ iểm)
Đặt t =sinx suy ra dt =cosx.dx, 1
2 , 0
khi đó K = ∫1( )−
0
2 2
1 t dt
15
8 0
1 5 3
2 2
1
5 3 1
0
4
+
−
= +
−
Vậy
15
8
2 +
=π
I
0,25
6
(1,0
đ iểm)
Thể tích khối lăng trụ là
V = AA S ABC AA AB.AC
2
1 '
' ∆ =
= 2 3 3
2
1
3a a a= a
0,5
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 4Gọi M và M' lần lượt là chân đường cao hạ từ A và ' A trong các tam giác ABC , A'B'C'
ta có B'C'⊥(AA'M'M) nên (AB 'C')⊥(AA'M'M).Trong mp (AA'M'M) hạ MH ⊥ AM' thì
) ' ' (AB C
Khi đó d(AB,'BC) =d(BC,(AB'C') ) =d(M,(AB'C") ) =MH
'
1 1
'
1 1
AC AB
MM AM
MM
a a
a a
6 36
49 1
4
1 9
1 1
2 2
2 2
2 = + + = => = Vậyd(AB BC) a
7
6
,' =
0,25
Gọi Q là trung điểm BM thì PCQN là hình bình hành nên NP // CQ,mặt khác Q là trực tâm trong
=
5
4
; 5
8
NP là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng BN nên phương trình đường
5
1 5
4 5
2 5
− +
độ B là nghiệm của hệ
=
−
=
∨
−
=
=
⇔
= + +
−
−
=
⇔
= +
= + +
5 13 5 9 3
1 0
9 4 5
2 1 10
0 1 2
2 2
2
y
x y
x x
x
x y
y x
y x
suy ra B(1;−3) vì B có hoành độ dương
0,25
Gọi C(1−2c;c) ta có CB=(2c;−3−c),CP=(2c;1−c) do CB⊥CP nên CP.CB=0
5
do C có tung độ âm nên C( )3;−1
0,25
7
(1,0
đ iểm)
Suy ra D(−1;3) , A(−3;1)
Mặt cầu có tâm
−2
; 1
; 2
1
4
15 4 1 4
1
= + + +
=
Do Mp ( )Q song song với mp ( )P nên phương trình có dạng 2x−y+2z+D=0,D≠13 0,25
( )Q tiếp xúc với (S nên ) ( ) 3
9
4 1 1
) ( =R=> − − +D =
8
(1,0
đ iểm)
⇔ − = ⇔ = ∨ = − , do D≠13 nên ta lấy D=−5 vậy phương trình cần tìm là
0 5 2
Trang 5abc có các chữ số khác chữ số 0 và tổng các chữ số là 8 Xác suất cần tìm là
15
1 180
12 =
=
p
Từ giả thiết suy ra a,b,c>0và a.b.c=1, không mất tính tổng quát ta giả sử a=max{a ,,b c}
Ta chứng minh
bc c
2 1
1 1
1
2
2
2 3 1
2 1
1
+
+
2 2
2 2
2 2
1 1
1
1 1
1 )
1
1 1
1 ( 2
1
c b
c b
c b
c
+ + +
= +
+ +
≤ +
+ +
( )
( )( ) ( ( ) )
2
1 bc
+
+
≤ +
+
4 )
1
1 1
1
2
2 1
1 1
1
2 2
0,25
10
(1,0
đ iểm)
Với (2) ta có
a
a ≤ +
2 1
1
2 =>
2
2 3 1
2 1
2 1
2 1
1
+
+ +
≤ +
+
+
+
3 1
2 1
1
bc
2
3
0 1
2 1
1
≥ +
−
a a a
a
a a
a
+
+
− +
= +
− +
+
⇔
1 2
1 2 2 3 1 1
2 1
2
3 1
=
1 2
) 1 2
≥ +
+
−
a
a a
đúng,
Suy ra
2
2 3 1
2 1
1
+
+
Cộng (1) và (2) theo từng vế ta có :
2 2
1
1 1
1
b
a + +
2 3 1
1
2 ≤ +
+
c
dấu bằng khi a=b=c=1
Vậy giá trị lớn nhất của P là
2
2 3
0,25
- Hết -
www.DeThiThuDaiHoc.com
