Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng ∆ sao cho tam giác ABC vuông tại B.. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và mặt phẳng A
Trang 1SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 - LỚP 12
NĂM HỌC 2015-2016
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm): Cho hàm số 2
1
+
=
−
x y
x có đồ thị kí hiệu là ( )C
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho
b) Tìm m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=2 2
Câu 2 (1,0 điểm):
a) Cho 0
2
π α
− < < và cos 3
5
α = Tính giá trị của biểu thức: cos sin
b) Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ Chọn ngẫu nhiên 5 bạn tham gia biểu diễn, tìm
xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số bạn nam nhiều hơn số bạn nữ
Câu 3 (1,0 điểm):
a) Giải phương trình:
1
+
− x x =
b) Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) 3 ( )
4
Q a b a b b , biết rằng a, b là các số thực
dương khác 1
Câu 4 (1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x.logx trên khoảng (0;10)
Câu 5 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆:y− =2 0 và các điểm (0; 6), (4; 4)
A B Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng
∆ sao cho tam giác ABC vuông tại B
Câu 6 (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB=2a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và mặt
phẳng (ABCD bằng ) 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa đường thẳng 0
AC và mặt phẳng (SAB)
Câu 7 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp
là 3 1;
2 16
I , tâm đường tròn nội tiếp là (1; 0)J Đường phân giác trong góc BAC và đường phân giác
ngoài góc ABC cắt nhau tại K(2; 8)− Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ
dương
Câu 8 (1,0 điểm): Giải bất phương trình: 1+ 4x2+20≤ +x 4x2+9
Câu 9 (1,0 điểm): Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy+ ≤1 y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
3
+
− +
P
x y
x xy y
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……….……….…….….….; Số báo danh:………
Trang 2SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC
(Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)
ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2, NĂM HỌC 2015-2016
Môn : Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM
I LƯU Ý CHUNG:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của thí
sinh Khi chấm nếu thí sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó
- Nếu thí sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm
- Thí sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó
không được điểm
- Trong lời giải câu 6 và câu 7 nếu thí sinh không vẽ hình thì không cho điểm
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
II ĐÁP ÁN:
1 a
Khảo sát hàm số 2
1
+
=
−
x y
* TXĐ: D=ℝ\ 1{ }
* Giới hạn, tiệm cận:
→+∞ = →−∞ = ⇒ = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
→ = +∞ → = −∞⇒ =
x y x y x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
0.25
x x
x x , suy ra hàm số nghịch biến trên các
khoảng (−∞;1) & (1;+∞)
0.25
*BBT:
x y’
y
-1
1
+∞
-∞
1
-x y’
y
-1
1
+∞
-∞
1
-0.25
*Đồ thị
0.25
Trang 3
4
2
-2
-4
5
y
x
O 1
-2 1
b Tìm m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2 2
=
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: y=-x+m là:
2
x
x m
0.25
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
2 2
4 8 0(*) 4( 2) 0
− + + ≠
− + >
m m
0.25
Khi đó d cắt (C) tại A x( ;1 − +x1 m B x), ( ;2 − +x2 m , với ) x x là nghiệm phương trình 1, 2
(1) Theo Viet, ta có
0.25
Yêu cầu bài toán tương đương với :
6
= −
=
m
m (thỏa mãn (*))
Vậy m= −2 hoặc m=6
0.25
1,0 điểm Cho 0
2
π α
− < < và cos 3
5
α = Tính giá trị của biểu thức:
0.5
2
π α
5
α = − − α = − Suy ra
cos cos sin sin sin cos cos sin
P
0.25
a
Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ Chọn ngẫu nhiên 5 bạn tham
gia biểu diễn, tìm xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số
bạn nam nhiều hơn số bạn nữ
0.5
2
b
Số cách chọn 5 bạn bất kì là: C125 =729 Để chọn được 5 bạn thỏa mãn yêu cấu bài
toán, ta có hai khả năng sau:
-TH1: Chọn 4 bạn nam và 1 bạn nữ, có 4 1
C C cách chọn
0.25
Trang 4-TH2: Chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ, có 3 2
C C cách chọn
Vậy xác suất cần tìm là: 35 210 245
+
a
Giải phương trình:
1
+
− x x =
Phương trình đã cho tương đương với :
1 3.
+
3−x =3 ⇔ − = ⇔ = −2 4 2
b Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) 3 ( )
4
Q a b a b b , biết rằng a, b là
các số thực dương khác 1
0.5
3
( ) ( 2 )
2
1
a b
a
4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )f x =x.logx trên khoảng (0;10] 1.0
Hàm số đã cho liên tục trên (0;10] Ta có '( ) log 1 log log
ln10
1 '( )= ⇔0 log = −log ⇔ =
BBT:
10 x
f’(x)
f(x)
0
log
e
10 x
f’(x)
f(x)
0
log
e
0.25
Từ BBT ta suy ra
(0;10]
min f x'( )= − e⇔ =x
5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆:y− =2 0 và các điểm
(0; 6), (4; 4)
A B Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm C
trên đường thẳng ∆ sao cho tam giác ABC vuông tại B
1.0
Phương trình đường thẳng AB là: 0 6 6
0.25
( ; 2) ( 4; 2), ( 4; 2)
C C t BA BC t 0.25
Tam giác ABC vuông tại B nên BA BC = ⇔ − + − = ⇔ =0 4t 16 4 0 t 3⇒C(3; 2) 0.25
6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB=2a Hình chiếu của
S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và
mặt phẳng (ABCD bằng ) 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của 0
góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB)
1.0
Trang 5
O G
M
A
B
S
H
I K
Gọi M là trung điểm BC, O là giao điểm của AC và BD Ta có
5
AM AB BM a AG AM Vì SG vuông góc với mặt đáy,
nên góc giữa SA và mặt đáy là SAG=300 Xét tam giác vuông SGA, ta có
tan tan 30
0.25
2
4
=
ABCD
S a Suy ra
3 2
.
Hạ GI vuông góc với AB, I thuộc AB Nối S với I, hạ GK vuông góc với SI, K thuộc
SI Khi đó K là hình chiếu vuông góc của G trên (SAB) Ta có 2 2
đó
6
+
GS GI a GK
GS GI
0.25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (SAB), ta có 3 10
AH là hình chiếu của AO lên (SAB) suy ra góc giữa AC và (SAB) là OAH Xét tam
giác vuông OHA, ta có sin 10 5 cos 11
4 2
0.25
7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp
là 3 1;
2 16
I , tâm đường tròn nội tiếp là (1; 0)J Đường phân giác trong góc BAC và
đường phân giác ngoài góc ABC cắt nhau tại K(2; 8)− Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC biết đỉnh B có hoành độ dương
1.0
Trang 63
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
H I A
J
K
Gọi giao điểm của AK và đường tròn (I) là H Xét tam giác BHJ có
HJB JAB JBA (góc ngoài tam giác JAB)
=JAC+JBC ( vì AJ, BJ là các đường phân giác)
=CBH+JBC (nội tiếp cùng chắn cung CH của đường tròn (I))
=HBJ
Suy ra tam giác HJB cân tại H, vậy HJ=HB và HJB=HBJ (1)
0.25
Lại có BJ, BK thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài góc ABC nên tam giác
BKJ vuông tại B Suy ra 0
90
HJB HKB HBJ HBK (2)
Từ (1) và (2) suy ra HKB=HBK hay tam giác HBK cân tại H, do đó
HJ HB HK , vậy H là trung điểm JK, hay 3; 4
2
−
H Tương tự
HJ HC HK
0.25
Ta có 0; 65 ; 1; 4
B, C cùng thuộc các đường tròn (I;IH) và (H; HJ) nên tọa độ B, C là nghiệm của hệ:
2
2
(5; 2), ( 2; 2)
= − = −
x y
0.25
AH đi qua J và K nên phương trình đường thẳng AH là:
x y Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với AH, d
có véc tơ pháp tuyến n= −2HJ = −(1; 8), phương trình đường thẳng d là:
x y Gọi M là giao điểm của d và AH, tọa độ M là nghiệm hệ:
0.25
Trang 78 1 0 1
(1; 0)
1
; 4 2
A
Kết luận: 1; 4
2
A , (5; 2), ( 2; 2).B − C − −
Bất phương trình đã cho tương đương với:
0.25
x
x
0.25
9 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy+ ≤1 y Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2
3
+
− +
P
x y
x xy y
1.0
Do x>0,y>0,xy≤ −y 1 nên
2
0
−
x y
4
= x⇒ < ≤
P
0.25
Ta có
2
2( 1)
−
+
− +
t
P t
t
t t
4
< ≤t ⇒t − + =t t t− + < − >t t+ > , do đó
2
+
− +
P t t
t t
0.25
Vậy ( )P t đồng biến trên 0;1
4
, suy ra
Khi 1; 2
2
- Hết -